ニュートンの運動の法則
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ニュートンの運動法則は、物体の運動とそれに作用する力の関係を記述する3つの物理法則です。ニュートン力学の基礎となるこれらの法則は、次のように言い換えることができます。

  1. 物体は、力が作用しない限り、静止したまま、または一定の速度で直線的に運動し続けます。
  2. どの瞬間においても、物体に働く正味の力は、物体の加速度にその質量を乗じた値、つまり物体の運動量が時間とともに変化する速度に等しくなります。
  3. 2つの物体が互いに力を及ぼす場合、これらの力は同じ大きさですが、方向は反対です。[ 1 ] [ 2 ]

運動の三法則は、アイザック・ニュートンが1687年に出版した著書『自然哲学の数学的原理』の中で初めて提唱されました。 [ 3 ]ニュートンはこれらの法則を用いて、多くの物体やシステムの運動を研究し、説明しました。ニュートンの死後、特にエネルギーの概念を中心とした新たな洞察が、彼の法則を基盤として古典力学の分野を築き上げました。近代において、ニュートンの法則には限界が発見され、より極端な場合の物体の物理学を扱う量子力学や相対性理論といった新たな理論が発展しました。

前提条件

ニュートンの法則は、しばしば点または粒子の質量、つまり体積が無視できる物体を用いて述べられる。これは、内部の運動が無視でき、かつ物体間の距離がそれぞれの物体の大きさよりもはるかに大きい場合、実在の物体に対して妥当な近似となる。例えば、地球と太陽は、前者が後者の周りを公転する軌道を考えると、どちらも点状として近似できるが、地球は表面上の活動を考慮すると点状ではない。[注 1 ]

運動の数学的記述、すなわち運動学は、数値座標を用いて位置を特定するという考えに基づいています。動きは、時間とともに変化するこれらの数値によって表されます。物体の軌道は、時間変数の各値にすべての位置座標の値を割り当てる関数によって表されます。最も単純なケースは1次元の場合、つまり物体が直線に沿ってのみ移動するように制約されている場合です。その場合、物体の位置は、選択された基準点に対する相対的な位置を示す単一の数値で表すことができます。例えば、物体が左から右に走る軌道に沿って自由に滑走できる場合、その位置は、都合の良いゼロ点、つまり原点からの距離によって特定できます。負の数値は左方向の位置を示し、正の数値は右方向の位置を示します。物体の位置を時間の関数として とすると、 からまでの時間間隔における平均速度は[ 6 ]となります。ここで、ギリシャ文字（デルタ）は、伝統的に「 における変化 」を意味します。平均速度が正であることは、位置座標が当該区間にわたって増加することを意味し、平均速度が負であることは、当該区間にわたって純減少することを示し、平均速度が 0 であることは、物体が時間区間を開始した場所と同じ場所で終了することを意味する。微積分学は、瞬間速度を定義する手段を与える。瞬間速度とは、区間全体ではなく、ある瞬間における物体の速度と移動方向の尺度である。瞬間速度の表記法の 1 つは、記号 に置き換えることである。例えば、は記号 に置き換える。これは、瞬間速度が時間に関する位置の導関数であることを示す。これは、おおよそ、位置の微小な変化と、それが起こる微小な時間区間との比と考えることができる。 [ 7 ]より慎重に、速度とその他すべての導関数は、極限の概念を使用して定義することができる。[ 6 ]関数が特定の入力値においての極限を持つ場合、と の差は、に十分近い入力を選択することで任意に小さくすることができる。瞬間速度は、時間間隔がゼロに近づくにつれて平均速度が極限に達すると定義できます。加速度は速度に関係し、速度は位置に関係します。つまり、それは時間に対する速度の微分です。[注 2 ]s（t）{\displaystyle s(t)}t0{\displaystyle t_{0}}t1{\displaystyle t_{1}}ΔsΔt＝s（t1）−s（t0）t1−t0。{\displaystyle {\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}.}}Δ{\displaystyle \Delta }s{\displaystyle s}Δ{\displaystyle \Delta }d{\displaystyle \mathrm {d} }v=dsdt.{\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}.}ds{\displaystyle \mathrm {d} s}dt{\displaystyle \mathrm {d} t}f(t){\displaystyle f(t)}L{\displaystyle L}t0{\displaystyle t_{0}}f{\displaystyle f}L{\displaystyle L}t0{\displaystyle t_{0}}limt→t0f(t)=L.{\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(t)=L.}dsdt=limΔt→0s(t+Δt)−s(t)Δt.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}.}加速度も同様に極限として定義することができる。したがって、加速度は位置の2次導関数であり、 [ 7 ]と表記されることが多い。 a=dvdt=limΔt→0v(t+Δt)−v(t)Δt.{\displaystyle a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}.}d2sdt2{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}}

位置は、原点からの変位と考えると、ベクトル、つまり大きさと方向の両方を持つ量です。[ 9 ] : 1 速度と加速度もベクトル量です。ベクトル代数という数学的ツールは、2次元、3次元、またはそれ以上の次元での運動を記述する手段を提供します。ベクトルは、 のように矢印で示される か、 のように太字で示されることがよくあります。ベクトルは視覚的には矢印で表され、ベクトルの方向は矢印の方向、ベクトルの大きさは矢印の長さで示されます。数値的には、ベクトルはリストで表すことができます。たとえば、物体の速度ベクトルは であり、これは水平軸に沿って毎秒3メートル、垂直軸に沿って毎秒4メートルで移動していることを示します。異なる座標系で記述された同じ運動は異なる数値で表され、ベクトル代数を使用してこれらの代替数値間で変換できます。[ 9 ] : 4 s→{\displaystyle {\vec {s}}}s{\displaystyle {\bf {s}}}v=(3 m/s,4 m/s){\displaystyle \mathbf {v} =(\mathrm {3~m/s} ,\mathrm {4~m/s} )}

力学の研究は、エネルギーなどのよく使われる言葉が技術的な意味で使われているため複雑です。 [ 10 ] [ 11 ]さらに、日常会話では同義語になっている言葉が物理学ではそうではありません。たとえば、力は力や圧力と同じではなく、質量は重さとは異なる意味を持ちます。[ 12 ] [ 13 ] : 150 物理学における力の概念により、押す、引くといった日常的な動作が定量化されます。ニュートン力学における力は、弦やロープ、摩擦、筋肉の作用、重力などによって生じることが多いです。変位、速度、加速度と同様に、力はベクトル量です。

法律

第一法則

キャプションを参照
人工衛星は地球の重力の影響で直線軌道ではなく曲線軌道に沿って移動します。

コーパス omne perseverare は、状況を静止し、移動の均一性を直接的に保ち、状況を認識し、状況を印象付けます。

翻訳：

すべての物体は、外力によって強制的に状態を変えさせられない限り、静止状態または直線上で等速運動した状態を維持する。[注 3 ]

ニュートンの第一法則は慣性の原理を表しています。物体の自然な挙動は、一定の速度で直線上を運動することです。物体の運動は現状を維持しますが、外力によってこれが乱される可能性があります。

ニュートンの第一法則に関する現代の理解は、どの慣性観測者も他の観測者より優位に立つことはないというものです。慣性観測者という概念は、運動の影響を感じないという日常的な考えを定量化します。例えば、地上に立って列車が通過するのを見ている人は慣性観測者です。地上の観測者が列車が一定速度で滑らかに直線上を動いているのを見ているとすれば、列車に座っている乗客もまた慣性観測者であり、列車の乗客は運動を感じません。ニュートンの第一法則が示す原理は、どの慣性観測者が「実際に」動いていて、どの観測者が「実際に」静止しているのかを断言できないということです。ある観測者の静止状態は、別の観測者にとっては直線上で等速運動している状態であり、どちらの視点が正しいか間違っているかを実験によって判断することはできません。静止の絶対的な基準は存在しません。[ 18 ] [ 15 ] : 62–63 [ 19 ] : 7–9 ニュートン自身は絶対的な空間と時間が存在すると信じていたが、実験で測定できる空間や時間の唯一の尺度は相対的なものであった。[ 20 ]

