幾何学
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幾何学[ a ] [ 1 ]は、図形の距離、形状、大きさ、相対的な位置など、空間の特性を扱う数学の一分野です。 [ 2 ]幾何学は、算術と並んで、数学の最も古い分野の一つです。幾何学の分野で研究する数学者は幾何学者と呼ばれます。19世紀まで、幾何学はほぼユークリッド幾何学[ b ]に専念していました。ユークリッド幾何学には、点、直線、平面、距離、角度、曲面、曲線といった概念が基本概念として含まれています。[ 3 ]

幾何学はもともと物理世界をモデル化するために発展しましたが、ほぼすべての科学分野、さらには芸術、建築、その他グラフィックスに関連する活動にも応用されています。[ 4 ]幾何学は、一見無関係に見える数学の分野にも応用されています。例えば、代数幾何学の手法は、初等算術の観点から述べられ、数世紀にわたって未解決であったフェルマーの最終定理のワイルズによる証明において基本的な役割を果たしています。

19世紀には、いくつかの発見により幾何学の範囲が劇的に拡大した。そうした発見のうち最も古いものの一つは、カール・フリードリヒ・ガウスの「注目すべき定理」である。これは、曲面のガウス曲率はユークリッド空間への特定の埋め込みとは無関係である、と大まかに主張している。これは、曲面を本質的に、すなわち独立した空間として研究できることを意味し、多様体理論やリーマン幾何学へと拡張された。19世紀後半には、平行線公理のない幾何学（非ユークリッド幾何学）を矛盾なく展開できることが明らかになった。一般相対性理論の基礎となる幾何学は、非ユークリッド幾何学の有名な応用である。

19 世紀後半以降、幾何学の対象範囲は大きく拡大し、その分野は、基礎となる手法（微分幾何学、代数幾何学、計算幾何学、代数位相幾何学、離散幾何学（組合せ幾何学とも呼ばれる）など）や、ユークリッド空間の特性（点の配置のみを考慮し距離や平行性を考慮しない射影幾何学、角度や距離の概念を省略したアフィン幾何学、連続性を省略した有限幾何学など）に依存する多くのサブフィールドに分割されました。この幾何学の対象範囲の拡大により、「空間」という言葉の意味が変化しました。これはもともと、物理的世界の3 次元空間と、ユークリッド幾何学によって提供されるそのモデルを指していました。現在では、幾何学空間、または単に空間は、何らかの幾何学が定義される 数学的構造です。

歴史

15世紀に幾何学を練習するヨーロッパ人とアラブ人

記録に残る最も古い幾何学の起源は、紀元前2千年紀の古代メソポタミアとエジプトに遡ります。 [ 5 ] [ 6 ]初期の幾何学は、長さ、角度、面積、体積に関する経験的に発見された原理の集合であり、測量、建築、天文学、様々な工芸における実際的な必要性を満たすために発展しました。幾何学に関する最も古い文献としては、エジプトのリンド・パピルス（紀元前2000～1800年）とモスクワ・パピルス（紀元前 1890年頃）、バビロニアの粘土板、例えばプリンプトン322 （紀元前1900年）が挙げられます。例えば、モスクワ・パピルスには、切頂角錐（錐台）の体積を計算する公式が示されています。[ 7 ]後代の粘土板（紀元前350～50年）は、バビロニアの天文学者が木星の位置と運動を時間速度空間内で計算するために台形法を用いていたことを示しています。これらの幾何学的手法は、平均速度定理を含むオックスフォード計算法を14世紀も前に先取りしていました。[ 8 ]エジプト南部では、古代ヌビア人が太陽時計の初期のバージョンを含む幾何学体系を確立しました。[ 9 ] [ 10 ]

