数学
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数学は、経験科学や数学そのものの必要に応じて発展・証明された方法、理論、定理を発見し、体系化する学問分野です。数学には多くの分野があり、数論（数の研究）、代数学（公式や関連する構造の研究）、幾何学（図形とそれらを含む空間の研究）、解析学（連続的な変化の研究）、集合論（現在、あらゆる数学の基礎として用いられている）などが含まれます。

数学は、自然からの抽象化、あるいは現代数学においては公理と呼ばれる特定の性質を持つと規定された純粋に抽象的な実体からなる抽象対象の記述と操作を伴う。数学は純粋理性を用いて、既に確立された結果に演繹規則を連続的に適用することからなる証明を通じて、対象の性質を証明する。これらの結果は定理と呼ばれ、既に証明された定理、公理、そして自然からの抽象化の場合は、検討中の理論の真の出発点とみなされるいくつかの基本的性質が含まれる。[ 1 ]

数学は自然科学、工学、医学、金融、コンピュータサイエンス、そして社会科学において不可欠な要素です。数学は現象のモデル化に広く用いられていますが、数学の根本的な真理はいかなる科学的実験からも独立しています。統計学やゲーム理論といった数学の分野は、その応用と密接に関連して発展しており、しばしば応用数学に分類されます。他の分野は、いかなる応用からも独立して発展しており（そのため純粋数学と呼ばれます）、後に実用的な応用が見出されることがよくあります。[ 2 ] [ 3 ]

歴史的に、証明の概念とそれに伴う数学的厳密さは、ギリシャ数学、特にユークリッドの『原論』に初めて登場しました。[ 4 ]数学は誕生以来、 16世紀と17世紀に代数学[ a ]と微積分学が新しい分野として導入されるまで、主に幾何学と算術（自然数と分数の扱い）に分かれていました。それ以来、数学的革新と科学的発見の相互作用により、両者の発展は相関して増加しました。[ 5 ] 19世紀末、数学の基礎的危機により公理的方法が体系化され[ 6 ]、数学の分野数とその応用分野が劇的に増加しました。現代の数学主題分類では、60を超える第一レベルの数学領域が挙げられています。[ 7 ] [ 8 ]

数学の分野

ルネサンス 以前、数学は主に2つの分野に分かれていました。数の操作に関する算術と、図形の研究に関する幾何学です。 [ 9 ]数秘術や占星術などの疑似科学は、当時は数学と明確に区​​別されていませんでした。[ 10 ]

ルネサンス期には、さらに二つの分野が登場した。数学的記法は代数学へとつながり、これは大まかに言えば、公式の研究と操作から構成される。微積分学は、微分積分と積分という二つの分野から成り、連続関数の研究であり、変数で表される変動量間の典型的には非線形な関係をモデル化する。算術、幾何学、代数学、微積分学の四つの主要分野へのこの区分[ 11 ]は、19世紀末まで続いた。天体力学や固体力学といった分野は当時数学者によって研究されていたが、現在では物理学に属するものと考えられている。[ 12 ]組合せ論は、有史以来ずっと研究されてきたが、17世紀まで数学の独立した分野とはならなかった。[ 13 ]

19世紀末、数学における基礎的危機と、それに伴う公理的方法の体系化により、数学の新しい分野が爆発的に増加した。[ 14 ] [ 6 ] 2020年版の数学科目分類には、 63もの第一レベル領域が含まれている。 [ 8 ]これらの領域の中には、数論（高等算術の現代名）や幾何学のように、以前の分類に対応するものもある。他のいくつかの第一レベル領域は、名称に「幾何学」が含まれているか、あるいは一般的に幾何学の一部とみなされている。代数と微積分は第一レベル領域としては登場しないが、それぞれ複数の第一レベル領域に分割されている。その他の第一レベル領域は、数理論理学や基礎づけなど、20世紀に出現したものや、以前は数学とはみなされていなかったものである。[ 7 ]

数論

これはウラム螺旋で、素数の分布を示しています。螺旋の濃い対角線は、素数であることと二次多項式の値であることの間に近似的な独立性があるという仮説を示唆しており、これは現在ハーディとリトルウッドの予想Fとして知られています。

数論は数、すなわち自然数 の操作から始まり、後に整数と有理数へと拡張されました。数論はかつて算術と呼ばれていましたが、今日この用語は主に数値計算に使用されています。[ 15 ]数論の起源は古代バビロニア、おそらくは中国にまで遡ります。初期の著名な数論者としては、古代ギリシャのユークリッドとアレクサンドリアのディオファントスがいます。[ 16 ]抽象的な形での数論の現代研究は、ピエール・ド・フェルマーとレオンハルト・オイラーによるところが大きいです。この分野はアドリアン＝マリー・ルジャンドルとカール・フリードリヒ・ガウスの貢献により完全に結実しました。[ 17 ]（北）、{\displaystyle (\mathbb {N} ),}（Z）{\displaystyle (\mathbb {Z} )}（質問）。{\displaystyle (\mathbb {Q} ).}

簡単に述べられる数の問題の多くには、しばしば数学のあらゆる分野にまたがる洗練された手法を必要とする解法がある。その顕著な例としてはフェルマーの最終定理が挙げられる。この予想は1637年にピエール・ド・フェルマーによって提唱されたが、代数幾何学のスキーム理論、圏論、ホモロジー代数などの手法を用いて、 1994年にアンドリュー・ワイルズによって証明された。[ 18 ]もう1つの例としてはゴールドバッハの予想があり、これは2より大きいすべての偶数は2つの素数の和であると主張するものである。1742年にクリスチャン・ゴールドバッハによって提唱され、多大な努力にもかかわらず未だ証明されていない。[ 19 ]

数論には、解析的数論、代数的数論、数幾何学（方法指向）、ディオファントス解析、超越理論（問題指向）など、いくつかのサブ領域が含まれます。[ 7 ]

幾何学

球面上では、ユークリッド幾何学は局所的な近似としてのみ適用されます。より大きなスケールでは、三角形の角度の和は180°に等しくありません。

幾何学は数学の最も古い分野の一つです。直線、角度、円といった図形に関する経験的な方法論から始まり、主に測量や建築の分野で発展しましたが、その後、多くの分野へと発展しました。[ 20 ]

根本的な革新は、古代ギリシャ人が証明の概念を導入したことでした。これは、すべての主張が証明されなければならないことを要求するものです。たとえば、 2つの長さが等しいことを測定によって検証するだけでは不十分です。それらの等しいことは、以前に受け入れられた結果（定理）といくつかの基本的な命題からの推論によって証明されなければなりません。基本的な命題は自明であるため（公理）、または研究対象の定義の一部であるため（公理）、証明の対象にはなりません。すべての数学の基礎となるこの原理は、幾何学のために最初に詳述され、紀元前300年頃にユークリッドによって著書『原論』で体系化されました。[ 21 ] [ 22 ]

ユークリッド幾何学は、ユークリッド平面（平面幾何学）と三次元ユークリッド空間における直線、平面、円で構成される図形とその配置を研究する学問である。[ b ] [ 20 ]

ユークリッド幾何学は、17世紀にルネ・デカルトが現在では直交座標と呼ばれるものを導入するまで、方法や範囲を変えることなく発展した。これは大きなパラダイムシフトであった。実数を線分の長さ（数直線を参照）として定義する代わりに、点をその座標（つまり数値）を用いて表現することが可能になった。こうして代数学（そして後に微積分学）を用いて幾何学の問題を解くことができるようになった。幾何学は、純粋に幾何学的な手法を用いる総合幾何学と、座標を体系的に用いる解析幾何学という2つの新しい分野に分割された。[ 23 ]

解析幾何学は、円や直線とは無関係な曲線の研究を可能にする。このような曲線は関数のグラフとして定義することができ、その研究は微分幾何学へと発展した。また、それらは暗黙方程式、多くの場合多項式方程式（代数幾何学の源泉となった）として定義することもできる。解析幾何学は、3次元を超えるユークリッド空間の考察も可能にする。[ 20 ]

19世紀、数学者たちは平行線公準に従わない非ユークリッド幾何学を発見した。この発見は、平行線公準の真偽を疑問視することで、ラッセルのパラドックスに加わり、数学の根本的な危機を明らかにしたとみなされてきた。この危機の側面は、公理的方法を体系化し、選択された公理の真偽は数学的な問題ではないとすることで解決された。[ 24 ] [ 6 ]一方、公理的方法は、公理を変更したり、空間の特定の変換下で変化しない特性を考慮することで得られる様々な幾何学の研究を可能にする。[ 25 ]

今日の幾何学の分野には以下のものがある: [ 7 ]

代数

x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/2a
すべての二次方程式の解を簡潔に表す二次公式
シャッフルされた3x3ルービックキューブ
ルービックキューブ群は群論の具体的な応用である。[ 26 ]

代数学は方程式や公式を扱う技術です。代数学の先駆者としてディオファントス（3世紀）とアル・フワーリズミー（9世紀）の2人を挙げることができます。 [ 27 ] [ 28 ]ディオファントスは未知の自然数を含む方程式を解き、新たな関係を導き出して解を得ました。[ 29 ]アル・フワーリズミーは、方程式の一方の項をもう一方の項に移動するなど、方程式を変換するための体系的な手法を導入しました。[ 30 ]代数学という用語は、彼がこれらの手法の一つを自身の主要論文の題名に使ったアラビア語の「アル・ジャブル（al-jabr ）」に由来しています。[ 31 ] [ 32 ]

代数学が独立した分野になったのは、フランソワ・ヴィエト（1540-1603）が未知数や不特定の数を表すために変数の使用を導入した時でした。[ 33 ]変数により、数学者は数式を用いて表された数に対して行うべき演算を記述できるようになりました。[ 34 ]

19 世紀まで、代数学は主に線形方程式(現在は線型代数) と、未知数が 1 つの多項式方程式(代数方程式(あいまいな場合もあるが、現在でも使用されている用語)の研究で構成されていました。19 世紀には、数学者は数値以外のもの (行列、モジュラー整数、幾何学的変換など) を表すために変数を使用し始め、これらの変数に基づいて算術演算の一般化がしばしば有効になりました。[ 35 ]代数構造の概念はこれに対応しており、要素が指定されていない集合、集合の要素に作用する演算、およびこれらの演算が従わなければならない規則で構成されます。このようにして、代数学の範囲は代数構造の研究を含むまでに拡大しました。この代数学の対象は、エミー・ネーターの影響と著作によって確立され、現代代数学または抽象代数学と呼ばれ、[ 36 ]ファン・デル・ワールデンの著書「現代代数学」 によって普及しました。

いくつかの種類の代数構造は、数学の多くの分野において有用で、しばしば基本的な性質を持っています。それらの研究は代数学の独立した分野となり、以下のものが含まれます。[ 7 ]

代数的構造の型を数学的対象として研究することが、普遍代数学と圏論の目的である。[ 37 ]圏論は、あらゆる数学的構造（代数的構造に限らない）に適用される。その起源は、ホモロジー代数と共に、位相空間などの非代数的対象の代数的研究を可能にするために導入された。この特定の応用分野は代数的位相幾何学と呼ばれる。[ 38 ]

微積分と解析

コーシー列は、列が進むにつれて（左から右へ）、項の後続のすべての項が互いに任意に近くなる要素で構成されます。

微積分学は、かつては微積分学と呼ばれ、17世紀の数学者ニュートンとライプニッツによって独立して同時に導入されました。[ 39 ]微積分学は、基本的に互いに連続的に依存する変数間の関係を研究する学問です。18世紀にはオイラーによって関数の概念が導入され、多くの成果が得られました。[ 40 ]現在、「微積分学」は主にこの理論の基礎部分を指し、「解析学」はより高度な部分を指すのに一般的に使用されています。[ 41 ]

解析学はさらに、変数が実数を表す実解析と、変数が複素数を表す複素解析に細分されます。解析学には、数学の他の分野と共通する多くのサブ領域が含まれており、その中には以下が含まれます。[ 7 ]

離散数学

2状態マルコフ連鎖を表す図。状態は「A」と「E」で表されます。数字は状態が反転する確率です。

離散数学とは、広義には、個々の可算な数学的対象を研究する学問である。例えば、整数全体の集合がそうである。[ 42 ]ここで研究対象が離散的であるため、微積分学や数学的解析学の手法は直接適用できない。[ c ]アルゴリズム、特にその実装と計算量については、離散数学において大きな役割を果たしている。[ 43 ]

四色定理と最適球詰めは、 20世紀後半に解決された離散数学の2つの主要な問題であった。[ 44 ]今日まで未解決のままであるP対NP問題も、その解決が多くの計算困難な問題に影響を与える可能性があるため、離散数学にとって重要である。[ 45 ]

離散数学には以下のものが含まれる。[ 7 ]

数理論理学と集合論

青とピンクの円とその交点を示すラベル
ベン図は、集合間の関係を示すためによく使用される方法です。

数理論理学と集合論という2つの分野は、19世紀末から数学に属してきました。[ 46 ] [ 47 ]この時期以前は、集合は数学的対象とは考えられておらず、論理学は数学的証明に使用されていたものの哲学に属し、数学者によって特に研究されていませんでした。[ 48 ]

カントールの無限集合の研究以前は、数学者たちは実際に無限の集合を考えることに消極的で、無限は終わりのない列挙の結果であると考えていた。カントールの研究は、実際に無限の集合を考えただけでなく[ 49 ] 、カントールの対角線論法によれば、これが無限の大きさの異なることを意味することを示したことで、多くの数学者を怒らせた。これはカントールの集合論をめぐる論争につながった[ 50 ]。同時期に、数学の様々な分野で、基本的な数学的対象に対する以前の直感的な定義は、数学の厳密さを保証するには不十分であると結論づけられた[ 51 ]。

