調和座標

数学の一分野であるリーマン幾何学において、調和座標は滑らかな多様体上のある種の座標チャートであり、多様体上のリーマン計量によって決定されます。調和座標は、その正則性のために、 幾何学的解析の多くの問題で有用です

二次元においては、等温座標として知られる特定の調和座標が1800年代初頭から研究されてきました。高次元における調和座標は、当初はアルベルト・アインシュタインとコルネリウス・ランチョスによって、ローレンツ幾何学と一般相対論の文脈で開発されました（調和座標条件を参照）。[ 1 ] 1981年のデニス・デタークとジェリー・カズダンの研究に続き、調和座標は幾何学解析の文献において重要な役割を果たすようになりましたが、5年前にイジャド・サビトフとSZ・シェフェルが同様の発見をしていました。[ 2 ]

定義

( M , g )をn次元のリーマン多様体とする。Mの開集合U上で定義された座標チャート( x 1 , ..., x n )が調和関数であるとは、個々の座標関数x iがU上の調和関数であることを意味する。[ 3 ]つまり、

Δg×i＝0{\displaystyle \Delta^{g}x^{i}=0.\,}

ここで、 ∆ gはラプラス・ベルトラミ作用素である。自明なことに、座標系が調和写像となるのは、U → ℝ nとして座標が調和写像となる場合のみである。ラプラス・ベルトラミ作用素の局所定義を用いて直接計算すると、( x 1 , ..., x n )が調和座標系となるのは、

∑i＝1n∑j＝1ngijΓijk＝0 すべてに対して k＝1、…、n、{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\Gamma _{ij}^{k}=0{\text{ }}k=1,\ldots ,n, に対して}

ここでΓk ijは与えられたチャートのクリストッフェル記号である。 [ 4 ]固定された「背景」座標チャート（V、y）を基準として、 （x 1、...、x n）をユークリッド空間の開集合上の関数x ∘ y −1の集合として見ることができる。xに関する計量テンソルは、 yに関する計量テンソルから、x ∘ y −1の1次導関数に関する局所計算によって得られるため、xに関するクリストッフェル記号はx ∘ y −1の2次導関数から計算される。したがって、上記の調和座標の両方の定義は、座標関数の 2次偏微分方程式に関係するという質的特徴を持っている。

クリストッフェル記号の定義を用いると、上記の式は次の式と等価である。

2∑i＝1n∑j＝1ngij∂gjk∂×i＝∑i＝1n∑j＝1ngij∂gij∂×k.{\displaystyle 2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}.}

存在と基礎理論

調和座標は常に（局所的に）存在し、これは楕円偏微分方程式の解の存在と正則性に関する標準的な結果から容易に導かれる結果である。[ 5 ] 特に、方程式∆g u j = 0は、 u ( p )とdu pの両方が規定されるように、任意の与えられた点pの周りの開集合に解を持つ。

調和座標における計量に関する基本的な正則性定理は、計量の成分が何らかの座標チャートで表現されたときにヘルダー空間C k , α内にある場合、チャート自体の滑らかさに関係なく、その座標チャートから任意の調和座標チャートへの遷移関数はヘルダー空間C k + 1, α内にあるというものです。[ 6 ]特に、これは計量が調和座標チャートに対してもC k , α内にあることを意味します。 [ 7 ]

1922年にコルネリウス・ランチョスによって初めて発見されたように、調和座標チャートに対するリッチ曲率は次のように表される。

Rij＝−12∑a、b＝1ngab∂2gij∂×a∂×b+∂g∗∂g∗g−1∗g−1.{\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\sum _{a,b=1}^{n}g^{ab}{\frac {\partial ^{2}g_{ij}}{\partial x^{a}\partial x^{b}}}+\partial g\ast \partial g\ast g^{-1}\ast g^{-1}.}

この式の基本的な側面は、任意の固定されたiとjに対して、右辺の最初の項が局所的に定義された関数g ijに適用された楕円演算子であるという点です。したがって、楕円の正則性、特にSchauder の推定値から、gがC 2であり、調和座標チャートに対してRic(g)がC k、 αである場合、同じチャートに対してgがC k + 2、 αであることが自動的にわかります。 [ 8 ]より一般的には、gがC k、 α ( kは1 より大きい)であり、一部の座標チャートに対してRic(g)がC l、 αである場合、調和座標チャートへの遷移関数はC k + 1、 αになり、調和座標チャートではRic(g)がC min( l、k )、 αになります。そのため、前の結果により、調和座標チャートではg がC min( l、k ) + 2、 αになります。[ 9 ]

