量子群

数学および理論物理学において、量子群という用語は、追加の構造を持つ数種類の非可換代数のうちの1つを指します。これらには、ドリンフェルト-ジンボ型量子群（準三角ホップ代数）、コンパクト行列量子群（単位可分C*-代数上の構造）、双積量子群が含まれます。その名前にもかかわらず、それらはそれ自体が自然な群構造を持たないものの、ある意味で群に「近い」と言えます。

「量子群」という用語は、量子可積系理論において初めて登場し、その後、ウラジミール・ドリンフェルトと神保道夫によってホップ代数の特定のクラスとして形式化されました。同じ用語は、古典的なリー群またはリー代数を変形したり、それらに近い他のホップ代数にも用いられます。例えば、ドリンフェルトと神保の研究の少し後に シャーン・マジッドによって導入された量子群の「双積」クラスなどが挙げられます。

Drinfeld のアプローチでは、量子群は補助パラメータqまたはhに依存するホップ代数として発生し、q = 1 またはh = 0のときに、特定のリー代数（多くの場合、半単純またはアフィン）の普遍包絡代数になります。密接に関連しているのは、ホップ代数であり、量子群とも呼ばれる特定の双対オブジェクトであり、対応する半単純代数群またはコンパクト リー群上の関数の代数を変形します。

直感的な意味

量子群の発見は全く予想外のことでした。なぜなら、コンパクト群と半単純リー代数は「剛体」な対象、つまり「変形」できないことは長らく知られていたからです。量子群の背後にある考え方の一つは、ある意味では等価だがより大きな構造、すなわち群代数または普遍包絡代数を考える場合、群代数または包絡代数は「変形」できるというものです。ただし、その変形はもはや群代数または包絡代数のままではなくなります。より正確には、変形は可換性や余可換性を必要としないホップ代数の範疇において実現できます。変形された対象は、アラン・コンヌの非可換幾何学の精神に則り、「非可換空間」上の関数の代数と考えることができます。しかしながら、この直感は、レニングラード学派（ルートヴィヒ・ファデーエフ、レオン・タクタジャン、エフゲニー・スクリャーニン、ニコライ・レシェティキン、ウラジミール・コレーピン）によって開発された量子ヤン・バクスター方程式と量子逆散乱法の研究、および日本学派による関連研究において、特定のクラスの量子群の有用性がすでに証明されていた後に得られたものである。^{[ 1 ]} 2番目の双積クラスの量子群の背後にある直感は異なり、量子重力へのアプローチとして自己双対オブジェクトの探索から得られたものである。^{[ 2 ]}

ドリンフェルト・ジンボ型量子群

一般的に「量子群」と呼ばれる対象の一種は、ウラジミール・ドリンフェルトと神保道夫の研究において、半単純リー代数、あるいはより一般的にはカツ・ムーディ代数の普遍包絡代数の変形として、ホップ代数の範疇に登場した。結果として得られる代数は追加の構造を持ち、擬三角ホップ代数となる。

A = ( a _ij ) をKac-Moody 代数のカルタン行列とし、 q ≠ 0, 1 を複素数とすると、カルタン行列がAであるリー代数Gの量子群U _q ( G ) は、生成元k _λ ( λは重み格子の要素、つまり2(λ, α _i )/(α _i , α _i ) はすべてのiに対して整数)、およびe _iとf _i (単純根 、α i の場合)を持つ_単位結合代数として定義され、次の関係が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{0}&=1\\k_{\lambda }k_{\mu }&=k_{\lambda +\mu }\\k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i}\\k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i}\\\left[e_{i},f_{j}\right]&=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}&&k_{i}=k_{\alpha _{i}},q_{i}=q^{{\frac {1}{2}}(\alpha _{i},\alpha _{i})}\\\end{aligned}}}$

そして、 i ≠ jの場合、 q -Serre 関係式が得られます。これはSerre関係式 の変形です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}e_{i}^{n}e_{j}e_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\\[6pt]\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\end{aligned}}}$

ここで、通常の階乗のq類似体であるq階乗は、q数を使用して再帰的に定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{[0]}_{q_{i}}!&=1\\{[n]}_{q_{i}}!&=\prod _{m=1}^{n}[m]_{q_{i}},&&[m]_{q_{i}}={\frac {q_{i}^{m}-q_{i}^{-m}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}\end{aligned}}}$

q → 1の極限では、これらの関係は普遍包絡代数U ( G ) の関係に近づく。ここで

${\displaystyle k_{\lambda }\to 1,\qquad {\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{qq^{-1}}}\to t_{\lambda }}$

