行列（数学）

m  ×  n行列：m行は水平方向、n列は垂直方向です。行列の各要素は、多くの場合、2 つの添字を持つ変数で表されます。例えば、_2,1は行列の 2 行 1 列目の要素を表します。

数学において、行列（複数形：matrices）は、要素またはエントリが行と列に配置され、通常は加算と乗算の特定のプロパティを満たす数値またはその他の数学オブジェクトの長方形配列です。

例えば、 は2行3列の行列を表します。これは「2行3列行列」、2×3行列、または2×3次元行列と呼ばれることもあります。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}}$$

線型代数学では、行列は線型写像として用いられます。幾何学では、行列は幾何学的変換（例えば回転）や座標変換に用いられます。数値解析では、多くの計算問題が行列計算に還元されることによって解かれますが、これにはしばしば巨大な次元の行列を用いた計算が含まれます。行列は、数学や科学のほとんどの分野で、直接的に、あるいは幾何学や数値解析における利用を通じて用いられています。

正方行列 （行と列の数が同じ行列）は、行列理論において重要な役割を果たします。正方行列の行列式は、行列に関連付けられた数であり、正方行列の研究において基本的なものです。例えば、正方行列が逆行列であるためには、行列式が非零であり、かつ、その固有値がその特性多項式の根である場合にます 。${\displaystyle \det(\lambda I-A)}$

行列理論は、行列の研究に焦点を当てた数学の一分野です。当初は線型代数のサブ分野でしたが、すぐにグラフ理論、代数学、組合せ論、統計学に関連する分野も含むようになりました。

意味

行列は、数値（またはその他の数学的オブジェクト）の長方形配列であり、行列の「要素」と呼ばれます。行列は、加算や乗算などの標準的な演算の対象となります。 ^{[1]最も一般的なのは、}体 上の行列は、 ⁠ ⁠の要素の長方形配列です。^{[2] [3]}実行列と複素行列は、それぞれ実数または複素数を要素とする行列です。より一般的な種類の要素については、以下で説明します。例えば、これは実行列です。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.}$$

行列内の数値（またはその他のオブジェクト）は、その行列のエントリまたは要素と呼ばれます。行列のエントリの水平線と垂直線は、それぞれ行と列と呼ばれます。^[4]

サイズ

行列の大きさは、その行列に含まれる行と列の数によって定義されます。行列（通常の意味で）の行と列の数は、正の整数であれば制限はありません。m行n列の行列はm  ×  n行列^[4]またはm行n列行列^[5]と呼ばれ、 mとnは行列の次元と呼ばれます。^[6]例えば、上記の行列は3×2行列です。 ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$

1行の行列は行行列または行ベクトルと呼ばれ、1列の行列は列行列または列ベクトルと呼ばれます。行数と列数が同じ行列は正方行列と呼ばれます。^[7]行数または列数（あるいはその両方）が無限の行列は無限行列と呼ばれます。コンピュータ代数プログラムなどの一部のコンテキストでは、行または列のない行列（空行列と呼ばれる）を考えることが有用です。^[8]

表記

記号行列記法の詳細は多岐にわたりますが、いくつかの一般的な傾向があります。行列は一般的に角括弧または丸括弧で表記されます。^[9]そのため、m  ×  n行列は次のように表されます。 これは、単一の一般用語のみを、場合によっては添え字とともに記述することで省略できます。たとえば、 ⁠ ⁠ の場合 や⁠ ⁠の場合などです。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} =\left(a_{ij}\right),\quad \left[a_{ij}\right],\quad {\text{or}}\quad \left(a_{ij}\right)_{1\leq i\leq m,\;1\leq j\leq n}}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} =(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}}$ ${\displaystyle n=m}$

行列は通常、大文字（上記の例のように）を使用して表記されますが、[ ^10]対応する小文字は2つの下付き添え字（例：⁠ ⁠、⁠ ⁠）とともにエントリを表します。^[11]行列を大文字で表記することに加えて、多くの著者は特別な書体、一般的には太字のローマン体（非イタリック）を使用して、行列を他の数学的オブジェクトとさらに区別します。別の表記法としては、 ⁠ ⁠のように、変数名に二重下線（太字の有無にかかわらず）を使用するものがあります。^[12]${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ ${\displaystyle a_{11}}$ ${\displaystyle a_{1,1}}$ ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}$

行列Aのi行j列目の要素は、行列の要素または要素と呼ばれることもあり、一般的にはまたはで表される。^[13] この要素の代替表記は、およびである。例えば、次の行列の要素は5である（⁠ ⁠、⁠ ⁠、または⁠ ⁠とも表記される）。 ${\displaystyle {i,j}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} [i,j]}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{i,j}}$ ${\displaystyle (1,3)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a_{13}}$ ${\displaystyle a_{1,3}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} [1,3]}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{1,3}}$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}}$$

場合によっては、行列のエントリは⁠ ⁠${\displaystyle a_{i,j}=f(i,j)}$ のような式で定義できます。たとえば、次の行列の各エントリは、式⁠ ⁠によって決定されます。 この場合、行列自体が、角括弧または二重括弧で囲まれた式で定義されることがあります。たとえば、上記の行列は ⁠ ⁠ として定義されます。行列のサイズがm  ×  nの場合、上記の式は任意の⁠ ⁠に対して有効です。これは個別に指定することも、下付き文字としてm  ×  nを使用して示すこともできます。たとえば、上記の行列は3 × 4であり、または⁠ ⁠として定義できます。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a_{ij}=i-j}$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }=[i-j]}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =((i-j))}$ ${\displaystyle f(i,j)}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,m}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }=[i-j](i=1,2,3;j=1,\dots ,4)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =[i-j]_{3\times 4}}$

一部のプログラミング言語では、 m行n列の行列を表すために、二重添字の配列（または配列の配列）を利用します。一部のプログラミング言語では、配列のインデックス番号を0から開始し、その場合、m  ×  n行列の要素は、とでインデックス付けされます。^[14]この記事では、数学的な記述でより一般的に使用されている規則に従い、列挙は1から始めます。 ${\displaystyle 0\leq i\leq m-1}$ ${\displaystyle 0\leq j\leq n-1}$

m行n列の実行行列全体の成す集合は、しばしば⁠ ⁠、または⁠ ⁠と表記される。他の体または環R上のm  ×  n行列全体の成す集合も同様に⁠ ⁠、または⁠ ⁠ と表記される。正方行列の場合のようにm = nの場合は、次元を繰り返さず、⁠ ⁠、または⁠ ⁠ と表記する。^[15]多くの場合、⁠ ⁠の代わりに⁠ ⁠、または⁠ ⁠ 、が使用される。^[16]${\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}(R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(n,R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Mat} }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

基本操作

行列にはいくつかの基本的な演算を適用できます。転置や部分行列など、行列の要素の性質に依存しない演算もあります。一方、行列の加算、スカラー乗算、行列の乗算、行演算などは、行列の要素に対する演算を伴うため、行列の要素が数値であるか、体または環に属している必要があります。^[17]

このセクションでは、行列の要素が固定された環（通常は数値体）に属していると仮定します。

追加

2 つの行列の加算の図。

行列の加算と減算には、一定の大きさの行列が必要であり、要素ごとに計算されます。2つのm  ×  n行列の和 A + Bと差A − B^{は、以下の式で表されます。 [18]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathbf {A}}+{\mathbf {B}})_{i,j}={\mathbf {A}}_{i,j}+{\mathbf {B}}_{i,j},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.\\({\mathbf {A}}-{\mathbf {B}})_{i,j}={\mathbf {A}}_{i,j}-{\mathbf {B}}_{i,j},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.\end{aligned}}}$$

