公理体系
数学と論理学において、公理体系または公理系は演繹的論理構造の標準的なタイプであり、理論計算機科学でも用いられます。公理系は、他の命題の論理的演繹に用いられる公理と呼ばれる一連の形式的な命題から構成されます。数学において、公理系の論理的帰結は補題または定理と呼ばれることもあります。数学理論とは、公理系とそこから導かれるすべての定理を指す用語です。
公理体系における証明は、公理の帰結として新たな命題を確立する、一連の演繹手順である。公理体系自体は、意図的に統語論的構成物となっている。すなわち、書籍や技術論文では普通のことであるが、公理が自然言語で表現される場合、名詞は仮置き語として意図されている。公理的アプローチの使用は、名詞が現実世界の意味的価値を持つ可能性がある非形式的推論から、形式的証明へと移行することである。完全に形式的な設定では、述語計算などの論理体系を証明に使用しなければならない。形式的公理的推論の現代的な応用は、意味的考慮の排除と、使用する論理体系の仕様規定の両方において、従来の方法とは異なっている。
数学における公理的方法
命題の集合を特定の公理の集合に還元することは、数学研究の根底にある。この依存は、公理的方法の主要な金字塔がいくつか生まれた20世紀前半の数学において、非常に顕著で、かつ論争を巻き起こした。 1933年のアンドレイ・コルモゴロフの確率公理はその顕著な例である。[ 1 ]このアプローチは、数学者や数学を応用する人々の実践的な直観の一部を切り離していたため、「形式主義」と非難されることもあった。歴史的な文脈において、この形式主義とされるものは、現在では演繹主義として議論されており、数学に対する哲学的アプローチとして依然として広く用いられている。[ 2 ]
1900年までの公理体系のタイムライン
19世紀には主要な公理体系が発展しました。これには、非ユークリッド幾何学、ゲオルク・カントールの抽象集合論、そしてヒルベルトのユークリッド幾何学の修正主義公理などが含まれます。
| 日付 | 著者 | 仕事 | コメント |
|---|---|---|---|
| 紀元前4世紀から紀元前3世紀 | アレクサンドリアのユークリッド | 要素 | ユークリッド平面幾何学の現存する最古の公理的表現として知られ、数論の一部も含んでいる。[ 3 ] |
| 1677年出版 | バルーフ・スピノザ | Ethica、順序幾何学デモンストラータ | 1663年の『プリンキピア・フィロソフィア・デカルト哲学原理』と同様に、スピノザは『倫理学』においてユークリッドの「幾何学的方法」を用いていると主張した。現代の見解では、「自明の公理に基づく演繹的議論によって論点を証明しようとする志と、それらの論点の明白な源泉が人生経験、そしてせいぜい理論と直観の混合であるという点との間には、際立った対照がある」とされている。[ 4 ] |
| 1829 | ニコライ・ロバチェフスキー | О началах геометрии (「幾何学の起源について」) | ロバチェフスキーの論文は現在ではユークリッドの平行線公理なしで展開された公理的平面幾何学に関する最初の出版物として認められており、非ユークリッド幾何学という分野の基礎を築いたものである。 |
| 1879 | ゴットロープ・フレーゲ | 用語集 | フレーゲは数学の基礎となる形式体系を出版した。現代の言葉で言えば、それは恒等関係を持つ二階述語論理[ 5 ]であり、構文木のための線型記法で表現された。 |
| 1882/3年から1890年代 | ヴァルター・フォン・ダイク | 抽象群論の公理 | フォン・ダイクは、現在では標準的な群論公理の考案者として認められている。[ 6 ]フォン・ダイクが自由群を導入したことから、彼が抽象群という標準的な概念を扱っていたことは明らかである。しかし、逆元の存在が公理的であったかどうかは明らかではない。それは、群が置換群（置換は定義上可逆である）か、あるいは同じ性質を持つ幾何学的変換であるという意味論的仮定から導かれる。当時の議論のスタイルでは、こうした点に重きが置かれることはなかった。アメリカの「公準理論家」の一人であるジェームズ・ピアポントは、1896年までに群に関する一連の公理を確立していた。それは現代的なタイプのものであるが、例えば恒等元の一意性は仮定されていなかった。[ 7 ] |
