局所的にコンパクトな空間

位相幾何学および関連する数学の分野において、位相空間は、大まかに言えば、空間の各小部分がコンパクト空間の小部分のように見える場合、局所コンパクトと呼ばれます。より正確には、すべての点がコンパクト近傍を持つ位相空間です。

局所コンパクト空間がハウスドルフであるとき、それは局所コンパクトハウスドルフと呼ばれ、数学的解析において特に興味深い。[ 1 ]

正式な定義

X を位相空間とする。一般的に、Xのすべての点x がコンパクト近傍を持つ場合、すなわち、開集合Uとコンパクト集合Kが存在し、 となる場合、 Xは局所コンパクトと呼ばれる。 ×∈あなた⊆K{\displaystyle x\in U\subseteq K}

他にも一般的な定義があります。Xがハウスドルフ空間（またはプレ正則空間）であれば、これらはすべて同値です。しかし、一般には 同値ではありません。

1. Xのすべての点にはコンパクト近傍があります。
2. Xのすべての点には閉じたコンパクト近傍が存在する。
2′. Xのすべての点は比較的コンパクトな近傍を持ちます。
2″。X のすべての点には、比較的コンパクトな近隣地域のローカル ベースがあります。
3. Xのすべての点には、コンパクトな近隣地域のローカル ベースがあります。
4. Xのすべての点には、閉じたコンパクト近傍の局所基底があります。
5. Xはハウスドルフであり、前の条件のいずれか（または同等に、すべて）を満たします。

条件間の論理関係: [ 2 ]

  • 各条件は（１）を意味する。
  • 条件(2)、(2′)、(2″)は同等である。
  • 条件（2）と（3）のどちらも他方を意味するものではありません。
  • 条件（4）は（2）と（3）を意味する。
  • コンパクト性は条件(1)と(2)を意味しますが、条件(3)と(4)は意味しません。

条件(1)はおそらく最も一般的に用いられる定義である。なぜなら、これは最も制限が少なく、Xがハウスドルフであるとき他の定義はこれと同値であるからである。この同値性は、ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合が閉集合であり、コンパクト空間の閉部分集合がコンパクトであるという事実から導かれる。(1)を満たす空間は弱局所コンパクト[ 3 ] [ 4 ]であり、ここでの条件の中で最も弱いものを満たす。

それらは相対的にコンパクトな集合として定義されているので、(2)、(2')、(2")を満たす空間はより具体的には局所的に相対的にコンパクトと呼ぶことができる。[ 5 ] [ 6 ] SteenとSeebach [ 7 ]は、(2)、(2')、(2")を強く局所的にコンパクトと呼び、(1)を局所的にコンパクトと呼ぶ性質と対比させている。

条件（4）を満たす空間はまさに局所コンパクト正則空間。 [ 8 ] [ 2 ] 実際、そのような空間は正則であり、すべての点は閉近傍の局所基底を持つ。逆に、正則局所コンパクト空間において、点がコンパクト近傍 を持つ。正則性により、 の任意の近傍が与えられたとき、に含まれる の閉近傍が存在し、はコンパクト集合の閉集合としてコンパクトである。 ×{\displaystyle x}K{\displaystyle K}あなた{\displaystyle U}×{\displaystyle x}V{\displaystyle V}×{\displaystyle x}K∩あなた{\displaystyle K\cap U}V{\displaystyle V}

条件(5)は、例えばブルバキ[ 9 ]で用いられている。 局所コンパクト空間（条件(1)の意味で）かつハウスドルフ空間である空間は、上記の条件をすべて自動的に満たす。ほとんどの応用において、局所コンパクト空間はハウスドルフ空間でもあるため、本稿ではこれらの局所コンパクト空間を主に扱う。

例と反例

コンパクトなハウスドルフ空間

あらゆるコンパクト・ハウスドルフ空間は局所コンパクトでもあり、多くのコンパクト空間の例はコンパクト空間の記事で見ることができます。ここでは以下の点についてのみ言及します。

