トーラス

表面に複数の円が配置されたリングトーラス

回転軸からの距離が減少するにつれて、リングトーラスはホーントーラスになり、次にスピンドルトーラスになり、最終的に二重被覆球に退化します。

アスペクト比 3、つまり大きい方の円 (マゼンタ) と小さい方の円 (赤) の直径の比を持つリング トーラス。

幾何学において、トーラス（複数形：トーラスまたはトーラス）は、三次元空間において円を、円と同一平面にある軸を中心に一回転させることによって生成される回転面です。トーラスの主な種類には、リングトーラス、ホーントーラス、スピンドルトーラスなどがあります。リングトーラスは、口語的にドーナツまたはドーナツと呼ばれることもあります。

回転軸が円に接しない場合、表面はリング状になり、回転トーラスまたはリング トーラスと呼ばれます。回転軸が円に接する場合、表面はホーン トーラスです。回転軸が円を 2 回通る場合、表面はスピンドル トーラス(または自己交差トーラス、自己交差トーラス) です。回転軸が円の中心を通る場合、表面は退化トーラス、つまり二重被覆球です。回転した曲線が円でない場合、表面は正方形トロイドなどの トロイドと呼ばれます。

回転トーラスに近似する現実世界の物体としては、浮き輪、浮き輪、リングネットリングなどがあります。

トーラスは、円ではなく円板を軸を中心に回転させることによって形成される立体トーラスとは異なります。立体トーラスは、トーラスとその内部の体積を組み合わせたものです。現実世界で立体トーラスに近い物体としては、 Oリング、非膨張式救命浮輪、リングドーナツ、ベーグルなどがあります。

位相幾何学において、環トーラスは2つの円の直積S ¹ × S ¹と同相であり、これが定義として用いられることもある。これは種数1のコンパクトな2次元多様体である。環トーラスはこの空間をユークリッド空間に埋め込む一つの方法であるが、もう一つの方法は平面におけるS ¹の埋め込みとそれ自身との直積である。これはクリフォード・トーラスと呼ばれる幾何学的物体、すなわち4次元空間における面を生成する。

位相幾何学の分野では、トーラスはトーラスに同相な位相空間である。^{[ 1 ]}コーヒーカップとドーナツの表面は、どちらも種数1の位相トーラスである。

トーラスの例は、ゴムなどの柔軟な材料の長方形のストリップを取り、上端と下端、左端と右端を半ねじりせずに結合することによって構築できます (クラインの壺と比較してください)。

語源

トーラスは、丸いもの、膨らみ、隆起、突出部を表すラテン語です。

幾何学

下半分と垂直断面

R > r : リングトーラスまたはアンカーリング

R = r : ホーントーラス

R < r : 自己交差スピンドルトーラス

3次元空間の回転トーラスは、次のようにパラメータ化できます。^{[ 2 ]} 角度座標を使用して、それぞれチューブの周りの回転とトーラスの回転軸の周りの回転を表します。ここで、長半径Rはチューブの中心からトーラスの中心までの距離であり、短半径rはチューブの半径です。^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\sin \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\sin \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\cos \theta \\\end{整列}}}$$ ${\displaystyle \theta ,\varphi \in [0,2\pi )}$

R / rの比はトーラスの アスペクト比と呼ばれます。典型的なドーナツ菓子のアスペクト比は約3対2です。

Z軸を中心に放射対称なトーラスの直交座標における暗黙の方程式は $${\displaystyle {\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}=r^{2}.}$$

代数的に平方根を消去すると4次方程式が得られる。 $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).}$$

魚の膀胱の比率を持つ紡錘形トーラスから派生したリンゴとレモン

標準トーラスの 3 つのクラスは、 Rとrの間の 3 つの可能なアスペクト比に対応します。

• R > rのとき、表面はよく知られているリングトーラスまたはアンカーリングになります。
• R = rはホーン トーラスに対応し、実質的には「穴」のないトーラスです。
• R < rは自己交差するスピンドルトーラスを表します。その内側のシェルはレモンで、外側のシェルはリンゴです。
• R = 0 のとき、トーラスは球半径rに縮退します。
• r = 0 のとき、トーラスは円半径Rに退化します。