| 1888 | リチャード・デデキント | 実数の構築 | デデキントがデデキント切断による実数の構成法を導入したとき、実数に対する公理はすでに数学的な伝承であった。それらのサブセットは、後に順序体を定義することになる。さらなる要件は、数学的極限の理論であった。[ 8 ]たとえば、実数直線が線型連続体を形成するという考えを捉えることは、歴史的なゼノンのパラドックスに対処すること、そして、 0.999... = 1 となるように小数表現が一意でないという問題を数学的証明によって明らかにすることを意味する。デデキントの実数公理のモデル化は、これらの問題に確固たる基盤を置いた。実際には、デデキント切断を使用して証明された定理は、実解析における基本的な結果であり、たとえば有理数のコーシー列を使用して他の構成に対しても証明することができた。言い換えれば、それらは検証可能な公理であり、その一例がアルキメデスの性質である。 |
| 1889 | ジュゼッペ・ペアノ | 算術原理、新手法解説 | 他の人によるそれ以前の研究を経て、ペアノの公理は自然数の算術演算と数学的帰納法の公理的基礎を提供し、広く受け入れられるようになりました。 |
| 1898 | アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド | 普遍代数学に関する論文 | ホワイトヘッドは、ジョージ・ブールが『論理と確率に関する基礎研究』で導入したブール代数の最初の公理体系を提示した。 [ 9 ] |
| 1899 | デイヴィッド・ヒルベルト | 幾何学の基礎 | 現在ヒルベルトの公理として知られる立体幾何学の改訂公理を発表した。 |
20世紀初頭の状況
デイヴィト・ヒルベルトは「数学の基礎を研究するための研究枠組みとして公理的方法を明確に採用した最初の人物」であった。[ 10 ]ヒルベルトにとって、主要な基礎問題はカントールの集合論の論理的地位であった。 1900年に発表された数学における23の未解決問題のリストにおいて、ヒルベルトは連続体仮説を最初の問題として挙げた。[ 11 ]
ヒルベルトの第六の課題は、「数学が重要な役割を果たす科学のあらゆる分野の公理化」を求めた。彼は少なくとも数理物理学と確率論の主要分野を念頭に置いていた。[ 12 ] [ 13 ]科学への影響について、ジョルジョ・イスラエルは次のように述べている。
数学者フェリックス・クラインによって設立されたゲッティンゲン学派は、ダヴィト・ヒルベルトの影響下、集合論、関数解析、量子力学、そして数理論理学へと研究の道を開いた。彼らは、確率論から理論物理学に至るまで、20世紀の科学に革命をもたらすことになる公理的方法を方法論として採用した。[ 14 ]
イスラエルはまた、少なくともフランスとイタリアにおいて、この「ドイツモデル」とその国際的な範囲に対する文化的抵抗についても言及している。[ 14 ]第1回国際数学者会議では、フランスのアンリ・ポアンカレの数理物理学に関する意見が聴取された。ヒルベルトのリストは第2回会議に提出された。[ 15 ]イタリア代数幾何学学派は、理論構築と教育における公理的研究に対して異なる態度をとった。[ 16 ]
1901年からの公理体系の年表
1950年までの期間、純粋数学の多くは広く受け入れられた公理的な基礎を獲得しました。公理的集合論においては複数の体系が共存していました。数学は、依然として非公式ではあるものの、より緊密で、より論理的でない文体で書かれるようになりました。
一方、ヒルベルトに関連する、公理的方法を根本的とみなすアプローチは批判にさらされた。LEJブラウワーによるヒルベルトの全プログラムに対する批判の一環として、アーレント・ハイティングによる直観主義命題論理の公理化が行われた。[ 17 ]これにより、ブラウワー＝ハイティング＝コルモゴロフ解釈という名称のもと、論理的計算の交換によって数学における構成主義と「演繹主義」の調和が可能になった。
| 日付 | 著者 | 仕事 | コメント |
|---|---|---|---|
| 1908年から1922年 | エルンスト・ツェルメロとエイブラハム・フランケル | ツェルメロ-フランケル集合論 | 1908年のツェルメロ集合論を基盤として、ツェルメロ・フランケル（ZF）理論は、明確な公理系（一階述語論理への制約を採用）を用いて集合論の公理的基盤を提供した。選択公理が追加されたことで、ZFC理論は古典数学の多くの部分の基礎理論となった。[ 18 ] |