例えば、

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}}$$

数のよく知られた性質は行列の演算にも当てはまります。例えば、加算は可換であり、つまり行列の和は加数の順序に依存しません。A + B = B + A。^[19]

スカラー乗算

数c（この文脈ではスカラーとも呼ばれる）と行列Aの積c Aは、 Aの各要素にcを掛けることによって計算されます。^[20] この演算はスカラー乗算と呼ばれますが、その結果は混乱を避けるために「スカラー積」とは呼ばれません。「スカラー積」は「内積」の同義語としてよく使用されるためです。^[21]例えば、 $${\displaystyle (c{\mathbf {A}})_{i,j}=c\cdot {\mathbf {A}}_{i,j}}$$

$${\displaystyle 2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$$

行列の減算は、行列の加算と-1によるスカラー乗算の合成と一致する：^[22]

$${\displaystyle \mathbf {A} -\mathbf {B} =\mathbf {A} +(-1)\cdot \mathbf {B} }$$

転置

m  ×  n行列Aの転置行列は、行を列に、列を行に変換することによって形成される n  ×  m行列A ^T ( A ^trまたは^t Aとも表記)です。 例: $${\displaystyle \left({\mathbf {A}}^{\rm {T}}\right)_{i,j}={\mathbf {A}}_{j,i}.}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}}$$

転置は加算やスカラー乗算と両立し、( c A ) ^T = c ( A ^T )および( A + B ) ^T = A ^T + B ^Tと表される。最終的に( A ^T ) ^T = Aとなる。^[23]

行列の乗算

2つの行列AとBの行列積ABの模式図

2つの行列の乗算は、各行列で表される線形変換の合成に対応する。これは、左行列の列数が右行列の行数と同じ場合にのみ定義される。Aがm×n行列でBがn×p行列の場合、それら の 行列積ABは 、  Aの対応する行とBの対応する列のドット積で与えられる要素を持つm  ×  p行列である。^[24] ここで、1 ≤ i ≤ mおよび1 ≤ j ≤ pである。^[25]たとえば、積の下線部の要素2340は、(2×1000) + (3×100) + (4×10) = 2340として計算される。 $${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

行列の乗算は、行列の大きさが様々な積が定義されるようなものであれば、 ( AB ) C = A ( BC ) (結合法則)、( A + B ) C = AC + BC 、 C ( A + B )= CA + CB (左分配法則と右分配法則)という規則を満たす。^[26]積ABはBAが定義されなくても定義できる。つまり、AとBがそれぞれm  ×  nとn  ×  k行列で、m ≠ kの場合である。両方の積が定義されている場合でも、通常は等しい必要はない。つまり、次のようになる。^[27] $${\displaystyle {\mathbf {AB}}\neq {\mathbf {BA}}.}$$

言い換えれば、行列の乗算は可換ではない。これは、積が因数の順序に依存しない（有理数、実数、複素数）数とは著しく対照的である。^[24]互いに可換でない2つの行列の例は 次の通り である。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&3\\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\0&0\\\end{bmatrix}}.}$$

上で述べた通常の行列乗算の他に、アダマール積やクロネッカー積など、あまり頻繁には使用されないが乗算の一種と考えられる行列演算も存在する。^{[28]これらは}シルベスター方程式などの行列方程式を解くときに生じる。^[29]

行操作

行操作には3つの種類があります。^{[30] [31]}

1. 行の追加、つまり、行を別の行に追加します。
2. 行の乗算、つまり行のすべてのエントリをゼロ以外の定数で乗算します。
3. 行の切り替え、つまり行列の 2 つの行を交換すること。

これらの演算は、ガウス消去法とガウス・ジョルダン消去法を用いて線形方程式を解いたり、逆行列を求めたりするなど、いくつかの方法で使用されます。 ^[32]

サブマトリックス

行列の部分行列とは、行または列、あるいはその両方の集合を削除することによって得られる行列である。[ 33 ^{] [34] [35]}例えば、次の3×4行列から、行3と列2を削除して 2×3の部分行列を作成することができる。$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&\color {red}{2}&3&4\\5&\color {red}{6}&7&8\\\color {red}{9}&\color {red}{10}&\color {red}{11}&\color {red}{12}\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&3&4\\5&7&8\end{bmatrix}}.}$$

行列の小行列式と余行列式は、特定の部分行列の行列式を計算することによって求められます。^{[35] [36]}

主部分行列とは、特定の行と列を削除することで得られる正方部分行列である。その定義は著者によって異なる。一部の著者によれば、主部分行列とは、残った行のインデックスの集合が残った列のインデックスの集合と同じである部分行列である。^{[37] [38]}他の著者は、主部分行列を、ある数kに対して最初のk行と列が残ったもの、と定義している。^{[39]このタイプの部分行列は}、リーディング主部分行列とも呼ばれる。^[40]

線形方程式

行列は、複数の線形方程式、すなわち線形方程式系を簡潔に記述し、扱うために用いられる。例えば、Aがm  ×  n行列であり、xがn個の変数x ₁ , x ₂ , ..., x nの列ベクトル（つまりn  ×1行列）であり、bがm  ×1列ベクトルである場合、行列方程式は 線形方程式系^{[41]と等価​​である}_。$${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+&\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&\ \ \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+&\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{aligned}}}$$

行列を用いることで、すべての方程式を個別に書き出すよりも簡潔に解くことができます。n = mかつ方程式が独立である場合、これは^[42] と書くことで解くことができます。 ここで、A ^−1はAの逆行列です。Aに逆行列がない場合、解（もし存在するならば）は一般逆行列を用いて求めることができます。^[43]$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }$$

線形変換

2 × 2行列によって表されるベクトルは、平行四辺形に変換された単位正方形の辺に対応します。

行列および行列乗算は、線形変換（線形写像とも呼ばれる）と関連付けられたときに、その本質的な特徴を明らかにします。実数m行n列の行列Aは、 ⁠ ⁠の各ベクトルxを (行列) 積Axに写像する線形変換を生じます。Ax は⁠ ⁠のベクトルです。逆に、各線形変換は、一意のm行n列の行列Aから生じます。明示的には、Aの( i , j )要素はf  ( e _j )のi番目の座標であり、e _j = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)はj番目の位置に1、その他の位置に0を持つ単位ベクトルです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ 行列Aは線形写像fを表すと言われ、Aはfの変換行列と呼ばれます。^[44]

例えば、2 × 2行列は 、単位正方形を頂点が(0, 0)、( a、b )、( a + c、b + d )、( c、d )である平行四辺形に 変換したものと見ることができます。右に示す平行四辺形は、列ベクトル⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠をそれぞれAに掛け合わせることで得られます。これらのベクトルは、単位正方形の頂点を定義します。^[45]次の表は、いくつかの2 × 2実行列と、それに関連する⁠ ⁠の線形写像を示しています。青い元の行列は、緑のグリッドと図形に写像されます。原点(0, 0)は黒い点でマークされています。 $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

