整列したテッセラティックハニカム

四分の一タイル状のハニカム
（画像なし）
タイプ	均一な4ハニカム
家族	1/4超立方ハニカム
シュレーフリ記号	r{4,3,3,4} r{4,3 ^1,1 } r{4,3 ^1,1 } q{4,3,3,4}
コクセター・ディンキン図	＝＝＝＝
4面タイプ	h{4,3 ² }、h ₃ {4,3 ² }、
細胞の種類	{3,3} , t ₁ {4,3} ,
顔のタイプ	{3} {4}
エッジ図	四角錐
頂点図形	細長い{3,4}×{}
コクセターグループ	${\tilde {C}}_{4}$ = [4,3,3,4] = [4,3 ^1,1 ] = [3 ^1,1,1,1 ] ${\tilde {B}}_{4}$ ${\チルダ {D}}_{4}$
デュアル
プロパティ	頂点推移

四次元ユークリッド幾何学において、平行四辺形ハニカム（rectified tesseractic honeycomb ）は、ユークリッド四次元空間における一様空間充填モザイク（またはハニカム）である。これは、モザイクハニカムの平行化によって構築される。この平行化では、元のすべての辺の中央に新たな頂点を作成し、セルを平行四辺形に平行化し、元の頂点に新たな16セルの面を追加する。その頂点図形は、{3,4}×{}の八面体プリズムである。

これは、 4立方体ハニカムの頂点の半分と、テッセラティックハニカムの頂点の4分の1を持つことから、クォーターテッセラティックハニカムとも呼ばれます。^[¹^]

関連するハニカム

[4,3,3,4]、コクセター群は、一様モザイクの31通りの順列を生成する。そのうち21通りは対称性が異なる。20通りは幾何学的に異なる。拡張モザイクハニカム（立体モザイクハニカムとも呼ばれる）は、モザイクハニカムと幾何学的に同一である。対称モザイクハニカムのうち3通りは[3,4,3,3]族で共有されている。2つの交代(13)と(17)、そして1/4モザイクハニカム(2)は、他の族でも繰り返される。

C4ハニカム
拡張対称性	拡張図	注文	ハニカム
[4,3,3,4]:		×1	₁、 ₂、 ₃、 ₄、 ₅、 ₆、 ₇、 ₈、 ₉、 ₁₀、 ₁₁、 ₁₂、 ₁₃
[[4,3,3,4]]		×2	_（１）、（_２）_（13）、₁₈_（6）、₁₉、₂₀
[(3,3)[1 ⁺ ,4,3,3,4,1 ⁺ ]] ↔ [(3,3)[3 ^1,1,1,1 ]] ↔ [3,4,3,3]	↔↔	×6	₁₄、 ₁₅、 ₁₆、 ₁₇

[4,3,3 ^1,1 ]、コクセター群は、一様タイル分割の31通りの順列を生成する。そのうち23通りは対称性が異なる。4通りは幾何学的に異なる。交代形式は2つあり、交代形式(19)と(24)はそれぞれ16セルハニカムとスナブ24セルハニカムと同じ幾何学的形状を持つ。

B4ハニカム
拡張対称性	拡張図	注文	ハニカム
[4,3,3 ^1,1 ]:		×1	₅、 ₆、 ₇、 ₈
<[4,3,3 ^1,1 ]>: ↔[4,3,3,4]	↔	×2	₉、 ₁₀、 ₁₁、 ₁₂、 ₁₃、 ₁₄、 _（10）、 ₁₅、 ₁₆、 _（13）、 ₁₇、 ₁₈、 ₁₉
[3[1 ⁺ ,4,3,3 ^1,1 ]] ↔ [3[3,3 ^1,1,1 ]] ↔ [3,3,4,3]	↔↔	×3	₁、 ₂、 ₃、 ₄
[(3,3)[1 ⁺ ,4,3,3 ^1,1 ]] ↔ [(3,3)[3 ^1,1,1,1 ]] ↔ [3,4,3,3]	↔↔	×12	₂₀、 ₂₁、 ₂₂、 ₂₃