これは数学の根底を成す危機となった。[ 52 ]主流の数学では、公理的手法を形式化された集合論の中で体系化することで、最終的にこの危機は解決された。大まかに言えば、それぞれの数学的対象は、すべての類似した対象の集合と、それらの対象が持つべき性質によって定義される。[ 14 ]例えば、ペアノ算術では、自然数は「ゼロは数である」、「それぞれの数には一意の後続数がある」、「ゼロ以外のそれぞれの数には一意の前続数がある」、そしていくつかの推論規則によって定義される。[ 53 ]この現実からの数学的抽象化は、 1910年頃にダヴィド・ヒルベルトによって創始された現代哲学の形式主義に体現されている。 [ 54 ]

このように定義された対象の「性質」は哲学的な問題であり、数学者は哲学者に委ねている。しかし、多くの数学者がこの性質について意見を持ち、その意見（時に「直観」と呼ばれる）を研究と証明の指針としている。このアプローチは、「論理」（つまり、許容される演繹規則の集合）、定理、証明などを数学的対象として考察し、それらに関する定理を証明することを可能にする。例えば、ゲーデルの不完全性定理は、大まかに言えば、自然数を含むあらゆる一貫した形式体系において、真である（より強い体系では証明可能である）が、その体系内では証明できない定理が存在すると主張している。[ 55 ]数学の基礎に対するこのアプローチは、20世紀前半に、直観主義論理（排中律を明示的に欠いている）を推進したブラウワーに率いられた数学者たちによって挑戦を受けた。[ 56 ] [ 57 ]

これらの問題と議論は数理論理学の幅広い発展につながり、モデル理論（他の理論の内部でいくつかの論理理論をモデル化する）、証明理論、型理論、計算可能性理論、計算複雑性理論などの分野が生まれました。[ 7 ]これらの数理論理学の側面はコンピュータの台頭以前に導入されましたが、コンパイラ設計、形式検証、プログラム解析、証明支援システム、その他のコンピュータサイエンスの側面での使用が、これらの論理理論の発展に貢献しました。[ 58 ]

統計学およびその他の意思決定科学

ランダムな母集団分布（μ）がどのような形であっても、標本平均（x̄）はガウス分布に近づき、その分散（σ）は確率論の中心極限定理によって与えられる。 [ 59 ]

統計学は、特に確率論などの数学的手法に基づく手順を用いて、データサンプルの収集と処理に用いられる数学的応用分野です。統計学者は、ランダムサンプリングまたはランダム化実験によってデータを生成します。[ 60 ]

統計理論は、パラメータ推定、仮説検定、最良の選択などの手順の使用など、統計的行為のリスク（期待損失）を最小化するといった意思決定問題を研究します。数理統計学のこれらの伝統的な分野では、統計的意思決定問題は、特定の制約の下で期待損失やコストなどの目的関数を最小化することによって定式化されます。例えば、調査の設計には、所定の信頼度で母集団の平均を推定するコストを最小化することがしばしば含まれます。[ 61 ]統計の数学的理論は、最適化を利用することから、オペレーションズ・リサーチ、制御理論、数理経済学などの他の意思決定科学と重複しています。[ 62 ]

計算数学

計算数学は、典型的には人間の数値計算能力では到底扱えないような数学的問題を研究する分野である。 [ 63 ] [ 64 ]計算数学の一部に数値解析があり、これは関数解析と近似理論を用いた解析問題の手法の研究である。数値解析には、近似と離散化の研究が広く含まれ、特に丸め誤差に重点が置かれている。[ 65 ]数値解析、さらに広義には科学計算では、数理科学の非解析的トピック、特にアルゴリズム行列グラフ理論の研究も行われる。計算数学の他の分野には、コンピュータ代数や記号計算などがある。[ 7 ]

歴史

語源

「数学」という語は、古代ギリシャ語の「máthēma（μάθημα）」（「学んだもの、知識、数学」を意味する）と、そこから派生した「mathēmatikḗ tékhnē（μαθηματικὴ τέχνη）」（「数学科学」を意味する）に由来する。この語は、中英語後期にフランス語とラテン語を経て英語に入り込んだ。[ 66 ]

同様に、ピタゴラス学派の二大学派の一つはマテマティコイ（μαθηματικοί）として知られていました。これは当時、現代的な意味での「数学者」ではなく「学習者」を意味していました。ピタゴラス学派は、この語の使用を算術と幾何学の研究に限定した最初の人物であったと考えられます。この意味は、アリストテレス（紀元前384-322年）の時代には完全に確立されていました。[ 67 ]

ラテン語と英語では、1700年頃まで「 mathematica 」という用語は「数学」というよりも「占星術」（時には「天文学」）を意味することが一般的でしたが、1500年から1800年頃にかけて徐々に現在の意味に変化しました。この変化により、いくつかの誤訳が生じています。例えば、聖アウグスティヌスはキリスト教徒は「占星術師」を意味するmathematiciに警戒すべきであると警告しましたが、これは数学者への非難として誤訳されることがあります。[ 68 ]

英語における見かけの複数形は、ラテン語の中性複数形mathematica（キケロ）に由来する。これはギリシア語の複数形ta mathēmatiká（τὰ μαθηματικά）を基礎とし、おおよそ「数学的なすべてのもの」を意味する。しかし、ギリシャ語から受け継がれたphysics （物理学）とmetaphysics （形而上学）のパターンに倣い、英語は形容詞mathematic(al)のみを借用し、名詞mathematicaを新たに形成した可能性もある。[ 69 ]英語では、名詞mathematicaは単数動詞となる。これはしばしばmaths（数学）[ 70 ]、あるいは北米ではmath（数学）[ 71 ]と短縮される。

古代

エジプトのモスクワ数学パピルスに掲載されている問題14の画像。この問題には、切頂角錐の寸法を示す図が含まれています。
バビロニアの数学タブレットPlimpton 322、紀元前 1800 年頃

先史時代の人々は、物理的な物体を数える方法を認識していただけでなく、時間（日、季節、年）などの抽象的な量を数える方法も知っていた可能性があります。[ 72 ] [ 73 ]

考古学的証拠は、古代エジプトの数え上げシステムがサハラ以南のアフリカに起源を持つことを示唆している。[ 74 ]また、サハラ以南のアフリカ文化に広まっているフラクタル幾何学デザインは、エジプトの建築や宇宙観の記号にも見られる。[ 75 ]学者のアレクサンダー・マーシャックによると、イシャンゴの骨は、イシャンゴの骨のいくつかの記述と同様に、エジプトの算術でも 2 を掛ける計算を使用していたため、エジプトの後の数学の発展に影響を与えた可能性があるが、これには異論がある。[ 76 ]上エジプトのナブタ・プラヤにある巨石構造物は、天文学、シリウスの太陽の昇りに合わせた暦の配置を特徴としており、ナイル川の毎年の洪水に合わせて年間暦を較正するのに役立った。[ 77 ]古代ヌビア人は、最初の太陽時計の基礎となった幾何学のシステムを確立した。[ 78 ] [ 79 ] [ 80 ] [ 81 ]

より複雑な数学の証拠は、紀元前3000年頃 、バビロニア人とエジプト人が課税やその他の財務計算、建築や建設、天文学に算術、代数学、幾何学を使い始めるまで現れません。[ 82 ]メソポタミアとエジプトで最も古い数学のテキストは紀元前2000年から1800年のものです。[ 83 ]多くの初期のテキストでピタゴラスの定理に言及されているため、推論すると、ピタゴラスの定理は基本的な算術と幾何学に次いで最も古く、広範囲に及んだ数学概念のようです。考古学的記録に初等算術（加算、減算、乗算、除算）が初めて登場するのは、バビロニアの数学です。バビロニア人はまた、位取り記数法を持ち、角度や時間の測定に今日でも使用されている60進法を使用していました。[ 84 ]

紀元前6世紀には、ギリシャ数学が独立した学問分野として現れ始め、ピタゴラス派などの古代ギリシャ人の中には、それを独立した科目とみなしていた者もいたようである。[ 85 ]紀元前300年頃、ユークリッドは公理と第一原理によって数学的知識を体系化し、それが定義、公理、定理、証明からなる、今日の数学で使用されている公理的方法へと発展した。[ 86 ]彼の著書『原論』は、史上最も成功し、影響力のある教科書だと広く考えられている。[ 87 ]古代で最も偉大な数学者は、シラクサのアルキメデス（紀元前 287年頃 -紀元前 212年頃）であるとよく言われる。[ 88 ]彼は回転体の表面積と体積を計算する公式を開発し、現代の微積分学とあまり変わらない方法で、無限級数の和による放物線の弧の下の面積を計算する消尽法を使用しました。 [ 89 ]ギリシャ数学の他の注目すべき成果には、円錐曲線（ペルガのアポロニウス、紀元前3世紀）、[ 90 ]三角法（ニカイアのヒッパルコス、紀元前2世紀）、[ 91 ]代数学の始まり（ディオファントス、紀元後3世紀）があります。[ 92 ]

紀元前2世紀から紀元後2世紀にかけてのバクシャーリー写本で使用されている数字

今日世界中で使用されているヒンドゥー・アラビア数字体系とその演算規則は、紀元後1千年紀にインドで発展し、イスラム数学を通じて西洋世界に伝わりました。[ 93 ]インド数学の他の注目すべき発展としては、正弦と余弦の現代的な定義と近似値、そして初期の無限級数などがあります。[ 94 ] [ 95 ]

中世以降

アル・フワリズミのアル・ジャブルのページ

イスラムの黄金時代、特に9世紀から10世紀にかけて、数学はギリシャ数学を基盤とした多くの重要な革新を遂げた。イスラム数学の最も顕著な成果は代数学の発展である。イスラム時代のその他の成果としては、球面三角法の進歩やアラビア数字への小数点の追加などがある。 [ 96 ]この時代の著名な数学者の多くはペルシャ人で、アル＝フワーリズミー、オマル・ハイヤーム、シャラーフ・アッディーン・アル＝トゥーシーなどがいた。[ 97 ]ギリシャ語とアラビア語の数学書は中世にラテン語に翻訳され、ヨーロッパで利用可能になった。[ 98 ]

近世初期には、西ヨーロッパで数学が急速に発展し始め、フランソワ・ビエト（1540–1603）による変数と記号表記の導入、ジョン・ネイピアによる1614年の対数の導入（特に天文学と航海における数値計算を大幅に簡素化）、ルネ・デカルト（1596–1650）による座標の導入による幾何学から代数への変換、アイザック・ニュートン（1643–1727）とゴットフリート・ライプニッツ（1646–1716）による微積分の開発など、数学に革命をもたらす革新が次々と起こりました。18世紀で最も著名な数学者であるレオンハルト・オイラー（1707–1783）は、これらの革新を標準化された用語を用いて単一の体系に統合し、数多くの定理の発見と証明によって完成させました。[ 99 ]

カール・フリードリヒ・ガウス

おそらく19世紀で最も優れた数学者はドイツの数学者カール・ガウスであろう。彼は代数学、解析学、微分幾何学、行列理論、数論、統計学などの分野に数多くの貢献をした。[ 100 ] 20世紀初頭、クルト・ゲーデルは不完全性定理を発表して数学に変革をもたらした。この定理は、算術を記述できるほど強力なものであれば、どんな一貫した公理体系にも証明できない真の命題が含まれることを部分的に示している。[ 55 ]

数学はその後大きく発展し、数学と科学の間には実りある相互作用が生まれ、双方に利益をもたらしました。数学的な発見は今日に至るまで続いています。ミハイル・B・セヴリュクは、2006年1月号のアメリカ数学会報で次のように述べています。「1940年（MR運用開始年）以降、数学レビュー（MR）データベースに収録されている論文と書籍の数は190万件を超え、毎年7万5千件以上の項目が追加されています。この膨大な量の研究成果の圧倒的多数には、新しい数学定理とその証明が含まれています。」[ 101 ]

記号表記と用語

シグマ（Σ）和記法の説明

数学表記法は、科学や工学において、複雑な概念や特性を簡潔かつ明瞭に、正確に表現するために広く用いられている。この表記法は、演算、不特定の数、関係、その他の数学的対象を表現する記号で構成され、それらを組み立てて表現や数式とする。[ 102 ]より正確には、数やその他の数学的対象は変数と呼ばれる記号で表現され、変数は一般にラテン文字やギリシャ文字で、添え字が含まれることが多い。演算や関係は一般に特定の記号やグリフで表現され、[ 103 ]＋（プラス）、×（乗算）、（積分）、＝（等しい）、＜（より小さい）などである。[ 104 ]これらの記号は通常、特定の規則に従ってグループ化されて、表現や数式を形成する。[ 105 ]通常、表現や数式は単独で現れることはなく、現在の言語の文に含まれ、表現は名詞句の役割を果たし、数式は節の役割を果たす。 ∫{\textstyle \int }

数学は、様々な抽象的・理想化された対象の性質とそれらの相互作用を研究する幅広い分野を網羅する豊富な用語体系を発展させてきました。数学は、コミュニケーションの標準的な基盤となる厳密な定義に基づいています。公理または公準とは、証明を必要とせずに真であるとされる数学的な命題です。数学的な命題がまだ証明（または反証）されていない場合、それは予想と呼ばれます。演繹的推論を用いた一連の厳密な議論を通じて、真であると証明された命題は定理となります。主に別の定理を証明するために使用される特殊な定理は補題と呼ばれます。より一般的な発見の一部を形成する証明された例は系と呼ばれます。[ 106 ]

数学で使われる専門用語の多くは、多項式や同相写像など、新語です。[ 107 ]その他の専門用語は、一般的な意味とは若干異なる正確な意味で使われる共通語です。例えば、数学では「または」は「一方、他方、あるいは両方」を意味しますが、一般的な言葉では曖昧であったり、「一方または他方であり、両方ではない」という意味になります（数学では後者は「排他的論理和」と呼ばれます）。最後に、多くの数学用語は、全く異なる意味で使われる共通語です。[ 108 ]このため、正しくて真実の数学的主張である文が、必要な背景知識を持たない人には意味不明に思える場合があります。例えば、「すべての自由加群は平坦である」や「体は常に環である」などです。