紀元前7世紀、ギリシャの数学者ミレトスのタレスは幾何学を用いてピラミッドの高さや船と岸までの距離などの問題を解決した。タレスの定理の系4つを導き出し、演繹的推論を幾何学に初めて応用したとされている。[ 11 ]ピタゴラスはピタゴラス学派を設立し、ピタゴラスの定理を初めて証明したとされているが、[ 12 ]この定理の表明には長い歴史がある。[ 13 ] [ 14 ]エウドクソス（紀元前408年 - 紀元前 355年頃）は、曲線図形の面積と体積を計算できる尽力法を考案した。 [ 15 ]また、比の理論によって不一致な大きさの問題が回避され、後の幾何学者が大きな進歩を遂げることになった。紀元前300年頃、幾何学はユークリッドによって革命をもたらした。彼の著書『原論』は史上最も成功し、最も影響力のある教科書と広く考えられており、[ 16 ]公理的方法によって数学的厳密さを導入し、定義、公理、定理、証明という、今日でも数学で使用されている形式の最も初期の例である。『原論』の内容のほとんどはすでに知られていたが、ユークリッドはそれを単一の首尾一貫した論理的枠組みにまとめた。[ 17 ]『原論』は20世紀半ばまで西洋の知識人であれば誰でも知っていて、その内容は今日でも幾何学の授業で教えられている。[ 18 ]イタリアのシラクサのアルキメデス(紀元前 287年頃 - 212年) は、尽きる法を使って無限級数の和から放物線の弧の下の面積を計算し、円周率の驚くほど正確な近似値を示した。[ 19 ]彼はまた、自身の名を冠した螺旋を研究し、回転面の体積を求める公式を得た。

幾何学を教える女性。ユークリッドの『原論』中世訳の冒頭の挿絵、 1310年頃。

インドの数学者たちは幾何学においても多くの重要な貢献を果たしました。シャタパタ・ブラフマナ（紀元前3世紀）には、スルバ・スートラに類似した儀式的な幾何学構築の規則が含まれています。[ 20 ]林（2005、363ページ）によれば、シュルバ・スートラには「古代バビロニア人には既に知られていたものの、世界で現存するピタゴラスの定理の最も古い言葉による表現」が含まれている。そこにはピタゴラスの三つ組のリストが含まれているが、[ c ]これはディオファントス方程式の特殊なケースである。[ 21 ]バクシャーリー写本 には、いくつかの幾何学の問題（不規則な立体の体積に関する問題を含む）が含まれている。バクシャーリー写本はまた、「ゼロにドットを使用する小数点値システムを採用している」。[ 22 ]アーリヤバータのアーリヤバーティヤ（499）には、面積と体積の計算が含まれている。 ブラフマグプタは628年に天文学の著作であるブラフマスフタシッダーンタを著した。第12章には、 66のサンスクリット詩節からなるこの書は、「基本演算」（立方根、分数、比と比例、物々交換を含む）と「実用数学」（混合、数列、平面図形、レンガの積み方、木材の製材、穀物の積み方を含む）の2つのセクションに分かれている。[ 23 ]後者のセクションでは、彼は有名な円周四辺形の対角線に関する定理を述べている。第12章には、円周四辺形の面積の公式（ヘロンの公式の一般化）と、有理三角形（すなわち、有理辺と有理面積を持つ三角形）の完全な説明も含まれている。[ 23 ]

中世において、中世イスラムの数学は幾何学、特に代数幾何学の発展に貢献した。[ 24 ] [ 25 ]アル・マハニ（853年生）は、立方体の複製などの幾何学の問題を代数の問題に還元するというアイデアを思いついた。[ 26 ]サビット・イブン・クルラ（ラテン語ではテビットとして知られる）（836年 - 901年）は、幾何学的量の比率に適用される算術演算を扱い、解析幾何学の発展に貢献した。[ 27 ]オマル・ハイヤーム（1048年 - 1131年）は、 3次方程式の幾何学的解を発見した。[ 28 ]イブン・アル＝ハイサム（アルハゼン）、オマル・ハイヤーム、ナスィール・アルディーン・アル＝トゥーシによるランベルト四辺形やサッケリ四辺形などの四辺形に関する定理は、ヴィテッロ（ 1230年頃～ 1314 年頃）、ゲルソニデス（1288年～1344年）、アルフォンソ、ジョン・ウォリス、ジョヴァンニ・ジローラモ・サッケリなどの後のヨーロッパの幾何学者によって続けられた平行線公理の研究の一部であり、19世紀までに双曲幾何学の発見につながった。[ 29 ]