コンパクトではない局所コンパクトハウスドルフ空間

局所コンパクトではないハウスドルフ空間

次の節で述べるように、ハウスドルフ空間が局所コンパクトであれば、それはティコノフ空間でもある。このため、ティコノフ空間ではないために局所コンパクトではないハウスドルフ空間の例は、ティコノフ空間に関する記事で参照できる。しかし、局所コンパクトではないティコノフ空間の例も存在する。例えば、

  • 有理数の空間Q （ Rからの位相を備える）は、任意の近傍に無理数に対応するコーシー列が含まれるが、その無理数はQに収束する部分列を持たないためである。
  • のサブスペース。原点はコンパクト近傍を持たないため。{（0、0）}∪（（0、∞）×R）{\displaystyle \{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )}R2{\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}
  • 実数の集合R上の下限位相または上限位相（片側極限の研究に役立つ）。
  • 任意のT 0、したがってハウスドルフ、またはのような無限次元の位相ベクトル空間（無限次元ヒルベルト空間など）。R{\displaystyle \mathbb {R} }C{\displaystyle \mathbb {C} }

最初の2つの例は、局所コンパクト空間の部分集合が必ずしも局所コンパクトである必要はないことを示し、これは前節の開部分集合と閉部分集合とは対照的である。最後の例は、前節のユークリッド空間とは対照的である。より具体的には、ハウスドルフ位相ベクトル空間が局所コンパクトであるための必要十分条件は、それが有限次元である場合（この場合、それはユークリッド空間である）である。この例は、コンパクト空間の例としてのヒルベルト立方体とも対照的である。立方体はヒルベルト空間内のいかなる点の近傍にもなり得ないため、矛盾は生じない。

非ハウスドルフの例

  • 有理数Qの一点コンパクト化はコンパクトであり、したがって(1)と(2)の意味で局所コンパクトであるが、(3)と(4)の意味で局所コンパクトではない。
  • 任意の無限集合上の特定の点位相は、 (1)と(3)の意味で局所コンパクトであるが、(2)と(4)の意味で局所コンパクトではない。なぜなら、任意の近傍の閉包は空間全体であり、これは非コンパクトだからである。
  • 上記の2つの例の分離和は、(1)の意味で局所コンパクトであるが、(2)、(3)、(4)の意味で局所コンパクトではない。
  • 実数直線上の右順序位相は、(1)と(3)の意味で局所コンパクトであるが、(2)と(4)の意味で局所コンパクトではない。これは、任意の近傍の閉包が非コンパクト空間全体であるためである。
  • シェルピンスキー空間は(1)、(2)、(3)の意味で局所コンパクトであり、かつコンパクトでもあるが、ハウスドルフ空間でも正則空間でもない（あるいは前正則空間でもない）ため、(4)と(5)の意味で局所コンパクトではない。シェルピンスキー空間の可算個数の複製の非結合和は非コンパクト空間であり、(1)、(2)、(3)の意味で局所コンパクトではあるが、(4)と(5)の意味で局所コンパクトではない。
  • より一般的には、排除点位相は（１）、（２）、（３）の意味で局所コンパクトであり、（４）または（５）の意味でコンパクトだが局所コンパクトではない。
  • 無限集合上のコ有限位相は、(1)、(2)、(3)の意味で局所コンパクトであり、コンパクトでもあるが、ハウスドルフ位相でも正則位相でもないので、(4)や(5)の意味で局所コンパクトではない。
  • 少なくとも2つの要素を持つ集合上の非離散位相は、 (1)、(2)、(3)、(4)の意味で局所コンパクトであり、コンパクトでもあるが、ハウスドルフ位相ではないので、(5)の意味で局所コンパクトではない。