そしてtλ_はカルタン部分代数の元であり、カルタン部分代数内のすべてのhに対して( _tλ , h ) = λ ( h )を満たす。

これらの代数がホップ代数となるような様々な共積が存在する。例えば、

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Delta _{1}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{1}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}&\Delta _{1}(f_{i})=k_{i}^{-1}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1\\\Delta _{2}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{2}(e_{i})=k_{i}^{-1}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1&\Delta _{2}(f_{i})=1\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}\\\Delta _{3}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{3}(e_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}&\Delta _{3}(f_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

ここで、生成子のセットは、必要に応じて、重み格子の要素とルート格子の要素の半分の合計として表現できるλに対してk _λを含むように拡張されます。

さらに、任意のホップ代数は、逆の余積T o Δ を持つ別のホップ代数につながります。ここで、TはT ( x ⊗ y ) = y ⊗ xで与えられ、さらに 3 つのバージョンが可能です。

U _q ( A )上の余積は、これらの余積すべてに対して同じである: ε ( k _λ ) = 1, ε ( e _i ) = ε ( f _i ) = 0であり、上記の余積のそれぞれの反対称体は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{array}{lll}S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1}&S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i}\\S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i}&S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1}\\S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i}&S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}\end{array}}}$

あるいは、量子群U _q ( G ) は、体C ( q )、つまりC上の不定qのすべての有理関数の体上の代数と見なすことができます。

同様に、量子群U _q ( G ) は、体Q ( q )上の代数とみなすことができる。体Q ( q ) は、不定元qのQ上における有理関数全体の成す体である（ q = 0における量子群の節を参照）。量子群の中心は量子行列式によって記述できる。

表現論

Kac-Moody 代数とその普遍包絡代数にはさまざまなタイプの表現があるのと同様に、量子群にもさまざまなタイプの表現があります。

すべてのホップ代数の場合と同様に、U _q ( G ) はそれ自身の加群として随伴表現を持ち、その作用は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{x}\cdot y=\sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)}),}$

どこ

${\displaystyle \Delta (x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}.}$

ケース1: qは単位根ではない

表現の重要な種類の一つに重み表現があり、対応するモジュールは重みモジュールと呼ばれます。重みモジュールは、重みベクトルの基底を持つモジュールです。重みベクトルとは、すべてのλに対してkλ·v=dλvとなる非零ベクトル_vのことです。ここでdλは、すべての重み λ_に対して複素数であり_、

${\displaystyle d_{0}=1,}$

${\displaystyle d_{\lambda }d_{\mu }=d_{\lambda +\mu },}$ すべての重みλとμについて。

重み加群は、 e _iとf _iの作用が 局所的に冪零である（すなわち、加群内の任意のベクトルvに対して、 vに依存し得る正の整数kが存在し、すべてのiに対して k が成り立つ）とき、積分可能と呼ばれる。積分可能加群の場合、重みベクトルに関連付けられた複素数d _{λ は}を満たす。ここで、νは重み格子の元であり、c _λは次式を満たす複素数である。 ${\displaystyle e_{i}^{k}.v=f_{i}^{k}.v=0}$ ${\displaystyle d_{\lambda }=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$ すべての重みλとμについて、
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$ すべてのiに対して。

特に興味深いのは、最高重み表現と、それに対応する最高重みモジュールです。最高重みモジュールとは、重みベクトルvによって生成されるモジュールであり、すべての重みμに対してk _λ · v = d _λ v、すべてのiに対してe _i · v = 0が成り立ちます。同様に、量子群は最低重み表現と最低重みモジュールを持つことができます。つまり、重みベクトルvによって生成されるモジュールであり、すべての重みλに対してk _λ · v = d _λ v、すべてのiに対してf _i · v = 0 が成り立ちます。

重み格子内の すべてのλに対して重みνを持つベクトルvを定義します。${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=q^{(\lambda ,\nu )}v}$

Gが Kac-Moody 代数である場合、最高重み ν を持つU _q ( G ) の任意の既約な最高重み表現において、重みの重複度は、等しい最高重みを持つU ( G ) の既約な表現における重複度に等しい。最高重みが支配的かつ整数である場合（重みμがすべてのiに対して非負の整数であるという条件を満たす場合、重みμは支配的かつ整数である）、既約な表現の重みスペクトルはGのWeyl 群の下で不変であり、表現は積分可能である。 ${\displaystyle 2(\mu ,\alpha _{i})/(\alpha _{i},\alpha _{i})}$