行列と線型写像の1対1対応のもとでは、行列の乗算は写像の合成に対応する。 [ 50 ] k^行m列の行列Bが別の線型写像を表す場合、 g∘f${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{k}}$ の合成はBAで表される。なぜなら^[51] $${\displaystyle (g\circ f)({\mathbf {x}})=g(f({\mathbf {x}}))=g({\mathbf {Ax}})={\mathbf {B}}({\mathbf {Ax}})=({\mathbf {BA}}){\mathbf {x}}.}$$

最後の等式は、前述の行列乗算の結合性から導き出されます。

行列 Aの階数は、行列の線形独立な行ベクトルの最大数であり、線形独立な列ベクトルの最大数と同じです。 ^[52]同様に、これはAで表される線形写像の像の次元です。^[53]階数-零定理は、行列の核の次元と階数を加えたものが行列の列数に等しいと述べています。^[54]

正方行列

正方行列は、行数と列数が同じ行列です。n行n列の行列は、 n次の正方行列と呼ばれます。同じ次数の任意の2つの正方行列は、加算および乗算できます。要素aと_iiは正方行列の主対角線を形成します。これらは、行列の左上隅から右下隅まで伸びる仮想線上にあります。^[55]

与えられた次元の正方行列は非可換環を形成し、これは非可換環の最も一般的な例の1つである。^[56]

主な種類

対角行列と三角行列

Aの主対角線より下の要素がすべてゼロの場合、 Aは上三角行列と呼ばれます。同様に、Aの主対角線より上の要素がすべてゼロの場合、Aは下三角行列と呼ばれます。^[57]主対角線より外側の要素がすべてゼロの場合、Aは対角行列と呼ばれます。^[58]

単位行列

サイズnの単位行列 I n_は、主対角線上のすべての要素が1で、他のすべての要素が0であるn行n列の行列です。^[59]例えば、 これはn次 の正方行列であり、特殊な種類の対角行列でもあります。これを掛け合わせても行列が変化しないため、単位行列と呼ばれます。^{[59]任意の}m行n列行列A に対して。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} _{1}&={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\\[4pt]\mathbf {I} _{2}&={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\\[4pt]\vdots &\\[4pt]\mathbf {I} _{n}&={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\mathbf {AI}}_{n}={\mathbf {I}}_{m}{\mathbf {A}}={\mathbf {A}}}$$

単位行列のスカラー倍はスカラー行列と呼ばれる。^[60]

対称行列または歪対称行列

正方行列Aがその転置行列A = A ^Tに等しい場合、対称行列と呼ばれる。一方、Aがその転置行列の負の数、つまりA = − A ^Tに等しい場合、Aは歪対称行列と呼ばれる。複素行列では、対称性はしばしばエルミート行列の概念に置き換えられ、 A ^∗ = Aを満たす。ここで、星印またはアスタリスクは行列の共役転置、つまりAの複素共役の転置を表す。^[61]

スペクトル定理によれば、実対称行列と複素エルミート行列は固有基底を持つ。つまり、すべてのベクトルは固有ベクトルの線型結合として表現できる。どちらの場合も、すべての固有値は実数である。^[62]この定理は、無限個の行と列を持つ行列に関連する無限次元の状況にも一般化できる。^[63]

可逆行列とその逆行列

正方行列A が逆行列または非特異行列であるとは、次を満たす行列Bが存在するときを言う^{[64] [65]} 。 ここで、I _nはn  ×  n単位行列で、主対角線上の各要素が1で、それ以外の要素が0 である行列である。Bが存在する場合、それは唯一であり、 Aの逆行列と呼ばれ、A ^{−1と表記される[66]}。$${\displaystyle {\mathbf {AB}}={\mathbf {BA}}={\mathbf {I}}_{n},}$$

正方行列が逆行列であるかどうかを判定し、逆行列である場合にはその逆行列を計算するアルゴリズムは数多く存在します。最も古く、現在でも広く使われているアルゴリズムの一つがガウス消去法です。^[67]

明確なマトリックス

対称実数行列Aは、関連する二次形式が⁠ ⁠内の すべての非零ベクトルxに対して正の値を持つ場合、正定値と呼ばれます。f ( x ) が負の値のみを生成する場合、 Aは負定値です。 f が負の値と正の値の両方を生成する場合、 Aは不定値です。^[68]二次形式f が非負の値（正またはゼロ）のみを生成する場合、対称行列は半正定値と呼ばれます（または、非正の値のみを生成する場合は半負定値です）。したがって、行列が半正定値でも半負定値でもないときは、不定値です。^[69] $${\displaystyle f({\mathbf {x}})={\mathbf {x}}^{\rm {T}}{\mathbf {Ax}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

対称行列が正定値行列であるためには、そのすべての固有値が正である必要がある。つまり、行列は半正定値行列であり、かつ逆行列である必要がある。 ^[70]右の表は、2行2列の行列の2つの可能性を示している。対角行列の固有値は、単に対角線上の要素である。^[71]したがって、これらの例では、固有値は行列自体から直接読み取ることができる。最初の行列には2つの固有値が両方とも正であるが、2番目の行列には1つが正でもう1つが負である。

代わりに2つの異なるベクトルを入力として与えると、Aに関連付けられた双線形形式が得られる: ^[72] $${\displaystyle B_{\mathbf {A}}({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})={\mathbf {x}}^{\rm {T}}{\mathbf {Ay}}.}$$

複素行列の場合、同じ用語と結果が適用されますが、対称行列、二次形式、双一次形式、転置 x ^Tはそれぞれエルミート行列、エルミート形式、セスキ一次形式、共役転置 x ^Hに置き換えられます。^[73]

直交行列

直交行列は、実数要素を持つ正方行列で、その列と行は直交 単位ベクトル（つまり、直交ベクトル）である。^[74]同様に、行列Aは、その転置がその逆行列に等しいとき直交行列である。 これは次式を 意味する 。 ここで、 I _nはサイズnの単位行列である。^[75]$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{-1},\,}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{n},}$$

直交行列Aは必然的に逆行列（逆行列A ⁻¹ = A ^T）、ユニタリ行列（A ⁻¹ = A *）、および正規行列（A * A = AA *）である。任意の直交行列の行列式は+1または−1のいずれかである。特別な直交行列は行列式が +1である直交行列である。線形変換として、行列式が+1であるすべての直交行列は反射のない純粋な回転、すなわち変換は変換された構造の方向を保存するが、行列式が−1であるすべての直交行列は方向を反転する、すなわち純粋な反射と（おそらくゼロの）回転の合成である。単位行列は行列式が1であり、角度0による純粋な回転である。^[76]

直交行列の複素類似物はユニタリ行列である。^[77]

主な業務

トレース

正方行列 A のトレースtr ( A )は、その対角成分の和である。前述のように行列の乗算は可換ではないが、2つの行列の積のトレースはその因子の順序に依存しない。^[78] これは行列の乗算の定義から直接導かれる。^[79] したがって、2つ以上の行列の積のトレースは、行列の巡回置換に依存しない。しかし、これは一般に任意の置換には当てはまらない。例えば、一般にtr( ABC ) ≠ tr( BAC )である。^[80]また、行列のトレースはその転置行列のトレースに等しく、^[81]つまり、 $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).}$$ $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).}$$ $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\mathbf {A}})=\operatorname {tr} ({\mathbf {A}}^{\rm {T}}).}$$

行列式

示された行列によって与えられた⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 上の線形変換。この行列の行列式は、右側の緑色の平行四辺形の面積が1 であるため、 −1です。しかし、写像はベクトルの反時計回りの向きを時計回りの向きに変えるため、向きを反転します。