例の一般的なクラス

プロパティ

実際、すべての局所コンパクト前正則空間は完全に正則である。[ 11 ] [ 12 ] したがって、すべての局所コンパクト ハウスドルフ空間はティコノフ空間である。[ 13 ] 直線正則性は前正則性（通常はより弱い）や完全正則性（通常はより強い）よりもよく知られた条件であるため、局所コンパクト前正則空間は、数学の文献では通常、局所コンパクト正則空間と呼ばれる。同様に、局所コンパクト ティコノフ空間は通常、単に局所コンパクト ハウスドルフ空間と呼ばれる。

あらゆる局所コンパクト正則空間、特にあらゆる局所コンパクトハウスドルフ空間はベール空間である。[ 14 ] [ 15 ] つまり、ベールの範疇定理の結論は成り立つ。つまり、どこにも稠密でない部分集合のあらゆる可算和の内部は空である。

局所コンパクトハウスドルフ空間Yの部分空間Xが局所コンパクトであるための必要十分条件は、X がYにおいて局所的に閉じている場合である（つまり、X はYの2つの閉部分集合の集合論的差として表すことができる）。特に、局所コンパクトハウスドルフ空間内のすべての閉集合とすべての開集合は局所コンパクトである。また、系として、局所コンパクトハウスドルフ空間Yの稠密部分空間Xが局所コンパクトであるための必要十分条件は、 X がYにおいて開集合である場合である。さらに、任意のハウスドルフ空間Yの部分空間Xが局所コンパクトである場合、X はYにおいて局所的に閉じている必要があるが、その逆は一般には成り立たない。

ハウスドルフ予想がなければ、これらの結果のいくつかは、より弱い局所コンパクト概念によって破綻する。弱局所コンパクト空間（＝上記定義の条件（1））内のすべての閉集合は弱局所コンパクトである。しかし、弱局所コンパクト空間内のすべての開集合が弱局所コンパクトであるわけではない。例えば、有理数の1点コンパクト化は コンパクトであり、したがって弱局所コンパクトである。しかし、そこには弱局所コンパクトではない開集合が含まれる。 質問∗{\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}質問{\displaystyle \mathbb {Q} }質問{\displaystyle \mathbb {Q} }

局所コンパクトハウスドルフ空間の商空間はコンパクトに生成される。逆に、コンパクトに生成されるハウスドルフ空間はすべて、何らかの局所コンパクトハウスドルフ空間の商である。

局所コンパクト空間上で定義された関数の場合、局所一様収束はコンパクト収束と同じです。

無限遠点

この節では、局所コンパクト空間のコンパクト化について考察する。すべてのコンパクト空間はそれ自身のコンパクト化である。したがって、自明性を避けるため、以下では空間Xはコンパクトではないと 仮定する。

任意の局所コンパクトハウスドルフ空間Xはティコノフ空間なので、ストーン–チェフのコンパクト化を用いてコンパクトハウスドルフ空間に埋め込むことができる。しかし実際には、局所コンパクト空間の場合、より簡単な方法が存在する。すなわち、一点コンパクト化は、 X をコンパクトハウスドルフ空間に、点を一つだけ追加して埋め込む。（一点コンパクト化は他の空間にも適用できるが、X が局所コンパクトかつハウスドルフである場合に限り、ハウスドルフ空間となる。）したがって、局所コンパクトハウスドルフ空間は、コンパクトハウスドルフ空間の開集合として特徴付けることができる。 b（X）{\displaystyle b(X)}1つの（X）{\displaystyle a(X)}1つの（X）{\displaystyle a(X)}