科学との関係

ほとんどの科学において、数学は現象をモデル化するために使われており、それによって実験法則から予測を行うことができる。[ 109 ]数学的真理が実験から独立しているということは、そのような予測の精度はモデルの妥当性にのみ依存することを意味する。[ 110 ]不正確な予測は、無効な数学的概念によって引き起こされるのではなく、使用される数学モデルを変更する必要があることを意味する。[ 111 ]例えば、水星の近日点歳差運動は、ニュートンの万有引力の法則に取って代わり、より優れた数学モデルとなったアインシュタインの一般相対性理論の出現によって初めて説明可能となった。[ 112 ]

数学が科学であるかどうかについては、哲学的な議論が依然として続いています。しかし、実際には、数学者は科学者と同列に扱われることが多く、数学は物理科学と多くの共通点を持っています。物理科学と同様に、数学は反証可能であり、つまり、結果や理論が間違っている場合、反例を提示することで証明できるということです。科学と同様に、理論や結果（定理）はしばしば実験から得られます。[ 113 ]数学における実験は、選択された例を用いた計算、あるいは図形や数学的対象のその他の表現（多くの場合、物理的な裏付けのない心的表現）の研究から成ります。例えば、ガウスはどのようにして定理を導き出したのかと尋ねられたとき、「体系的な実験を通して」（durch planmässiges Tattonieren）と答えました。[ 114 ]しかし、数学は経験的証拠に依存しない点で、現代の科学の概念とは異なることを強調する著者もいます。[ 115 ] [ 116 ] [ 117 ] [ 118 ]

純粋数学と応用数学

アイザック・ニュートン
ゴットフリート・ヴィルヘルム・フォン・ライプニッツ
アイザック・ニュートン（左）とゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは微積分学を開発した。

19世紀まで、西洋における数学の発展は主に技術と科学の必要性によって促進され、純粋数学と応用数学の間に明確な区別はありませんでした。[ 119 ]例えば、自然数と算術は計数の必要性から導入され、幾何学は測量、建築、天文学によって促進されました。後に、アイザック・ニュートンは万有引力の法則を用いて惑星の運動を説明するために微積分を導入しました。さらに、ほとんどの数学者は科学者でもあり、多くの科学者は数学者でもありました。[ 120 ]しかし、古代ギリシャの純粋数学の伝統には注目すべき例外がありました。[ 121 ]例えば、紀元前300年のユークリッドにまで遡る整数の因数分解の問題は、現在コンピュータネットワークのセキュリティに広く使用されているRSA暗号で使用されるまで、実用的な応用はありませんでした。[ 122 ]

19世紀には、カール・ワイエルシュトラスやリヒャルト・デデキントといった数学者たちが、内部問題、すなわち純粋数学の研究にますます重点を置くようになった。[ 119 ] [ 123 ]これにより、数学は純粋数学と応用数学に分かれ、後者は数学純粋主義者の間でしばしば価値が低いと見なされるようになった。しかし、両者の境界線はしばしば曖昧である。[ 124 ]

第二次世界大戦後の混乱は、アメリカ合衆国をはじめとする各国で応用数学の発展を急速に促した。[ 125 ] [ 126 ]応用のために開発された理論の多くは純粋数学の観点から興味深いものであり、純粋数学の成果の多くは数学以外の分野にも応用できることが示された。その結果、これらの応用の研究は「純粋理論」に対する新たな洞察をもたらす可能性がある。[ 127 ] [ 128 ]

最初の例としては、量子力学の計算を検証するためにローラン・シュワルツが導入した超関数理論が挙げられ、これはすぐに（純粋）数学的分析の重要なツールとなった。[ 129 ] 2番目の例としては、実数の第一階理論の決定可能性が挙げられる。これは純粋数学の問題であり、アルフレッド・タルスキによって正しいと証明されたが、そのアルゴリズムは計算量が大きすぎるため実装が不可能であった。 [ 130 ]実装可能で多項式方程式と不等式のシステムを解くことができるアルゴリズムを得るために、ジョージ・コリンズは円筒代数分解を導入し、これは実代数幾何学の基本的なツールとなった。[ 131 ]

今日では、純粋数学と応用数学の区別は、数学を広い分野に分けるというよりも、数学者の個人的な研究目的の問題となっている。[ 132 ] [ 133 ]数学分野分類には「一般応用数学」のセクションがあるが、「純粋数学」については触れられていない。[ 7 ]しかし、これらの用語は、ケンブリッジ大学数学部など、一部の大学の学科名に今でも使用されている。

不合理な効果

数学の不合理な有効性は、物理学者ユージン・ウィグナーによって初めて名付けられ、明確に示された現象です。[ 3 ]多くの数学理論（「最も純粋なもの」でさえ）は、当初の対象範囲外にも応用されています。これらの応用は、数学の当初の領域を完全に超える場合もあり、数学理論が導入された当時は全く知られていなかった物理現象に関わる場合もあります。[ 134 ]数学理論の予期せぬ応用の例は、数学の多くの分野で見られます。

注目すべき例としては、自然数の素因数分解が挙げられます。これは、 RSA暗号システムによる安全なインターネット通信に広く利用される2000年以上も前に発見されました。[ 135 ] 2つ目の歴史的な例は、楕円理論です。古代ギリシャの数学者たちは、楕円を円錐曲線（円錐と平面の交点）として研究しました。ヨハネス・ケプラーが惑星の軌道が楕円であることを発見したのは、それからほぼ2000年後のことでした。 [ 136 ]

19世紀には、幾何学（純粋数学）の内的発展により、非ユークリッド幾何学、3次元を超える空間、そして多様体の定義と研究が進んだ。当時、これらの概念は物理的現実とは全く切り離されているように見えたが、20世紀初頭、アルベルト・アインシュタインはこれらの概念を根本的に利用する相対性理論を発展させた。特に、特殊相対性理論の時空は4次元の非ユークリッド空間であり、一般相対性理論の時空は4次元の（曲がった）多様体である。[ 137 ] [ 138 ]

数学と物理学の相互作用における顕著な側面は、数学が物理学の研究を牽引する点である。これは陽電子と重粒子 の発見によって例証される。どちらの場合も、理論方程式には説明できない解が存在し、それが未知の粒子の存在を推測し、その探索へと繋がった。どちらの場合も、これらの粒子は数年後に特定の実験によって発見された。[ 139 ] [ 140 ] [ 141 ]Ω−。{\displaystyle \Omega^{-}.}

特定の科学

物理

振り子の図

数学と物理学は近代史を通じて互いに影響を与え合ってきました。現代物理学は数学を多用しており[ 142 ]、数学の主要な発展の動機とも考えられています[ 143 ] 。

コンピューティング

コンピューティングはいくつかの点で数学と密接に関連している。[ 144 ]理論計算機科学は本質的に数学的であると考えられている。[ 145 ]通信技術は、特に伝送セキュリティに関して、非常に古い数学の分野（例えば算術）を暗号や符号理論に適用している。離散数学は、複雑性理論、情報理論、グラフ理論など、計算機科学の多くの分野で有用である。[ 146 ] 1998年には、球面パッキングに関するケプラー予想も計算機によって部分的に証明されたと思われた。[ 147 ]

生物学と化学

この巨大なフグの皮膚はチューリングパターンを示しており、これは反応拡散システムによってモデル化することができます。

生物学では、生態学や神経生物学などの分野で確率が広く用いられている。[ 148 ]確率に関する議論のほとんどは、進化適応度 の概念に集中している。[ 148 ]生態学では、個体群動態のシミュレーションや[ 148 ] [ 149 ]捕食者‐被食者モデルなどの生態系の研究、汚染拡散の測定、[ 150 ]気候変動の評価などにモデリングが多用されている。[ 151 ]個体群の動態は、ロトカ・ヴォルテラ方程式などの連立微分方程式でモデル化することができる。[ 152 ]

統計的仮説検定は、臨床試験のデータを使って新しい治療法が有効かどうかを判定するものです。[ 153 ] 20世紀初頭から、化学では計算を利用して分子を3次元でモデル化してきました。[ 154 ]

地球科学

構造地質学と気候学では、確率モデルを用いて自然災害のリスクを予測する。[ 155 ]同様に、気象学、海洋学、惑星学でもモデルを多用するため数学が利用される。[ 156 ] [ 157 ] [ 158 ]

社会科学

社会科学で用いられる数学の分野には、確率・統計学や微分方程式などがあり、これらは言語学、経済学、社会学[ 159 ]、心理学[ 160 ]で用いられています。

このような需要と供給の曲線は、数理経済学の基本です。

数理経済学の基本的な公理は、しばしば合理的な個人行為者、すなわちホモ・エコノミクス（経済人）の公理である。[ 161 ]このモデルでは、個人は自己利益の最大化を図り、[ 161 ]完全な情報を用いて常に最適な選択を行う。[ 162 ]この経済学の原子論的見方は、個々の計算を数学的計算に置き換えることができるため、比較的容易にその思考を数学化することを可能にする。このような数学的モデル化により、経済のメカニズムを探ることができる。ホモ・エコノミクスの概念を否定したり批判したりする人もいる。経済学者は、生身の人間は情報が限られており、誤った選択をし、個人的な利益だけでなく公平性と利他主義を気にすると指摘する。[ 163 ]

数理モデリングなしには、統計的観察や検証不可能な推測の域を出ることは困難です。数理モデリングは、経済学者が仮説を検証し、複雑な相互作用を分析するための構造化された枠組みを構築することを可能にします。モデルは明瞭性と精度を提供し、理論的概念を定量化可能な予測へと変換し、現実世界のデータを用いて検証することを可能にします。[ 164 ]

20世紀初頭には、歴史的変動を数式で表現する手法が発展しました。1922年、ニコライ・コンドラチェフは経済成長や危機の局面を説明する約50年周期のコンドラチェフ・サイクルを発見しました。 [ 165 ] 19世紀末にかけて、数学者たちは分析を地政学へと拡張しました。[ 166 ]ピーター・ターチンは1990年代に歴史動態学を開発しました。 [ 167 ]

社会科学の数学的表現にはリスクが伴う。物議を醸した著書『ファッショナブル・ナンセンス』（1997年）の中で、ソーカルとブリクモンは、社会科学における科学用語、特に数学や物理学の用語の根拠のない、あるいは乱用的な使用を非難した。[ 168 ]複雑系（失業率の推移、企業資本、人口動態の推移など）の研究には数学的知識が用いられる。しかし、特に失業率の算出基準やモデルの選択は、議論の余地がある。[ 169 ] [ 170 ]

哲学

現実

数学と物質的実在との関連性は、少なくともピタゴラスの時代から哲学的な議論を巻き起こしてきた。古代哲学者プラトンは、物質的実在を反映する抽象概念は、それ自体が時空を超えた実在性を持つと主張した。結果として、数学的対象は抽象概念において何らかの形でそれ自体で存在するという哲学的見解は、しばしばプラトン主義と呼ばれる。現代の数学者は、彼らの哲学的見解とは無関係に、研究対象を実在する対象として考え、語るため、一般的にプラトン主義者とみなされる。[ 171 ]

アルマン・ボレルは数学の現実性についてのこの見解を次のように要約し、彼の見解を裏付けるGHハーディ、シャルル・エルミート、アンリ・ポアンカレ、アルバート・アインシュタインの言葉を引用した。[ 139 ]

何かが客観的なもの（「主観的」ではなく）になるのは、それが他者の心の中にも私たち自身の心の中に存在するのと同じ形で存在し、共に考え、議論することができると確信した瞬間です。[ 172 ]数学の言語は非常に正確であるため、そのような合意が存在する概念を定義するのに最適です。私の考えでは、それだけで客観的な存在、数学の現実性を感じるのに十分です…

しかしながら、プラトン主義とそれに付随する抽象化に関する見解は、数学の不合理な有効性を説明するものではない（プラトン主義は数学が独立して存在すると仮定するが、それがなぜ現実と一致するのかを説明しない）。[ 173 ]

提案された定義

数学の定義やその認識論的地位、つまり知識における位置づけについては、一般的なコンセンサスは存在しない。多くの専門数学者は数学の定義に興味を示さず、あるいは定義不可能だと考えている。数学が芸術か科学かという点についてもコンセンサスは存在しない。中には「数学とは数学者が行うものだ」とだけ言う人もいる。[ 174 ] [ 175 ]一般的なアプローチは、数学をその研究対象によって定義することである。[ 176 ] [ 177 ] [ 178 ] [ 179 ]

アリストテレスは数学を「量の科学」と定義し、この定義は18世紀まで広く用いられました。しかし、アリストテレスは量だけに焦点を当てるだけでは、数学を物理学のような科学と区別することはできないと指摘しました。彼の見解では、抽象化と、量を現実の例から「思考において分離可能な」性質として研究することが、数学を区別するものでした。[ 180 ] 19世紀、数学者たちが無限集合など、物理的現実とは明確な関係のないテーマに取り組み始めたとき、様々な新しい定義が与えられました。[ 181 ] 20世紀初頭以降、数多くの新しい数学分野が出現したため、数学をその研究対象によって定義することはますます困難になっています。[ 182 ]例えば、サンダース・マクレーンは定義の代わりに『数学、形態、機能』の中で、数学のいくつかの分野の基礎を要約し、それらの相互関連性を強調し、次のように述べています。[ 183 ]

数学の発展は、形式的な規則、概念、そして体系が密接に結びついたネットワークを提供します。このネットワークの結節点は、人間の活動に役立つ手続きや科学における問いと密接に結びついています。活動から形式的な数学体系への移行は、様々な一般的な洞察とアイデアによって導かれます。

数学を定義するもう一つのアプローチは、その方法論を用いることです。例えば、ある研究分野は、定理（その妥当性が証明、つまり純粋に論理的な演繹によって証明される主張）を証明できれば、すぐに数学として認められることが多いです。[ d ] [ 184 ]