R ≥ rのとき、 このトーラスの内部はユークリッド開円板と円の積に微分同相（したがって同相）である。この立体トーラスの体積と表面積は、パップスの重心定理を用いて簡単に計算でき、次の式が得られる。^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr,\\[5mu]V&=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)=2\pi ^{2}Rr^{2}.\end{aligned}}}$$

これらの式は、長さ2π R、半径rの円筒の場合と同じです。円筒は、小円の平面に沿って管を切断し、管の中心を通る線をまっすぐに伸ばして（矯正して）展開することで得られます。管の内側の表面積と体積の損失は、外側の利益を正確に打ち消します。

ポロイダル方向（赤矢印）とトロイダル方向（青矢印）

トーラスの表面積と体積は、トーラスの表面上の最も外側の点から中心までの距離pと、最も内側の点から中心までの距離qで表されます（つまり、R = ⁠p + q/2⁠およびr = ⁠p − q/2⁠）、得られる $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=4\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {pq}{2}}\right)=\pi ^{2}(p+q)(pq),\\[5mu]V&=2\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {pq}{2}}\right)^{2}={\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}(p+q)(pq)^{2}.\end{aligned}}}$$

トーラスは2つの円の積であるため、球面座標系の修正版が用いられることがあります。従来の球面座標系には、座標系の中心からの距離Rと、中心点からの角度 θとφという3つの尺度があります。

トーラスは実質的に2つの中心点を持つため、角度の中心点は移動します。φは球面系と同じ角度を測定しますが、「トーラス方向」と呼ばれます。θ の中心点はrの中心に移動し、「ポロイダル方向」と呼ばれます。これらの用語は、地球の磁場に関する議論で初めて使用され、「ポロイダル」は「極に向かう方向」を表すために使用されました。^{[ 5 ]}

現代では、磁気閉じ込め核融合装置について議論する際には、トロイダルとポロイダルという用語が一般的に使用されています。

トポロジー

位相的に、トーラスは2つの円の積S ¹ × S ¹として定義される閉曲面です。これはC ²に存在すると見なすことができ、半径√2の3次元球面S ³の部分集合です。この位相トーラスは、しばしばクリフォード・トーラスとも呼ばれます。^{[ 6 ]}実際、S ³はこのように（2つの退化した円を持つ）入れ子になったトーラスの族によって満たされており、この事実はS ^3をS ²上のファイバー束（ホップ束）として研究する上で重要です。

上述の曲面は、R ³からの相対位相が与えられれば、自身の軸と交差しない限り、位相トーラスと同相である。特定の同相は、位相トーラスを S ³の北極からR ³へ立体射影することによって得られる。

トーラスは、次の同一視のもとで、 直交平面の商として記述することもできる。

${\displaystyle (x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1),\,}$

あるいは、反対の辺を貼り合わせて単位正方形を作ったときの商として、基本多角形ABA ⁻¹ B ⁻¹として表される。

穴の開いたトーラスを裏返す

トーラスの基本群は、円の基本群とそれ自身の 直積です。

${\displaystyle \pi _{1}(T^{2})=\pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})\cong \mathrm {Z} \times \mathrm {Z} 。}$ ^{[ 7 ]}

直感的に言えば、これはトーラスの「穴」（例えば、特定の緯度を描く円）を周回し、次にトーラスの「本体」（例えば、特定の経度を描く円）を周回する閉じた経路が、本体を周回し、次に穴を周回する経路に変形できることを意味します。つまり、厳密に「緯度」の経路と厳密に「経度」の経路は可換です。これは、2本の靴ひもが互いに通り抜け、ほどけ、また巻き戻る様子を想像すると分かりやすいでしょう。

基本群はトーラスを商として取ることによっても導出できます(下記参照)。したがって、デッキ変換群とともに、はその普遍被覆として取ることができます。 ${\displaystyle T^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}=\pi _{1}(T^{2})}$

その高次のホモトピー群はすべて自明である。なぜなら、普遍被覆射影により、との間には常に同型性が誘導され、 は縮約可能だからである。 ${\displaystyle p:{\widetilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \pi _{n}({\widetilde {X}})}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