第二法則

突然変異は、影響力のある運動に比例し、制限された直腸の直腸に影響を与えます。

翻訳：

物体の運動の変化は加えられた力に比例し、力が加えられた直線の方向に生じる。[ 15 ]：114

ニュートンが「運動」という言葉で意味したのは、現在では運動量と呼ばれる量であり、これは物体に含まれる物質の量、物体の運動速度、そして運動方向によって決まります。[ 21 ]現代の記法では、物体の運動量は質量と速度の積です。 これら3つの量はすべて時間とともに変化します。一般的な場合、質量は時間とともに変化せず、微分は速度にのみ作用します。すると、力は質量と速度の時間微分、つまり加速度の積に等しくなります。[ 22 ] 加速度は位置の時間に関する2階微分なので、次のようにも書けます。 p=mv,{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,,}m{\displaystyle m}F=mdvdt=ma.{\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} \,.}F=md2sdt2.{\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {s} }{\mathrm {d} t^{2}}}.}

ニュートンの第二法則は、現代版では、運動量の時間微分が力であると述べている。[ 23 ]：4.1 質量が変化する系 に適用する場合、上記の式は粒子の集合が固定されている場合にのみ有効である。のように微分を適用すると、 誤った結果が生じる可能性がある。[ 24 ]例えば、水噴流系の運動量には、噴出される水の運動量も含まれている必要がある。[ 25 ]F=dpdt.{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,.}F=mdvdt+vdmdt  (incorrect){\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\ \ \mathrm {(incorrect)} }Fext=dpdt−vejectdmdt.{\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}-\mathbf {v} _{\mathrm {eject} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}.}

傾斜面上のブロックの自由体図。平面に垂直な法線力（ N）、重力による下向きの力（mg ）、および摩擦や弦などによって平面の方向に加えられる力fを示しています。

物体に作用する力はベクトルとして加算されるため、物体にかかる力の総和は、個々の力の大きさと方向の両方に依存します。[ 23 ] : 58 物体に作用する正味の力がゼロのとき、ニュートンの第二法則により、物体は加速せず、力学的平衡状態にあると言われます。力学的平衡状態は、物体の位置をわずかに変化させたときに物体がその平衡状態付近に留まる場合、安定しています。そうでない場合、平衡は不安定です。[ 15 ] : 121 [ 23 ] : 174

協調して作用する力の一般的な視覚的表現は自由体図であり、これは対象となる物体と外部の影響によってそれに作用する力を図式的に表す。[ 26 ]例えば、傾斜面上に置かれたブロックの自由体図は、重力、垂直力、摩擦、弦の張力の組み合わせを示すことができる。 [注 4 ]

ニュートンの第二法則は、力の定義として提示されることがある。すなわち、力とは、慣性観測者が物体の加速を観測したときに生じるものである。これは、加速は力を意味し、力は加速を意味するという、潜在的なトートロジーと見なされることがある。トートロジーを越えるために、ニュートンの万有引力の法則のように、力を詳述する式も指定されるかもしれない。ニュートンの第二法則にそのような式を挿入することで、予測力のある式を書くことができる。[注 5 ]ニュートンの第二法則は、物理学の研究計画を定めたものとも考えられており、この分野の重要な目標は、自然界に存在する力を特定し、物質の構成要素を分類することであると確立している。[ 15 ] : 134 [ 28 ] : 12-2 F{\displaystyle \mathbf {F} }

第三法則

Actioni contrariam semper & æqualem esseだreactionem: sive corporum duerum actiones in se mutuo semper esse æquales & in partes contrarias dirigi。

翻訳：

あらゆる作用には常に等しい反作用が存在します。つまり、2つの物体がお互いに及ぼす相互作用は常に等しく、反対の方向に向けられています。[ 15 ]：116

ロケットは不均衡な高圧を作り出してロケットを押し上げ、同時に排気ガスを開いたノズルから排出することで機能します。[ 30 ]

言い換えれば、ある物体が別の物体に力を及ぼす場合、その物体もまた最初の物体に、反対方向に同じ大きさの力を及ぼしているということです。「作用は反作用に等しい」といった第三法則の過度に簡潔な言い換えは、何世代にもわたる学生の間で混乱を招いたかもしれません。「作用」と「反作用」は異なる物体に適用されるからです。例えば、テーブルの上に静止している本を考えてみましょう。地球の重力が本を下に引っ張ります。この「作用」に対する「反作用」は、本を支えるテーブルからの支持力ではなく、地球に作用する本の重力です。[注 6 ]

ニュートンの第 3 法則は、より基本的な原理である運動量保存則と関連しています。後者は、ニュートンの命題が成り立たない場合でも、たとえば力場と物質が運動量を持つ場合や、運動量が量子力学でも適切に定義されている場合でも、成り立ちます。 [注7 ]ニュートン力学では、2 つの物体がそれぞれ運動量とを持つ場合、そのペアの全運動量は、の変化率はです。ニュートンの第 2 法則により、第 1 項は第 1 の物体にかかる全力、第 2 項は第 2 の物体にかかる全力です。2 つの物体が外部の影響から隔離されている場合、第 1 の物体にかかる力は第 2 の物体からの力のみであり、その逆も同様です。ニュートンの第 3 法則により、これらの力は大きさが等しく方向が反対であるため、足すと打ち消し合い、は定数です。あるいは、が定数であることがわかっている場合は、力は大きさが等しく方向が反対であることがわかります。 p1{\displaystyle \mathbf {p} _{1}}p2{\displaystyle \mathbf {p} _{2}}p=p1+p2{\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}p{\displaystyle \mathbf {p} }dpdt=dp1dt+dp2dt.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{1}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{2}}{\mathrm {d} t}}.}p{\displaystyle \mathbf {p} }p{\displaystyle \mathbf {p} }

追加法案の候補

古典力学で用いられている他の考え方をニュートンの法則にまで高める提案が、様々な文献でなされている。例えば、ニュートン力学では、2つの小さな物体を合わせた物体の全質量は、それぞれの質量の和となる。フランク・ウィルチェクは、この仮定を「ニュートンの零法則」と名付け、注目を集めることを提案した。[ 37 ]「零法則」のもう一つの候補は、物体はどの瞬間においても、その瞬間に作用する力に反応するという事実である。[ 38 ]同様に、力は同種のベクトルを加算する（言い換えれば重ね合わせの原理に従う）という考えと、力が物体のエネルギーを変化させるという考えは、どちらも「第4法則」と呼ばれている。[注 8 ]

さらに、ニュートン力学の基本的な考え方を、一般的に言われる3つの法則以外のさまざまな公理に整理して、経験的に観察されたものと定義によって真実であるものをより明確にすることを目的としています。[ 19 ]：9 [ 27 ]

例

ニュートンの法則を用いて質量体の挙動を研究する学問は、ニュートン力学として知られています。ニュートン力学におけるいくつかの例題は、概念的あるいは歴史的な理由から特に注目に値します。

等加速度運動

ストロボフラッシュを使用して、毎秒25フレームで撮影されたバウンドするボール。バウンドとバウンドの間、ボールの高さは時間の関数として放物線に近くなりますが、空気抵抗、回転、そして衝突時の非球形への変形により、放物線弧から外れています。

物体が地球の表面近くで静止状態から落下する場合、空気抵抗がなければ、物体は一定の割合で加速します。これは自由落下として知られています。自由落下中に到達する速度は経過時間に比例し、移動距離は経過時間の2乗に比例します。[ 43 ]重要なのは、加速度はすべての物体で同じであり、その質量に関係ないということです。これは、ニュートンの運動の第二法則と万有引力の法則を組み合わせることで得られます。後者は、地球から物体に働く重力の大きさは であると定めています。 ここで、 は落下物体の質量、は地球の質量、はニュートン定数、 は地球の中心から物体の位置までの距離で、この距離は地球の半径に非常に近くなります。これを と等しくすると、物体の質量は方程式の両辺から打ち消され、 、、に依存する加速度が残り、一定と見なすことができます。この特定の加速度の値は通常 と表されます。 F=GMmr2,{\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},}m{\displaystyle m}M{\displaystyle M}G{\displaystyle G}r{\displaystyle r}ma{\displaystyle ma}m{\displaystyle m}G{\displaystyle G}M{\displaystyle M}r{\displaystyle r}r{\displaystyle r}g{\displaystyle g}g=GMr2≈9.8 m/s2.{\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}} .}