17世紀初頭、幾何学において二つの重要な発展がありました。一つ目は、ルネ・デカルト（1596–1650）とピエール・ド・フェルマー（1601–1665）による解析幾何学、すなわち座標と方程式を用いた幾何学の創始です。 [ 30 ]これは、微積分学と物理学の精密な定量科学の発展に不可欠な前兆でした。[ 31 ]この時期における二つ目の幾何学の発展は、ジラール・デザルグ（1591–1661）による射影幾何学の体系的な研究です。[ 32 ]射影幾何学は、特に芸術的な遠近法との関連において、投影や断面によって変化しない図形の性質を研究します。[ 33 ]

19世紀における幾何学の二つの発展は、それまでの研究方法を一変させた。[ 34 ]ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキー、ヤーノシュ・ボヤイ、カール・フリードリヒ・ガウスによる非ユークリッド幾何学の発見と、フェリックス・クラインによるエアランゲン計画（ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学を一般化した）における対称性の定式化である。当時の代表的な幾何学者には、主に数学解析学のツールを用いてリーマン面を導入したベルンハルト・リーマン（1826-1866）と、代数的位相幾何学と力学系の幾何学理論の創始者であるアンリ・ポアンカレがいた。幾何学の概念におけるこれらの大きな変化の結果として、「空間」の概念は豊かで多様なものとなり、複素解析学や古典力学といった異なる理論の自然な背景となった。[ 35 ]

主な概念

以下は幾何学における最も重要な概念の一部です。[ 3 ] [ 36 ]

公理

ユークリッドの平行線公理の図解

ユークリッドは『原論』 [ 37 ]において幾何学に抽象的なアプローチをとった。これは史上最も影響力のある著作の一つである。[ 38 ]ユークリッドは、点、直線、平面の基本的あるいは自明な性質を表現する公理、すなわち公準を導入した。 [ 39 ]彼は数学的推論によって他の性質を厳密に演繹した。ユークリッドの幾何学へのアプローチの特徴はその厳密さにあり、公理幾何学あるいは総合幾何学として知られるようになった。[ 40 ] 19世紀初頭、ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキー（1792–1856）、ヤーノシュ・ボヤイ（1802–1860）、カール・フリードリヒ・ガウス（1777–1855）らによる非ユークリッド幾何学の発見により[ 41 ]、この分野への関心が復活し、20世紀にはダヴィド・ヒルベルト（1862–1943）が公理的推論を用いて幾何学の現代的な基礎を提供しようとした[ 42 ] 。

空間と部分空間

ポイント

点は一般的に幾何学を構築するための基本的な対象と考えられている。ユークリッドの「部分を持たないもの」[ 43 ]の定義や総合幾何学のように、点が持つべき性質によって定義されることもある。現代数学では、点は一般に空間と呼ばれる集合の要素として定義され、空間自体も公理的に定義されている。

これらの現代的な定義では、あらゆる幾何学的形状は点の集合として定義されます。これは総合幾何学では当てはまりません。総合幾何学では、線はそれが通過する点の集合として見なされない別の基本オブジェクトです。

しかし、点が原始的オブジェクトではない、あるいは点がない現代の幾何学も存在します。[ 44 ] [ 45 ]そのような幾何学の最も古いものの一つは、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドが1919年から1920年にかけて定式化したホワイトヘッドの点なし幾何学です。