トーラスにはホモロジー群がある。

${\displaystyle H_{n}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&n=0,2\\\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} ,&n=1\\0&{\text{else.}}\end{cases}}}$

したがって、トーラスの最初のホモロジー群はその基本群と同型であり、特に はアーベルなので、これはHurewicz の定理から推測できます。 ${\displaystyle \pi _{1}(T^{2})}$

整数係数を持つコホモロジー群はホモロジー群と同型であり、これは直接計算、普遍係数定理、さらにはポアンカレ双対性によって確認できます。

トーラスに穴を開けて裏返すと、緯線と経線が入れ替わった別のトーラスができます。これは、円柱からトーラスを作るのと同じです。円柱の両端を繋ぎ合わせる方法は2通りあります。庭のホースの両端を繋ぐように外側をぐるりと回す方法と、靴下（つま先を切り落とした状態）を丸めるように内側をぐるりと回す方法です。さらに、長方形の2辺を接着して円柱を作った場合、他の2辺を接着すると、同じように向きが反転します。

2枚組の表紙

2次元トーラスは、2次元球面の2重分岐被覆であり、4つの分岐点を持つ。2次元トーラス上のあらゆる共形構造は、 2次元球面のこのような2枚被覆として表すことができる。分岐点に対応するトーラス上の点は、ワイエルシュトラス点である。実際、トーラスの共形型は、4つの点の 交差比によって決定される。

n次元トーラス

xz平面を通る単純な回転を実行する4次元クリフォードトーラスの立体投影

トーラスは高次元にも一般化され、n次元トーラスは、しばしばnトーラスまたはハイパートーラスnという用語のより一般的な意味でありnホールまたは種数nを指す。 ^{[ 8 ]}）通常のトーラスが位相的に2つの円の積空間であるのと同様に、n次元トーラスは位相的にnの積。つまり、

${\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}.}$

標準的な1次元トーラスは単なる円であり、T ¹ = S ¹です。上で述べたトーラスは標準的な2次元トーラス、T ²です。そして2次元トーラスと同様に、n次元トーラス、T ^{n は}任意の座標における整数シフトによるR ⁿの商として記述できます。つまり、n次元トーラスは整数格子Z ⁿの作用（作用はベクトルの加算として取られます）を法としたR ⁿです。同様に、 n次元超立方体の反対面同士を接着することで n次元トーラスが得られます。

この意味でのnトーラスは、 n次元コンパクト多様体の一例です。また、コンパクトアーベルリー群の一例でもあります。これは、単位円が（乗法を伴う単位複素数と同一視される場合）コンパクトアーベル リー群であるという事実から導かれます。したがって、トーラス上の群乗法は、座標ごとの乗法によって定義されます。

トーラス群はコンパクト・リー群の理論において重要な役割を果たします。これは、任意のコンパクト・リー群Gにおいて常に最大トーラス、すなわち最大次元のトーラスとなる閉部分群が見つかるという事実に一部起因しています。このような最大トーラスT は、連結なGの理論において制御的な役割を果たします。トーラス群はプロトーラスの例であり、プロトーラスも（トーラスと同様に）コンパクト連結なアーベル群であり、多様体である必要はありません。

Tの自己同型は、格子Z ⁿの自己同型から容易に構成されます。格子 Z nの自己同型は、整数逆行列を持つn次元の可逆な整数行列に分類されます。これらは、行列式±1を持つ整数行列です。これらを通常の方法でR ⁿに作用させると、商上の 典型的なトーラル自己同型が得られます。

n -トーラスの基本群は、階数 nの自由アーベル群である。n -トーラスのk次ホモロジー群は、階数nの自由アーベル群で、kを選んだものである。したがって、n -トーラスのオイラー標数はすべての nに対して0となる。コホモロジー環H ^• ( ,  Z ) は、 n 個の非自明なサイクルの双対を生成元とするZ -加群Z ⁿ上の外積代数と同一視できる。  ${\displaystyle T^{n}}$