| 1910 | エルンスト・シュタイニッツ | ケルパー代数学理論 | シュタイニッツは、クルト・ヘンゼルによるp進数の導入の影響を受けて、抽象代数学における体概念の公理的理論を与えた。[ 19 ] |
| 1911年から1913年 | アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセル | プリンキピア マテマティカ(3 巻) | 数学の公理的形式化の原理に捧げられた著作であり、集合論のパラドックスを型理論の特異なバージョン（型理論の分岐理論）によって解決した。この体系は外延性公理を含まない。[ 20 ] [ 21 ] |
| 1913 | ヘルマン・ワイル | リーマンシェーンのアイデア[ 22 ] | ワイルは複素解析のリーマン面の概念に公理的な扱いを与え、それを近傍系の観点から1次元の複素多様体として定義した。[ 23 ] |
| 1914 | フェリックス・ハウスドルフ | Grundzüge der Mengenlehre | この本には、ワイルの近傍の使用に基づいて、現在ハウスドルフ位相空間と呼ばれるものの公理が含まれていました。 [ 23 ] |
| 1915 | モーリス・フレシェ | 測度空間上の抽象測度 | ルベーグ測度と随伴積分の概念は、実数直線空間とユークリッド空間で初めて導入され、集合系でも公理的に扱われた。[ 24 ] |
| 1920 | ステファン・バナッハ | 完全ノルムベクトル空間 | これは現在ではバナッハ空間として知られ、関数解析の古典的な設定である。当初は実ベクトル空間が仮定されていた。[ 25 ] |
| 1921 | ジョン・メイナード・ケインズ | 確率論 | ケインズの著作は、 『プリンキピア・マテマティカ』の影響下において、確率を論理に従属させた。それは確率の解釈を公理的に扱った。 |
| 1921 | エミー・ネーター | リングベライヒェンの理想理論[ 26 ] | ネーターの論文は、イデアル上の上昇連鎖条件を可換環の公理として導入し、現在ネーター環と呼ばれるサブクラスを与えた。これにより、ヒルベルトの基底定理の直接的な帰納的証明が可能になった。また、抽象代数学における「時代」の始まりとも考えられている。[ 27 ] [ 28 ] |
| 1923 | ノーバート・ウィーナー | ウィーナー過程 | ウィーナーはブラウン運動の確率過程モデルを定義する尺度を構築した。[ 29 ] |
| 1932 | オズワルド・ヴェブレンとJHCホワイトヘッド | 微分幾何学の基礎（1932年） | この研究は、分離公理に関するいくつかの問題を除けば、微分多様体の公理的な定義を与えた [ 30 ]。 |
| 1932 | ジョン・フォン・ノイマン | 数学グルンドラーゲン・デア・クァンテンメカニク、ディラック・フォン・ノイマンの公理 | 量子力学の数学的定式化への貢献は、1927年のフォン・ノイマンの論文に遡り、量子力学の基礎となる諸研究の公理化を提案し、ポール・ディラックの記法を形式的にモデル化した。この論文では、抽象的なヒルベルト空間法と非有界作用素が用いられた。[ 31 ] |
| 1933 | アンドレイ・コルモゴロフ | 確率公理 | コルモゴロフの研究は、事実上、数学的確率を測度論に従属させつつ、その解釈を未開のまま残した。したがって、コルモゴロフは期待値をルベーグ積分上に構築した。[ 32 ] 20世紀初頭のゲオルク・ボルマン以降、数多くの公理的定式化がなされてきた。確率をシグマ加法集合関数として恣意的に決定したことは決定的であった。[ 33 ] |
| 1945 | サミュエル・アイレンバーグとノーマン・スティーンロッド | アイレンバーグ・スティーンロッド公理 | 代数位相幾何学におけるホモロジー理論の公理体系であり、ホモロジー類は抽象代数原理に基づいて編成されるべきであるとノイマンが提唱して以来の発展を反映している。[ 27 ] |
| 1945～1950年 | ローラン・シュワルツ | 分布理論 | シュワルツは、テスト関数の位相ベクトル空間の双対性を利用して、ディラックのデルタ関数と他のいくつかの形式的演算子法、および電流の幾何学的理論の統一的な公理的扱いを与えた。[ 34 ] |
20世紀半ばの状況
1950 年の数学の 3 つの顕著な特徴は次のとおりです。
- ブルバキグループによるフランスにおける『数学素』シリーズの継続的な刊行。基礎概念を百科事典的に扱うことを目指した。
- アンドレ・ヴェイユの『代数幾何学の基礎』の出版に続く、代数幾何学の基礎における動的な状況。