物体が静止状態から解放されず、上方および/または水平方向に非ゼロ速度で発射された場合、自由落下は投射運動となる。[ 44 ]空気抵抗が無視できる場合、投射物は放物線状の軌道を描く。これは、重力が物体の垂直方向の運動には影響し、水平方向の運動には影響しないためである。投射物の軌道の頂点では、垂直方向の速度はゼロになるが、加速度は常に下向きである。間違ったベクトルをゼロに設定することは、物理学を学ぶ学生の間でよくある誤解である。[ 45 ]g{\displaystyle g}

等速円運動

2つの物体が等速円運動をし、重心（両方の物体の質量の中心）の周りを周回する

物体が等速円運動をしているとき、その物体に働く力は運動の方向を変えますが、速度は変えません。半径 の円内を一定速度 で運動している物体の場合、その加速度は大きさ を持ち、円の中心に向かいます。[注 9 ]この加速度を維持するために必要な力は向心力と呼ばれ、したがってこれも円の中心に向かい、大きさ を持ちます。月が地球の周りを回る軌道など、多くの軌道は等速円運動で近似できます。このような場合、向心力は重力であり、ニュートンの万有引力の法則により の大きさ を持ちます。ここでは周回している大きな物体の質量です。したがって、物体の質量は、その周りを周回する別の物体の観測から計算できます。[ 47 ] : 130 r{\displaystyle r}v{\displaystyle v}a=v2r{\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}mv2/r{\displaystyle mv^{2}/r}GMm/r2{\displaystyle GMm/r^{2}}M{\displaystyle M}

ニュートンの砲弾は、投射運動と等速円運動を補間する思考実験です。高い崖の端から弱々しく投げ出された砲弾は、静止状態から落とされた場合と同じ時間で地面に着地します。これは、重力が砲弾の運動量に及ぼす影響は下方向のみであり、水平方向の動きによってその影響が減少しないためです。砲弾がより大きな初期水平速度で発射された場合、地面に着地するまでの距離は長くなりますが、それでも同じ時間で地面に着地します。しかし、砲弾がさらに大きな初期速度で発射された場合、地球の曲率が顕著になり、地面自体が落下する砲弾から遠ざかるように曲がることになります。非常に高速な砲弾は、その下の地球が曲がるのと同じ速度で慣性直線軌道から遠ざかります。言い換えれば、砲弾は軌道上にいることになります（空気抵抗や障害物によって減速されないと仮定した場合）。[ 48 ]

調和運動

減衰のないバネ質量系は単振動を起こします。

軸に沿って移動できる質量を持つ物体を考え、平衡点が位置 にあると仮定します。つまり、 では物体にかかる正味の力はゼロベクトルであり、ニュートンの第 2 法則により、物体は加速しません。物体にかかる力が平衡点からの変位に比例し、平衡点の方向に向いている場合、物体は単振動 を実行します。力を と書くと、ニュートンの第 2 法則は次のようになります。 この微分方程式には、 周波数が に等しいときに 解が存在します。 また、定数 および は、たとえば、物体が特定の時間に持つ位置と速度 のように、既知の場合に計算できます。 m{\displaystyle m}x{\displaystyle x}x=0{\displaystyle x=0}x=0{\displaystyle x=0}F=−kx{\displaystyle F=-kx}md2xdt2=−kx.{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx\,.}x(t)=Acos⁡ωt+Bsin⁡ωt{\displaystyle x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t\,}ω{\displaystyle \omega }k/m{\displaystyle {\sqrt {k/m}}}A{\displaystyle A}B{\displaystyle B}t=0{\displaystyle t=0}

調和振動子が概念的に重要な例である理由の 1 つは、安定した機械的平衡に近い多くのシステムに対して、これが良い近似となることです。[注 10 ]たとえば、振り子は垂直位置で安定した平衡状態にあります。そこで静止していれば、振り子はそこに留まり、軽く押すと前後に揺れます。空気抵抗と軸の摩擦を無視すると、振り子にかかる力は重力であり、ニュートンの第 2 法則は次のようになります。ここで、 は振り子の長さ、は垂直からの角度です。角度が小さい場合、の正弦はにほぼ等しくなります(小角近似 を参照)。そのため、この式は周波数 の単純な調和振動子の式に簡略化されます。 d2θdt2=−gLsin⁡θ,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta ,}L{\displaystyle L}θ{\displaystyle \theta }θ{\displaystyle \theta }θ{\displaystyle \theta }θ{\displaystyle \theta }ω=g/L{\displaystyle \omega ={\sqrt {g/L}}}

調和振動子は、摩擦や粘性抵抗によって減衰することが多く、その場合、振動子からエネルギーが漏れ出し、振動の振幅は時間とともに減少します。また、調和振動子は外力によって駆動されることがあり、共鳴現象を引き起こすことがあります。[ 50 ]

質量が変化する物体

スペースシャトル・アトランティスのようなロケットは、運用中に質量を放出します。つまり、押し出される質量、ロケット、そして搭載燃料の残量は絶えず変化します。

ニュートン物理学では、物質は生成も破壊もされないが、再配置される可能性があると扱われます。対象物体の質量は、物質が加えられたり除去されたりすることで増加したり減少したりすることがあります。このような状況では、ニュートンの法則を個々の物質に適用し、どの部分が対象物体に属しているかを時間の経過とともに追跡することができます。例えば、質量 のロケットが速度 で運動し、ロケットに対して相対速度 で物質を放出する場合、 [ 24 ]となり、 ここでは正味の外力（例えば、惑星の重力）です。[ 23 ] : 139 M(t){\displaystyle M(t)}v(t){\displaystyle \mathbf {v} (t)}u{\displaystyle \mathbf {u} }F=Mdvdt−udMdt{\displaystyle \mathbf {F} =M{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-\mathbf {u} {\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} t}}\,}F{\displaystyle \mathbf {F} }

扇風機と帆

扇風機と帆を備えた船

扇風機と帆の例は、ニュートンの第三法則の議論で研究される状況である。[ 51 ]この状況では、扇風機がカートまたは帆船に取り付けられ、帆に風を吹き付けている。第三法則から、一方向に押す空気の力は扇風機が帆に及ぼす力を相殺し、装置全体は静止したままになると考えられる。しかし、このシステムは完全に密閉されていないため、船が移動する状況も存在する。例えば、帆が空気の流れの大部分を扇風機の方へと向かわせるように作られている場合、正味の力は船を前進させる方向に働く。[ 34 ] [ 52 ]

仕事とエネルギー

エネルギーの概念はニュートンの時代以降に発展しましたが、「ニュートン力学」とされる物理学の不可分な一部となっています。エネルギーは、物体の運動による運動エネルギーと、物体の他の位置に対する位置エネルギーに大別できます。熱エネルギーは、熱流によって運ばれるエネルギーであり、物体の巨視的な運動ではなく、物体を構成する原子や分子の運動に関連する運動エネルギーの一種です。仕事-エネルギー定理によれば、物体が力の方向に沿って運動しているときに力が物体に作用すると、その力は物体に仕事をし、その仕事量は物体の運動エネルギーの変化に等しくなります。[注 11 ]興味深い多くの事例において、物体が閉ループ運動（ある点から出発し、ある軌道に沿って移動し、最初の点に戻る運動）を行う際に、力によって行われる正味の仕事はゼロです。この場合、力はスカラーポテンシャルと呼ばれる関数の勾配で表すことができます。[ 46 ] : 303 これは、重力を含む多くの力に当てはまりますが、摩擦には当てはまりません。実際、力学の教科書にある摩擦を含まないほとんどすべての問題は、このように表現できます。[ 49 ] : 19 力がこのように表せることは、エネルギー保存の法則から理解できます。物体のエネルギーを熱に消散させる摩擦がなければ、物体のエネルギーは、総量が一定のまま、位置エネルギーと（非熱）運動エネルギーの形態の間で交換されます。物体にかかる正味の力が物体をより高い速度に加速するときに発生する運動エネルギーの増加は、位置エネルギーの損失を伴わなければなりません。したがって、物体にかかる正味の力は、位置エネルギーが減少する方法によって決まります。 F=−∇U.{\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U\,.}

剛体運動と回転

剛体とは、無視できないほど大きく、時間の経過とともに同じ形状を維持する物体です。ニュートン力学では、剛体の運動は、物体の重心の運動と重心の周りの運動に分けて理解されることが多いです。