構成空間

円上の必ずしも異なるとは限らない 2 つの点の配置空間は、2 次元トーラスのオービフォールド商T ² / S ₂であり、これはメビウスの帯です。

トネッツは音楽理論におけるトーラスの一例です。トネッツが真のトーラスとなるのは、同音同義性が仮定されている場合のみであり、つまり、繰り返される平行四辺形の右辺の(F#-A#)線分が左辺の(G♭-B♭)線分と同一視される場合に限ります。

nトーラスは円のn重積であるため、 nトーラスは円上のn個の順序付き点（必ずしも相異なるとは限らない）の配置空間である。記号的に言えば、 T ⁿ = ( S ¹ ) ^{n で}ある。順序なしの、必ずしも相異なるとは限らない点の配置空間は、したがって、オービフォールドT ⁿ / S ^{n で}あり、これはトーラスをn文字上の対称群で割った値（座標を置換すること）である。

n = 2の場合、商はメビウスの帯であり、その辺は 2 つの座標が一致するオービフォールド点に対応します。n = 3の場合、この商は、断面が正三角形でねじれのある立体トーラスとして記述できます。つまり、上面と下面が 1/3 のねじれ (120°) で接続された三角柱です。3 次元内部は 3 次元トーラス上の 3 つの座標がすべて異なる点に対応し、2 次元面は 2 つの座標が等しく 3 番目が異なる点に対応し、1 次元の辺は 3 つの座標がすべて一致する点に対応します。

これらのオービフォールドは、ドミトリ・ティモツコと共同研究者（フェリペ・ポサダ、マイケル・コリナスら）の研究において音楽理論に重要な応用が見出されており、音楽の三和音をモデル化するために使用されている。^{[ 9 ] [ 10 ]}

平坦トーラス

3 次元では、長方形をトーラスに曲げることができますが、これを行うと、市松模様の歪みに見られるように、表面に沿って測定される距離が必然的に影響を受けます。

立体投影で見ると、4D の平面トーラスは3 次元に投影でき、固定軸上で回転できます。

平坦トーラスの最も単純なタイリングは{4,4} _1,0であり、これは1つの頂点、2つの直交辺、そして1つの正方形面を持つ二重円筒の表面上に構築される。ここでは、これを3次元空間に立体的に投影したトーラスが示されている。

平坦トーラスは、商R ² / Lとして表現されるトーラスから計量を継承したトーラスです。ここで、LはR ²の離散部分群でZ ²と同型です。これにより、商はリーマン多様体の構造とアーベルリー群の構造を持ちます。おそらく最も単純な例はL = Z ² : R ² / Z ²のときで、これは( x , y ) ~ ( x + 1, y ) ~ ( x , y + 1)という識別の下で直交平面として記述することもできます。この特定の平坦トーラス（およびそれを均一にスケールしたバージョン）は、正方形平坦トーラスとして知られています。

正方形平坦トーラスのこの計量は、おなじみの2次元トーラスをユークリッド4次元空間または高次元に埋め込むことでも実現できます。その表面は、ガウス曲率がどこでもゼロです。円筒の表面が平坦であるのと同じ意味で平坦です。3次元では、平らな紙を紙を伸ばすことなく円筒に曲げることができますが、この円筒を紙を伸ばすことなくトーラスに曲げることはできません（何らかの正則性と微分可能性の条件を放棄しない限り、後述）。

長方形の平坦トーラス（正方形のものよりも一般的）の単純な 4 次元ユークリッド埋め込みは次のとおりです。

${\displaystyle (x,y,z,w)=(R\cos u,R\sin u,P\cos v,P\sin v)}$

ここで、RとP はアスペクト比を決定する正の定数である。これは正則トーラスと微分同相であるが、等長的ではない。ユークリッド 3 次元空間に解析的に埋め込むことはできない（C ^k類の滑らかな面、2 ≤ k ≤ ∞ ）。これを3次元空間に写像するには引き伸ばす必要があり、その場合、正則トーラスのように見える。例えば、次の写像のように：