正方行列Aの行列式（det ( A )または| A |と表記）は、行列の特定の性質を表す数値です。行列式が0以外の場合、行列は逆行列となります。^[82]その絶対値は単位正方形（または立方体）の像の面積（単位は⁠ ⁠）または体積（単位は⁠ ⁠）に等しく、その符号は対応する線型写像の向きに対応します。つまり、向きが保存される場合、行列式は正となります。^[83]${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

2×2行列の行列式は^[84] で与えられる。3 ×3行列 の行列式は6つの項から構成される（サラスの法則）。より長めのライプニッツの公式は、これら2つの公式を全次元に一般化する。^[85]$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$$

正方行列の積の行列式は、それらの行列式の積に等しい。 または別の表記法を使用すると、次のようになる。^[86] 任意の行の倍数を別の行に追加したり、任意の列の倍数を別の列に追加したりしても、行列式は変化しない。2 行または 2 列を交換すると、行列式に-1が乗算されて影響を受ける。^[87]これらの操作を使用して、任意の行列を下三角 (または上三角) 行列に変換することができ、このような行列では、行列式は主対角線上の要素の積に等しくなる。これにより、任意の行列の行列式を計算する方法が提供される。最後に、ラプラス展開は、行列式を小行列式、つまりより小さな行列の行列式で表す。 ^[88]この展開は、行列式の再帰的定義（1×1行列の行列式（その唯一の要素）、あるいは0×0行列の行列式（ 1）を出発点とする）に用いることができ、これはライプニッツの公式と等価であることがわかる。行列式はクラメールの規則を用いて線形システムを解くのに用いることができ、2つの関連する正方行列の行列式の除算はシステムの各変数の値に等しい。^[89]$${\displaystyle \det({\mathbf {AB}})=\det({\mathbf {A}})\cdot \det({\mathbf {B}}),}$$ $${\displaystyle |{\mathbf {AB}}|=|{\mathbf {A}}|\cdot |{\mathbf {B}}|.}$$

固有値と固有ベクトル

を満たす 数と非零ベクトルv は、それぞれAの固有値と固有ベクトル と呼ばれます。^{[90] [91]}数λがn  ×  n行列Aの固有値である場合と( A − λ I _n )が逆でない場合とで、次の式と等価です。 ^{[92]行列式}det( X I _n − A )の評価によって与えられる不定数Xの 多項式p _Aは、 Aの特性多項式と呼ばれます。これは、次数nの単項多項式です。したがって、多項式方程式p _A ( λ ) = 0には、最大でn 個の異なる解、つまり行列の固有値があります。^[93] Aの要素が実数であっても、固有値は複素数になることがあります。^[94]ケーリー・ハミルトン定理によれば、p _A ( A ) = 0、つまり行列自体をその特性多項式に代入した結果は零行列となる。^[95]${\textstyle \lambda }$ $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$ ${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0.}$

計算面

行列計算は多くの場合、様々な手法で実行できます。多くの問題は、直接的なアルゴリズムと反復的なアプローチの両方で解くことができます。例えば、正方行列の固有ベクトルは、nが無限大に近づくときに固有ベクトルに収束するベクトル列x _n を見つけることで得られます。^[96]

それぞれの特定の問題に最も適切なアルゴリズムを選択するには、利用可能なすべてのアルゴリズムの有効性と精度の両方を判断することが重要です。これらの問題を研究する分野は数値線形代数と呼ばれます。^{[97]他の数値計算の場合と同様に、アルゴリズムの}複雑さと数値安定性という2つの主要な側面があります。

アルゴリズムの複雑さを決定するということは、例えば行列の乗算といったアルゴリズムを実行するために必要な、スカラーの加算や乗算といった基本演算の上限値、あるいは推定値を求めることを意味します。上記の定義を用いて2つのn行n列の行列積を計算する場合、積のn^2要素のいずれに対してもn^3回の乗算が必要となるため、n^3回の^乗算が必要^となります。Strassenアルゴリズムはこの「単純な」アルゴリズムよりも性能が高く、n^2.807回の乗算しか必要としません。[ ⁹⁸ ]^理論 的にはより高速だが実用的ではない行列乗算アルゴリズムが開発されており、^[99]並列アルゴリズムやMapReduceなどの分散計算システムを用いた高速化も行われています。^[100]

多くの実用的な状況では、関係する行列に関する追加情報が既知である。重要な例としては、疎行列、すなわち要素がほとんどゼロである行列が挙げられる。例えば、疎行列Aに対する線形方程式Ax = bを解くための、共役勾配法のような、特に適応されたアルゴリズムが存在する。^[101]

大まかに言えば、入力値の小さな偏差が結果に大きな偏差をもたらさないアルゴリズムは、数値的に安定していると言える。例えば、行列の逆行列は、その随伴行列を計算することで計算できる。 しかし、行列の行列式が非常に小さい場合、この方法では大きな丸め誤差が生じる可能性がある。行列のノルムは、逆行列の計算など、線形代数問題の条件付けを捉えるために用いることができる。 ^[102]$${\displaystyle {\mathbf {A}}^{-1}=\operatorname {adj} ({\mathbf {A}})/\det({\mathbf {A}}).}$$

分解

行列をより扱いやすい形式に変換する方法はいくつかあります。これらは一般的に行列分解または行列因子分解と呼ばれます。これらの手法は、計算を容易にできるため、注目されています。

LU分解は、行列を下三角行列（ L）と上三角行列（U ）の積として因数分解する。^{[103]この分解が計算されると、線形システムは}前進置換と後退置換と呼ばれる単純な手法によってより効率的に解くことができる。同様に、三角行列の逆行列はアルゴリズム的に計算が容易になる。ガウス消去法は同様のアルゴリズムであり、任意の行列を行階段形式に変換する。^[104]どちらの方法も、行列に適切な基本行列を乗算することで進行する。基本行列は、行または列の順序を入れ替え、ある行の倍数を別の行に追加する処理に対応する。特異値分解（SVD）は、任意の行列Aを積UDV ^∗として表す。ここで、UとVはユニタリ行列、Dは対角行列である。^[105]

ジョルダン正規形の行列の例。灰色のブロックはジョルダンブロックと呼ばれます。

固有分解または対角化は、 A を積VDV ⁻¹として表現します。ここで、Dは対角行列、Vは適切な可逆行列です。^[106] A をこの形式で表すことができる場合、対角化可能と呼ばれます。より一般的に、すべての行列に適用できるジョルダン分解は、行列をジョルダン標準形に変換します。ジョルダン標準形とは、右に示すように、主対角線上に配置されたAの固有値λ ₁からλ _nのみを非ゼロの要素とし、主対角線の真上に 1 に等しい要素が含まれる行列です。^[107]固有分解が与えられれば、Aのn乗(つまり、n回反復された行列乗算) は、で計算でき 、対角行列のべき乗は、対角要素の対応するべき乗を取ることで計算でき、これはAのべき乗を計算するよりもはるかに簡単です。これは行列指数e ^Aを計算するために使うことができ、これは線型微分方程式、行列対数、行列の平方根を解く際に頻繁に必要となる。^{[108]数値的に}悪条件な状況を避けるために、シュアー分解などのさらなるアルゴリズムを用いることができる。^[109]$${\displaystyle {\mathbf {A}}^{n}=({\mathbf {VDV}}^{-1})^{n}={\mathbf {VDV}}^{-1}{\mathbf {VDV}}^{-1}\ldots {\mathbf {VDV}}^{-1}={\mathbf {VD}}^{n}{\mathbf {V}}^{-1}}$$