重心

フォーク、コルク、つまようじの部分がペンの上にバランスよく乗った物体
フォーク、コルク、つまようじの合計重心は、ペンの先端の垂直下にあります。

拡張された物体の運動の重要な側面は、その物体の質量が一点（質量中心）に集中している状態を想像することで理解できます。物体の質量中心の位置は、その物体の物質がどのように分布しているかによって決まります。位置 に質量を持つ点状物体の集合の場合、質量中心は に位置し、 は集合全体の質量です。外力の和がない場合、質量中心は直線上を一定速度で移動します。これは、例えば2つの物体の衝突に当てはまります。[ 55 ]外力の和がゼロでない場合、質量中心は質量 の点体であるかのように速度を変化させます。これは、集合体内の内力、つまり物体同士が及ぼす力が、ニュートンの第三法則によって釣り合った対で発生するという事実から生じます。一方の質量が他方よりもはるかに大きい2つの物体の系では、質量中心は質量の大きい方の物体の位置とほぼ一致します。[ 19 ] : 22–24 m1,…,mN{\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{N}}r1,…,rN{\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}}R=∑i=1NmiriM,{\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}},}M{\displaystyle M}M{\displaystyle M}

ニュートンの法則の回転類似物

ニュートンの法則を回転する拡張物体に適用すると、元の法則で用いられた量と類似した新たな量が得られる。質量に相当するのは慣性モーメント、運動量に相当するのは角運動量、そして力に相当するのはトルクである。

角運動量は、基準点を基準として計算されます。[ 56 ]基準点から物体への変位ベクトルが で、物体が運動量 である場合、その点に関する物体の角運動量は、ベクトル外積を用いて、次の式を得ます。角運動量の時間微分をとると、次の式が得られます。最初の項は、 と が同じ方向を向いているためゼロになります。残りの項はトルクです。トルクがゼロのとき、角運動量は一定です。これは、力がゼロのとき、運動量が一定であるのと同じです。[ 19 ]：14–15 物体が基準点（ ）にある場合、または力と変位ベクトルが同じ線に沿っている 場合は、力がゼロでなくてもトルクがゼロになることがあります。r{\displaystyle \mathbf {r} }p{\displaystyle \mathbf {p} }L=r×p.{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}dLdt=(drdt)×p+r×dpdt=v×mv+r×F.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}v{\displaystyle \mathbf {v} }mv{\displaystyle m\mathbf {v} }τ=r×F.{\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}r=0{\displaystyle \mathbf {r} =0}F{\displaystyle \mathbf {F} }r{\displaystyle \mathbf {r} }

質点の集合、つまり拡張された物体の角運動量は、各質点からの寄与を加算することによって求められます。これは、個々の質点の角運動量を加算することで、物体の軸周りの回転を特徴付ける手段となります。結果は、選択された軸、物体の形状、そして回転速度に依存します。[ 19 ]：28

多体重力システム

3つの点または物体が互いに引き合うアニメーション

ニュートンの万有引力の法則によれば、どの物体も、それらを結ぶ直線に沿って他の物体を引き寄せます。引きつける力の大きさは、それらの質量の積に比例し、それらの間の距離の二乗に反比例します。反二乗の力の法則によって生成される軌道の形を見つけることは、ケプラーの問題として知られています。ケプラーの問題は、ラプラス・ルンゲ・レンツ・ベクトルが一定であることを示す、[ 57 ]や、2次元調和振動子に双対変換を適用するなど、複数の方法で解くことができます。[ 58 ]どのように解いたとしても、結果として軌道は円錐曲線、つまり楕円（円を含む）、放物線、または双曲線になります。軌道の離心率、つまり円錐曲線の種類は、周回する物体のエネルギーと角運動量によって決まります。惑星は太陽から脱出するのに十分なエネルギーを持っていないため、その軌道は近似的に楕円形になります。ただし、惑星は互いに引っ張り合うため、実際の軌道は正確な円錐曲線にはなりません。

3つ目の質量が加わると、ケプラー問題は三体問題となり、一般に閉形式では厳密な解は存在しない。つまり、ニュートンの法則に由来する微分方程式から出発し、有限個の標準的な数学的演算を経た上で、三体の問題の時間経過に伴う運動を表す方程式を得る方法はない。[ 59 ] [ 60 ]数値解析法を適用すれば、三体問題に対して、近似的ではあるものの有用な結果を得ることができる。[ 61 ]物体の位置と速度はコンピュータのメモリ内の変数に格納することができる。ニュートンの法則は、短時間における速度の変化を計算するために用いられ、速度が分かれば、その時間経過における位置の変化を計算することができる。この処理はループされ、物体の軌道を近似的に計算する。一般的に、時間経過が短いほど、近似値はより正確になる。[ 62 ]

混沌と予測不可能性

非線形力学

ほぼ同じ初期条件で初期化された 3 つの二重振り子は、時間の経過とともに発散します。

ニュートンの運動法則はカオスの可能性を許容する。[ 63 ] [ 64 ]つまり、定性的に言えば、ニュートンの法則に従う物理系は初期条件に敏感な依存性を示す可能性がある。つまり、系の一部の位置や速度がわずかに変化すると、系全体が短時間で根本的に異なる挙動を示す可能性がある。注目すべき例としては、三体問題、二重振り子、動的ビリヤード、フェルミ・パスタ・ウラム・ツィンゴウ問題などが挙げられる。

ニュートンの法則は、流体が微小な断片で構成され、各断片が隣接する断片に力を及ぼしていると考えることで、流体に適用できます。オイラーの運動量方程式は、ニュートンの第二法則を流体力学に適用したものです。[ 65 ] [ 66 ]流体は速度場、すなわち、空間と時間の各点に速度ベクトルを割り当てる関数によって記述されます。流体の流れに運ばれる小さな物体は、2つの理由で速度を変えることができます。1つは、その位置での速度場が時間の経過とともに変化するため、もう1つは、速度場の値が異なる新しい場所に移動するためです。したがって、ニュートンの第二法則を流体の微小部分に適用すると、加速度には2つの項、つまり全微分または物質微分と呼ばれる組み合わせが含まれます。微小部分の質量は流体の密度に依存し、流体圧力が一方の側からもう一方の側で変化すると、正味の力が加わります。したがって、 はとなり 、は密度、は圧力、 は重力のような外部影響を表します。粘性の効果を考慮すると、オイラー方程式はナビエ・ストークス方程式になります。 は動粘性です。[ 65 ]v(x,t){\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}a{\displaystyle \mathbf {a} }a=F/m{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {F} /m}∂v∂t+(∇⋅v)v=−1ρ∇P+f,{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\mathbf {f} ,}ρ{\displaystyle \rho }P{\displaystyle P}f{\displaystyle \mathbf {f} }∂v∂t+(∇⋅v)v=−1ρ∇P+ν∇2v+f,{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} ,}ν{\displaystyle \nu }

特異点

ニュートンの法則に従って運動する質点の集合が、有限時間内に自らの一部を非常に強い力で打ち出し、無限遠まで飛んでしまうことは数学的に可能である。[ 67 ]この非物理的な挙動は「非衝突特異点」として知られ、[ 60 ]質点が点状であり、互いに任意の距離まで接近できること、そしてニュートン物理学には相対論的な速度制限がないことに起因している。[ 68 ]

オイラー方程式とナビエ・ストークス方程式が、最初は滑らかな解が有限時間で「爆発」するという類似の挙動を示すかどうかはまだ分かっていない。ナビエ・ストークス解の存在と滑らかさの問題は、ミレニアム懸賞問題の一つである。[ 69 ]

古典物理学の他の定式化との関係

古典力学は、「ニュートン力学」による記述（もちろん、ニュートン以前と以後の他の貢献も取り入れている）以外にも、複数の異なる方法で数学的に定式化することができる。これらの異なる定式化の物理的内容はニュートン力学と同じであるが、それらは異なる洞察を提供し、異なる種類の計算を容易にする。例えば、ラグランジュ力学は対称性と保存則の関係を明らかにするのに役立ち、曲線軌道や球面上を移動するように制限された質量のような、拘束された物体の運動を計算する際に有用である。[ 19 ]：48 ハミルトン力学は統計物理学に便利であり、[ 70 ] [ 71 ]：57 対称性についてのさらなる洞察につながり、[ 19 ]：251 摂動論のための洗練された手法に発展させることができる。[ 19 ] : 284 これらの話題は広範囲にわたるため、ここでの議論は、ニュートンの運動法則をどのように再定式化するかについて簡潔に扱うことに限定します。