直感的には、 の余分な点は無限遠点と考えることができる。無限遠点は、Xのすべてのコンパクト部分集合の外側にあると考えるべきである。この考え方を使うと、無限遠への傾向に関する多くの直感的な概念を、局所コンパクトハウスドルフ空間で定式化することができる。例えば、任意の正の数eが与えられたとき、点xがKの外側にあるときはいつでも、 となるようなXのコンパクト部分集合Kが存在するとき、その定義は無限遠で消滅するという。この定義は任意の位相空間Xに対して意味をなす。Xが局所コンパクトかつハウスドルフであるならば、そのような関数は、その一点コンパクト化上の連続関数gに拡張可能な関数とまったく同じである。1つの（X）{\displaystyle a(X)}|f（×）|<e{\displaystyle |f(x)|<e}1つの（X）＝X∪{∞}{\displaystyle a(X)=X\cup \{\infty \}}グラム（∞）＝0。{\displaystyle g(\infty )=0.}

ゲルファンド表現

局所コンパクトハウスドルフ空間X に対して、X上の無限遠で消滅する連続複素数値関数全体の集合は可換C*-代数である。実際、任意の可換C*-代数は、何らかの一意な（同相を除いて）局所コンパクトハウスドルフ空間Xに対して と同型である。これはゲルファント表現を用いて示される。 C0（X）{\displaystyle C_{0}(X)}C0（X）{\displaystyle C_{0}(X)}

局所コンパクト群

局所コンパクト性の概念は、位相群の研究において重要である。これは主に、ハウスドルフ局所コンパクト群Gが、 G上で定義された可測関数を積分することを可能にするハール測度と呼ばれる自然な測度を持つためである。実数直線上のルベーグ測度は、この特別な場合である。 R{\displaystyle \mathbb {R} }

位相アーベル群Aのポンチャギン双対が局所コンパクトであることと、Aが局所コンパクトであることは同値である。より正確には、ポンチャギン双対性は局所コンパクトアーベル群の圏の自己双対性を定義する。局所コンパクトアーベル群の研究は調和解析の基礎であり、この分野は後に非アーベル局所コンパクト群にも広がった。

参照

引用

  1. ^フォランド 1999、p. 131、セクション4.5.
  2. ^ a b Gompa, Raghu (1992年春). 「「局所コンパクト」とは何か？」(PDF) . Pi Mu Epsilon Journal . 9 (6): 390– 392. JSTOR  24340250. 2015年9月10日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) .
  3. ^ Lawson, J.; Madison, B. (1974). 「k-半群の商」. Semigroup Forum . 9 : 1–18 . doi : 10.1007/BF02194829 .、3ページ
  4. ^ Breuckmann, Tomas; Kudri, Soraya; Aygün, Halis (2004). 「弱局所コンパクト空間について」.ソフト方法論とランダム情報システム. Springer. pp.  638– 644. doi : 10.1007/978-3-540-44465-7_79 . ISBN 978-3-540-22264-4。
  5. ^ Lowen-Colebunders, Eva (1983)、「閉集合とコンパクト集合の収束について」、Pacific Journal of Mathematics、108 (1): 133– 140、doi : 10.2140/pjm.1983.108.133、MR 0709705、S2CID 55084221、Zbl 0522.54003   
  6. ^バイス、トリスタン;クビシュ、ヴィエスワフ (2020)。 「半格子サブベースのウォールマン双対性」。arXiv : 2002.05943 [ math.GN ]。
  7. ^スティーン＆シーバッハ、20ページ
  8. ^ケリー 1975、第5章、定理17、146ページ。
  9. ^ブルバキ, ニコラ (1989).一般位相幾何学 第1部(1966年版の再版). ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 3-540-19374-X。
  10. ^シュペーア、ティモシー（2007年8月16日）「アレクサンドロフ空間の短い研究」arXiv : 0708.2136 [ math.GN ]。定理5
  11. ^シェクター、1996 年、17.14(d)、p. 460。
  12. ^ 「一般位相幾何学 - 局所コンパクト前正則空間は完全に正則である」。Mathematics Stack Exchange。
  13. ^ウィラード1970、定理19.3、p.136。
  14. ^ケリー1975、定理34、p.200。
  15. ^ Schechter 1996、定理 20.18、p. 538.

参考文献

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