線

ユークリッドは直線を「幅のない長さ」であり「それ自身の上の点に関して等しく横たわる」と表現した。[ 43 ]現代数学では、幾何学の多様性を考えると、直線の概念は幾何学の記述方法と密接に結びついている。例えば、解析幾何学では、平面上の直線は、与えられた線形方程式を満たす座標を持つ点の集合として定義されることが多いが、[ 46 ]入射幾何学のようなより抽象的な設定では、直線は、その直線上にある点の集合とは異なる独立したオブジェクトとなる場合がある。[ 47 ]微分幾何学では、測地線は直線の概念を曲面空間に一般化したものである。[ 48 ]

飛行機

ユークリッド幾何学において、平面とは無限に広がる平坦な二次元面である。[ 43 ]他の種類の幾何学の定義は、この定義の一般化である。平面は幾何学の多くの分野で用いられる。例えば、平面は距離や角度に関係なく位相面として研究することができる。 [ 49 ]アフィン空間として研究することもできる。アフィン空間では共線性と比は研究できるが、距離は研究できない。[ 50 ]複素解析の手法を用いて複素平面として研究することもできる。[ 51 ]などである。

曲線

曲線は1次元の物体で、直線（線のように）である場合もあれば、そうでない場合もあります。2次元空間の曲線は平面曲線と呼ばれ、3次元空間の曲線は空間曲線と呼ばれます。[ 52 ]

位相幾何学では、曲線は実数区間から別の空間への関数によって定義されます。[ 49 ]微分幾何学でも同じ定義が使われますが、定義関数は微分可能である必要があります。[ 53 ]代数幾何学では代数曲線を研究します。代数曲線は1次元の代数多様体として定義されます。[ 54 ]

表面

球面は、パラメトリックに定義できる面（x = r sin θ cos φ、y = r sin θ sin φ、z = r cos θ）または暗黙的に定義できる面（x 2 + y 2 + z 2 − r 2 = 0）です。

曲面は球面や放物面などの2次元物体である。[ 55 ]微分幾何学[ 53 ]や位相幾何学[ 49 ]では、曲面はそれぞれ微分同相写像や同相写像によって組み立てられた2次元の「パッチ」（または近傍）によって記述される。代数幾何学では、曲面は多項式方程式によって記述される。[ 54 ]

固体

ユークリッド空間では、ボールは球によって囲まれた体積です。

立体は閉じた面によって囲まれた 3 次元の物体です。たとえば、ボールは球によって囲まれた体積です。

多様体

多様体とは、曲線と曲面の概念を一般化したものである。位相幾何学において、多様体とは、すべての点がユークリッド空間に同相な近傍を持つ位相空間である。[ 49 ]微分幾何学において、微分可能多様体とは、各近傍がユークリッド空間に微分同相な空間である。[ 53 ]

多様体は一般相対性理論や弦理論を含む物理学で広く使われている。[ 56 ]

角度

鋭角（a）、鈍角（b）、直角（c）。鋭角と鈍角は斜角とも呼ばれます。

ユークリッドは平面角を、平面上で互いに交わり、互いに対して直線ではない2本の線の傾きと定義しました。[ 43 ]現代の用語では、角度は、角度の頂点と呼ばれる共通の端点を共有する、角度の辺と呼ばれる2本の光線によって形成される図形です。[ 57 ] 角度の大きさは角度の尺度として形式化されます。

ユークリッド幾何学では、角度は多角形や三角形を研究するために使われるだけでなく、それ自体が研究対象でもあります。[ 43 ]三角形の角度や単位円の角度の研究は三角法の基礎となります。[ 58 ]

微分幾何学と微積分学では、平面曲線や空間曲線または曲面の間の角度は微分を使って計算することができます。[ 59 ] [ 60 ]

測定単位：長さ、面積、体積

長さ、面積、体積は、それぞれ 1 次元、2 次元、3 次元における物体のサイズまたは範囲を表します。

ユークリッド幾何学や解析幾何学では、線分の長さはピタゴラスの定理によって計算できることが多い。[ 61 ]