${\displaystyle (x,y,z)=((R+P\sin v)\cos u,(R+P\sin v)\sin u,P\cos v).}$

上記の平坦トーラスのパラメータ化において、RとP が単位ベクトル( R , P ) = (cos( η ), sin( η ))を形成する場合、u、v、および0 < η < π/2は単位3次元球面をホップ座標としてパラメータ化する。特に、 3次元球面S ³における正方形平坦トーラスの特定の選択（上記η = π/4）では、トーラスは3次元球面を、前述の平坦トーラス面を共通の境界とする2つの合同な立体トーラス部分集合に分割する。一例として、次式で定義される トーラスTが挙げられる。

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z,w)\in S^{3}\mid x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}},\ z^{2}+w^{2}={\frac {1}{2}}\right\}.}$

この分割特性を持つS ³内の他のトーラスには、Q⋅Tの形の正方トーラスが含まれる。ここで、Qは4次元空間R ⁴の回転、言い換えればQはリー群SO(4)の要素である。

平坦トーラスの 3 次元空間へのC ² (2 回連続微分可能) 埋め込みは存在しないことが知られています。(証明の考え方は、そのような平坦トーラスを内部に含む大きな球を取り、球の半径を縮小してトーラスに初めて接触するというものです。このような接触点は接線でなければなりません。しかし、そうするとトーラスの一部は、どこでも曲率がゼロであるため、球の外側に必ず存在しなければならず、これは矛盾です。) 一方、 1950 年代に証明されたナッシュ-カイパー定理によれば、等長C ¹埋め込みが存在します。これは単に存在証明であり、そのような埋め込みの明示的な方程式は提供していません。

${\displaystyle C^{1}}$ R ³における平坦トーラスの等長埋め込み（波形あり）

2012年4月、平坦トーラスの3次元ユークリッド空間R ³への明示的なC ¹ （連続微分可能）等長埋め込みが発見された。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}これは、計量​​空間として平坦な正方形トーラスと等長であるという意味で平坦トーラスである。これは、通常のトーラスを小さなスケールで繰り返し波形にすることで構築されるため、構造がフラクタルに似ている。フラクタルと同様に、定義されたガウス曲率を持たない。しかし、フラクタルとは異なり、定義された面法線を持ち、いわゆる「滑らかなフラクタル」を生み出す。この波形トーラスの滑らかさを実現するための鍵は、連続する波形の振幅がそれらの「波長」よりも速く減少することです。^{[ 15 ]}（これらの無限再帰的な波形は3次元への埋め込みにのみ使用され、平坦トーラスの固有の特徴ではありません。）このような埋め込みが明示的な方程式で定義され、コンピュータグラフィックスで描かれたのはこれが初めてです。

平坦トーラスの等角分類

リーマン面の研究では、任意の2つの滑らかなコンパクト幾何学的面は、それらの間に角度と方向の両方を保存する滑らかな同相関係が存在するとき、「共形的に同値」であるとされています。均一化定理は、すべてのリーマン面が、定ガウス曲率を持つ面と共形的に同値であることを保証します。トーラスの場合、定曲率はゼロでなければなりません。次に、適切な位相を持つ共形同値類ごとに1つの点を含むように、トーラスの「モジュライ空間」を定義します。このモジュライ空間Mは、周囲の角度が2π（ラジアン）未満の2点を除いて滑らかな穴あき球面と同一視できることがわかります。1つの点の全角はπで、もう1つの点の全角は2π/3です。

M は、極限において長方形トーラスがアスペクト比 0 に近づく極限ケースを表す点を 1 つ追加することで、コンパクト空間M* (位相的には球面と等価)に変換できます。その結果、このコンパクト化されたモジュライ空間は、 3 つの点のそれぞれの周囲の全角度が 2π 未満になる球面になります (このような点は「カスプ」と呼ばれ、円錐の頂点 (「円錐点」とも呼ばれます) と考えることができます)。この 3 番目の円錐点は、周囲の全角度が 0 になります。対称性により、M* は、双曲面上の2 つの合同な測地三角形を(同一の) 境界に沿って接着することで構成できます。各三角形の角度はπ/2、π/ 3、0です。 (双曲三角形 T の 3 つの角度によって、合同に至るまで T が決まります。) 結果として、ガウス・ボネの定理によれば、各三角形の面積はπ − (π/2 + π/3 + 0) = π/6と計算できるため、コンパクト化されたモジュライ空間M* の面積はπ/3に等しいことがわかります。