ラグランジアン

ラグランジアン力学は、物体の運動を一瞬間に予測するのではなく、軌道全体を一度に考慮する点でニュートン力学の定式化と異なる。[ 19 ]：109 ラグランジアン力学では、位置を、速度を で表すのが慣例となっている。最も単純な例は質量を持つ点粒子であり、そのラグランジアンは運動エネルギーと位置エネルギーの差として表すことができる。 ここで、運動エネルギーは であり、位置エネルギーは位置 の関数である。粒子が始点と終点の間で取る物理的な経路は、ラグランジアンの積分が「定常」となる経路である。つまり、この物理的な経路は、その小さな摂動が、第一近似において、ラグランジアンの積分を変化させないという性質を持つ。変分法は、この経路を求めるための数学的なツールを提供する。[ 46 ] : 485 経路を求める問題に変分法を適用すると、粒子の オイラー・ラグランジュ方程式が得られる。ラグランジュ方程式の 偏微分 を評価すると、 ニュートンの第二法則を言い換えた式が得られる。左辺は運動量の時間微分であり、右辺は位置エネルギーで表される力である。[ 9 ] : 737 q{\displaystyle q}q˙{\displaystyle {\dot {q}}}L(q,q˙)=T−V,{\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T-V,}T=12mq˙2{\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}}V(q){\displaystyle V(q)}qi{\displaystyle q_{i}}qf{\displaystyle q_{f}}ddt(∂L∂q˙)=∂L∂q.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}.}ddt(mq˙)=−dVdq,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\dot {q}})=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} q}},}

ランダウとリフシッツは、ラグランジアン定式化により、ニュートンの法則から始めるよりも古典力学の概念内容がより明確になると主張している。[ 29 ]ラグランジアン力学は、対称性と保存則を関連付けるノイマンの定理を証明するための便利な枠組みを提供している。 [ 72 ]運動量保存則は、ノイマンの定理を多粒子系のラグランジアンに適用することで導くことができるため、ニュートンの第三法則は仮定ではなく定理である。[ 19 ] : 124

ハミルトニアン

エミー・ネーターは1915年に対称性と保存則を関連付ける有名な定理を証明し、これは現代物理学の重要な発展であり、ラグランジアン力学やハミルトン力学の言語で都合よく表現できる。

ハミルトン力学では、システムのダイナミクスはハミルトニアンと呼ばれる関数で表され、多くの場合、システムの全エネルギーに等しくなります。[ 9 ] : 742 ハミルトニアンは、システムを構成するすべての物体の位置と運動量の関数であり、時間に明示的に依存することもあります。位置と運動量変数の時間微分は、ハミルトン方程式を介したハミルトニアンの偏微分で与えられます。 [ 19 ] : 203 最も単純な例は、ポテンシャルの影響下で直線上を移動するように制約された質点です。位置座標を 、物体の運動量について書くと、ハミルトニアンは 次のようになります。 この例では、ハミルトン方程式は次のよう になります。 そしてこれら の 偏微分を評価すると、前者 の方程式は次のようになります。 これは 、 物体の運動量がその質量と速度の積であるというよく知られた陳述を再現します。運動量の時間微分は 、ポテンシャルの負の微分を力と同一視すると、再びニュートンの第二法則となる。[ 63 ] [ 9 ] : 742 m{\displaystyle m}q{\displaystyle q}p{\displaystyle p}H(p,q)=p22m+V(q).{\displaystyle {\mathcal {H}}(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q).}dqdt=∂H∂p{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}dpdt=−∂H∂q.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}.}dqdt=pm,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {p}{m}},}dpdt=−dVdq,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} q}},}

ラグランジアン形式と同様に、ハミルトン力学では運動量保存則はノイマンの定理を用いて導くことができ、ニュートンの第三法則は仮定ではなく演繹される考え方となる。[ 19 ]：251

標準的な入門物理学カリキュラムを改革する提案の中には、力の概念よりも先にエネルギーの概念を教えるという、本質的には「入門ハミルトン力学」というものがある。[ 73 ] [ 74 ]

ハミルトン・ヤコビ

ハミルトン・ヤコビ方程式は古典力学のさらに別の定式化を提供し、数学的には波動光学に類似している。[ 19 ] : 284 [ 75 ]この定式化もハミルトニアン関数を使用するが、上記の定式化とは異なる方法である。物体または物体の集合がたどる経路は、位置と時間の関数 から演繹される。ハミルトニアンはの微分方程式であるハミルトン・ヤコビ方程式に組み込まれる。物体は、その軌道が定数 の表面に垂直になるように時間の経過とともに移動する。これは、光線が波面に垂直な方向に伝播する方法に類似している。これは単一の質点の場合に最も簡単に表現でき、 は関数であり、質点は最も急激に変化する方向に移動する。言い換えると、質点の運動量はの勾配です。 質点に対するハミルトン・ヤコビ方程式は ニュートンの法則との関係は、時間に依存しないポテンシャル 内を運動する質点を考えればわかります。この場合、ハミルトン・ヤコビ方程式は次のようになります 。 両辺の勾配を取ると、次のようになります 。 左辺の偏微分順序を入れ替えて、右辺第 1 項に べき乗則と連鎖則を使用すると、 の勾配に依存する項をまとめると、 これはニュートンの第 2 法則の別の書き直しです。[ 76 ]括弧内の式は、前述のように全微分または物質微分であり、 [ 77 ]最初の項は微分されている関数が固定された場所で時間の経過とともにどのように変化するかを示し、2 番目の項は移動する粒子が場所から場所へと移動するときにその関数のさまざまな値をどのように見るかを捉えます。 S(q1,q2,…,t){\displaystyle S(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,t)}qi{\displaystyle \mathbf {q} _{i}}t{\displaystyle t}S{\displaystyle S}S{\displaystyle S}S{\displaystyle S}S(q,t){\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}S{\displaystyle S}S{\displaystyle S}v=1m∇S.{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S.}−∂S∂t=H(q,∇S,t).{\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {\nabla } S,t\right).}V(q){\displaystyle V(\mathbf {q} )}−∂S∂t=12m(∇S)2+V(q).{\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+V(\mathbf {q} ).}−∇∂S∂t=12m∇(∇S)2+∇V.{\displaystyle -\mathbf {\nabla } {\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+\mathbf {\nabla } V.}−∂∂t∇S=1m(∇S⋅∇)∇S+∇V.{\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\nabla } S={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {\nabla } S+\mathbf {\nabla } V.}S{\displaystyle S}[∂∂t+1m(∇S⋅∇)]∇S=−∇V.{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]\mathbf {\nabla } S=-\mathbf {\nabla } V.}[∂∂t+1m(∇S⋅∇)]=[∂∂t+v⋅∇]=ddt.{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } \right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}.}

他の物理理論との関係

熱力学と統計物理学

より大きな、しかし微視的な粒子（黄色）が、より小さな粒子のガスに囲まれている様子をシミュレーションしたもの。ブラウン運動を示している。

統計物理学において、気体の運動論はニュートンの運動法則を多数の（典型的にはアボガドロ数程度の）粒子に適用する。運動論は、例えば、気体が容器に及ぼす圧力を、それぞれが微量の運動量を与える多数の原子の衝突の総体として説明することができる。[ 71 ] : 62

ランジュバン方程式はニュートン力学の第二法則の特殊なケースであり、小さな物体がさらに小さな物体から確率的に衝突を受ける場合を記述するために適応されたものである。[ 78 ] : 235 と書ける。ここで、は抗力係数であり、は瞬間ごとにランダムに変化する力であり、周囲の粒子との衝突による正味の影響を表す。これはブラウン運動をモデル化するのに用いられる。[ 79 ]ma=−γv+ξ{\displaystyle m\mathbf {a} =-\gamma \mathbf {v} +\mathbf {\xi } \,}γ{\displaystyle \gamma }ξ{\displaystyle \mathbf {\xi } }