厳しさ

数学的推論には厳密さが求められる。これは、定義が絶対的に明確で、証明が推論規則の適用の連続に還元可能でなければならないことを意味する。[ e ]経験的証拠や直感を一切用いることなく。 [ f ] [ 185 ]厳密な推論は数学に特有のものではないが、数学においては厳密さの基準が他の分野よりもはるかに高い。数学は簡潔であるにもかかわらず、255ページに及ぶフェイト・トムソンの定理のように、厳密な証明には数百ページを要することもある。[ g ]コンピュータ支援による証明の出現により、証明の長さはさらに増大した。[ h ] [ 186 ] この傾向の結果、絶対確実とはみなせないものの、確率が付随する準経験主義的証明の哲学が生まれた。 [ 6 ]

数学における厳密さの概念は古代ギリシャにまで遡り、当時の社会では論理的かつ演繹的な推論が奨励されていました。しかし、この厳密なアプローチは、無理数や無限の概念といった新しいアプローチの探求を阻害する傾向がありました。厳密な証明を示す方法は、16世紀に記号記法を用いることで強化されました。18世紀には、社会の変遷により数学者は教育によって生計を立てるようになり、数学の根底にある概念についてより慎重に考えるようになりました。これにより、幾何学的手法から代数的、そして算術的証明へと移行する中で、より厳密なアプローチが生まれました。[ 6 ]

19世紀末には、数学の基本概念の定義が、パラドックス（非ユークリッド幾何学やワイエルシュトラス関数）や矛盾（ラッセルのパラドックス）を回避するには不十分であることが明らかになりました。この問題は、数学理論の明確な推論規則に公理を組み込むことで解決されました。これは、古代ギリシャ人が開拓した公理的手法の再導入です。[ 6 ]その結果、「厳密さ」はもはや数学において重要な概念ではなくなりました。証明は正しいか間違っているかのどちらかであり、「厳密な証明」は単なる言い換え表現に過ぎないからです。厳密さという特別な概念が作用するのは、証明の社会化された側面においてであり、そこでは他の数学者によって証明的に反駁される可能性があります。証明が何年も、あるいは何十年も受け入れられた後に初めて、信頼できるものとみなされるのです。[ 187 ]

それにもかかわらず、「厳密さ」の概念は、初心者に数学的証明とは何かを教えるのに役立つかもしれない。[ 188 ]

訓練と実践

教育

数学は、文化や時代を超越する驚くべき力を持っています。人間の活動として、数学の実践には、教育、キャリア、認知、普及などを含む社会的な側面があります。教育において、数学はカリキュラムの中核を成し、STEM（科学・技術・工学・数学）分野の重要な要素を形成しています。プロの数学者の代表的なキャリアとしては、数学教師や教授、統計学者、アクチュアリー、金融アナリスト、エコノミスト、会計士、商品トレーダー、コンピュータコンサルタントなどが挙げられます。[ 189 ]

考古学的証拠によると、古代バビロニアでは紀元前2千年紀にはすでに数学の指導が行われていた。[ 190 ]古代近東の書記官による数学の訓練、そして紀元前300年頃から始まるギリシャ・ローマ世界でも、同様の証拠が発掘されている。 [ 191 ]最古の数学の教科書は、紀元前 1650年頃のエジプトのリンド・パピルスである。[ 192 ]古代インドでは、書籍の不足により、ヴェーダ時代（紀元前 1500年頃 - 紀元前 500年頃）以来、数学の教えは暗記された口伝によって伝えられていた。[ 193 ]唐の時代（紀元618年 - 907年）の中国帝国では、国家官僚に加わるための公務員試験に数学のカリキュラムが採用された。 [ 194

暗黒時代以降、ヨーロッパでは数学教育は四分法の一環として宗教学校によって提供された。正式な教育法の指導は16世紀と17世紀のイエズス会学校から始まった。19世紀になってフランスとドイツで数学が盛んになるまで、数学のカリキュラムのほとんどは基礎的かつ実践的なレベルにとどまっていた。数学の指導を扱った最も古い雑誌は1899年に創刊された『数学教育』である。 [ 195 ]西洋の科学技術の進歩は、多くの国民国家で中央集権的な教育制度を確立させ、当初は軍事への応用を目的としていた数学を中核とした。[ 196 ]コースの内容は様々であるが、今日ではほとんどすべての国で学生にかなりの時間数学を教えている。[ 197 ]

学校時代、数学的能力と前向きな期待は、その分野へのキャリアへの関心と強い関連がある。教師、親、仲間からのフィードバックによる動機付けなどの外的要因は、数学への関心のレベルに影響を与える可能性がある。[ 198 ]数学を学ぶ生徒の中には、数学の成績について不安や恐怖を抱く人がいる。これは数学不安として知られており、学業成績に影響を与える障害の中で最も顕著なものと考えられている。数学不安は、親や教師の態度、社会的固定観念、個人的な特性など、さまざまな要因によって発症する可能性がある。不安に対処するには、指導方法の変更、親や教師との交流、個人に合わせた治療などが役立つ可能性がある。[ 199 ]

心理学（美学、創造性、直感）

数学の定理の妥当性は、その証明の厳密さのみに依存しますが、理論的にはコンピュータプログラムによって自動的に行うことができます。これは、数学の研究に創造性の余地がないことを意味するものではありません。それどころか、多くの重要な数学的結果（定理）は、他の数学者が解決できなかった問題の解決策であり、それらを解決するための方法の発明は、解決プロセスの基本的な方法となる可能性があります。[ 200 ] [ 201 ]極​​端な例はアペリーの定理です。ロジャー・アペリーは証明のアイデアのみを提供し、正式な証明は数か月後に他の3人の数学者によってのみ与えられました。[ 202 ]

数学者の活動における心理的側面は、創造性と厳密さだけではありません。数学者の中には、自らの活動をゲーム、より具体的にはパズルを解くことと捉える人もいます。[ 203 ]数学活動のこの側面は、レクリエーション数学において強調されています。

数学者は数学に美的価値を見出すことができます。美しさと同様に、美的価値は定義が難しいものですが、一般的には簡潔さ、対称性、完全性、一般性といった性質を含む優雅さと関連しています。GHハーディは著書『数学者の弁明』の中で、美的考慮はそれ自体で純粋数学の研究を正当化するのに十分であるとの信念を表明しました。彼はまた、数学的美学に貢献する、意義深さ、意外性、必然性といった他の基準も挙げています。[ 204 ]ポール・エルデシュは、この感情をより皮肉を込めて、「ザ・ブック」、つまり最も美しい証明を集めた神聖な集成について語りました。エルデシュに触発されて1998年に出版された『ザ・ブックからの証明』は、特に簡潔で啓示的な数学的議論を集めたものです。特に優雅な結果の例としては、ユークリッドによる無限個の素数の存在を示す証明や、調和解析のための高速フーリエ変換などが挙げられます。[ 205 ]

数学を科学とみなすことは、7つの伝統的な教養科目における数学の芸術性と歴史を軽視することだと考える人もいる。[ 206 ]この視点の違いが表れる1つの例は、数学的結果が（芸術のように）創造されるのか、それとも（科学のように）発見されるのかという哲学的な議論である。[ 139 ]レクリエーション数学の人気は、多くの人が数学の問題を解くことに喜びを感じていることを示すもう1つの兆候である。

文化的な影響

芸術的表現

西洋人の耳に心地よく聞こえる音は、振動の基本周波数が単純な比率になっている音です。例えば、1オクターブは周波数を2倍にし、完全5度は周波数を1/2倍にします。[ 207 ] [ 208 ]32{\textstyle {\frac {3}{2}}}

スケーリング対称性と中心対称性を持つフラクタル

人間は、他の動物と同様に、対称的なパターンをより美しいと感じます。[ 209 ]数学的には、物体の対称性は対称群と呼ばれる群を形成します。[ 210 ]例えば、鏡面対称性の基礎となる群は、2つの要素の巡回群です。ロールシャッハテストはこの対称性によって図形不変であり、[ 211 ]蝶や動物の体（少なくとも表面上は）より一般的には図形不変です。[ 212 ]海面の波は並進対称性を持ちます。つまり、波頭間の距離だけ視点を移動しても、海の眺めは変わりません。[ 213 ]フラクタルは自己相似性を持ちます。[ 214 ] [ 215 ]Z/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }

普及

普及数学とは、専門用語を使わずに数学を紹介する行為である。[ 216 ]一般の人々は数学に対して不安を抱いており、数学的対象は高度に抽象的であるため、数学を紹介するのは難しいかもしれない。[ 217 ]しかし、普及数学の執筆では、応用や文化的なつながりを用いることでこの困難を克服することができる。[ 218 ]それにもかかわらず、印刷メディアやテレビメディアで数学が普及の話題になることは稀である。

賞と賞金の問題

フィールズ賞の表側にはギリシャの博学者アルキメデスのイラストが描かれている

数学界で最も権威のある賞はフィールズ賞である。[ 219 ] [ 220 ]この賞はカナダ人のジョン・チャールズ・フィールズによって1936年に設立され、4年ごとに（第二次世界大戦中を除く）最大4名に授与される。[ 221 ] [ 222 ]この賞は数学界のノーベル賞とみなされている。[ 222 ]

その他の権威ある数学賞には以下のものがある：[ 223 ]

1900年にドイツの数学者ダヴィド・ヒルベルトによって「ヒルベルトの問題」と呼ばれる23の未解決問題の有名なリストがまとめられました。 [ 231 ]このリストは数学者の間で非常に有名になり、[ 232 ]少なくとも13の問題（解釈の仕方によって異なりますが）が解決されています。[ 231 ]

2000年に「ミレニアム懸賞問題」と題された7つの重要な問題のリストが発表されました。そのうちの1つ、リーマン予想だけがヒルベルトの問題の一つと重複しています。これらの問題のどれか1つを解くと100万ドルの賞金が授与されます。[ 233 ]現在までに、これらの問題のうち1つ、ポアンカレ予想だけがロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンによって解決されています。[ 234 ]

参照

注記

  1. ^ここでの代数学は現代的な意味で捉えられており、大まかに言えば、数式を操作する技術です。
  2. ^これには、円筒と平面の交差である円錐曲線が含まれます。
  3. ^ただし、複雑な解析手法を級数の生成に適用するなど、高度な解析手法が使用されることもあります。
  4. ^例えば、論理学はアリストテレス以来哲学に属しています。19世紀末頃、数学の基礎的危機は、数学に特有の論理学の発展を暗示しました。これにより、ゲーデルの定理などの定理の証明が可能になりました。それ以来、数理論理学は一般的に数学の一分野とみなされています。
  5. ^これは、使用されるすべての推論規則を明示的に記述することを意味するものではありません。むしろ、コンピュータと証明支援ツールがなければ、これは一般的に不可能です。たとえこの最新技術をもってしても、完全に詳細な証明を書き記すには、人間による作業で何年もかかる可能性があります。
  6. ^これは、証明する定理を選択してそれを証明するために経験的証拠と直感が必要ないという意味ではありません。
  7. ^これは、以前に発表されたいくつかの補助的な結果の証明を含まない原論文の長さです。完全な証明を収録した書籍は1,000ページ以上あります。
  8. ^証明中に行われる大規模な計算を信頼できるとみなすには、通常、独立したソフトウェアを使用した2つの計算が必要である。