他の2つのカスプは、M*において(a)正方トーラス（全角π）と(b)六角トーラス（全角2π/3 ）に対応する点に現れる。これらは、平行移動と否定によって生成されるもの以外の共形自己同型を持つ、平坦トーラスの唯一の共形同値類である。

属g面

曲面理論には、より一般的なオブジェクトの族として「種数」gの曲面があります。種数gの曲面は、g個の2次元トーラスの連結和です。（したがって、トーラス自体は種数1の曲面です。）2つの曲面の連結和を形成するには、それぞれの曲面から円板の内部を取り除き、境界円に沿って曲面を「接着」します。（つまり、2つの境界円を1つの円になるように結合します。）2つ以上の曲面の連結和を形成するには、すべての曲面が連結されるまで、一度に2つの曲面の連結和を順次求めます。この意味で、種数gの曲面は、 g個のドーナツを並べて貼り付けた面、またはg個のハンドルが付いた2次元球面に似ています。

例えば、種数0の曲面（境界なし）は二球面であり、種数1の曲面（境界なし）は通常のトーラスです。より高い種数の曲面は、n穴トーラス（または稀にn重トーラス）と呼ばれることがあります。二重トーラスや三重トーラスという用語も時々使用されます。

曲面の分類定理によれば、すべてのコンパクト連結面は球面、またはいくつかのトーラス、円板、および実射影平面の連結和と位相的に等価である。

属2

属3

環状多面体

6 × 4 = 24 個の四角形面を持つ環状多面体

トーラス型の位相的多面体はトーラス多面体と呼ばれ、オイラー標数V − E + F = 0を持つ。任意の数の穴に対して、この式はV − E + F = 2 − 2 gと一般化される。ここでgは位相的種数である。

トーラス多面体は、トーラス上の地図を彩色する際に使用できる色の最大数が7色であることを示すために用いられてきた。シラッシ多面体は、この性質を持つトーラス多面体の一例である。^{[ 16 ]}

シラッシ多面体の双対であるチャーサール多面体は、四面体以外で唯一、二つの頂点を結ぶあらゆる辺がその多面体の辺であるという性質を持つ多面体である。^{[ 17 ]}

「トーラス状多面体」という用語は、より高次の種数の多面体やトーラス状多面体の浸漬にも使用されるが、一部の著者は種数1のものだけを含める。^{[ 18 ]}

自己交差ドーナツ型多面体は、その抽象多様体の位相によって決定されます。自己交差ドーナツ型多面体の一種であるクラウン多面体は、ドーナツ型多面体の中で唯一、高​​貴な性質も持ち合わせています。

自己同型

トーラスの同相群（または微分同相写像の部分群）は、幾何学的位相幾何学において研究される。その写像類群（同相群の連結成分）は、可逆整数行列の群に射影的であり、これは標準格子（これは整数係数に対応する）を保存し、したがって商へと下降する普遍被覆空間上の線型写像として実現できる。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}}$

ホモトピーとホモロジーのレベルでは、写像類群は最初のホモロジー（または同等に最初のコホモロジー、あるいは基本群への作用として識別できます。これらはすべて自然に同型であるためです。また、最初のコホモロジー群はコホモロジー代数を生成します。

${\displaystyle \operatorname {MCG} _{\operatorname {Ho} }(T^{n})=\operatorname {Aut} (\pi _{1}(X))=\operatorname {Aut} (\mathbf {Z} ^{n})=\operatorname {GL} (n,\mathbf {Z} ).}$

トーラスはEilenberg–MacLane 空間K ( G , 1)であるため、ホモトピーまでのホモトピー同値性は基本群の自己同型と同一視できます。トーラスのすべてのホモトピー同値性は同相写像で実現できます。つまり、すべてのホモトピー同値性は同相写像に同相です。

したがって、写像類群の短い正確な列は分割されます（トーラスを の商として識別すると、上記のように線型写像を介して分割が行われます）。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle 1\to \operatorname {Homeo} _{0}(T^{n})\to \operatorname {Homeo} (T^{n})\to \operatorname {MCG} _{\operatorname {TOP} }(T^{n})\to 1.}$