電磁気

ニュートンの 3 つの法則は、微妙な点や注意点はあるものの、電気と磁気に関わる現象にも適用できます。

静止した2つの電荷を帯びた物体間の電気力に関するクーロンの法則は、ニュートンの万有引力の法則とほぼ同じ数学的形式をとる。すなわち、力は電荷の積に比例し、2つの物体間の距離の2乗に反比例し、2つの物体間の直線に沿って向く。電荷が電荷に及ぼすクーロン力は、電荷に及ぼす力と大きさが等しく、正反対の方向を向いている。したがって、クーロンの法則はニュートンの第三法則と一致する。[ 80 ]q1{\displaystyle q_{1}}q2{\displaystyle q_{2}}q2{\displaystyle q_{2}}q1{\displaystyle q_{1}}

電磁気学では、力は電荷に作用する場によって生じるものとして扱われます。ローレンツ力の法則は、荷電物体に働く力を表す式を提供し、これをニュートン力学の第二法則に代入することで加速度を計算できます。[ 81 ] : 85 ローレンツ力の法則によれば、電場中の荷電物体は、その電場の方向に、その電荷と電場の強さに比例した力を受けます。さらに、磁場中を移動する荷電物体は、磁場と物体の運動方向の両方に垂直な方向に、同じく電荷に比例した力を受けます。ベクトル積を用いて、q{\displaystyle q}F=qE+qv×B.{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}

ローレンツ力の法則が作用します。電子は磁場によって円形の軌道に曲げられます。

電場が消失すると（）、上で考察した等速円運動の場合と同様に、力は電荷の運動に対して垂直になり、電荷はサイクロトロン周波数で磁力線の周りを円を描くように（より一般的には螺旋状に）動きます。[ 78 ] : 222 質量分析法は、移動する電荷に電場や磁場を印加し、その結果生じる加速度を測定することで機能します。これにより、ローレンツ力の法則により質量電荷比が得られます。[ 82 ]E=0{\displaystyle \mathbf {E} =0}ω=qB/m{\displaystyle \omega =qB/m}

荷電物体の集合は必ずしもニュートンの第三法則に従うわけではない。つまり、ある物体の運動量が変化しても、別の物体の運動量は補償的に変化しない可能性がある。この矛盾は、電磁場自体が運ぶ運動量によって説明される。電磁場の単位体積あたりの運動量は、ポインティングベクトルに比例する。[ 83 ] : 184 [ 84 ]

電磁気学とニュートンの第一法則の間には、微妙な概念的矛盾が存在する。マクスウェルの電磁気理論は、電磁波が一定かつ一定の速度で空間を伝わると予測している。そのため、一部の慣性観測者、すなわち光速を測定し、それがマクスウェル方程式によって予測される値であると結論付ける観測者は、他の観測者に対して特権的な地位にあるように見える。言い換えれば、光は速度の絶対的な基準を提供するが、慣性の原理によれば、そのような基準は存在しないはずである。この矛盾は特殊相対性理論によって解決され、この理論は空間と時間の概念を改訂し、すべての慣性観測者が真空中の光速について合意することになる。[注 12 ]

特殊相対性理論

特殊相対論では、ウィルチェクが「ニュートンの第零法則」と呼んだ規則は崩れる。複合物体の質量は、個々の部分の質量の単なる合計ではない。[ 87 ] : 33 ニュートンの第一法則、慣性運動は依然として成り立つ。ニュートンの第二法則の一種である、力は運動量の変化率であるという法則も成り立ち、運動量保存則も成り立つ。しかし、運動量の定義は修正される。その結果、物体の運動速度が速いほど加速が困難になり、したがって、どれだけの力を加えても、物体は光速まで加速できないという事実が生まれる。問題によっては、特殊相対論における運動量は3次元ベクトル で表すことができる。ここで、は物体の静止質量、は物体の速度に依存するローレンツ因子である。あるいは、運動量と力は4次元ベクトルで表すこともできる。[ 88 ] : 107 p=mγv{\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }m{\displaystyle m}γ{\displaystyle \gamma }

ニュートンの第三法則は特殊相対性理論では修正される必要がある。第三法則は、ある瞬間における二つの物体間の力に関するものであり、特殊相対性理論の重要な特徴は同時性が相対的であるということにある。ある観測者にとって同時に起こる出来事は、別の観測者にとっては異なる時間に起こる可能性がある。そのため、ある観測者の基準系においては、作用と反作用は必ずしも正反対ではなく、相互作用する物体の全運動量は保存されない可能性がある。運動量保存則は、物体の相互作用を記述する場に蓄えられた運動量を含めることで回復される。[ 89 ] [ 90 ]

ニュートン力学は、関与する速度が光速に比べて小さい場合には特殊相対論の良い近似となる。[ 91 ]：131

一般相対性理論

一般相対性理論は、ニュートンの重力理論をさらに発展させた理論である。一般相対性理論では、ニュートン力学の重力が時空の曲率として再解釈される。ニュートン力学において重力に起因するとされる軌道のような曲がった経路は、物体を理想的な直線経路から逸らす力の結果ではなく、他の質量の存在によって曲がった背景を物体が自由落下しようとする試みの結果である。物理学者の間でよく使われるジョン・アーチボルド・ホイーラーの次の言葉がこの理論を要約している。「時空は物質にどのように動くかを伝え、物質は時空にどのように曲がるかを伝える。」[ 92 ] [ 93 ]ホイーラー自身は、この相互関係をニュートンの第三法則の現代的で一般化された形と考えていた。[ 92 ]物質分布と時空の曲率の関係はアインシュタイン場の方程式によって与えられ、それを表現するにはテンソル計算が必要である。[ 87 ] : 43 [ 94 ]

ニュートンの重力理論は、重力の効果が弱く、物体が光速に比べてゆっくりと動いている場合には、一般相対性理論の予測をよく近似している。[ 85 ] : 327 [ 95 ]

量子力学

量子力学は、もともと分子、原子、素粒子のスケールでの挙動といった微視的現象を理解するために開発された物理学の理論です。一般的に、大まかに言えば、システムが小さいほど、適切な数学モデルには量子効果の理解が必要になります。量子物理学の概念的基盤は古典物理学のそれとは大きく異なります。位置、運動量、エネルギーなどの量を物体が持つ特性として考えるのではなく、選択したタイプの測定を実行したときにどのような結果が現れるかを考えます。量子力学により、物理学者は選択した測定が特定の結果を引き起こす確率を計算できます。[ 96 ] [ 97 ]測定の期待値とは、発生する可能性のある結果の平均であり、発生確率で重み付けされています。[ 98 ]

エーレンフェストの定理は、量子期待値とニュートンの第二法則との関連を示すが、量子物理学は古典物理学とは根本的に異なるため、この関連は必然的に不正確である。量子物理学では、位置と運動量はエルミート演算子と呼ばれる数学的実体によって表され、ボルンの定理は位置測定または運動量測定の期待値の計算に用いられる。これらの期待値は一般に時間とともに変化する。つまり、例えば位置測定が行われる時間に応じて、異なる結果の確率が変化する。エーレンフェストの定理は、大まかに言えば、これらの期待値が時間とともにどのように変化するかを記述する式は、ニュートンの第二法則を彷彿とさせる形をとる、と述べている。しかし、特定の状況において量子効果が顕著であればあるほど、この類似性から有意義な結論を導き出すことは困難となる。[注 13 ]

歴史

ニュートンの運動法則で援用されている概念、すなわち質量、速度、運動量、力は、それ以前の研究に先駆的に存在し、ニュートン物理学の内容はニュートンの時代以降さらに発展しました。ニュートンは天体の運動に関する知識と地球上の事象の研究を組み合わせ、一つの力学理論で両方を包含できることを示しました。[ 101 ]