ランチョスの公式をさらに応用すると、アインシュタイン計量は調和座標において解析的であることがわかる。 [ 10 ]特に、これは滑らかな多様体上の任意のアインシュタイン計量が、調和座標チャートの集合によって与えられる多様体上の 解析構造を自動的に決定することを示している。

上記の解析により、調和座標を議論する際には、少なくとも2回連続的に微分可能なリーマン計量を考慮するのが標準的である。しかし、より特殊な関数空間を用いることで、調和座標の存在と正則性に関する上記の結果は、計量が非常に弱い正則性を持つ設定にも拡張できる。[ 11 ]

漸近平坦空間における調和座標

調和座標は、漸近平坦リーマン多様体の幾何学的性質を理解するためにロバート・バートニックによって使用された。[ 12 ]完全なリーマン多様体( M、g )があり、Mのコンパクト部分集合Kと、M ∖ Kからℝ n ∖ B R (0)への微分同相写像Φがあり、ℝ n ∖ B R (0)上の標準ユークリッド計量δに対してΦ * gは、上下に正の数で一様に制限される固有値を持ち、xが無限大に発散すると、ある正確な意味で(Φ * g )( x )はδに収束すると仮定する。このような微分同相写像は、無限大における構造または( M、g )の漸近平坦座標として知られている。[ 13 ]

バートニックの主な結果は、漸近平坦座標の集合（空でない場合）は単純な漸近構造を持ち、任意の2つの漸近平坦座標間の遷移関数は、ほぼ無限大でアフィン変換によって近似されるというものである。[ 14 ]これは、漸近平坦リーマン多様体のADMエネルギーが漸近平坦座標の選択に依存しない幾何学的不変量であることを確立する上で重要である。 [ 15 ]

この事実を証明する鍵となるツールは、任意の漸近平坦座標（M , g）を調和的な漸近平坦座標で近似することである。鍵となる技術的作業は、M上の関数の特定のバナッハ空間の間で作用するラプラス・ベルトラミ作用素に対するフレドホルム理論を確立することである。[ 16 ]そして、任意の漸近平坦座標Φが与えられたとき、

ΔgΦk＝−∑i＝1n∑j＝1ngijΓijk、{\displaystyle \Delta^{g}\Phi^{k}=-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}g^{ij}\Gamma_{ij}^{k},}

は無限大で減衰しますが、フレドホルム理論から、Δ g Φ k = Δ g z kとなるような無限大で減衰する関数z kが存在し、したがってΦ k − z kは調和関数であることが分かります。これにより、望ましい漸近平坦な調和座標が得られます。次に、バートニックの主な結果は、M上の漸近的に減衰する調和関数のベクトル空間がn + 1次元を持つという事実から得られ、その結果、M上の任意の2つの漸近平坦な調和座標はアフィン変換によって関連付けられることになります。[ 17 ]

バートニックの研究は、漸近平坦座標の存在を前提としている。彼の手法を基に、坂東重俊、加末篤、中島啓は、点からの距離に対する曲率の減衰、大きな測地球の体積の多項式増加、そしてそれらの補集合の単純連結性から、漸近平坦座標の存在が示唆されることを示した。[ 18 ]重要な点は、彼らの幾何学的仮定が、後述する調和半径に関するいくつかの結果を通じて、無限大近傍の領域における調和座標を良好に制御できるという点である。これらの調和座標は、単位分割を用いることで、単一の座標チャートにまとめることができ、これが本研究の主目的である。[ 19 ]