逆に、最高重みモジュールが積分可能である場合、その最高重みベクトルvはを満たす。ここで、c _λ · v = d _λ vは複素数であり、 ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}v}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$ すべての重みλとμについて、
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$ すべてのiについて、

そしてνは支配的かつ整数です。

すべてのホップ代数の場合と同様に、 2つの加群のテンソル積は別の加群となる。U _q (G)の元xと、それぞれの加群のベクトルvおよびwに対して、 x ⋅ ( v ⊗ w ) = Δ( x ) ⋅ ( v ⊗ w ) が成り立つので、 となり、余積 Δ ₁の場合は、${\displaystyle k_{\lambda }\cdot (v\otimes w)=k_{\lambda }\cdot v\otimes k_{\lambda }.w}$ ${\displaystyle e_{i}\cdot (v\otimes w)=k_{i}\cdot v\otimes e_{i}\cdot w+e_{i}\cdot v\otimes w}$ ${\displaystyle f_{i}\cdot (v\otimes w)=v\otimes f_{i}\cdot w+f_{i}\cdot v\otimes k_{i}^{-1}\cdot w.}$

上で説明した積分可能な最高重みモジュールは、1 次元モジュール (すべてのλに対してk _λ = c _λ、すべてのiに対してe _i = f _i = 0 ) と、すべての重みλに対して、およびすべてのiに対して の対象となる非ゼロベクトルv ₀によって生成される最高重みモジュールとのテンソル積です。 ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v_{0}=q^{(\lambda ,\nu )}v_{0}}$ ${\displaystyle e_{i}\cdot v_{0}=0}$

Gが有限次元リー代数（カッツ・ムーディ代数の特殊なケース） である特定のケースでは、支配的な整数の最高重みを持つ既約表現も有限次元になります。

最高重みモジュールのテンソル積の場合、サブモジュールへの分解は、Kac-Moody 代数の対応するモジュールのテンソル積の場合と同じです (最高重みは同じで、重複度も同じです)。

ケース2: qは単位根である

準三角形性

ケース1: qは単位根ではない

厳密には、量子群U _q ( G ) は準三角群ではないが、 R行列の役割を果たす無限形式和が存在するという点で「ほぼ準三角群」であると考えられる。この無限形式和は、生成元e _iとf _i、およびカルタン生成元t _λで表すことができる。ここで、k _λはq ^{t _λ}と形式的に同一視される。この無限形式和は、2つの因数の積である。

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}}$

および無限形式和、ここでλ _jはカルタン部分代数の双対空間の基底、μ _{j は}双対基底、η = ±1 である。

R行列の役割を果たす形式的無限和は、2つの既約な最高重みの加群のテンソル積、および2つの最低重みの加群のテンソル積に対して明確に定義された作用を持つ。具体的には、v が重みαを持ち、w が重みβを持つ場合、

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}\cdot (v\otimes w)=q^{\eta (\alpha ,\beta )}v\otimes w,}$

そして、モジュールが両方とも最高重みモジュールであるか、両方とも最低重みモジュールであるという事実は、v ⊗ Wに対する他の因子の作用を有限和に減らします。

具体的には、Vが最高重みモジュールである場合、形式的な無限和Rは、V ⊗ Vに対して明確に定義され、可逆な作用を持ち、このRの値(End( V ⊗ V ) の要素として) はヤン・バクスター方程式を満たし、したがって、組紐群の表現を決定し、結び目、リンク、組紐の準不変量を定義できるようになります。

ケース2: qは単位根である

q = 0における量子群

柏原正樹は、 q → 0としての量子群の極限挙動を研究し、結晶基底と呼ばれる特に良好な挙動を示す基底を発見しました。

根系とディンキン図による説明と分類

q ⁿ = 1 のU _q ( g )のような量子群の有限商の記述については、かなりの進歩がありました。通常は、尖端ホップ代数のクラスを考慮します。これは、すべての単純な左または右コモジュールが 1 次元であり、したがって、そのすべての単純な部分コ代数の合計がコラディカルと呼ばれるグループ代数を形成することを意味します。

• 2002年にH.-J. SchneiderとN. Andruskiewitsch ^{[ 3 ]}は、アーベル共根基群（素数2、3、5、7を除く）を持つ尖端ホップ代数の分類を完了しました。特に、U _q ( g )の上記の有限商は、通常の半単純リー代数と同様に、 E ′（ボレル部分）、双対F ′、K ′（カルタン代数）に分解されます。