抽象代数的側面と一般化

行列はさまざまな方法で一般化できます。抽象代数では、より一般的な体や環に要素を持つ行列を使用しますが、線型代数は、線型写像の概念で行列の特性をコード化します。無限の数の列と行を持つ行列を考えることができます。もう1つの拡張はテンソルで、数値の高次元配列と見なすことができます。一方、ベクトルは数値の長方形または2次元配列です。^[110]行列は、特定の要件に従うと、行列グループと呼ばれるグループを形成する傾向があります。 ^[111]同様に、特定の条件下では、行列は行列環と呼ばれる環を形成します。^[112]行列の積は一般に可換ではありませんが、特定の行列は行列体と呼ばれる体を形成することがあります。^[113]（ただし、「行列体」という用語は曖昧であり、ある空間上の点を連続的に行列に写像する特定の物理場を指すこともある。 ^[114]）一般に、任意の環上の行列とその乗法は、その環上の行列の圏における矢印と矢印の合成として表すことができる。この圏の対象は自然数であり、行列の次元を表す。^[115]

体または環に要素を持つ行列

この記事では、実数または複素数を要素とする行列に焦点を当てています。ただし、行列は、実数や複素数よりもはるかに一般的な種類の要素を持つと考えることができます。一般化の第一歩として、任意の体、つまり加算、減算、乗算、除算の演算が定義され、適切に実行される集合を、 ⁠ ⁠ ⁠や⁠ ⁠の代わりに使用できます(例:有理数または有限体) 。たとえば、符号理論では有限体上の行列を使用します。^[116]固有値が考慮される場合はどこでも、固有値は多項式の根であるため、行列の要素よりも大きな体にのみ存在する可能性があります。たとえば、実数要素を持つ行列の場合は複素数になる可能性があります。行列の要素をより大きな体の要素として再解釈する可能性 (たとえば、実数行列を、要素がすべて実数である複素行列と見なす) により、各正方行列が完全な固有値のセットを持っていると考えることができます。^[117]あるいは、最初から⁠ ⁠のような代数的に閉じた体にある要素を持つ行列のみを考えることもできる。 ^[118]${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

多項式を要素とする行列[ ^119]や、より一般的には環 Rを要素とする行列は、数学で広く使用されています^[1] 。環は、除算演算が存在する必要がない点で、体よりも一般的な概念です。行列のまったく同じ加算と乗算演算がこの設定にも拡張されます。R上のすべてのn行n列の正方行列の集合M( n , R ) ( M _n (R) ^[15]とも表記) は行列環と呼ばれる環であり、左R加群R ⁿの自己準同型環と同型です^[120]。環Rが可換である場合、つまり乗算が可換である場合、環M( n , R )もR上の結合代数です。可換環R上の正方行列の行列式は、依然としてライプニッツの公式を使用して定義できます。このような行列が逆行列であるためには、その行列式がRにおいて逆行列となる。この状況を体F上に一般化すると、すべての非零要素は逆行列となる。^[121]超環上の行列は超行列と呼ばれる。^[122]

行列は、必ずしもすべての要素が同じ環に含まれるとは限らず 、また、環自体に含まれるとも限らない。特殊だが一般的な例としてブロック行列がある。これは、要素自体が行列である行列と考えることができる。要素は正方行列である必要はなく、したがってどの環の要素である必要もない。しかし、それらを乗算するには、そのサイズが特定の条件を満たす必要がある。すなわち、全体の積を形成する際に乗算される部分行列の各ペアは、サイズが適合していなければならない。^[123]

線形マップとの関係

線型写像は、上で述べたように、 m行n列の行列と同値である。より一般的には、有限次元ベクトル空間間の任意の線型写像f  : V → Wは、 Vの基底v ₁、…、v _nとWの基底w ₁、…、w _m（したがって、n_はVの次元、mはWの次元）を選択した後、行列A = ( a ij ) で記述でき、これは次の関係を満たす。 言い換えれば、Aのj列目は、 Wの基底ベクトルw _iによってv _jの像を表す。したがって、この関係によって行列Aの要素が一意に決まる。行列は基底の選択に依存し、異なる基底を選択すると、異なるが同値な行列が生じる。^[124]上記の具体的な概念の多くは、この観点から再解釈することができる。たとえば、転置行列A ^{T は}、双対基底に関する、Aによって与えられた線型写像の転置を表す。^[125]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ $${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\qquad {\mbox{for}}\ j=1,\ldots ,n.}$$

これらの性質はより自然に言い換えることができる。乗法を合成として持つ体上の要素を持つ行列のカテゴリは、この体上の有限次元ベクトル空間と線型写像のカテゴリと同値である。^[126]${\displaystyle k}$

より一般的には、任意の単位元環Rに対する自由加群R ^mとR ⁿ間のR線型写像を表すために、 m  ×  n行列の集合を用いることができる。n = mのとき、これらの写像の合成が可能であり、 R ⁿの自己準同型環を表すn  ×  n行列の行列環が得られる。^[127]

マトリックスグループ

群とは、オブジェクトの集合と二項演算、つまり、ある一定の要件のもとで、任意の 2 つのオブジェクトを 3 番目のオブジェクトに結合する演算から構成される数学的構造である。^{[128]オブジェクトが}可逆 行列${\displaystyle n\times n}$ であり、群演算が行列乗算である群は、次数 の行列群と呼ばれる。[ 129 ]この^ような行列群はすべて、すべての可逆行列の群である次数 の一般線型群のサブグループ（つまり、その中に含まれるより小さな群）である。[ 130 ^]${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$

正方行列の性質のうち、行列積や逆行列においても保存されるものは、行列群を定義するために用いることができる。例えば、行列式が1であるすべての行列の集合は、次数の特殊線型${\displaystyle n\times n}$ 群と呼ばれる群を形成する。^[131]条件によって決定される 直交行列の集合は、直交群 を形成する。^[132]すべての直交行列は、行列式が1または−1である。行列式が1である直交行列は、特殊直交群と呼ばれる群を形成する。^[133]${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\mathbf {M}}^{\rm {T}}{\mathbf {M}}={\mathbf {I}},}$$

対称群の正規表現を考えればわかるように、すべての有限群は行列群と同型である。^{[134]一般群は、}表現論を用いて比較的よく理解されている行列群を用いて研究することができる。^[135]

無限行列

無限の数の行と列を持つ行列を考えることも可能である。^[136]上で紹介した基本演算は、この場合も同様に定義される。しかし、行列の乗算とそこから生じるすべての演算は、特定の行列に制限されている場合にのみ意味を持つ。なぜなら、上記の行列積の定義に含まれる和には、無限数の被加数が含まれるからである。^[137]この問題を回避する簡単な方法は、すべての行（または列）に有限個の非ゼロ項のみを含む有限行列に制限することです。 ^{[138]有限の場合（上記参照）のように、行列は線型写像を記述しますが、無限行列は}ヒルベルト空間上の演算子を記述するために使用でき、収束と連続性の問題が生じます。しかし、行列の明示的な観点は問題をわかりにくくする傾向があり、^[139]代わりに抽象的でより強力な関数解析ツールが使用されます。これは、行列を線型写像に関連付ける（上記の有限の場合のように）ことによって行われますが、追加の収束と連続性の制約が課されます。