参考文献

引用

  1. ^イポリト、イネス・ビエガス (2015 年 8 月 9 日 - 15 日)。 「抽象的な認識と数学的証明の性質」。カンズ語ではキリスト教徒。ヨーゼフ・ミッテラー;ネゲス、カタリーナ (編)。Realismus – Relativismus – Konstruktivismus: Beiträge des 38. Internationalen Wittgenstein Symposiums [ Realism – Relativism – Constructivism: Contributions of the 38th International Wittgenstein Symposium ] (PDF) (ドイツ語と英語)。 Vol. 23. キルヒベルク・アム・ヴェクセル、オーストリア：オーストリア・ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタイン協会。ページ 132–134。ISSN 1022-3398 。​​ OCLC  236026294。2022年11月7日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。 2024年1月17日閲覧。（ResearchGate、 2022年11月5日アーカイブ、 Wayback Machine）オープンアクセスアイコン
  2. ^ピーターソン 1988、12ページ。
  3. ^ a b Wigner, Eugene (1960). 「自然科学における数学の不当な有効性」 . Communications on Pure and Applied Mathematics . 13 (1): 1– 14. Bibcode : 1960CPAM...13....1W . doi : 10.1002/cpa.3160130102 . S2CID 6112252. 2011年2月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。 
  4. ^ワイズ、デイヴィッド。「エウドクソスがユークリッドの『原論』に与えた影響、特に『尽力法』を詳しく考察」ジョージア大学。2019年6月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年1月18日閲覧。
  5. ^ Alexander, Amir (2011年9月). 「クローゼットの中の骸骨：科学史家は数学の歴史を重視すべきか？」Isis . 102 (3): 475– 480. doi : 10.1086/661620 . MR 2884913 . PMID 22073771 .  
  6. ^ a b c d e fクライナー、イスラエル(1991 年 12 月)。 「数学における厳密さと証明: 歴史的展望」。数学雑誌。64 (5)。 Taylor & Francis, Ltd.: 291–314 . doi : 10.1080/0025570X.1991.11977625。eISSN 1930-0980。ISSN 0025-570X。JSTOR 2690647。LCCN 47003192。MR 1141557。OCLC 1756877。      
  7. ^ a b c d e f g h i j「MSC2020-数学科目分類システム」（PDF）。zbMath。Mathematical ReviewsおよびzbMATHの共同編集者。2024年1月2日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。 2025年11月13日閲覧。
  8. ^ a b Dunne, Edward; Hulek, Klaus (2020年3月). "Mathematics Subject Classification 2020" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 67 (3): 410– 411. doi : 10.1090/noti2052 . eISSN 1088-9477 . ISSN 0002-9920 . LCCN sf77000404 . OCLC 1480366 . 2021年8月3日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2024年2月3日閲覧。新しいMSCには、2桁分類が63件、3桁分類が529件、5桁分類が6,006件含まれている。    
  9. ^ベル, ET (1992) [1945]. 「一般概要」.数学の発展（第2版）. ドーバー出版. p. 3. ISBN 978-0-486-27239-9. LCCN  45010599 . OCLC  523284 . …数学は、数と形式という二つの大きな流れによって現在まで受け継がれてきました。前者は算術と代数を、後者は幾何学を継承しました。
  10. ^ティワリ、サルジュ（1992年）「文明の鏡」『歴史・文化・哲学・科学における数学』（第1版）ニューデリー、インド：ミッタル出版、27頁。ISBN 978-81-7099-404-6. LCCN  92909575 . OCLC  28115124 . 2025年11月13日閲覧.数学の二つの呪い、すなわち数秘術と占星術も数学とともに生まれ、数学そのものよりも大衆に受け入れられてきたのは残念なことです。
  11. ^レスティボ、サル(1992). 「基礎から学ぶ数学」.ブンゲ、マリオ(編). 『社会と歴史における数学』 . エピステーメー. 第20巻.クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ. p. 14. ISBN 0-7923-1765-3. LCCN  25709270 . OCLC  92013695 .
  12. ^ Musielak, Dora (2022).レオンハルト・オイラーと天体力学の基礎. 物理学史. Springer International Publishing . doi : 10.1007/978-3-031-12322-1 . eISSN 2730-7557 . ISBN  978-3-031-12321-4. ISSN  2730-7549 . OCLC  1332780664 . S2CID  253240718 .
  13. ^ニュージャージー州ビッグス (1979 年 5 月)。「組合せ論のルーツ」。ヒストリア マセマティカ。6 (2): 109–136 .土井: 10.1016/0315-0860(79)90074-0。eISSN 1090-249X。ISSN 0315-0860。LCCN 75642280。OCLC 2240703。    
  14. ^ a bワーナー、エヴァン. 「スプラッシュトーク：数学の基盤的危機」（PDF） .コロンビア大学. 2023年3月22日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2024年2月3日閲覧。
  15. ^ LeVeque, William J. (1977). 「序論」.数論の基礎. Addison-Wesley Publishing Company . pp.  1– 30. ISBN 0-201-04287-8. LCCN  76055645 . OCLC  3519779 . S2CID  118560854 .
  16. ^ゴールドマン、ジェイ・R. (1998). 「建国の父たち」.数学の女王：歴史的に動機づけられた数論ガイド. マサチューセッツ州ウェルズリー：AKピーターズ. pp.  2– 3. doi : 10.1201/9781439864623 . ISBN 1-56881-006-7. LCCN  94020017 . OCLC  30437959 . S2CID  118934517 .
  17. ^ヴェイユ, アンドレ(1983).数論：ハンムラピからルジャンドルまでの歴史を辿るアプローチ. ビルクハウザー・ボストン. pp.  2– 3. doi : 10.1007/978-0-8176-4571-7 . ISBN 0-8176-3141-0. LCCN  83011857 . OCLC  9576587 . S2CID  117789303 .
  18. ^クライナー、イスラエル(2000 年 3 月)。「フェルマーからワイルズへ: フェルマーの最終定理が定理になる」数学の要素。55 (1): 19–37 .土井: 10.1007/PL00000079。eISSN 1420-8962。ISSN 0013-6018。LCCN 66083524。OCLC 1567783。S2CID 53319514。     
  19. ^王元 (2002).ゴールドバッハ予想. 純粋数学シリーズ. 第4巻（第2版）. World Scientific . pp.  1– 18. doi : 10.1142/5096 . ISBN 981-238-159-7. LCCN  2003268597 . OCLC  51533750 . S2CID  14555830 .
  20. ^ a b cシュトラウメ、エルダー（2014年9月4日）「1870年までの幾何学の発展の概観」arXiv：1409.1140 [ math.HO ]。
  21. ^ヒルベルト、デイヴィッド( 1902). 『幾何学の基礎』オープンコート出版. p. 1. doi : 10.1126/science.16.399.307 . LCCN 02019303. OCLC 996838. S2CID 238499430. 2024年2月6日閲覧。   無料アクセスアイコン
  22. ^ハーツホーン、ロビン(2000). 「ユークリッドの幾何学」. 『幾何学：ユークリッドとその先』 .シュプリンガー・ニューヨーク. pp.  9– 13. ISBN 0-387-98650-2。LCCN  99044789。OCLC  42290188 。2024 年2 月 7 日に取得。
  23. ^ Boyer, Carl B. (2004) [1956]. 「フェルマーとデカルト」.解析幾何学の歴史.ドーバー出版. pp.  74– 102. ISBN 0-486-43832-5. LCCN  2004056235 . OCLC  56317813 .
  24. ^ Stump, David J. (1997). 「1900年頃の数学の統一性の再構築」(PDF) . Perspectives on Science . 5 (3): 383– 417. doi : 10.1162/posc_a_00532 . eISSN 1530-9274 . ISSN 1063-6145 . LCCN 94657506. OCLC 26085129. S2CID 117709681. 2024年2月8日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2024年2月8日閲覧。     
  25. ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (1996年2月). 「非ユークリッド幾何学」 . MacTuror . スコットランド、英国：セントアンドリュース大学. 2022年11月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年2月8日閲覧。
  26. ^ジョイナー、デイビッド (2008). 「（合法的な）ルービックキューブ群」. 『群論の冒険：ルービックキューブ、マーリンの機械、その他の数学玩具』（第2版）.ジョンズ・ホプキンス大学出版局. pp.  219– 232. ISBN 978-0-8018-9012-3. LCCN  2008011322 . OCLC  213765703 .
  27. ^クリスティナディス、ジャン;オークス、ジェフリー（2013年5月）。「古代後期の代数学の実践: アレクサンドリアのディオファントスの問題解決」ヒストリア マセマティカ。40 (2): 127–163。土井: 10.1016/j.hm.2012.09.001。eISSN 1090-249X。ISSN 0315-0860。LCCN 75642280。OCLC 2240703。S2CID 121346342。     
  28. ^クライナー 2007、「古典代数の歴史」3～5頁。
  29. ^ Shane, David (2022). 「比喩数：古代数学の歴史的概観」（PDF）メソジスト大学20頁。2024年6月5日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。 2024年6月13日閲覧。ディオファントスは、その著作の中で、辺の数の推論、数を比喩数として表現する様々な方法、等差数列の定式化など、比喩数の算術的性質の推論に焦点を当てた。
  30. ^オーバーベイ、ショーン、ショーラー、ジミー、コンガー、ヘザー。「アル・フワーリズミ」ケンタッキー大学。2024年6月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年6月13日閲覧。
  31. ^ Lim, Lisa (2018年12月21日). 「代数学で使うxの由来とクリスマスのx」 .サウスチャイナ・モーニング・ポスト. 2018年12月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年2月8日閲覧。
  32. ^ベルンチェス、ソニア. 「代数」.イスラム百科事典オンライン（第3版）. doi : 10.1163/1573-3912_ei3_COM_0030 . ISSN 1573-3912 . LCCN 2007238847. OCLC 56713464 .   
  33. ^ Oaks, Jeffery A. (2018). 「フランソワ・ヴィエトの代数学革命」.正確科学史アーカイブ. 72 (3): 245– 302. doi : 10.1007/s00407-018-0208-0 . eISSN 1432-0657 . ISSN 0003-9519 . LCCN 63024699. OCLC 1482042 .    
  34. ^ 「数学における変数」GeeksforGeeks . 2024年4月24日. 2024年6月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年6月13日閲覧。
  35. ^クライナー 2007、「線形代数の歴史」79–101ページ。
  36. ^ Corry, Leo (2004). 「エミー・ネーター：理想と構造」.現代代数学と数学的構造の台頭（改訂第2版）. ドイツ：バーゼル・ビルクハウザー. pp.  247– 252. ISBN 3-7643-7002-5。LCCN  2004556211。OCLC  51234417 。2024 年2 月 8 日に取得。
  37. ^ Riche, Jacques (2007). 「普遍代数から普遍論理へ」. Beziau, JY; Costa-Leite, Alexandre (編). 『普遍論理の展望』 ミラノ, イタリア: Polimetrica International Scientific Publisher. pp.  3– 39. ISBN 978-88-7699-077-9. OCLC  647049731 . 2024年2月8日閲覧。
  38. ^クローマー、ラルフ (2007). 『ツールとオブジェクト：カテゴリー理論の歴史と哲学』サイエンスネットワーク – 歴史研究. 第32巻. ドイツ:シュプリンガー・サイエンス＆ビジネスメディア. pp.  xxi– xxv, 1– 91. ISBN 978-3-7643-7523-2。LCCN  2007920230。OCLC  85242858 。2024 年2 月 8 日に取得。
  39. ^ Guicciardini, Niccolo (2017). 「ニュートンとライプニッツの微積分論争、1708–1730」(PDF) . シュリエッサー, エリック; スミーンク, クリス (編). 『オックスフォード・ニュートン・ハンドブック』 . オックスフォード・ハンドブック.オックスフォード大学出版局. doi : 10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.9 . ISBN 978-0-19-993041-8. OCLC  975829354 . 2022年11月9日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） . 2024年2月9日閲覧.
  40. ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (1998年9月). "Leonhard Euler" . MacTutor . スコットランド、英国：セントアンドリュース大学. 2022年11月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年2月9日閲覧。
  41. ^ 「微積分学（例題付き微分積分学）」 Byju 's . 2024年6月13日閲覧。
  42. ^ Franklin, James (2017年7月). 「離散と連続：数学における根本的な二分法」 . Journal of Humanistic Mathematics . 7 ( 2): 355– 378. doi : 10.5642/jhummath.201702.18 . hdl : 1959.4/unsworks_53212 . ISSN 2159-8118 . LCCN 2011202231. OCLC 700943261. S2CID 6945363. 2024年3月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年2月9日閲覧。    
  43. ^マウラー、スティーブン・B. (1997). 「離散数学とは何か？多くの答え」 . ローゼンスタイン、ジョセフ・G.、フランツブラウ、デボラ・S.、ロバーツ、フレッド・S. (編).学校における離散数学. DIMACS: 離散数学と理論計算機科学シリーズ. 第36巻.アメリカ数学会. pp.  121– 124. doi : 10.1090/dimacs/036/13 . ISBN 0-8218-0448-0。ISSN  1052-1798。LCCN  97023277。OCLC  37141146。S2CID  67358543 。2024 年2 月 9 日に取得。
  44. ^ヘイルズ、トーマス・C. (2014). 「チューリングの遺産：論理学におけるチューリングの思想の発展」ロッド・ダウニー編.チューリングの遺産. 論理学講義ノート 第42巻.ケンブリッジ大学出版局. pp.  260– 261. doi : 10.1017/CBO9781107338579.001 . ISBN 978-1-107-04348-0. LCCN  2014000240 . OCLC  867717052 . S2CID  19315498 . 2024年2月9日閲覧.
  45. ^ Sipser, Michael (1992年7月). P対NP問題の歴史と現状. STOC '92: 第24回ACMコンピューティング理論シンポジウム議事録. pp.  603– 618. doi : 10.1145/129712.129771 . ISBN 978-0-89791-511-3. OCLC  51349974 . S2CID  11678884 .
  46. ^ Ewald, William (2018年11月17日). 「一階述語論理の出現」 .スタンフォード哲学百科事典. ISSN 1095-5054 . LCCN sn97004494 . OCLC 37550526. 2024年6月14日閲覧。   
  47. ^ Ferreirós, José (2020年6月18日) [初版2007年4月10日]. 「集合論の初期発展」 .スタンフォード哲学百科事典. ISSN 1095-5054 . LCCN sn97004494 . OCLC 37550526. 2021年5月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年6月14日閲覧。   
  48. ^フェレイロス、ホセ (2001 年 12 月)。「現代論理への道 ― 解釈」(PDF)。記号論理学の会報。7 (4): 441–484 .土井: 10.2307/2687794。eISSN 1943-5894。hdl : 11441/38373。ISSN 1079-8986。JSTOR 2687794。LCCN 95652899。OCLC 31616719。S2CID 43258676。2023 年 2 月 2 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2024 年6 月 14 日に取得。      