- 満足のいく公理的根拠を欠いた量子場理論(QFT)。
ブルバキ流の公理学
ブルバキの目的は、数学全体における以下の条件を満たす取り扱い方を追求することであった。(a) 集合論における簡素化された論理的基礎に基づく公理的であること。(b) ヒルベルトとゲッティンゲン学派の伝統を受け継ぎつつも、物理学と計算の必要性を排除すること。(c) 当時の発展をフランス流に受容すること。初期の研究は、20世紀初頭の古典解析学の標準教科書であるエドゥアール・グルサの『数学解析学講座』に対する若きトルコ人の鋭い反発と、 1930年代初頭のバルテル・レンダート・ファン・デル・ヴェルデンによる抽象代数学の教科書『現代代数学』の支持から始まった。[ 35 ]
1950年に発表された匿名論文（実際にはジャン・ディドネの著作）は、ブルバキの公理的手法に対する姿勢を説明した。[ 36 ] [ 37 ]公理的に作業することの主な利点は、数学的な「形式」、すなわち構造の「精緻化」にあると主張されている。これは基礎研究や推論の明確化よりも優先される。ディドネの著作は、当時のヒルベルトのアプローチからの逸脱であり、圏論の射が示唆する意味での構造への到達には至っていなかった。[ 37 ]
抽象多様体のタイムライン
有限体上の曲線に対するリーマン予想の証明を説明するために、ヴェイユは曲線のヤコビアンと交差理論のいくつかの結果を利用した。彼は複素数体ではなく、特性pの体上で研究していたため、古典的な結果を引き継ぐには純粋に代数的な証明が必要だった。さらに、彼はヤコビアンを「抽象多様体」、つまり複素射影空間に見られる射影代数多様体ではなく、本質的な数学的対象として構成した。
一世代後、ロビン・ハーツホーンによる教科書『代数幾何学』の出版により、「抽象多様体」はスキーム理論の中で標準的な定義を獲得した。[ 38 ]
| 日付 | 著者 | 仕事 | コメント |
|---|---|---|---|
| 1882 | リチャード・デデキントとハインリヒ・マルティン・ウェーバー | 代数関数の理論 | 複素数上定義された既約代数曲線Cとその関数体Fに対し、デデキントとウェーバーは、Fがその商体となるような部分環Rを考えた。 Rのイデアルの研究により、有限個の例外を除いてCの点が復元された。この設定はリーマン・ロッホの定理を証明するのに十分であった。[ 39 ] |
| 1910 | エルンスト・シュタイニッツ | 代数的閉包 | 任意の体Kは代数閉包を持つ。代数閉包とは本質的に唯一であり、Kに係数を持つ一変数多項式のすべての根からなる体である。[ 40 ]代数学の基本定理の内容は、複素数が実数の代数閉包であるということと等しい。任意の体K上の代数幾何学は、任意の個数の変数多項式系の代数閉包における解の集合を研究することとして考えることができる。 |
| 1911年頃～1921年頃 | ハインリヒ・コーンブルム (1890–1914)、エミール・アルティン | 局所ゼータ関数 | 等差数列に関するディリクレの定理の多項式環類似体に関するコーンブルムの学位論文がL-関数の非零性の類似体を使った後、有限体上の超楕円曲線に関するアルティンの学位論文では、現在では有限体上の多様体の局所ゼータ関数と呼ばれる生成関数について議論した。[ 41 ]有理関数であるため、それは明らかな極を持ち、その零点はリーマン予想の類似体として研究対象となった。 |
| 1931 | フリードリヒ・カール・シュミット | 曲線の局所ゼータ関数の関数方程式 | ヴェイユは、リーマンの関数方程式の類似を証明するためにリーマン・ロッホの定理を適用したシュミットの研究と、楕円曲線に関するハッセの定理は、どちらもデデキント・ウェーバー基底の直接的な拡張を用いているとコメントした。これは、有限体の代数的閉包を定数体としてとらえたものである。[ 42 ] |
| 1932 | ヴォルフガング・クルル | アルゲマイネの理論理論[ 43 ] | クルルは付値概念の公理を与えた。代数多様体の関数体の付値の集合は、その多様体の双有理幾何学と関連しているが、曲線の場合のみ、多様体の点との関係は単純である。付値に基づく場所という用語法は、幾何学者オスカー・ザリスキとシュリーラム・アビヤンカールによって用いられた。[ 44 ]ザリスキは、自身の研究は1930年代からデデキント＝ウェーバー論文の影響を受けていると述べている。[ 39 ] |