コクセター群によって構成される一様ハニカムは10個あり、それらはすべて、コクセター・ディンキン図における環のグラフ対称性に見られるように、拡張対称性によって他の族で繰り返されます。10番目は交代として構成されます。コクセター記法における部分群として、[3,4,(3,3) ^* ]（指数24）、[3,3,4,3 ^* ]（指数6）、[1 ⁺ ,4,3,3,4,1 ⁺ ]（指数4）、[3 ^1,1 ,3,4,1 ⁺ ]（指数2）はすべて[3 ^1,1,1,1 ]と同型です。 ${\チルダ {D}}_{4}$

10 個の順列は、最も拡張された対称関係とともに次のようにリストされます。

D4ハニカム
拡張対称性	拡張図	拡張グループ	ハニカム
[3 ^1,1,1,1 ]		${\チルダ {D}}_{4}$	（なし）
<[3 ^1,1,1,1 ]> ↔ [3 ^1,1 ,3,4]	↔	${\チルダ {D}}_{4}$ ×2 = ${\tilde {B}}_{4}$	（なし）
<2[ ^1,1 3 ^1,1 ]> ↔ [4,3,3,4]	↔	${\チルダ {D}}_{4}$ ×4 = ${\tilde {C}}_{4}$	₁、₂
[3[3,3 ^1,1,1 ]] ↔ [3,3,4,3]	↔	${\チルダ {D}}_{4}$ ×6 = ${\tilde {F}}_{4}$	₃、₄、₅、₆
[4[ ^1,1 3 ^1,1 ]] ↔ [[4,3,3,4]]	↔	${\チルダ {D}}_{4}$ ×8 = ×2 ${\tilde {C}}_{4}$	₇、₈、₉
[(3,3)[3 ^1,1,1,1 ]] ↔ [3,4,3,3]	↔	${\チルダ {D}}_{4}$ ×24 = ${\tilde {F}}_{4}$	₇、₈、₉
[(3,3)[3 ^1,1,1,1 ]] ⁺ ↔ [3 ⁺ ,4,3,3]	↔	½ × 24 = ½ ${\チルダ {D}}_{4}$ ${\tilde {F}}_{4}$	₁₀

参照

4次元空間における規則的かつ均一なハニカム構造:

注記

^コクセター『正則多面体と半正則多面体 III』 (1988)、p318

参考文献

万華鏡： HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1] 2016年7月11日にWayback Machineにアーカイブ
- （論文24）HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] p318参照[2]
ジョージ・オルシェフスキー『均一な全倍数体テトラコーム』原稿（2006年）（11個の凸均一タイリング、28個の凸均一ハニカム、および143個の凸均一テトラコームの完全なリスト）
Klitzing, Richard. 「4Dユークリッドモザイク#4D」。o4x3o3o4o, o3o3o *b3x4o, x3o3x *b3o4o, x3o3x *b3o *b3o - rittit - O87
Conway JH, Sloane NJH (1998). Sphere Packings, Lattices and Groups (第3版). Springer. ISBN 0-387-98585-9。

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\チルダ {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / / ${\tilde {F}}_{4}$ ${\チルダ {E}}_{n-1}$
E ²	均一なタイリング	0 _[3]	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	六角
E ³	均一な凸型ハニカム	0 _[4]	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E4	均一な4ハニカム	0 _[5]	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24セルハニカム
E ⁵	均一な5ハニカム	0 _[6]	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	均一な6ハニカム	0 _[7]	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	均一な7ハニカム	0 _[8]	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E8	均一な8ハニカム	0 _[9]	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E9	均一な9ハニカム	0 _[10]	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	均一な10ハニカム	0 _[11]	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E ^{n −1}	均一な（n −1）ハニカム	0 _{[ n ]}	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _{k 2} • 2 _{k 1} • k ₂₁

[1] コクセター『正則多面体と半正則多面体 III』 (1988)、p318

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