  49. ^ウォルチョーバー、ナタリー編（2013年11月26日）「無限をめぐる論争が数学者を分裂させる」 Quanta Magazine 。 2024年6月14日閲覧。
  50. ^ Zhuang, Chaohui. 「WittgensteinによるCantorの対角線論法の分析」（DOC） . PhilArchive . 2024年6月14日閲覧。
  51. ^タンズウェル、フェナー・スタンリー (2024).数学的厳密さと非公式証明. ケンブリッジ数学哲学の要素.ケンブリッジ大学出版局. doi : 10.1017/9781009325110 . eISSN 2399-2883 . ISBN  978-1-00-949438-0. ISSN  2514-3808 . OCLC  1418750041 .
  52. ^ Avigad, Jeremy ; Reck, Erich H. (2001年12月11日). "「無限の性質の解明：メタ数学と証明理論の発展」（PDF）。カーネギーメロン大学。2022年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。 2025年11月13日閲覧。
  53. ^ハミルトン、アラン・G. (1982). 「数」.数、集合、公理：数学の装置. ケンブリッジ大学出版局. pp.  3– 4. ISBN 978-0-521-28761-6. LCCN  82004206 . OCLC  8283672 . 2025年11月13日閲覧.
  54. ^スナッパー、エルンスト（1979年9月）「数学における3つの危機：論理主義、直観主義、形式主義」『数学マガジン』52 (4): 207–216 . doi : 10.1080/0025570X.1979.11976784 . JSTOR 2689412 . 
  55. ^ a b Raatikainen, Panu (2005年10月). 「ゲーデルの不完全性定理の哲学的関連性について」 . Revue Internationale de Philosophie . 59 (4): 513– 534. doi : 10.3917/rip.234.0513 . JSTOR 23955909. S2CID 52083793. CORE出力ID 78838204 .   
  56. ^ Moschovakis, Joan (2018年9月4日). 「直観主義論理」スタンフォード哲学百科事典. 2022年12月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2025年11月13日閲覧。
  57. ^マッカーティ、チャールズ (2006). 「分析の核心：直観主義と哲学」.ハインツマン、ゲルハルト、ロンツィッティ、ジュゼッピーナ（編）. 『構成主義：数学、論理学、哲学、言語学』 . Philosophia Scientiae. pp.  81– 94. doi : 10.4000/philosophiascientiae.411 . eISSN 1775-4283 . ISBN  978-2-84174-399-5. OCLC  71798942 .
  58. ^ Halpern, Joseph ; Harper, Robert ; Immerman, Neil ; Kolaitis, Phokion ; Vardi, Moshe ; Vianu, Victor (2001年1月). 「コンピュータサイエンスにおける論理の異常な有効性について」(PDF) .カーネギーメロン大学. 2021年3月3日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2025年11月13日閲覧。
  59. ^ Rouaud, Mathieu (2017年4月) [初版2013年7月].確率、統計、推定(PDF) . p. 10. 2022年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2024年2月13日閲覧。
  60. ^ラオ、C. ラダクリシュナ(1997) [1989].統計と真実：チャンスを活かす（第2版）. ワールド・サイエンティフィック. pp.  3– 17, 63– 70. ISBN 981-02-3111-3. LCCN  97010349 . MR  1474730 . OCLC  36597731 .
  61. ^ Rao, C. Radhakrishna (1981). 「序文」. Arthanari, TS; Dodge, Yadolah (編).統計における数理計画法. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. ニューヨーク: Wiley. pp.  vii– viii. ISBN 978-0-471-08073-2. LCCN  80021637 . MR  0607328 . OCLC  6707805 .
  62. ^ホイットル 1994、pp.10–11, 14–18。
  63. ^ Marchuk, Gurii Ivanovich (2020年4月). 「GI Marchuk's plenary: ICM 1970」 . MacTutor . セントアンドリュース大学数学統計学部（スコットランド）. 2022年11月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年11月13日閲覧。
  64. ^ Johnson, Gary M.; Cavallini, John S. (1991年9月). Phua, Kang Hoh; Loe, Kia Fock (編). 「グランドチャレンジ、ハイパフォーマンスコンピューティング、そして計算科学」 . 「シンガポールスーパーコンピューティングカンファレンス'90：戦略的優位性のためのスーパーコンピューティング」. World Scientific. p. 28. LCCN 91018998. 2022年11月13日閲覧。 
  65. ^ Trefethen, Lloyd N. (2008). 「数値解析」. Gowers, Timothy ; Barrow-Green, June ; Leader, Imre (eds.). The Princeton Companion to Mathematics (PDF) . Princeton University Press . pp.  604– 615. ISBN 978-0-691-11880-2. LCCN  2008020450 . MR  2467561 . OCLC  227205932 . 2023年3月7日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） . 2024年2月15日閲覧.
  66. ^
  67. ^ペリショ、マーガレット W. (1965 年春)。 「数学用語の語源」。ピムーイプシロンジャーナル。4 (2 ) : 62–66。ISSN 0031-952X 。JSTOR 24338341。LCCN 58015848。OCLC 1762376。    
  68. ^ボアズ、ラルフ・P. (1995). 「アウグスティヌスが数学者について語らなかったこと」. アレクサンダーソン、ジェラルド・L.、マグラー、デール・H. (編). 『ライオン狩りとその他の数学的探求：数学、詩、物語集』 .アメリカ数学協会. 257ページ. ISBN 978-0-88385-323-8. LCCN  94078313 . OCLC  633018890 .
  69. ^オックスフォード英語語源辞典、オックスフォード英語辞典、サブ「mathematics」、「mathematics」、「mathematics」。
  70. ^ 「数学（名詞）」 .オックスフォード英語辞典.オックスフォード大学出版局. 2024年1月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年1月25日閲覧。
  71. ^ 「Math (Noun³)」 .オックスフォード英語辞典.オックスフォード大学出版局. 2020年4月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年1月25日閲覧。
  72. ^例えば、 Wilder, Raymond L. Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Studyを参照。
  73. ^ザスラフスキー、クラウディア（1999年）『アフリカは数える：アフリカ文化における数とパターン』シカゴ・レビュー・プレス、ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC  843204342 .
  74. ^エグラッシュ、ロン (1999). 『アフリカン・フラクタル：現代のコンピューティングと先住民族のデザイン』 ニューブランズウィック、ニュージャージー州: ラトガース大学出版局. pp. 89, 141. ISBN 0813526140。
  75. ^エグラッシュ、R. (1995). 「アフリカの物質文化におけるフラクタル幾何学」『対称性：文化と科学』6–1 : 174–177 .
  76. ^マーシャック、A. (1972).『文明のルーツ：人類最初の芸術、記号、表記法の認知的始まり』ニューヨーク：マグロウヒル.
  77. ^エーレット、クリストファー（2023年6月20日）。『古代アフリカ：西暦300年までのグローバル史』プリンストン大学出版局。107  ～ 110頁。ISBN 978-0-691-24410-5。
  78. ^アルメラゴス、ジョージ (2000). 「ビールを2杯飲んで1600年後に電話をください：ヌビア人と古代エジプト人によるテトラサイクリンの使用」自然史. 109 (5): 50–3 . S2CID 89542474 . 
  79. ^ Depuydt, Leo (1998年1月1日). 「メロエのグノモンと初期の三角法」.エジプト考古学ジャーナル. 84 : 171–180 . doi : 10.2307/3822211 . JSTOR 3822211 . 
  80. ^ Slayman, Andrew (1998年5月27日). 「Neolithic Skywatchers」 . Archaeology Magazine Archive . 2011年6月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011年4月17日閲覧。
  81. ^ Neugebauer, O. (2004年9月17日). 『古代数理天文学の歴史』 Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-06995-9。
  82. ^クライン 1990、第1章。
  83. ^ジョセフ・ジョージ・ゲヴェルゲーゼ (2011). 「書き言葉による数学の始まり：メソポタミア」『孔雀の紋章』 pp.  125– 176. doi : 10.1515/9781400836369-006 . ISBN 978-1-4008-3636-9。
  84. ^ボイヤー 1991、「メソポタミア」24～27ページ。
  85. ^ヒース、トーマス・リトル(1981) [1921].ギリシャ数学の歴史：タレスからユークリッドまで. ニューヨーク：ドーバー出版. p. 1. ISBN 978-0-486-24073-2。
  86. ^ Mueller, I. (1969). 「ユークリッドの原論と公理的方法」.英国科学哲学ジャーナル. 20 (4): 289– 309. doi : 10.1093/bjps/20.4.289 . ISSN 0007-0882 . JSTOR 686258 .  
  87. ^ Boyer 1991、「アレクサンドリアのユークリッド」119ページ。
  88. ^ Boyer 1991、「シラキュースのアルキメデス」120ページ。
  89. ^ Boyer 1991、「シラキュースのアルキメデス」130ページ。
  90. ^ Boyer 1991、「ペルガのアポロニウス」145ページ。
  91. ^ Boyer 1991、「ギリシャの三角法と計測」162ページ。
  92. ^ Boyer 1991、「ギリシャ数学の復活と衰退」p.180。
  93. ^ Ore, Øystein (1988).数論とその歴史. クーリエ社. pp.  19– 24. ISBN 978-0-486-65620-5. 2022年11月14日閲覧。
  94. ^ Singh, AN (1936年1月). 「ヒンドゥー数学における級数の使用について」. Osiris . 1 : 606–628 . doi : 10.1086/368443 . JSTOR 301627. S2CID 144760421 .  
  95. ^ Kolachana, A.; Mahesh, K.; Ramasubramanian, K. (2019). 「インドにおける級数の使用」.インド数学・天文学研究. 数学・物理科学史の資料と研究. シンガポール: Springer. pp.  438– 461. doi : 10.1007/978-981-13-7326-8_20 . ISBN 978-981-13-7325-1. S2CID  190176726 .
  96. ^サリバ、ジョージ(1994). 『アラビア天文学の歴史：イスラム黄金時代における惑星理論』ニューヨーク大学出版局. ISBN 978-0-8147-7962-0. OCLC  28723059 .
  97. ^ Faruqi, Yasmeen M. (2006). 「イスラム学者の科学研究への貢献」 . International Education Journal . 7 (4). Shannon Research Press: 391– 399. 2022年11月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年11月14日閲覧。
  98. ^ Lorch, Richard (2001年6月). 「ギリシャ語・アラビア語・ラテン語：中世における数学テキストの伝承」（PDF） . Science in Context . 14 ( 1–2 ). Cambridge University Press: 313– 331. doi : 10.1017/S0269889701000114 . S2CID 146539132. 2022年12月17日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） . 2022年12月5日閲覧。 
  99. ^ケント、ベンジャミン (2022).科学史(PDF) . 第2巻. ビブリオテックスデジタルライブラリ. ISBN 978-1-984668-67-7. 2024年6月16日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） . 2024年6月16日閲覧。
  100. ^アーチボルド、レイモンド・クレア（1949年1月）「16世紀以降の数学史」アメリカ数学月刊誌第2部：数学史の概要。56 (1): 35–56 . doi : 10.2307/2304570 . JSTOR 2304570 . 
  101. ^セヴリュク 2006、101–109頁。
  102. ^ Wolfram, Stephan (2000年10月). Mathematical Notation: Past and Future . MathML and Math on the Web: MathML International Conference 2000, Urbana Champaign, USA. 2022年11月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年2月3日閲覧。
  103. ^ダグラス、ヘザー、ヘッドリー、マーシャ・ゲイル、ハッデン、ステファニー、ルフェーヴル、ジョーアン（2020年12月3日）。「数学記号の知識は数字を超える」。数値認知ジャーナル。6 ( 3 ): 322– 354。doi : 10.5964 / jnc.v6i3.293。eISSN 2363-8761。S2CID 228085700。  
  104. ^ Letourneau, Mary; Wright Sharp, Jennifer (2017年10月). 「AMSスタイルガイド」(PDF) .アメリカ数学会. p. 75. 2022年12月8日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2024年2月3日閲覧。
  105. ^ Jansen, Anthony R.; Marriott, Kim; Yelland, Greg W. (2000). 「数式の構成構造」 ( PDF) .認知科学学会年次大会議事録. 22.カリフォルニア大学マーセド校. eISSN 1069-7977 . OCLC 68713073. 2022年11月16日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2024年2月3日閲覧.  
  106. ^ロッシ、リチャード・J. (2006). 『定理、系、補題、証明法』 純粋数学と応用数学：ワイリーのテキスト、モノグラフ、小冊子シリーズ.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp.  1– 14, 47– 48. ISBN 978-0-470-04295-3. LCCN  2006041609 . OCLC  64085024 .
  107. ^ 「数学用語の初期の使用例」MacTutor .スコットランド、英国：セントアンドリュース大学. 2022年9月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年2月3日閲覧。
  108. ^シルバー、ダニエル・S. (2017年11-12月). 「数学の新しい言語」 .アメリカン・サイエンティスト. 105 ( 6). Sigma Xi : 364-371 . doi : 10.1511/2017.105.6.364 . ISSN 0003-0996 . LCCN 43020253. OCLC 1480717. S2CID 125455764 .    
  109. ^ Bellomo, Nicola; Preziosi, Luigi (1994年12月22日). Modelling Mathematical Methods and Scientific Computation . Mathematical Modeling. Vol. 1. CRC Press. p. 1. ISBN 978-0-8493-8331-1. 2022年11月16日閲覧。
  110. ^ Hennig, Christian (2010). 「数学モデルと現実：構成主義的視点」 . Foundations of Science . 15 : 29–48 . doi : 10.1007/s10699-009-9167-x . S2CID 6229200. 2022年11月17日閲覧。 
  111. ^ Frigg, Roman ; Hartmann, Stephan (2020年2月4日). 「Models in Science」 . Stanford Encyclopedia of Philosophy . 2022年11月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年11月17日閲覧。
  112. ^スチュワート、イアン(2018). 「数学、地図、そしてモデル」 . ウップルリ、シャム、ドリア、フランシスコ・アントニオ (編). 『地図と領土：科学、思考、そして現実の基盤を探る』 . フロンティアズ・コレクション. シュプリンガー. pp.  345– 356. doi : 10.1007/978-3-319-72478-2_18 . ISBN 978-3-319-72478-2. 2022年11月17日閲覧。
  113. ^ 「科学チェックリストの応用：数学」。『科学を理解する』。カリフォルニア大学バークレー校。2019年10月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年10月27日閲覧。
  114. ^ Mackay, AL (1991). 『科学引用辞典』 ロンドン: Taylor & Francis. p. 100. ISBN 978-0-7503-0106-0. 2023年3月19日閲覧。