調和半径

マイケル・アンダーソンによる基本的な結果は、滑らかなリーマン多様体、0 から 1 までの任意の正の数α 、任意の正の数Qが与えられたとき、 α、Q、リッチ曲率の上限と下限、次元、および入射半径の正の下限に依存する数rが存在し、半径r未満の任意の測地球が調和座標の定義域となり、これに対してgのC 1, αサイズとgのユークリッド計量への均一な近さは両方ともQによって制御される、というものである。[ 20 ]これはまた、尖端リーマン多様体の「ノルム」の観点から再定式化することができ、スケールrにおけるC 1, αノルムは、定義域が半径rの測地球である調和座標のQの最適値に対応する。[ 21 ]アンダーソンの研究の前後を問わず、様々な著者がこのような「調和半径」の推定値のバージョンを発見している。[ 22 ]証明の本質的な側面は、楕円偏微分方程式の標準的な方法を用いて、調和座標チャートにおけるリッチ曲率のランチョス公式を解析することである。 [ 23 ]

したがって、大まかに言えば、調和座標の使用は、リーマン多様体が、リーマン計量の局所表現がリーマン多様体自体の定性的な幾何学的挙動によってのみ制御される座標チャートによって覆われることを示しています。 1970年にジェフ・チーガーが提唱したアイデアに従えば、一様に幾何学的に制御されたリーマン多様体の列を考えることができ、その座標を用いて「極限」リーマン多様体を組み立てることができます。[ 24 ]このような「リーマン収束」の性質により、例えば、微分同相写像を除けば、リッチ曲率と直径に一定の上限を持ち、かつ入射半径に一定の正の下限を持つリーマン計量を許容する、与えられた次元の滑らかな多様体は有限個しか存在しないことになります。[ 25 ]

このような調和半径の推定は、幾何学的に制御されたカットオフ関数、ひいては1の分割を構成するためにも用いられる。例えば、関数の2次共変微分を局所的に定義された2次偏微分によって制御するには、計量の局所表現の1次微分を制御する必要がある。このような構成は、非コンパクトリーマン多様体上のソボレフ空間の基本的な側面を研究する上で基礎となる。 [ 26 ]

参考文献

脚注

  1. ^アインシュタイン 1916 ;ランチョス1922
  2. ^デタークとカズダン 1981 ;サビトフ＆シェフェル 1976 年。
  3. ^ベッセ 2008、p. 143;ヒーベイ 1999 年、p. 13;ピーターセン 2016、p. 409;酒井 1996、p. 313.
  4. ^ DeTurck & Kazdan 1981、補題 1.1。
  5. ^ベッセ 2008、p. 143; Petersen 2016、補題 11.2.5。
  6. ^ DeTurck & Kazdan 1981、補題 1.2; Besse 2008、命題 5.19。
  7. ^ DeTurck & Kazdan 1981、定理 2.1。
  8. ^ DeTurck & Kazdan 1981、定理 4.5(b); Besse 2008、定理 5.20b。
  9. ^ DeTurck & Kazdan 1981、定理 4.5(c)。
  10. ^ DeTurck & Kazdan 1981、定理 5.2; Besse 2008、定理 5.26。
  11. ^ Taylor 2000、セクション3.9および3.10。
  12. ^バートニック 1986 .
  13. ^ Bartnik 1986、定義 2.1;リーとパーカー 1987 年、p. 75-76。
  14. ^ Bartnik 1986、系 3.22; Lee & Parker 1987、定理 9.5。
  15. ^ Bartnik 1986、定理 4.2; Lee & Parker 1987、定理 9.6。
  16. ^ Bartnik 1986、セクション 1 および 2; Lee & Parker 1987、定理 9.2。
  17. ^ Bartnik 1986、p. 678;リーとパーカー 1987 年、p. 78.
  18. ^坂東、加末、中島 1989、定理 1.1 および注釈 1.8(2)。
  19. ^坂東、加末、中島 1989 年、pp. 324–325。
  20. ^ Anderson 1990、補題2.2; Hebey 1999、定義1.1および定理1.2。
  21. ^ Petersen 2016、セクション11.3.1および11.3.4。
  22. ^ Hebey 1999、定理 1.2; Petersen 2016、定理 11.4.15;酒井 1996、定理 A6.10。
  23. ^アンダーソン 1990、434-435頁;ピーターセン 2016、427 , 429頁。
  24. ^ Anderson 1990、補題2.1; Petersen 2016、定理11.3.6と系11.3.7と11.3.8; Sakai 1996、313ページ。
  25. ^ Anderson 1990、定理1.1; Petersen 2016、系11.4.4; Sakai 1996、備考A6.12。
  26. ^ Hebey 1999、命題3.2、命題3.3、定理3.4、定理3.5。

教科書

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