| 1941 | アンドレ・ヴェイユ | 抽象的な多様性 | 1941年春、プリンストン大学で有限体上の曲線に対するリーマン予想の完全な証明を試みる中で、ヴェイユは代数閉包上のヤコビ多様体を用いる必要に迫られた。後に彼は、エミー・ネーター学派の代数学者たちはイタリア幾何学者の双有理的見解に近すぎると指摘した。対称積を介したヤコビ多様体への双有理的アプローチでは、彼の要求は満たされなかった。彼は加法構造を持つヤコビ多様体の「断片」を「抽象」多様体として用いた。その後、この考えがフランチェスコ・セヴェリの『代数幾何学入門：第1部 線形多様体』（1926年）、283～284頁で示唆されていたことを発見した。 [ 45 ] |
| 1944 | オスカー・ザリスキ | ザリスキの抽象リーマン面（多様体） | アフィン空間に対して代数集合を閉集合にするザリスキ位相は、 1941年頃、ザリスキがプリンストン大学で行った講演をきっかけに生まれた。[ 46 ]数学的な伝承となってから数年後、ザリスキは付値に関する関連結果を発表した。体Kと部分環Aに対して、ザリスキはAを含み商体がKに等しいKの付値環の集合を考えた。K のこのようなすべての付値環のこれらの部分集合は位相に対する開集合の基底となり、ザリスキは幾何学的なケースにおいて付値環の空間がそれによって準コンパクトになる（つまり、一般のハウスドルフ空間ではないが、コンパクト空間の開被覆特性を持つ）ことを証明した。[ 47 ] |
| 1942～1944年 | アンドレ・ヴェイユ | 抽象多様体のチャート | ヴェイユ自身の説明によれば、数年後に出版された『代数幾何学の基礎』第7章は、いくつかの仮定の下で執筆されていた。彼は、ヴェイユ、ハウスドルフ、ヴェブレン、ホワイトヘッドが適用した、彼自身の言葉で言うところの「地図学的方法」を採用した。彼は、多様体に関する文献には未だ掲載されておらず、双有理幾何学と関連づけられていたザリスキ位相を一切用いなかった。彼は交叉数を局所的にのみ定義した。[ 48 ] |
| 1954年頃 | クロード・シュヴァレー | スキーマ（マーク I） | シュヴァレーは、付値に関連する局所環のような局所環の集合からなる基礎概念に至った。 [ 49 ]彼は1954年に日本でこの概念について講義した。[ 50 ]層理論の導入により、これは環付き空間とみなされるようになった。この定義は過渡的なものである。 |
| 1956年頃 | アレクサンダー・グロタンディーク | スキーム理論 | 代数幾何学の公理的・抽象的な基礎付けの新たな出発点は、各点が Spec( A )の形の近傍を持つ環空間としてスキームを定義することだった。ここでAは可換環であり、Spec は可換環のスペクトルを意味し、点は素イデアルである。グロタンディークは 1956 年にシュヴァレーのセミナーでネーター環の理論に取り組んでいた。この理論はグロタンディークとディエドネが共著し 1958 年に始まった一連の書籍Éléments de géométrie algébriqueで展開された。 [ 51 ] |
公理的場理論
場の量子論の妥当な公理、すなわちワイトマン公理は、アーサー・ワイトマンによって導入された。これらの公理の非自明な例の必要性から、 1960年代半ばにワイトマンの指導の下、アーサー・ジャッフェとオスカー・ランフォードの博士論文によって開始された構成的量子場理論が生まれた。 [ 52 ]
公理体系についての議論
数学において、公理化とは、知識体系を取り上げ、その公理へと遡って考察していく過程である。これは、いくつかの基本的な用語を関連付ける命題体系（すなわち公理）を定式化し、これらの命題から一貫した命題体系を演繹的に導出できるようにすることである。これにより、あらゆる命題の証明は、原則として、これらの公理に遡って可能となる。公理化には通常、選択が伴い、理論が公理化されると、そこから導かれる数学的結果に影響を与えることなく、公理の集合を変更することが可能になる場合がある。
公理と公準
古代ギリシャ論理学においては、公理と公準の対比が認識されていた（ただし、「公準」は中世ラテン語に由来する英語である）。この対比は、公理が共通の基盤となるべき基本的な概念について語るものであり、公準は議論のための「要求」または「要請」であると一貫して適用されていたわけではない。アリストテレスは公準について最小限の見解しか示していなかった。[ 53 ]