${\displaystyle \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbf {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }}$

ここで、古典理論と同様に、VはE ′によって張られるn次元の編み込みベクトル空間であり、 σ（いわゆるコサイクルツイスト）はE ′ とF ′の間に非自明な連結を作り出す。古典理論とは異なり、2つ以上の連結成分が出現する可能性があることに注意されたい。量子ボレル代数の役割は、編み込みベクトル空間のニコルス代数によって担われる。${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$

4つのA3コピーを連結する尖端ホップ代数の一般化ディンキン図

• 重要な要素は、I. ヘッケンベルガーによる一般化ディンキン図によるアーベル群の有限ニコルス代数の分類であった。^{[ 4 ]}小さな素数が存在する場合、三角形などのいくつかの珍しい例が発生する（ランク3のディンキン図の図も参照）。

有限次元ニコルス代数に関連するランク3のディンキン図

• 一方、シュナイダーとヘッケンベルガー^{[ 5 ] は}、非可換の場合にも算術ルート系の存在を一般的に証明し、可換の場合にカルチェコによって証明されたPBW基底を生成する（有限次元の仮定は不要）。これは^{[ 6 ]}特定のケース U _q ( g ) に適用でき、例えばこれらの量子群の特定のコイデアル部分代数とリー代数gのワイル群の位数との間の数値的一致を説明する。

コンパクト行列量子群

SL・ウォロノヴィッチはコンパクト行列量子群を導入した。コンパクト行列量子群は、その構造上の「連続関数」がC*-代数の元によって与えられる抽象構造である。コンパクト行列量子群の幾何学は、非可換幾何学の特別な場合である。

コンパクトハウスドルフ位相空間上の連続複素数値関数は可換C*-代数を形成する。ゲルファンドの定理によれば、可換C*-代数はコンパクトハウスドルフ位相空間上の連続複素数値関数のC*-代数と同型であり、位相空間は同相写像を除いてC*-代数によって一意に決定される。

コンパクト位相群Gに対して、 C*-代数準同型 Δ: C ( G ) → C ( G ) ⊗ C ( G ) （ここでC ( G ) ⊗ C ( G )は C*-代数テンソル積、つまりC ( G ) とC ( G )の代数テンソル積の完備化）が存在し、すべてのf ∈ C ( G ) に対して Δ( f )( x , y ) = f ( xy )が成り立ち、すべてのx、 y ∈ Gに対して Δ( f )( x , y ) = f ( x ) g ( y ) が成り立ちます（すべてのf 、g ∈ C ( G )およびすべてのx 、 y ∈ Gに対して( f ⊗ g ) ( x、y ) = f ( x ) g ( y )が成り立ちます）。また、 κ : C ( G ) → C ( G ) という線型乗法写像が存在し、 κ ( f )( x ) = f ( x ⁻¹ ) がすべてのf ∈ C ( G ) とすべてのx ∈ Gに対して成り立つ。厳密には、 G が有限次元でない限り、これによってC ( G ) がホップ代数になるわけではない。一方、Gの有限次元表現は、 C ( G )の *-部分代数を生成するために使用することができ、これもホップ*-代数となる。具体的には、がGのn次元表現である場合、すべてのi、j u _ij ∈ C ( G ) に対して、${\displaystyle g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}}$

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}.}$

したがって、すべての i, j に対して u ij によって生成される *-代数と、すべてのi _, jに対してκ ( u _ij )によって生成される *-代数はホップ *-代数である。つまり、すべてのi, jに対してε( u _ij ) = δ _ijによってコユニットが決定され（ただしδ _ijはクロネッカーのデルタ）、対掌体はκであり、単位は次のように与えられる。

${\displaystyle 1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.}$

一般的な定義

一般化として、コンパクト行列量子群は ( C , u ) のペアとして定義される。ここでCは C*-代数であり、Cに次 の要素を持つ行列である。${\displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

• uの行列要素によって生成されるCの*-部分代数C _0はCにおいて稠密です。

• 共乗法 Δ: C → C ⊗ Cと呼ばれる C* 代数準同型が存在し、(ここでC ⊗ Cは C* 代数テンソル積、つまりCとCの代数テンソル積の完備化です)、すべてのi, jに対して次が成り立ちます。