  115. ^ビショップ、アラン (1991). 「環境活動と数学文化」 . 『数学の文化化：数学教育における文化的視点』 . マサチューセッツ州ノーウェル：クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ. pp.  20– 59. ISBN 978-0-7923-1270-3. 2020年4月5日閲覧。
  116. ^シャシャ、デニス・エリオット、ラゼール、キャシー・A. (1998). 『Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists』 シュプリンガー、p. 228. ISBN 978-0-387-98269-4。
  117. ^ニックルズ、トーマス (2013). 「境界の問題」.疑似科学の哲学：境界問題の再考. シカゴ：シカゴ大学出版局. p. 104. ISBN 978-0-226-05182-6。
  118. ^ピグリッチ、マッシモ(2014). 「『他の』知る方法はあるのか？」『Philosophy Now』 . 2020年5月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年4月6日閲覧。
  119. ^ a bフェレイロス、J. (2007)。「Ό Θεὸς Άριθμητίζει: ガウスによる算術としての純粋数学の台頭」。ゴールドスタインでは、キャサリン。シャッパッハー、ノーバート;シュヴェルマー、ヨアヒム (編)。CF ガウスの Diquisitiones Arithmeticae 後の算術の形成。シュプリンガーのサイエンス＆ビジネスメディア。235 ～ 268ページ 。ISBN 978-3-540-34720-0。
  120. ^クーン、トーマス・S. (1976). 「物理科学の発展における数学的伝統と実験的伝統」.学際史ジャーナル. 7 (1). MIT出版: 1– 31. doi : 10.2307/202372 . JSTOR 202372 . 
  121. ^ Asper, Markus (2009). 「古代ギリシャにおける数学の二つの文化」 . Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (編). 『オックスフォード数学史ハンドブック』 . Oxford Handbooks in Mathematics. OUP Oxford. pp.  107– 132. ISBN 978-0-19-921312-2. 2022年11月18日閲覧。
  122. ^ Gozwami, Pinkimani; Singh, Madan Mohan (2019). 「整数因数分解問題」. Ahmad, Khaleel; Doja, MN; Udzir, Nur Izura; Singh, Manu Pratap (編). 『新興セキュリティアルゴリズムと技術』 . CRC Press. pp.  59– 60. ISBN 978-0-8153-6145-9. LCCN  2019010556 . OCLC  1082226900 .
  123. ^ Maddy, P. (2008). 「応用数学はいかにして純粋になったか」(PDF) . The Review of Symbolic Logic . 1 (1): 16– 41. doi : 10.1017/S1755020308080027 . S2CID 18122406. 2017年8月12日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2022年11月19日閲覧。 
  124. ^シルバー、ダニエル・S. (2017). 「純粋数学の擁護」ミルチャ・ピティチ編著『数学に関する最良の著作集』2016年プリンストン大学出版局 pp.  17– 26. ISBN 978-0-691-17529-4. 2022年11月19日閲覧。
  125. ^ Parshall, Karen Hunger (2022). 「1920年代から1950年代までのアメリカ数学会と応用数学：修正主義的考察」 Bulletin of the American Mathematical Society . 59 (3): 405– 427. doi : 10.1090/bull/1754 . S2CID 249561106 . 2022年11月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年11月20日閲覧。 
  126. ^ Stolz, Michael (2002). 「応用数学の歴史と社会史」 . Synthese . 133 ( 1–2 ): 43– 57. doi : 10.1023/A:1020823608217 . S2CID 34271623. 2022年11月20日閲覧。 
  127. ^ Lin, C. C. (1976年3月). 「応用数学の役割について」 .数学の進歩. 19 (3​​): 267– 288. doi : 10.1016/0001-8708(76)90024-4 .
  128. ^ Peressini, Anthony (1999年9月). Applying Pure Mathematics (PDF) . Philosophy of Science Association 1998 Biennial Meetings Proceedings of the 1998 Biennial Meetings of the Philosophy of Science Association. Part I: Contributed Papers. Vol. 66. pp.  S1– S13. JSTOR 188757. 2024年1月2日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2022年11月30日閲覧。 
  129. ^ Lützen, J. (2011). 「19世紀と20世紀における数学と物理学の相互作用に関する事例と考察」 . Schlote, KH; Schneider, M. (編). 『数学と物理学の出会い：19世紀および20世紀前半における数学と物理学の相互作用への貢献』 . フランクフルト・アム・マイン: Verlag Harri Deutsch. 2023年3月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年11月19日閲覧。
  130. ^ Marker, Dave (1996年7月). 「モデル理論と指数化」 .アメリカ数学会誌. 43 (7): 753– 759. 2014年3月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年11月19日閲覧。
  131. ^ Chen, Changbo; Maza, Marc Moreno (2014年8月). RegularChainsライブラリにおける円筒代数分解. 国際数学ソフトウェア会議2014. コンピュータサイエンス講義ノート. 第8592巻. ベルリン: Springer. doi : 10.1007/978-3-662-44199-2_65 . 2022年11月19日閲覧.
  132. ^ Pérez-Escobar, José Antonio; Sarikaya, Deniz (2021). 「応用数学の純粋化と純粋数学の応用：後期ウィトゲンシュタインの視点が二分法に光を当てる」ヨーロッパ科学哲学ジャーナル12 (1): 1– 22. doi : 10.1007/s13194-021-00435-9 . S2CID 245465895 . 
  133. ^高瀬正之 (2014). 「純粋数学と応用数学は不可分に絡み合っている：無限大の初期解析の観察」 .科学技術研究問題への数学的アプローチ. 産業のための数学. 第5巻. 東京: シュプリンガー. pp.  393– 399. doi : 10.1007/978-4-431-55060-0_29 . ISBN 978-4-431-55059-4. 2022年11月20日閲覧。
  134. ^ Sarukkai, Sundar (2005年2月10日). 「数学の『不合理な有効性』を再考する」. Current Science . 88 (3): 415– 423. JSTOR 24110208 . 
  135. ^ Wagstaff, Samuel S. Jr. (2021). 「整数因数分解の歴史」(PDF) . Bos, Joppe W.; Stam, Martijn (編). 「計算暗号、暗号のアルゴリズム的側面、AKLへのトリビュート」 . London Mathematical Society Lecture Notes Series 469. Cambridge University Press. pp.  41– 77. 2022年11月20日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2022年11月20日閲覧。
  136. ^ 「曲線：楕円」。MacTutor 。スコットランド、セントアンドリュース大学数学・統計学部。2022年10月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年11月20日閲覧。
  137. ^ Mukunth, Vasudevan (2015年9月10日). 「アインシュタインの相対性理論の表面を超えて、キメラ幾何学が存在する」 . The Wire . 2022年11月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年11月20日閲覧。
  138. ^ウィルソン, エドウィン・B.; ルイス, ギルバート・N. (1912年11月). 「相対性理論の時空多様体．力学と電磁気学の非ユークリッド幾何学」.アメリカ芸術科学アカデミー紀要. 48 (11): 389– 507. doi : 10.2307/20022840 . JSTOR 20022840 . 
  139. ^ a b cボレル、アルマンド(1983). 「数学：芸術と科学」 .数学インテリジェンサー. 5 (4). シュプリンガー: 9–17 . doi : 10.4171/news/103/8 . ISSN 1027-488X . 
  140. ^ハンソン、ノーウッド・ラッセル（1961年11月）「陽電子の発見（I）」『英国科学哲学ジャーナル』12 （ 47 ）シカゴ大学出版局：194-214。doi ：10.1093 / bjps/ xiii.49.54。JSTOR 685207。 
  141. ^ Ginammi, Michele (2016年2月). 「具象化の回避：数学のヒューリスティックな有効性とΩ粒子の予測」 .科学史・哲学研究 パートB：現代物理学史・哲学研究. 53 : 20–27 . Bibcode : 2016SHPMP..53...20G . doi : 10.1016/j.shpsb.2015.12.001 .
  142. ^ワグ、サンジェイ・モレシュワル;デシュパンデ、ディリップ・アバサヘブ（2012年9月27日）。物理学の必需品。 PHI ラーニング プライベートLtd. p. 3.ISBN​ 978-81-203-4642-0. 2023年1月3日閲覧。
  143. ^ Atiyah, Michael (1990). On the Work of Edward Witten (PDF) . Proceedings of the International Congress of Mathematicians. p. 31. 2013年9月28日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2022年12月29日閲覧。
  144. ^ 「コース18C 数学とコンピュータサイエンス」math.mit.edu . 2024年6月1日閲覧。
  145. ^ 「理論計算機科学」 . math.mit.edu . 2024年6月1日閲覧。
  146. ^ 「離散数学の現実世界への応用」GeeksforGeeks . 2024年4月8日. 2024年5月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年5月19日閲覧。
  147. ^ Hales, Thomas; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Tat Dat; Harrison, John; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor; Mclaughlin, Sean; Nguyen, Tat Thang; Nguyen, Quang Truong; Nipkow, Tobias; Obua, Steven; Pleso, Joseph; Rute, Jason; Solovyev, Alexey; Ta, Thi Hoai An; Tran, Nam Trung; Trieu, Thi Diep; Urban, Josef; Vu, Ky; Zumkeller, Roland (2017). 「ケプラー予想の形式的証明」 . Forum of Mathematics, Pi . 5 e2. doi : 10.1017/fmp.2017.1 . hdl : 2066/176365 . ISSN 2050-5086 . S2CID 216912822 . 2020年12月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2023年2月25日閲覧。  
  148. ^ a b c Millstein, Roberta (2016年9月8日). 「生物学における確率：適応度の場合」(PDF) . Hájek, Alan; Hitchcock, Christopher (編). The Oxford Handbook of Probability and Philosophy . pp.  601– 622. doi : 10.1093/oxfordhb/9780199607617.013.27 . 2023年3月7日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2022年12月29日閲覧。
  149. ^例を参照。アンヌ・ローラン、ローランド・ガメ、ジェローム・パンテル、環境構築のための新たな改革、会議活動、«プログラム環境、社会環境» 1996 年 1 月 15 ～ 17 日、CNRS
  150. ^ブーロー 1999、282–283 ページ。
  151. ^ Bouleau 1999、285ページ。
  152. ^ “1.4: ロトカ＝ヴォルテラ捕食者-被食者モデル” . Mathematics LibreTexts . 2022年1月5日. 2022年12月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年12月29日閲覧。
  153. ^ Salsburg, David (1992年8月17日). 「論評」(PDF) .臨床研究の分析における統計的手法の活用. 46 : 17. 2024年6月1日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2024年6月1日閲覧.
  154. ^全米研究会議(2003). "8".分子フロンティアを超えて：化学と化学工学への挑戦. NAP.edu. pp.  71– 73. Bibcode : 2003nap..book10633N . doi : 10.17226/10633 . ISBN 978-0-309-16839-7. PMID  25032300 .
  155. ^ 「Catastrophe Models (Property)」 . content.naic.org . 2024年5月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年5月19日閲覧。
  156. ^ "MAM2001 Essay" . ww2.amstat.org . 2024年5月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年5月19日閲覧。
  157. ^ Hill, Mullica (2022年9月7日). 「天気予報における数学の活用法」 . mathnasium.com . 2024年5月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年5月19日閲覧。
  158. ^ 「数学モデルを用いた惑星の居住可能性の調査」(PDF) . NASA . 2024年5月19日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2024年5月19日閲覧。
  159. ^ Edling, Christofer R. (2002年8月). 「社会学における数学」. Annual Review of Sociology . 28 (1): 197– 220. doi : 10.1146/annurev.soc.28.110601.140942 .
  160. ^ Batchelder, William H. (2015). 「数理心理学：歴史」.国際社会行動科学百科事典. pp.  808– 815. doi : 10.1016/B978-0-08-097086-8.43059-X . ISBN 978-0-08-097087-5。
  161. ^ a bザック、ポール・J. (2010).道徳市場：経済における価値観の重要な役割. プリンストン大学出版局. p. 158. ISBN 978-1-4008-3736-6. 2023年1月3日閲覧。
  162. ^レビン、ジョナサン、ミルグロム、ポール（2004年9月）選択理論入門（PDF）。
  163. ^ Kremer, Michael; Rao, Gautam; Schilbach, Frank (2019). 「第5章 行動開発経済学」. 『行動経済学ハンドブック：応用と基礎』（PDF） . 第2巻. 2024年6月2日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） . 2024年6月2日閲覧。
  164. ^ 「数学」 . mdpi.com .
  165. ^ “Kondratiev, Nikolai Dmitrievich | Encyclopedia.com” . www.encyclopedia.com . 2016年7月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年12月29日閲覧。
  166. ^ “Mathématique de l'histoire-géometrie et cinématique. Lois de Brück. Chronologie géodésique de la Bible., by Charles LAGRANGE et al. | The Online Books Page" . onlinebooks.library.upenn.edu。2024 年 1 月 3 日のオリジナルからアーカイブ。2024 年1 月 3 日に取得。
  167. ^ 「クリオダイナミクス：未来を予測する科学」 ZDNet。2022年12月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年12月29日閲覧。
  168. ^アラン・ソーカル;ジャン・ブリクモント(1998)。ファッショナブルなナンセンス。ニューヨーク：ピカドール。ISBN 978-0-312-19545-8. OCLC  39605994 .
  169. ^ “バイデン氏の誤解を招く失業統計 – FactCheck.org” . 2023年1月27日. 2024年6月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年6月2日閲覧。
  170. ^ 「経済政策のためのツールとしての現代マクロ経済モデル | ミネアポリス連邦準備銀行」minneapolisfed.org。2024年8月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年6月2日閲覧。
  171. ^バラゲル、マーク (2016). 「形而上学におけるプラトニズム」 . ザルタ、エドワード・N. (編). 『スタンフォード哲学百科事典』（2016年春版）. スタンフォード大学形而上学研究所. 2022年1月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年4月2日閲覧。
  172. ^ White, L. (1947). 「数学的現実の所在：人類学的脚注」を参照。『科学哲学』 14 (4): 289– 303. doi : 10.1086/286957 . S2CID 119887253. 189303; また、ニューマン、JR（1956）『数学の世界』第4巻、ニューヨーク：サイモン＆シュスター、pp.  2348-2364にも掲載されている。