1840年代のブールの研究以来、論理代数学の伝統においては、論理そのものは「公理」のみから発展してきた。19世紀末までに、ミニマリスト的見解は公理の独立性に関する研究を意味するものと解釈されるようになった。数学的な優雅さも考慮された。[ 54 ]フリードリヒ・シューアは、 『幾何学の基礎』で示されたヒルベルトの幾何学における公理の独立性の欠如を批判した。[ 55 ]
仮説分析のタイムライン
スーザン・ステビングによれば、公準分析とは「演繹体系の構築」において用いられるものである。[ 56 ]これは公理体系の修正や調整に用いられる用語である。公理は体系に追加されることもあれば、体系から削除されることもあり、強化されることもあれば、弱められることもある。演繹に用いられる論理的計算法を変更することも可能です。
| 日付 | 著者 | 仕事 | コメント |
|---|---|---|---|
| 紀元前4世紀から紀元前3世紀 | アレクサンドリアのユークリッド | 要素 | ユークリッドが用いたギリシャ語の用語はαἰτήματα（アイテマタ）であった。[ 53 ]標準的な英語訳は「postulate（仮定）」である。[ 57 ] |
| 1882 | モーリッツ・パッシュ | パッシュの公理 | パッシュは平面幾何学の公理を導入したが、これはユークリッドによって証明されたものではなく、彼が暗黙のうちに使用していたものであった。[ 58 ]それはユークリッドの公理の結果ではなく、つまりユークリッドの体系とは 独立していた。 |
| 1890年から1930年頃 | アメリカンスクール | 公理理論 | エイブラムスは「アメリカ合衆国の数学は、19世紀初頭からフランスやドイツなどで既に発展していた内向きの精査と理論的厳密さに沿って発展し始めた」と記している。「公準理論」は、アメリカ純粋数学におけるこの独特の潮流において主要な役割を果たした。[ 59 ]スキャンランは、この学派の「数学理論の公理化の基準」と「独立性、完全性、一貫性といったメタ理論的性質」に関する研究を指摘している。E・V・ハンチントンとオズワルド・ヴェブレンはこの学派の代表的人物である。彼らはE・H・ムーアとロバート・リー・ムーアとともに、公理的数学の国際的な推進に大きく貢献した。[ 60 ] [ 61 ] |
| 1904 | オズワルド・ヴェブレン | カテゴリー理論 | ヴェブレンは、本質的にただ一つのモデルしか持たない理論をカテゴリー的と呼んだ。[ 62 ] |
| 1910 | アクセル・トゥー | 特別な問題を解決するために問題を解決する | 普遍代数学の一側面である方程式理論に対する単語問題を導入した。[ 63 ] [ 64 ] |
| 1915 | レオポルド・レーヴェンハイム | 相対性理論のユーバー モーグリヒケイテン | 現在レーヴェンハイム＝スコーレム定理として知られる定理の最初の形態であり、一階述語論理の基礎研究における役割を分離する大きな一歩となった。彼の研究は1920年代にトラルフ・スコーレムによって明確化され、強化された。 [ 65 ] |
| 1926 | アドルフ・リンデンバウム | リンデンバウム・タルスキー代数 | リンデンバウムの研究は代数論理学につながった。[ 66 ] |
| 1933 | アルフレッド・タルスキ | 真実の定義 | タルスキのアプローチは、「オブジェクト言語」とそれを記述するために使用されるメタ言語を明確に区別し、第一階述語論理の項に対する構造的帰納法による真理定義に基づくモデル理論につながった。 [ 67 ] |
| 1935 | ギャレット・バーコフ | HSP定理 | バーコフは、ホワイトヘッドの一世代前の著書のタイトルを意識的に引用し、「代数の多様体」という概念を中心に普遍代数を再構築した。ブール代数や四元数といったより古い例においては、自由代数や、オーイステイン・オーレがノイマンの抽象代数学派の文脈で用いたモジュラー格子といった順序理論からの応用が動機となった。[ 68 ] |
| 1950年代 | バークレーのタルスキ学校 | 古典モデル理論 | モデル理論は1942年からカリフォルニア大学バークレー校のタルスキの学生によって主に開発され、以前の研究を活用して、数理論理学における公理系の原理的な意味論を生み出しました。[ 69 ] |