高次の種数の表面のマッピング類群ははるかに複雑であり、活発に研究されている分野です。

トーラスの色付け

トーラスのヒーウッド数は7 です。つまり、トーラスに埋め込むことができるすべてのグラフの彩色数は最大 7です。(完全グラフは トーラスに埋め込むことができ、 であるため、上限は厳密です。) 同様に、領域に分割されたトーラスでは、隣接する領域が同じ色にならないように、常に 7 色以下を使用して領域を彩色できます。(平面の4 色定理と比較してください。) ${\displaystyle {\mathsf {K_{7}}}}$ ${\displaystyle \chi ({\mathsf {K_{7}}})=7}$

この構造では、トーラスが 7 つの領域に分割されており、各領域は互いに接しているため、それぞれに固有の色を割り当てる必要があります。

デ・ブリュイン・トーラス

de Bruijnトーラス(16,32;3,3) ₂のSTLモデル。1はパネル、0はメッシュの穴。一貫した方向で、すべての3×3行列は正確に1回出現する。

組合せ数学において、ド・ブリュイン・トーラスとは、アルファベット（多くの場合0と1のみ）の記号の配列であり、 m行n列の行列をそれぞれ1つずつ含みます。行列を求める際に、辺が折り返されていると考えられるため、トーラスと呼ばれます。その名称は、 nが1（1次元） の特殊なケースと考えられるド・ブリュイン列に由来します。

トーラスの切断

回転体トーラスはn（> 0）平面で最大で

${\displaystyle {\begin{pmatrix}n+2\\n-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}}={\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+8n)}$

部品。^{[ 19 ]}（これは、部品が並べ替えられず、すべてのカットで所定の位置に留まらなければならないことを前提としています。）

0 ≤ n ≤ 10 （上記の式に含まれない n = 0の場合も含む）の最初の 11 個の部分の数は、次のとおりです。

1、2、6、13、24、40、62、91、128、174、230、...（OEISのシーケンスA003600）。

参照

• 3トーラス
• 代数的トーラス
• 従属トーラス
• 環状部（幾何学）
• クリフォードトーラス
• 複素トーラス
• デュパン環化物
• 楕円曲線
• トーラスの無理数巻き
• 共同欧州トーラス
• クラインの壺
• ローナーのトーラス不等式
• 最大トーラス
• 周期格子
• 実射影平面
• 球
• 螺旋断面
• 表面（トポロジー）
• トーリックレンズ
• トーリックセクション
• トーリック多様体
• トロイド
• トロイダルとポロイダル
• トーラスベースの暗号
• トーラスノット
• 臍帯隆起
• ヴィラルソーサークル

注記

• 幾何学分析と線形代数の計算、ISBN 978-970-10-6596-9著者：Kozak Ana Maria、Pompeya Pastorelli Sonia、Verdanega Pedro Emilio、編集：McGraw-Hill、2007 年版、744 ページ、言語：スペイン語
• アレン・ハッチャー著『代数的位相幾何学』ケンブリッジ大学出版局、2002年、ISBN 0-521-79540-0。
• VVニクーリン、I.R.シャファレヴィッチ著『幾何学と群』シュプリンガー、1987年、ISBN 3-540-15281-4、ISBN 978-3-540-15281-1。
• 「Tore (幾何学概念)」（Encyclopédie des Fores Mathématiques Remarquables ）

参考文献

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19. Weisstein, Eric W.「トーラス切断」。MathWorld 。

外部リンク

• 結び目を切ることでトーラスを作成する
• 「4Dトーラス」 4次元トーラスの断面をフライスルー表示
• 「リレーショナルパースペクティブマップ」フラットトーラスを用いた高次元データの可視化
• ポリドー、ドーナツ型の多角形
• GhostarchiveとWayback Machineにアーカイブ：Séquin, Carlo H (2014年1月27日). 「ねじれトーラスの位相幾何学 – Numberphile」（ビデオ） . Brady Haran .
• アンダース・サンドバーグ (2014年2月4日). 「トーラス地球」 . 2019年7月24日閲覧。