空の行列

空行列は、行または列（あるいはその両方）の数が 0 である行列です。^{[140] [8]}空行列は、特定の再帰構成の便利な基本ケースになる場合があり、^[141]零ベクトル空間を含む写像を扱うのに役立ちます。^[142]たとえば、Aが3 × 0行列でBが0 × 3行列の場合、ABは3 次元空間Vからそれ自身へのヌル写像に対応する3 × 3零行列であり、BAは0 × 0行列です。 空行列には共通の表記法はありませんが、ほとんどのコンピュータ代数システムで空行列の作成と計算が可能です。^[143] 0 × 0行列の行列式は、行列式のライプニッツの公式に現れる空積と一致して、慣例的に 1 と定義されています。 ^[144]この値は、行列式をより小さな行列の行列式に関連付けるデスナノ-ヤコビ恒等式の2×2^{の場合との整合性を保つためにも必要である。 [145]}

半環上の要素を持つ行列

半環は環に似ていますが、要素が加法的な逆元を持つ必要がないため、自由に減算を行うことはできません。環を要素とする行列の加法と乗法の定義は、半環を要素とする行列にもそのまま適用されます。半環を要素とする固定サイズの行列は、加法に関して可換モノイドを 形成します。^[146]半環を要素とする固定サイズの正方行列は、加法と乗法に関して半環を形成します。 ^[146]${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)}$

可換半環を要素とするn  ×  n正方行列の行列式は、一般には定義できない。なぜなら、定義には半環の元の加法逆行列が必要となるからである。代わりに、正負の行列式のペアがその役割を果たす。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \det \nolimits _{+}M=\sum _{\sigma \in \operatorname {Alt} (n)}M_{1\sigma (1)}\cdots M_{n\sigma (n)}}$

${\displaystyle \det \nolimits _{-}M=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (n)\setminus \operatorname {Alt} (n)}M_{1\sigma (1)}\cdots M_{n\sigma (n)}}$

ここで、合計はそれぞれ偶数順列と奇数順列にわたって取られる。^{[147] [148]}

カテゴリ内のエントリを持つ行列

行列とその乗算は、環における乗算に類似した「テンソル積」を持つカテゴリの要素オブジェクトを用いて定義することができる。テンソル積は環における加法に類似した余積を持つ。つまり、前者は後者に対して分配的である。 ^{[149]しかし、このように定義された乗算は、通常よりも弱い意味でのみ結合的である可能性がある。これらは、}行列の二項圏と呼ばれるより大きな構造の一部である。興味のある読者のために、上記の概要の完全な説明を以下に記す。

次の2つの条件を満たす モノイドカテゴリとします。${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$

• すべての（小さな）余積は存在します。特に、 を初期オブジェクトとします。${\displaystyle \varnothing }$
• 関数は余積に対して分配的である。すなわち、任意のオブジェクトと内のオブジェクトの族に対して、標準射は同型 である。特に、標準射とは同型である。${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ $${\displaystyle \coprod _{i\in I}(X\otimes Y_{i})\to X\otimes \coprod _{i\in I}Y_{i}}$$ $${\displaystyle \coprod _{i\in I}(Y_{i}\otimes X)\to \left(\coprod _{i\in I}Y_{i}\right)\otimes X}$$ ${\displaystyle \varnothing \to X\otimes \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing \to \varnothing \otimes X}$

そして、-行列の二項分類は次のようになる。^[149]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mat} ({\mathcal {C}})}$

• オブジェクトはセットです。
• 1-モルフィズム はマップ です。これは 上の単なる行列です。 ${\displaystyle M\colon A\to B}$ ${\displaystyle M\colon A\times B\to \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
  • 1射と の合成は行列の掛け算として理解でき、${\displaystyle M\colon A\to B}$ ${\displaystyle N\colon B\to C}$ $${\displaystyle (N\circ M)(a,c)=\coprod _{b\in B}M(a,b)\otimes N(b,c).}$$
  • 上の恒等1射は${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \operatorname {id} _{A}(a,b)={\begin{cases}I&a=b\\\varnothing &a\neq b\end{cases}}.}$$
• 1-射の間の2-射は、-射の族である。2-射の垂直合成と水平合成の定義は自然である。垂直合成は-射の成分ごとの合成であり、水平合成はの関数性と余積の普遍性から導かれるものである。${\displaystyle M,N\colon A\to B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (f_{ab}\colon M(a,b)\to N(a,b))_{(a,b)\in A\times B}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \otimes }$

一般に、行列の二元圏は必ずしも厳密な2元圏である必要はない。例えば、1元射の合成は、通常の厳密な意味では結合的ではなく、整合同型性に関してのみ結合的である可能性がある。

アプリケーション

行列は数学だけでなく他の科学分野においても数多くの応用例があります。その中には、単に行列における数値集合の簡潔な表現を利用するものもあります。例えば、テキストマイニングや自動シソーラス編集では、 TF-IDFなどの文書-用語行列を用いて、複数の文書における特定の単語の出現頻度を追跡します。^[150]

複素数は、特定の2行2列の実行列によって表すことができ、 その行列の下では複素数と行列の加法と乗法は互いに対応している。例えば、2行2列の回転行列は、上記のように絶対値1の複素数との乗算を表す。同様の解釈は、四元数^[151]や一般的なクリフォード代数^[152]にも可能である。$${\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},}$$

ゲーム理論と経済学では、利得行列は、与えられた（有限の）戦略セットの中からプレイヤーがどの戦略を選択するかに応じて、2人のプレイヤーの利得を符号化する。^{[153]両方のプレイヤーが}混合戦略を実行した場合のゲームの期待結果は、この行列の両辺に戦略を表すベクトルを乗じることによって得られる。^[154]ゲーム理論の中心となるミニマックス定理は、しばしば行列ベクトル積で定式化される線形計画の双対性理論と密接に関連している。 ^[155]

ヒル暗号などの初期の暗号化技術でも行列が用いられていました。しかし、行列の線形性質のため、これらの暗号は比較的容易に解読できました。^[156]コンピュータグラフィックスでは、行列を用いて物体を表現します。例えば、アフィン回転行列を用いて物体の変換を計算し、理論的なカメラ観測に対応する3次元物体を2次元スクリーンに投影するといったタスクを実行したり、シャープニング、ぼかし、エッジ検出などの画像畳み込みを適用したりします。^[157]多項式環上の行列は制御理論の研究において重要です。^[158]

化学では、特に分子結合や分光学を議論するために量子論が用いられるようになって以来、様々な方法で行列が利用されている。例としては、重なり行列や、ハートリー・フォック法において分子軌道を求めるためにルートハン方程式を解く際に用いられるフォック行列が挙げられる。^[159]

グラフ理論

隣接行列を持つ無向グラフ:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}.}$$

有限グラフの隣接行列は、グラフ理論の基本概念である。^[160]これは、グラフのどの頂点が辺で接続されているかを記録する。2つの異なる値（例えば、1と0はそれぞれ「はい」と「いいえ」を意味する）のみを含む行列は、論理行列と呼ばれる。距離（またはコスト）行列には、辺の距離に関する情報が含まれる。^{[161]これらの概念は、}ハイパーリンクで接続されたウェブサイト[ ^162]や道路などで接続された都市などに適用できる。これらの場合（接続ネットワークが非常に密でない限り）、行列はスパースになる傾向がある。つまり、非ゼロのエントリはほとんど含まれない。したがって、ネットワーク理論では、特別に調整された行列アルゴリズムを使用することができる。^[163]