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}}$

• κ: C ₀ → C ₀（逆写像）が存在し、 κ ( κ ( v *)*) = vがすべてのv ∈ C ₀に対して成り立ち、

${\displaystyle \sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,}$

ここで、IはCの単位元である。κは逆乗法なので、C0内のすべてのv、wに対してκ ( vw )= κ ( w ) κ ( v )が成立_する。

連続性の結果として、C上の共乗法は共結合的です。

一般に、Cは双代数ではなく、C ₀はホップ*-代数です。

非公式には、C はコンパクト行列量子群上の連続複素数値関数の * 代数と見なすことができ、u はコンパクト行列量子群の有限次元表現と見なすことができます。

表現

コンパクト行列量子群の表現は、ホップ*-代数の共表現（共結合的共代数の共表現）によって与えられ、 AはAに要素を持つ正方行列である（したがってvはM（n、A）に属する） ${\displaystyle v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}}$

すべてのi、jに対してε ( v _ij ) = δ _{ij が}成り立ち、すべてのi、 jに対してε ( v ij ) = δ ijが成り立ちます。さらに、表現vがユニタリであるとは、 vの行列がユニタリである場合（または、すべてのi、jに対してκ( v _ij ) = v* _ijが成り立つ場合）を指します。

例

コンパクト行列量子群の例としてはSU _μ (2)がある。ここでパラメータμは正の実数である。つまりSU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), u )であり、C(SU _μ (2))はαとγによって生成されるC*-代数であり、

${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}$

そして

${\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

したがって、共乗は ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*、∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α* によって決定され、共乗は κ(α) = α*、κ(γ) = −μ ⁻¹ γ、κ(γ*) = −μγ* によって決定されます。 κ(α*) = α。uは表現ですが、単一表現ではないことに注意してください。 uはユニタリー表現と同等です

${\displaystyle v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).}$

同様に、SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), w ) となる。ここで、C(SU _μ (2)) はαとβによって生成されるC*-代数であり、

${\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,}$

${\displaystyle \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}$

そして

${\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

共乗は ∆(α) = α ⊗ α − μβ ⊗ β*、Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α* によって決まり、共逆は κ(α) = α*、κ(β) = −μ ⁻¹ β、κ(β*) = −μβ*、 κ(α*) = α。wは単一表現であることに注意してください。実現は、 を等式化することによって識別できます。 ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\beta }$

μ = 1のとき、SU _μ (2)は具体的なコンパクト群SU(2)上の関数の 代数C (SU(2))に等しい。

双積量子群

コンパクト行列擬群は、典型的には双関数代数定式化におけるドリンフェルド・ジンボ量子群に構造が追加されたバージョンであるのに対し、双積擬群は、半単純リー群ではなく可解リー群の変形として重要性が増している、量子群の明確な第二の族である。双積擬群はリー代数のリー分解やリー群の局所因数分解と関連しており、代数において一方の因子が他方の因子に作用する外積またはマッキー量子化と見なすことができる。また、余積Δにおいても、2番目の因子が最初の因子に作用する同様の関係が成り立つ。

最も単純で自明でない例は、Rの2つのコピーが互いに局所的に作用し、生成元p、K、K ⁻¹、および余積を持つ量子群（ここでは代数形式で与えられている）となる。

${\displaystyle [p,K]=hK(K-1)}$

${\displaystyle \Delta p=p\otimes K+1\otimes p}$

${\displaystyle \Delta K=K\otimes K}$

ここで、hは変形パラメータです。

この量子群は、量子力学のハイゼンベルク代数の変形として見た場合、ボルンの相反性を実装したプランクスケール物理学のおもちゃモデルに関連付けられました。また、半単純リー代数gの任意のコンパクト実形式から始めて、次元の2倍の実リー代数としての複素化は、gと特定の可解リー代数（岩澤分解）に分解され、これはgに関連付けられた標準的な双積量子群を提供します。su (2) に対して、 3次元運動のユークリッド群E(3)の量子群変形が得られます。

参照

• ホップ代数
• リー双代数
• ポアソン・リー群
• 量子アフィン代数

注記

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4. Heckenberger: 対角型ニコルス代数と算術ルート系、Habilitation thesis 2005。
5. Heckenberger、Schneider: ニコルズ代数のためのルート システムとワイル グルッポイド、2008 年。
6. Heckenberger, Schneider: ニコルス代数の右コイデアル部分代数と Weyl グループ体のデュフロ順序、2009 年。

参考文献

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