  173. ^ドラート、マウロ (2005). 「なぜ法則は数学的なのか？」(PDF) . 『宇宙のソフトウェア：自然法則の歴史と哲学への入門』アッシュゲート. pp.  31– 66. ISBN 978-0-7546-3994-7. 2023年8月17日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） . 2022年12月5日閲覧。
  174. ^ Mura, Roberta (1993年12月). 「大学の数学教員が抱く数学イメージ」.数学教育研究. 25 (4): 375–85 . doi : 10.1007/BF01273907 . JSTOR 3482762. S2CID 122351146 .  
  175. ^トビース、レナーテ、ノインツァート、ヘルムート (2012). 『イリス・ルンゲ：数学、科学、産業の交差点における人生』シュプリンガー. p. 9. ISBN 978-3-0348-0229-12015年6月20日閲覧。まず、数学一般とは何かを問う必要がある。著名な学者たちがこの問題について議論を重ねてきたが、数学が自然科学なのか、人文科学の一分野なのか、それとも芸術なのかについては、いまだに合意に至っていない。
  176. ^ Ziegler, Günter M. ; Loos, Andreas (2017年11月2日). Kaiser, G. (編). 「数学とは何か？」そしてなぜ私たちは問いかけるべきなのか、どこでそれを体験し学ぶべきなのか、そしてどのように教えるべきなのか. 第13回国際数学教育会議議事録. ICME-13 モノグラフ. Springer. pp.  63– 77. doi : 10.1007/978-3-319-62597-3_5 . ISBN 978-3-319-62596-6。(セクション「数学とは何か?」および​​「数学とは実際何なのか?」)
  177. ^村 1993、379、381頁。
  178. ^ブラウン＆ポーター 1995、326ページ。
  179. ^ Strauss, Danie (2011). 「数学の定義」 . Acta Academica . 43 (4): 1– 28. 2022年11月25日閲覧。
  180. ^フランクリン、ジェームズ(2009). 『数学の哲学』 エルゼビア. pp.  104– 106. ISBN 978-0-08-093058-9. 2015年6月20日閲覧。
  181. ^カジョリ、フロリアン(1893). 『数学の歴史』 アメリカ数学会 (1991年再版). pp.  285– 286. ISBN 978-0-8218-2102-2. 2015年6月20日閲覧。{{cite book}}:ISBN / 日付の非互換性（ヘルプ）
  182. ^デブリン2018、3ページ 。
  183. ^ Mac Lane, Saunders (1986).数学形式と関数. p. 409. doi : 10.1007/978-1-4612-4872-9 . ISBN 978-1-4612-9340-8。
  184. ^ Brown, Ronald ; Porter, Timothy (1995). "The Methodology of Mathematics" . The Mathematical Gazette . 79 (485): 321– 334. doi : 10.2307/3618304 . JSTOR 3618304. S2CID 178923299. 2023年3月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年11月25日閲覧。  
  185. ^ Hamami, Yacin (2022年6月). 「数学的厳密さと証明」(PDF) . The Review of Symbolic Logic . 15 (2): 409– 449. doi : 10.1017/S1755020319000443 . S2CID 209980693. 2022年12月5日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2022年11月21日閲覧。 
  186. ^ Peterson 1988 、p. 4：「コンピュータプログラムが適切に検証できないと不満を言う者も少数いる。」（四色定理のハーケン・アペル証明について）
  187. ^ Perminov, V. Ya. (1988). 「数学的証明の信頼性について」.数学の哲学. 42 (167 (4)). Revue Internationale de Philosophie: 500– 508.
  188. ^ Davis, Jon D.; McDuffie, Amy Roth ; Drake, Corey; Seiwell, Amanda L. (2019). 「教師による公式カリキュラムに対する認識：問題解決と厳格さ」. International Journal of Educational Research . 93 : 91–100 . doi : 10.1016/j.ijer.2018.10.002 . S2CID 149753721 . 
  189. ^ Endsley, Kezia (2021).数学者と統計学者：実践キャリアガイド. 実践キャリアガイド. Rowman & Littlefield. pp.  1– 3. ISBN 978-1-5381-4517-3. 2022年11月29日閲覧。
  190. ^ロブソン、エレノア(2009). 「古代バビロニアの書記学校における数学教育」 . ロブソン、エレノア、ステダル、ジャクリーン(編). 『オックスフォード数学史ハンドブック』 . OUP Oxford. ISBN 978-0-19-921312-2. 2022年11月24日閲覧。
  191. ^アラン・ベルナール、クリスティーヌ・プルースト、ミカ・ロス (2014)「古代の数学教育」、A. カープ、G. シュブリング編『数学教育史ハンドブック』、ニューヨーク：シュプリンガー、pp.  27– 53. doi : 10.1007/978-1-4614-9155-2_3、ISBN 978-1-4614-9154-5。
  192. ^ダドリー、アンダーウッド（2002年4月）. 「世界初の数学教科書」. Math Horizo​​ns . 9 (4). Taylor & Francis, Ltd.: 8– 11. doi : 10.1080/10724117.2002.11975154 . JSTOR 25678363. S2CID 126067145 .  
  193. ^ Subramarian, F.インドの教育学と古代タミザカムにおける問題解決(PDF) . 数学史と教育学会議、2012年7月16～20日。 2022年11月28日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。 2022年11月29日閲覧。
  194. ^ Siu, Man Keung (2004). 「古代中国における数学の公式カリキュラム：受験者はどのように試験に向けて勉強したのか？」中国人はどのように数学を学ぶのか(PDF) . 数学教育シリーズ. 第1巻. pp.  157– 185. doi : 10.1142/9789812562241_0006 . ISBN 978-981-256-014-8. 2022年11月26日閲覧。
  195. ^ジョーンズ、フィリップ・S. (1967). 「数学教育の歴史」.アメリカ数学月刊. 74 (1). Taylor & Francis, Ltd.: 38– 55. doi : 10.2307/2314867 . JSTOR 2314867 . 
  196. ^ Schubring, Gert; Furinghetti, Fulvia; Siu, Man Keung (2012年8月). 「序論：数学教育の歴史。社会における近代化プロセスの指標」 . ZDM – 数学教育. 44 (4): 457– 459. doi : 10.1007/s11858-012-0445-7 . S2CID 145507519 . 
  197. ^フォン・ダヴィア、マティアス、フォイ、ピエール、マーティン、マイケル・O、マリス、イナ・VS (2020). 「eTIMSSデータとブリッジデータにおけるeTIMSSの国別差異の検証：国レベルの実施方法の影響」TIMSS 2019 数学・理科の国際結果(PDF) . TIMSS & PIRLS国際研究センター、リンチ教育人間開発学部、国際教育達成評価協会. p. 13.1. ISBN 978-1-889938-54-7. 2022年11月29日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） . 2022年11月29日閲覧。
  198. ^ Rowan-Kenyon, Heather T.; Swan, Amy K.; Creager, Marie F. (2012年3月). 「社会的認知要因、支援、そして関与：思春期初期の数学への興味はキャリア選択の先駆けとなる」(PDF) . The Career Development Quarterly . 60 (1): 2– 15. doi : 10.1002/j.2161-0045.2012.00001.x . 2023年11月22日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2022年11月29日閲覧.
  199. ^ Luttenberger, Silke; Wimmer, Sigrid; Paechter , Manuela (2018). 「数学不安への注目」 .心理学研究と行動マネジメント. 11 : 311–322 . doi : 10.2147/PRBM.S141421 . PMC 6087017. PMID 30123014 .  
  200. ^ Yaftian, Narges (2015年6月2日). 「数学者の創造プロセスの展望」 . Procedia – Social and Behavioral Sciences . 191 : 2519–2525 . doi : 10.1016/j.sbspro.2015.04.617 .
  201. ^ Nadjafikhah, Mehdi; Yaftian, Narges (2013年10月10日). 「創造性の最前線と数学的創造性」 . Procedia – Social and Behavioral Sciences . 90 : 344–350 . doi : 10.1016/j.sbspro.2013.07.101 .
  202. ^ van der Poorten, A. (1979). 「オイラーが見逃した証明…アペリーによるζ(3)の無理数の証明」(PDF) . The Mathematical Intelligencer . 1 (4): 195– 203. doi : 10.1007/BF03028234 . S2CID 121589323. 2015年9月6日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2022年11月22日閲覧. 
  203. ^ペトコヴィ、ミオドラグ (2009 年 9 月 2 日)。偉大な数学者の有名なパズル。アメリカ数学協会。 pp.xiii  – xiv。ISBN 978-0-8218-4814-2. 2022年11月25日閲覧。
  204. ^ハーディ, GH (1940). 『数学者の弁明』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-42706-7. 2022年11月22日閲覧。{{cite book}}:ISBN / 日付の非互換性（ヘルプ）『数学者の謝罪』も参照。
  205. ^アロン、ノガ;ダン・ゴールドストン。サルコジ、アンドラーシュ。シャバドス、ユジェフ。テネンバウム、ジェラルド。ガルシア、ステファン・ラモン。靴職人、エイミー L. (2015 年 3 月)。アラディ、クリシュナスワミ。クランツ、スティーブン G. (編)。「生誕100周年を迎えるパウル・エルデシュについての回想、パートII」。アメリカ数学協会の通知。62 (3): 226–247。土井: 10.1090/noti1223。
  206. ^例えば、バートランド・ラッセルの「数学は、正しく見れば、真実だけでなく、この上ない美しさも備えている」という著書『西洋哲学史』1919年60ページを参照。
  207. ^ Cazden, Norman (1959年10月). 「音程と単純な数比」. Journal of Research in Music Education . 7 (2): 197– 220. doi : 10.1177/002242945900700205 . JSTOR 3344215. S2CID 220636812 .  
  208. ^ Budden, FJ (1967年10月). 「現代数学と音楽」. The Mathematical Gazette . 51 (377). Cambridge University Press ({CUP}): 204– 215. doi : 10.2307/3613237 . JSTOR 3613237 . S2CID 126119711 .  
  209. ^ Enquist, Magnus; Arak, Anthony (1994年11月). 「対称性、美、そして進化」 . Nature . 372 (6502): 169– 172. Bibcode : 1994Natur.372..169E . doi : 10.1038/372169a0 . ISSN 1476-4687 . PMID 7969448. S2CID 4310147. 2022年12月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年12月29日閲覧。   
  210. ^デヴィッド・ヘステネス (1999)。「対称グループ」(PDF)。
  211. ^ベンダー、サラ（2020年9月）「ロールシャッハ・テスト」。カルドゥッチ、ベルナルド・J、ネイヴ、クリストファー・S、ミオ、ジェフリー・S、リッジョ、ロナルド・E（編）『ワイリー百科事典：性格と個人差の測定と評価』ワイリー、pp.  367– 376. doi : 10.1002/9781119547167.ch131。ISBN 978-1-119-05751-2。
  212. ^ Weyl, Hermann (2015).対称性. プリンストン科学図書館. 第47巻.プリンストン大学出版局. p.  4. ISBN 978-1-4008-7434-7。
  213. ^ 「講義8：並進対称性｜物理学II​​I：振動と波｜物理学」。MIT OpenCourseWare。
  214. ^ Bradley, Larry (2010). 「フラクタル – カオスとフラクタル」 . stsci.edu . 2023年3月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年12月29日閲覧。
  215. ^ “自己相似性” . math.bu.edu . 2023年3月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年12月29日閲覧。
  216. ^ Kissane, Barry (2009年7月). Popular math . 22nd Biennial Conference of The Australian Association of Mathematics Teachers. Fremantle, Western Australia: Australian Association of Mathematics Teachers. pp.  125– 126. 2023年3月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年12月29日閲覧。
  217. ^ Steen, LA (2012). Mathematics Today 12 Informal Essays . Springer Science & Business Media. p. 2. ISBN 978-1-4613-9435-8. 2023年1月3日閲覧。
  218. ^ピティチ、ミルチャ（2017年）『数学に関するベストライティング2016 』プリンストン大学出版局。ISBN 978-1-4008-8560-2. 2023年1月3日閲覧。
  219. ^ Monastyrsky 2001、p. 1：「フィールズ賞は現在、数学界で最もよく知られ、最も影響力のある賞であることは疑いようがありません。」
  220. ^リーム 2002、778–782頁。
  221. ^ “フィールズ賞 | 国際数学連合 (IMU)” . www.mathunion.org . 2018年12月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年2月21日閲覧。
  222. ^ a b「フィールズ賞」 .数学史. 2019年3月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月21日閲覧。
  223. ^ “Honours/Prizes Index” . MacTutor History of Mathematics Archive . 2021年12月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年2月20日閲覧。
  224. ^ 「アーベル賞について」アーベル賞。2022年4月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年1月23日閲覧。
  225. ^ 「アーベル賞 | 数学賞」ブリタニカ百科事典。2020年1月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年1月23日閲覧。
  226. ^ 「Chern Medal Award」（PDF） . mathunion.org . 2009年6月1日. 2009年6月17日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） . 2022年2月21日閲覧。
  227. ^ 「チャーン・メダル賞」国際数学連合（IMU）. 2010年8月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年1月23日閲覧。
  228. ^ 「AMSのリロイ・P・スティール賞」スコットランド、セントアンドリュース大学数学・統計学部。2022年11月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年11月17日閲覧。
  229. ^ Chern, SS; Hirzebruch, F. (2000). Wolf Prize in Mathematics . doi : 10.1142/4149 . ISBN 978-981-02-3945-9。
  230. ^ 「The Wolf Prize」 . Wolf Foundation . 2020年1月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年1月23日閲覧。
  231. ^ a b “Hilbert's Problems: 23 and Math” . Simons Foundation . 2020年5月6日. 2022年1月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年1月23日閲覧。
  232. ^フェファーマン、ソロモン(1998). 「決定不能なものを決定する：ヒルベルトの問題との格闘」（PDF） .論理の光の中で. 哲学における論理と計算シリーズ. オックスフォード大学出版局. pp.  3– 27. ISBN 978-0-19-508030-8. 2022年11月29日閲覧。
  233. ^ 「ミレニアム懸賞問題」クレイ数学研究所。2015年7月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年1月23日閲覧。
  234. ^ 「ミレニアム問題」クレイ数学研究所. 2018年12月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年1月23日閲覧。

その他の情報源

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