古代と中世の背景

アリストテレスと「激しい」運動

アリストテレスの像
アリストテレス（紀元前384～322年）

物理学という学問はしばしばアリストテレスに遡るとされるが、その概念の歴史は様々な要因によって曖昧になっている。アリストテレスの概念と現代の概念との正確な対応関係を確立することは容易ではない。アリストテレスは、私たちが速度と力と呼ぶものを明確に区別せず、密度と粘性に同じ用語を使用し、運動は常に空間ではなく媒体を通して行われると考えていた。さらに、「アリストテレス的」としばしば呼ばれる概念の中には、彼の信奉者や彼の論評者に帰属させる方が適切かもしれないものもある。[ 102 ]これらの論評者たちは、アリストテレス物理学では投射運動を説明するのが困難だと指摘した。[注 14 ]アリストテレスは運動を「自然」運動と「激しい」運動の2種類に分類した。地球上の固体の「自然」運動は下向きに落下するものであり、「激しい」運動は物体を横向きに押し出す可能性がある。さらに、アリストテレス物理学では、「激しい」運動には直接的な原因が必要である。物体は「激しい」運動の原因から切り離されれば、「自然な」挙動に戻るはずである。しかし、槍は投げ手の手を離れた後も動き続ける。アリストテレスは、槍の周囲の空気が槍を前進させる力を与えているに違いないと結論付けた。

フィロポヌスとインペトゥス

6世紀に活躍したビザンチン・ギリシャの思想家ヨハネス・ピロポノスは、これは不合理だと考えた。同じ媒体である空気が、運動を維持するのと運動を妨げるのとの両方に何らかの形で関与しているのだ。アリストテレスの考えが正しいなら、軍隊はふいごで武器を吹き付けるだろうとピロポノスは言った。ピロポノスは、物体を動かすと、その物体自体にインペトゥスという性質が付与されると主張した。インペトゥスが持続する限り、物体は動き続けるのだ。[ 104 ] : 47 その後の数世紀にわたって、ヌールッディーン・アル＝ビトルジー、イブン・スィーナー、アブー・バラカト・アル＝バグダーディー、ヨハネス・ビュリダン、ザクセンのアルブレヒトなどによって、インペトゥス理論のさまざまなバージョンが提唱された。振り返ってみると、インペトゥスというアイデアは、現代の運動量の概念の先駆けと見ることができる。[注 15 ]物体は何らかの推進力によって運動するという直感は、入門物理学を学ぶ多くの学生の間に根強く残っている。[ 106 ]

慣性と第一法則

フランスの哲学者ルネ・デカルトは、1629年から1633年にかけて執筆した『世界論』 （Traité du monde et de la luminère ）において、「自然法則」を通して慣性の概念を導入しました。しかし、『世界論』は太陽中心の世界観を唱えており、1633年にはこの見解がガリレオ・ガリレイとローマ・カトリック教会の異端審問所との間で大きな論争を引き起こしていました。デカルトはこの論争を知っていたものの、関与を望まなかったため、『世界論』は彼の死後10年経った1664年まで出版されませんでした。[ 107 ]

ジャスタス・サスターマンス - ガリレオ・ガリレイの肖像
ガリレオ・ガリレイ（1564–1642）

慣性の現代的な概念はガリレオに帰せられます。ガリレオは自身の実験に基づき、運動する物体の「自然な」挙動は、何か他のものが干渉するまで動き続けることであると結論付けました。ガリレオは『二つの新科学』 （1638年）の中で次のように述べています。 [ 108 ] [ 109 ]

任意の粒子を摩擦のない水平面に沿って投射すると想像してください。前のページでより詳しく説明したように、平面に制限がない限り、この粒子は同じ平面に沿って均一かつ永続的な動きをします。

ルネ・デカルトの肖像
ルネ・デカルト（1596–1650）

ガリレオは、投射運動において地球の重力は垂直方向の運動には影響するが、水平方向の運動には影響しないことを認識していた。[ 110 ]しかし、ガリレオの慣性の考え方は、ニュートンの第一法則に体系化されたものとは必ずしも一致していなかった。ガリレオは、慣性で長距離を移動する物体は地球の曲線に沿って移動すると考えていた。この考えは、アイザック・ベックマン、デカルト、ピエール・ガッサンディによって修正され、彼らは慣性運動は直線運動であるべきだと認識した。[ 111 ]デカルトは、この修正を加えた自然法則（運動の法則）を1644年の哲学原理（プリンキピア・フィロソフィア）で発表したが、太陽中心説の部分はトーンダウンしていた。[ 112 ] [ 107 ]

円運動中のボールは糸が切れて接線方向に飛んでいきます。

自然の第一法則: あらゆる物体は、放っておくと同じ状態を継続します。したがって、運動している物体は、何かがそれを止めるまでは動き続けます。

自然の第二法則: 動いている物体は、放っておくと直線上を動きます。したがって、円運動する物体は常に円の中心から遠ざかろうとします。

アメリカの哲学者リチャード・J・ブラックウェルによると、オランダの科学者クリスティアーン・ホイヘンスが1656年にこの法則の簡潔なバージョンを独自に考案していた。[ 113 ]この法則はホイヘンスの死後8年経った1703年に「打楽器による身体の運動」の冒頭部分で初めて出版された。

仮説 I: すでに運動している物体は、妨害されない限り、同じ速度で直線的に永久に動き続ける。

ホイヘンスによれば、この法則はガリレオやデカルトなどによってすでに知られていたという。[ 113 ]

力と第二法則

クリスティアン・ホイヘンス(1629–1695)

クリスティアーン・ホイヘンスは、著書『振動する時計』（1673年）の中で、「重力の作用により、その発生源が何であれ、物体は一方向への等速運動と重力による下向きの運動の両方から構成される運動によって動かされる」という仮説を提唱した。ニュートンの第二法則は、この仮説を重力からあらゆる力へと一般化した。[ 114 ]

ニュートン物理学の重要な特徴の一つは、物理的な接触を必要とせずに、力が遠隔的に作用する可能性があることである。 [注 16 ]例えば、太陽と地球は数百万キロメートル離れているにもかかわらず、互いに重力で引き合っている。これは、デカルトらが提唱した、太陽の重力が惑星を透明な物質であるエーテルの渦で回転させることによって軌道上に留めているという考えとは対照的である。[ 121 ]ニュートンは力のエーテル的説明を検討したが、最終的にはそれを否定した。[ 119 ]ウィリアム・ギルバートらによる磁気の研究は、非物質的な力について考える先例を作り、 [ 119 ]ニュートンは、エーテルモデルで重力の法則を定量的に納得のいく形で説明することができず、最終的に「私は仮説を立てない」と宣言しました。デカルトの渦のようなモデルがプリンキピアの運動と重力の理論の基礎となるかどうかは、その理論を判断する最初の根拠となるべきで、その理論が予測を成功させたかどうかで決まります。[ 122 ]そして実際、ニュートンの時代以来、そのようなモデルを試みる試みはすべて失敗しています。

運動量保存則と第三法則

ヨハネス・ケプラーの肖像
ヨハネス・ケプラー（1571–1630）

ヨハネス・ケプラーは、重力は相互的であると示唆した。例えば、月は地球を引っ張り、地球も月を引っ張るといった具合である。しかし、彼はこれらの力の対が等しく反対であるとは主張しなかった。[ 123 ]デカルトは『哲学原理』 （1644年）において、物体同士の衝突において「運動量」は変化しないという考えを提示した。デカルトはこの量を、各物体の速度と「大きさ」の積を足し合わせることで、いくぶん不正確に定義した。彼にとって「大きさ」とは、体積と表面積の両方を含むものであった。[ 124 ]さらに、デカルトは宇宙を物質で満たされた充満体と考えたため、あらゆる運動は、物体が運動する際に媒体を押しのけることを必要とする。

1650年代、ホイヘンスは剛球同士の衝突を研究し、現在では運動量保存則として知られる原理を導き出しました。[ 125 ] [ 126 ]クリストファー・レンは後に弾性衝突についてホイヘンスと同じ法則を導き出し、ジョン・ウォリスは運動量保存則を非弾性衝突の研究に適用しました。ニュートンはホイヘンス、レン、ウォリスの研究を引用し、自身の第三法則の妥当性を裏付けました。[ 127 ]

ニュートンは段階的に三法則に到達した。1684年にホイヘンスに宛てた原稿では、慣性の原理、力による運動の変化、今日ではガリレイの不変性と呼ばれる相対運動に関する記述、そして物体間の相互作用が質量中心の運動を変えないという規則という4つの法則を挙げている。後の原稿では、ニュートンは作用反作用の法則を追加し、この法則と質量中心の法則は互いに暗黙の関係にあると述べている。ニュートンはおそらく1685年頃に『プリンキピア』の中で、三大法則とその他の記述を帰結させる形で提示することに落ち着いたと思われる。 [ 128 ]