解析と幾何学

微分可能関数のヘッセ行列は、複数の座標方向に関するfの2次導関数から成り、つまり^[164] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right].}$$

関数f  ( x ,−y ) = x2 − y2の鞍点 ( x = ⁰ , y =0) (赤)^ではヘッセ行列は不定値です。${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}}}$

これは関数の局所的成長挙動に関する情報をエンコードする。臨界点 x = ( x ₁ , ..., x _n ) 、つまりfの最初の偏微分が ゼロになる点が与えられた場合、ヘッセ行列が正定値であれば関数は局所的最小値を持つ。二次計画法は、行列に付随する関数に密接に関連する二次関数の大域的最小値または最大値を見つけるために使用できる（上記参照）。^[165]${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$

幾何学的な状況で頻繁に使用される別の行列は、微分可能写像のヤコビ行列である。 f 1 , ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ... _, f m_がfの成分を表す場合、ヤコビ行列は次のように定義される^[166]。 n > m であり、ヤコビ行列の階数が最大値mに達する場合、暗黙関数定理により、 fはその点で局所的に逆行列となる。^[167]$${\displaystyle J(f)=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}.}$$

偏微分方程式は、方程式の最高階微分作用素の係数行列を考慮することによって分類できる。楕円型偏微分方程式の場合、この行列は正定値であり、これは当該方程式の可能な解の集合に決定的な影響を与える。^[168]

有限要素法は偏微分方程式を解くための重要な数値解析法であり、複雑な物理系のシミュレーションに広く応用されています。この手法は、ある方程式の解を区分線形関数で近似しようと試みます。この関数は、十分に細かい格子に基づいて分割され、その格子は行列方程式として書き直すことができます。^[169]

確率論と統計

2つの異なるマルコフ連鎖。グラフは、状態「2」にある粒子の数（合計1000個中）を示しています。両方の限界値は、（赤）と（黒）で示される遷移行列から決定できます。${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0.7&0\\0.3&1\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0.7&0.2\\0.3&0.8\end{smallmatrix}}\right]}$

確率行列は、行が確率ベクトル、すなわち要素が非負で和が1となる正方行列である。確率行列は、有限個の状態を持つマルコフ連鎖を定義するために使用される。 ^[170]確率行列の行は、その行に対応する状態にある粒子の次の位置の確率分布を与える。マルコフ連鎖の特性、例えば吸収状態、つまり任意の粒子が最終的に到達する状態などは、遷移行列の固有ベクトルから読み取ることができる。^[171]

統計学では、様々な形で行列が利用される。^[172] 記述統計学はデータセットの記述に関係しており、データセットは多くの場合データ行列として表現され、次元削減技術にかけられる。共分散行列は、複数の確率変数の相互分散を符号化する。^[173]行列を利用するもう一つの手法は線形最小二乗法である。これは、有限のペア集合( x ₁ , y ₁ )、 ( x ₂ , y ₂ )、...、 ( x _N , y _N )を、 行列で定式化できる線形関数で近似する方法であり 、行列の特異値分解に関連している。^[174]$${\displaystyle y_{i}\approx ax_{i}+b,\quad i=1,\ldots ,N}$$

ランダム行列とは、行列の要素が乱数であり、行列正規分布などの適切な確率分布に従う行列である。確率論以外にも、数論から物理学に至るまで幅広い分野で応用されている。^{[175] [176]}

量子力学と素粒子物理学

量子力学の最初のモデル（ハイゼンベルク、1925年）は、位置、運動量、エネルギーといった古典物理学の変数の役割を引き継いだ演算子を定義するために、無限次元行列を用いた。^{[177] （これは}行列力学と呼ばれることもある。^[178]）。以来、有限次元行列と無限次元行列の両方が、量子力学において様々な目的に用いられてきた。具体的な例としては、密度行列が挙げられる。これは、物理系における測定結果の確率を計算する際に用いられるツールである。^{[179] [180]}

線形変換とそれに伴う対称性は、現代物理学において重要な役割を果たしている。例えば、量子場の理論における素粒子は特殊相対論のローレンツ群の表現として分類され、より具体的にはスピン群の下での挙動によって分類される。パウリ行列やより一般的なガンマ行列を含む具体的な表現は、スピノルとして挙動するフェルミオンの物理的記述の不可欠な部分である。^[181]最も軽い3つのクォークについては、特殊ユニタリー群SU(3)を含む群論的表現がある。物理学者はそれらの計算に、ゲルマン行列と呼ばれる便利な行列表現を使用する。これは、強い核相互作用の現代的な記述である量子色力学の基礎となるSU(3)ゲージ群にも使用されている。カビボ・小林・益川行列は、弱い相互作用に重要な基本的なクォークの状態が、特定の異なる質量を持つ粒子を定義する基本的なクォークの状態と同じではなく、線形関係にあるという事実を表現している。^[182]

実験素粒子物理学の基礎を成す散乱実験を記述するための重要なツールとして、もう一つの行列が用いられる。粒子加速器で発生する衝突反応では、相互作用しない粒子が互いに向かい合い、小さな相互作用領域で衝突し、その結果、新たな相互作用しない粒子群が生成される。この衝突反応は、出射粒子の状態と入射粒子の状態の線形結合のスカラー積として記述することができる。この線形結合はS行列と呼ばれる行列によって与えられ、粒子間の相互作用に関するあらゆる情報を符号化している。^[183]

通常モード

物理学における行列の一般的な応用は、線形結合した調和系の記述である。このような系の運動方程式は、質量行列に一般化速度を乗じて運動項を与え、力行列に変位ベクトルを乗じて相互作用を特徴付ける行列形式で記述することができる。解を得る最良の方法は、行列方程式を対角化することで系の固有ベクトル、すなわちその法線モードを決定することである。このような手法は、分子の内部ダイナミクス、すなわち相互に結合した構成原子からなる系の内部振動を記述する際に極めて重要である。^[184]また、機械振動や電気回路の振動を記述するためにも必要となる。^[185]

幾何光学

幾何光学は、さらなる行列の応用を提供する。この近似理論では、光の波動性は無視される。その結果、光線は実際には幾何光線であるというモデルが得られる。光学素子による光線の偏向が小さい場合、レンズまたは反射素子の光線に対する作用は、2成分ベクトルと2行2列の行列（光線伝達行列解析）の積として表すことができる。ベクトルの成分は光線の傾きと光軸からの距離であり、行列は光学素子の特性を表す。行列には2種類あり、レンズ面における屈折を記述する屈折行列と、基準面から次の屈折面への並進を記述する並進行列である。この屈折面には別の屈折行列が適用される。レンズと反射素子の組み合わせからなる光学系は、各成分の行列の積から得られる行列によって単純に記述される。^[186]

ジョーンズ計算は光源の偏光をベクトルとしてモデル化し、この偏光ベクトルに対する光学フィルタの効果を行列としてモデル化する。^[48]${\displaystyle 2\times 2}$

エレクトロニクス

線形部品（抵抗器、インダクタ、コンデンサなど）で構成される電子回路はキルヒホッフの回路法則に従い、線形方程式のシステムにつながります。この線形方程式は、回路の各ポイントでの電源電流と電圧を、結果として生じる電流と電圧に関連付ける行列方程式で記述でき、行列のエントリは回路によって決定されます。^[187]