| 2024 | テレンス・タオ | 方程式理論プロジェクト[ 70 ] | マグマに対する方程式論理の理論を完全に較正するプロジェクト。二項演算は最大4回しか使用されない。理論の半順序付けにより、 TがUによって示唆されるすべての定理を含意する場合、T≤Uが成立する。このプロジェクトの目的は、≤のすべてのケースを決定し、半順序の正確なハッセ図を描くことであった。場合によっては証明支援ソフトウェアが使用された。このプロジェクトは2025年4月に完了した。[ 71 ] |
プロパティ
公理系の重要な特性は、一貫性、相対的一貫性、完全性、独立性の4つである。公理系は、矛盾がない場合に一貫性があると言われる。つまり、その公理系から、ある命題とその否定の両方を導くことは不可能である。[ 72 ] 一貫性は、ほとんどの公理系にとって重要な要件である。なぜなら、矛盾があれば、どんな命題でも証明できるからである（爆発の原理）。相対的一貫性は、公理系の一貫性を証明できない場合に関係する。しかし、場合によっては、公理系Aが一貫性を持ち、別の公理系Bが一貫性を持つことを示すことができる。[ 72 ]
公理体系において、ある公理が他の公理から証明または反証できない場合、その公理は独立していると呼ばれる。ある体系は、その基礎となる公理がそれぞれ独立している場合、独立していると呼ばれる。 [ 72 ]一貫性とは異なり、多くの場合、独立性は公理体系が機能するために必須の要件ではないが、通常は体系内の公理の数を最小限に抑えるために独立性が求められる。
公理系は、すべての文に対して、それ自身またはその否定が系の公理から導出可能である場合、つまり、すべての文が公理を使用して真か偽かが証明できる場合、完全であると呼ばれます。 [ 72 ] [ 73 ]ただし、場合によっては、文が証明できるかどうかが 決定できない場合があることに留意してください。
公理とモデル
公理体系のモデルとは、体系内で定義された関係に合致する方法で、体系内に提示された未定義の用語に意味を割り当てる形式的な構造である。公理体系にモデルが存在する場合、その公理は満たされていると言われる。[ 74 ]公理体系を満たすモデルの存在は、体系の一貫性を証明する。 [ 75 ]
モデルは、システム内の公理の独立性を示すためにも使用できます。特定の公理を持たないサブシステムのモデルを構築することで、省略された公理の正しさが必ずしもサブシステムから導かれるわけではない場合でも、その公理が独立であることを示します。[ 74 ]
2つのモデルは、それらの要素間に1対1の対応関係が見られ、かつそれらの関係が維持される場合、同型であると言われる。 [ 76 ]すべてのモデルが他のモデルと同型である公理系は、カテゴリカルまたはカテゴリアルと呼ばれる。しかし、この用語を圏論のトピックと混同してはならない。カテゴリ性（カテゴリシティ）という性質はシステムの完全性を保証するが、その逆は真ではない。完全性はシステムのカテゴリ性（カテゴリシティ）を保証するものではない。なぜなら、2つのモデルは、システムの 意味論では表現できない性質が異なる場合があるからである。
不完全さ
形式体系が完全でない場合、すべての証明が、それが属する体系の公理に遡って証明できるとは限りません。例えば、数論的な命題が算術言語（すなわちペアノ公理の言語）で表現可能であり、位相幾何学や複素解析学に依拠した証明が与えられているかもしれません。しかし、ペアノ公理のみから導出される別の証明が見つかるかどうかは、すぐには明らかではないかもしれません。
参照
- 公理スキーマ – 真であるとされる一連のステートメントの短い表記
- 形式体系 – 演繹や証明システムのための数学モデル
- ゲーデルの不完全性定理 – 数理論理学における極限的結果
- ヒルベルト式演繹体系 – 論理における形式的演繹体系リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
- 論理の歴史
- 論理における公理系の一覧
- 論理システムの一覧
- 論理主義 – 数学哲学の学派
- ツェルメロ・フランケル集合論 – 公理的集合論の標準体系
参考文献
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さらに読む
- 「公理的方法」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
- Eric W. Weisstein, Axiomatic System、MathWorld—Wolfram Web Resourceより。Mathworld.wolfram.com & Answers.com