『プリンキピア』の後

メアリー・サマーヴィルによるラプラスの『天体力学』第1巻と第2巻の拡張版である『天体の仕組み』（1831年）の157ページ。[ 129 ]ここでサマーヴィルはケプラーの惑星運動の法則から重力の反二乗の法則を導き出している。

ニュートンは第二法則を、物体に働く力はその運動量の変化に比例する、と表現した。『プリンキピア』を書いたとき、彼は既に微積分学（彼はこれを「流数学」と呼んだ）を開発していたが、『プリンキピア』ではそれを明示的に用いていなかった。これはおそらく、ユークリッドの伝統に則った幾何学的議論の方が厳密であると信じていたためだろう。[ 130 ] : 15 [ 131 ]その結果、『プリンキピア』は加速度を位置の第二導関数として表現しておらず、したがって第二法則も として示していない。この形の第二法則は（一定の力の特殊なケースとして）少なくとも1716年にはヤコブ・ヘルマンによって書かれており、 1740年代にはレオンハルト・オイラーがこれを基本前提として採用した。[ 132 ]オイラーは剛体研究の先駆者であり[ 133 ]、流体力学の基本理論を確立した。[ 134 ]ピエール＝シモン・ラプラス（1798–1825）の5巻からなる著書『力学論』（Traité de mécanique célestedate =January 2026）は幾何学を放棄し、純粋に代数式を通じて力学を展開し、潮汐の完全な理論など、 『プリンキピア』が未解決のまま残した問題を解決した。[ 135 ]F=ma{\displaystyle F=ma}

エネルギーの概念は、ニュートン以後の時代にニュートン力学の重要な部分となりました。ホイヘンスによる剛体球の衝突の解は、その場合、運動量だけでなく運動エネルギーも保存されることを示しました（あるいは、むしろ、後から考えれば全運動エネルギーの半分として特定できる量です）。非弾性衝突や摩擦による運動の減速など、他のすべての過程において何が保存されるのかという問題は、19世紀まで解決されませんでした。この問題に関する議論は、ニュートンとライプニッツの形而上学的見解の間の哲学的論争と重なり合い、「力」という用語の様々な形容詞が、私たちがエネルギーの種類と呼ぶものを表すために使われることもありました。例えば、1742年にエミリー・デュ・シャトレは次のように書いています。 「死の力とは、単に運動しようとする傾向から成ります。それは、バネが弛緩しようとしているような力です。一方、生きた力とは、物体が実際に運動しているときに持つ力です。」現代の用語では、「死んだ力」と「生きている力」はそれぞれ位置エネルギーと運動エネルギーに対応します。[ 136 ]エネルギー保存則は、機械的仕事のエネルギーが熱に消散できることが理解されるまで、普遍的な原理として確立されていませんでした。[ 137 ] [ 138 ]エネルギーの概念に確固たる基盤が与えられると、ニュートンの法則は、前述のラグランジアンやハミルトンの定式化のように、エネルギーを第一に考える古典力学の定式化の中で導き出すことができました。

ニュートンの法則の現代的な表現にはベクトルの数学が用いられているが、この分野は19世紀後半から20世紀初頭にかけて発展した。ジョサイア・ウィラード・ギブスとオリバー・ヘヴィサイドによって開拓されたベクトル代数は、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって発明された四元数体系に由来し、その後、ほぼその体系に取って代わった。[ 139 ] [ 140 ]

参照

注記

  1. ^例えば、Zainを参照。 [ 4 ] : 1-2 David Tongは、「粒子とは、電子、テニスボール、惑星など、取るに足らない大きさの物体と定義されます。明らかに、この記述の妥当性は文脈に依存します…」と述べています。 [ 5 ]
  2. ^負の加速度には、減速（現在の速度が正の場合）と加速（現在の速度が負の場合）の両方が含まれます。この点や、学生がしばしば理解しにくいその他の点については、McDermott et al. [ 8 ]を参照してください。
  3. ^コーエンとホイットマンによれば。 [ 2 ]他の表現については、エディントン[ 14 ]とフラウチら[ 15 ]を参照。114 アンドリュー・モットの1729年の翻訳では、ニュートンの「nisi quatenus」をではなくunlessと訳していたが、フックはこれが誤りであると主張している。 [ 16 ] [ 17 ]
  4. ^ある教科書では、傾斜面を滑り落ちるブロックは「一部の皮肉屋が物理学の中で最も退屈な問題だと考えている」と記されている。 [ 23 ] : 70 また別の教科書では、「宇宙の秘密を知りたいという熱意を持った人が、傾斜面や滑車を研究する代わりに、もっと面白い職業に転向した例はどれほどあるだろうか」と皮肉を込めている。 [ 15 ] : 173
  5. ^例えば、ホセとサレタン（マッハとアイゼンバッド[ 27 ]に倣って）は運動量保存則を基本的な物理的原理とみなし、それを「力」の定義として扱っている。 [ 19 ] : 9 また、フラウチら[ 15 ] : 134 や、ファインマン、レイトン、サンズ[ 28 ] : 12-1 も参照。彼らは、重力の法則のような別の法則によって力が規定されなければ、第二法則は不完全であると主張している。クレップナーとコレンコウは、第二法則は第三法則がなければ不完全であると主張している。つまり、ある物体が加速しているのに、別の物体がそれを補うために同じ加速をしていないのを観測した観測者は、力が作用しているとは結論づけず、自分が慣性観測者ではないと結論づけるだろう、というものである。 [ 23 ] : 60 ランダウとリフシッツは、ニュートン力学ではなくラグランジアン形式論から出発することで、この問題を回避している。 [ 29 ]F=ma{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
  6. ^例えば、Moebs et al.、 [ 31 ] Gonick and Huffman、 [ 32 ] Low and Wilson、 [ 33 ] Stocklmayer et al.、 [ 34 ] Hellingman、 [ 35 ]およびHodanbosiを参照。 [ 36 ]
  7. ^例えば、Frautschi et al. [ 15 ] : 356を 参照
  8. ^前者については、Greiner [ 39 ]またはWachterとHoeber [ 40 ]を参照してください。後者については、Tait [ 41 ]とHeaviside [ 42 ]を参照してください。
  9. ^これに関する多くの教科書的な説明としては、Frautschi et al. [ 15 ] : 104 や Boas. [ 46 ] : 287 など がある。
  10. ^この点を扱った教科書としては、ハンドとフィンチ[ 49 ] :81 やクレップナーとコレンコウ[ 23 ] :103など がある。
  11. ^治療法については、例えばChabay et al. [ 53 ]やMcCallum et al. [ 54 ]などを参照されたい。449
  12. ^例えば、Frautschi et al.、 [ 15 ] : 215 Panofsky and Phillips、 [ 83 ] : 272 Goldstein, Poole and Safko、 [ 85 ] : 277 および Werner. [ 86 ]の議論を参照。
  13. ^詳細については、例えばCohen-Tannoudji et al. [ 99 ] : 242 やPeres. [ 100 ] : 302など の教科書を参照してください。
  14. ^アリストテレス物理学では浮力の説明も困難であり、ガリレオもその点を解決しようとしたが、完全には成功しなかった。 [ 103 ]
  15. ^アンネリーゼ・マイヤーは、「インペトゥスは力でもなければ、エネルギーの一種でもなく、現代的な意味での運動量でもない。インペトゥスは他の概念と共通点はあるが、どれとも同一ではない」と警告している。 [ 105 ] : 79
  16. ^ニュートン自身も熱心な錬金術師でした。ジョン・メイナード・ケインズは、原始科学から近代科学への移行期における彼の立場を「最後の魔術師」と呼びました。 [ 115 ] [ 116 ]錬金術がニュートンの「遠隔作用」、すなわち直接接触することなく一方の物体が他方の物体に力を及ぼすという概念に影響を与えたという説があります。 [ 117 ]この説は科学史家の間でかなりの支持を得ていましたが[ 118 ] 、ニュートンの論文のより広範な研究が可能になるまでは支持されていませんでした。しかし、ニュートンの錬金術が彼の光学、特に色の組み合わせについての考え方に影響を与えたことは明らかです。 [ 119 ] [ 120 ]

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