歴史

行列は線形方程式を解くために長い歴史を持っていますが、1800 年代までは配列として知られていました。紀元前 10 世紀から 2 世紀にかけて書かれた中国のテキスト 『九章算術』は、同時方程式を解くために配列法を使用した最初の例であり、^[188]行列式の概念が含まれています。1545 年にイタリアの数学者ジェロラモ・カルダーノは、『アルス・マグナ』を出版し、この方法をヨーロッパに紹介しました。^[189]日本の数学者関 は、 1683 年に同じ配列法を使用して同時方程式を解きました。^[190]オランダの数学者ヤン・デ・ウィットは、 1659 年の著書『曲線原』 (1659) で配列を使用して変換を表現しました。^[191] 1700年から1710年にかけて、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは情報や解を記録するための配列の使用を公表し、50種類以上の異なる配列システムを実験しました。^[189]クラマーは1750年にその規則を発表しました^{。[192] [193]}

数学における「行列」という用語（19世紀にはラテン語から派生した「子宮」を意味する英語の単語であり、印刷学、生物学、地質学の専門用語でもあった^[194] ）のこの用法は、1850年にジェームズ・ジョセフ・シルベスターによって考案された^{[195]。彼は行列を、今日では}「小行列」と呼ばれる複数の行列式、つまり元の行列から列と行を削除することで得られるより小さな行列の行列式を生み出すオブジェクトと理解していた。1851年の論文で、シルベスターは次のように説明している^{[196] 。}

私は以前の論文で、「マトリックス」を、共通の親の子宮から生み出される可能性のあるさまざまな決定要因のシステムである項の長方形の配列として定義しました。

アーサー・ケイリーは、これまで行われてきたように係数を回転した行列ではなく、行列を用いた幾何学変換に関する論文を発表しました。彼は加減乗除などの演算をこれらの行列の変換として定義し、結合法則と分配法則が成り立つことを示し、行列乗算の非可換性と行列加算の可換性を調査し、実証しました。^[189]初期の行列理論では、配列の使用はほぼ行列式に限定されており、ケイリーの抽象行列演算は革命的でした。彼は方程式系に依存しない行列概念の提案に尽力しました。1858年、ケイリーは『行列理論に関する回想録』^{[197] [198]}を出版し、その中でケイリー・ハミルトン定理を提唱し、実証しました。^[189]

イギリスの数学者カスバート・エドマンド・カリスは1913年に初めて行列に現代的な括弧記法を使用し、同時にA = [ a _{i , j} ]という記法の最初の重要な使用法を示しました。ここでa _{i , j}はi行目とj列目を指します。 ^[189]

行列式の現代の研究は、いくつかの源から生まれました。^[199] 数論的問題から、ガウスは二次形式、つまりx ² + xy − 2 y ²などの式と、 3次元の線型写像の係数を行列に関連付けました。アイゼンシュタインは、現代の用語で、行列の積は非可換であるとの指摘を含め、これらの概念をさらに発展させました。コーシーは、行列式に関する一般的な命題を証明した最初の人物であり、行列A = [ a _{i , j} ]の行列式の定義として次を使用しました。多項式で、示された項の積を表す、a j k のべき乗を a j , k に置き換えます。 彼はまた_、¹⁸²⁹年に_{対称行列の}固有値が実数であることを示しました。 ^[200]ヤコビは「関数行列式」（後にシルベスターによってヤコビ行列式と呼ばれるようになった）を研究した。これは局所的（あるいは無限小）レベルでの幾何学的変換を記述するのに使用できる（上記参照）。 1903年に出版されたクロネッカーの『行列式理論のための序論』^[201]とワイエルシュトラスの『行列式理論について』^{[202]は、コーシーの公式といったそれ以前のより具体的なアプローチとは対照的に、初めて行列式を}公理的に扱った。この時点で、行列式は確固たる地位を確立した。^{[203] [199]} $${\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i}),}$$ ${\displaystyle \textstyle \prod }$

多くの定理は最初は小さな行列に対してのみ確立されました。例えば、ケーリー・ハミルトン定理は、前述の回想録の中でケーリーによって2×2行列に対して証明され、 4×4行列に対してはハミルトンによって証明されました。フロベニウスは双線型形式を研究しながら、この定理をすべての次元に一般化しました（1898年）。また、19世紀末には、ヴィルヘルム・ジョルダンによってガウス・ジョルダンの消去法（現在ではガウスの消去法として知られる特殊なケースを一般化したもの）が確立されました。20世紀初頭には、行列は線型代数学において中心的な役割を果たすようになりましたが、^[204]これは前世紀の超複素数系の分類に行列が用いられたことが一因です。 ^[205]

ハイゼンベルク、ボルン、ジョルダンによる行列力学の始まりは、無限の行と列を持つ行列の研究につながった。^[206]その後、フォン・ノイマンは、ヒルベルト空間上の線型作用素などの関数解析概念をさらに発展させることで、量子力学の数学的定式化を行った。ヒルベルト空間上の線型作用素は、非常に大まかに言えば、ユークリッド空間に対応するが、無限の独立した方向を持つ。^[207]

数学における「行列」という言葉のその他の歴史的用法

この単語は、少なくとも 2 人の歴史的に重要な著者によって珍しい方法で使用されています。

バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、著書『プリンキピア・マテマティカ』（1910–1913）の中で、還元公理の文脈において「行列」という言葉を用いている。彼らはこの公理を、任意の関数をより低い型へと順次還元する手段として提唱し、その結果、関数は「底」（0次）においてその拡張と同一となる。^[208]

変数の数に関わらず、見かけ上の変数を含まない関数を、行列と名付けましょう。すると、行列以外のあらゆる関数は、一般化を用いて行列から導出されます。つまり、当該関数がすべての可能な値、またはいずれかの引数の特定の値に対して真であり、他の引数は未定であるという命題を考慮することによって導出されます。

例えば、2つの変数xとyの関数Φ( x , y )は、変数xの代わりに「個体」a _iのあらゆる可能な値について関数を「考慮」することで、単一変数yの関数の集合に簡約できます。そして、結果として得られる単一変数yの関数の集合、すなわち∀ a _i : Φ( a _i , y )は、変数yの代わりに「個体」 b _iのあらゆる可能な値について関数を「考慮」することで、値の「行列」に簡約できます。 $${\displaystyle \forall b_{j}\forall a_{i}\colon \phi (a_{i},b_{j}).}$$

アルフレッド・タルスキは1941年の著書『論理学入門』の中で、「行列」という言葉を数理論理学で使われる真理値表の概念と同義語として使った。 ^[209]

参照

• 数学ポータル

• 名前付き行列のリスト
• グラム・シュミット過程 – ベクトル集合の直交化
• 不規則なマトリックス
• 行列計算 – 多変数計算のための特殊な表記法
• 行列関数 – 行列を行列にマッピングする関数Pages displaying short descriptions of redirect targets

注記

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参考文献

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さらに読む

• 「行列」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Petersen, Kaare Brandt; Petersen, Michael Syskind (2012年11月15日)、The Matrix Cookbook (PDF)、ウォータールー大学、 2014年3月24日閲覧
• Brookes, Mike (2005), The Matrix Reference Manual, London: Imperial College , 2008年12月16日時点のオリジナルよりアーカイブ, 2008年12月10日閲覧

外部リンク

• O'Connor, JJ; Robertson, EF (1996年2月)、「行列と行列式」、MacTutor数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• 行列と線形代数の初期の使用ページ
• 行列とベクトルの記号の初期の使用