面積と体積は、長さとは別の基本量として定義することも、平面または3次元空間における長さを用いて記述・計算することもできます。数学者は、様々な幾何学的物体の面積と体積に関する明確な公式を数多く発見してきました。微積分学では、面積と体積はリーマン積分[ 62 ]やルベーグ積分[ 63 ]などの積分によって定義することができます。

その他の幾何学的尺度としては、曲率とコンパクト性があります。

指標と測定基準

紀元前500～200年の周壁算経における(3, 4, 5)三角形のピタゴラスの定理の視覚的検証。ピタゴラスの定理はユークリッド計量から得られる。

長さや距離の概念は一般化することができ、計量の概念につながります。[ 64 ]例えば、ユークリッド計量はユークリッド平面上の点間の距離を測定し、双曲計量は双曲平面上の距離を測定します。計量の他の重要な例としては、特殊相対論のローレンツ計量や一般相対論の半リーマン計量などがあります。[ 65 ]

異なる方向では、長さ、面積、体積の概念は測度論によって拡張され、集合に大きさや尺度を割り当てる方法を研究します。この場合の尺度は、古典的な面積や体積の規則に似た規則に従います。[ 66 ]

合同と相似

合同性と相似性は、2つの図形が類似した特徴を持つ場合を説明する概念です。[ 67 ]ユークリッド幾何学では、相似性は同じ形状の物体を説明するために使用され、合同性はサイズと形状の両方が同じ物体を説明するために使用されます。[ 68 ]ヒルベルトは、幾何学のより厳密な基礎を築くための研究の中で、合同性を、その特性が公理によって定義されている未定義の用語として扱いました。

合同性と相似性は、異なる種類の変換によって保存される幾何学的対象の性質を研究する変換幾何学において一般化されている。 [ 69 ]

コンパスと定規を使った作図

古典幾何学者は、これまで何らかの方法で記述されてきた幾何学的対象を作図することに特別な注意を払いました。古典幾何学においては、ほとんどの幾何学的作図に用いられる道具はコンパスと定規のみでした。[ d ]また、すべての作図は有限個のステップで完了する必要がありました。しかし、これらの手段だけでは解決が困難あるいは不可能な問題もいくつかあり、ニューシス、放物線、その他の曲線、あるいは機械装置を用いた独創的な作図法が考案されました。

回転と方向

回転と方向という幾何学的概念は、平面または空間に埋め込まれたオブジェクトの配置の一部を定義します。

寸法

フラクタル次元=log4/log3、位相次元=1のコッホ雪片

伝統的な幾何学では、1次元（直線または曲線）、2次元（平面または面）、そして3次元（私たちの周囲の世界を3次元空間として捉えたもの）が認められていました。さらに、数学者や物理学者は2世紀近くにわたって高次元を用いてきました。 [ 70 ]高次元の数学的利用の一例としては、物理系の配置空間が挙げられます。これは系の自由度に等しい次元を持ちます。例えば、ネジの配置は5つの座標で記述できます。[ 71 ]

一般位相幾何学では、次元の概念は自然数から無限次元（例えばヒルベルト空間）や正の実数（フラクタル幾何学）へと拡張されている。[ 72 ]代数幾何学では、代数多様体の次元は一見異なる定義がいくつかあるが、最も一般的なケースではすべて等価である。[ 73 ]

対称

双曲面のタイリング

幾何学における対称性のテーマは、幾何学そのものの科学と同じくらい古い。[ 74 ]円、正多角形、プラトン立体などの対称形は、多くの古代哲学者にとって深い意味を持ち[ 75 ]ユークリッドの時代以前にも詳細に研究されていた。[ 39 ]対称的なパターンは自然界に見られ、レオナルド・ダ・ヴィンチ、M・C・エッシャーなどのグラフィックを含め、さまざまな形式で芸術的に表現されている。 [ 76 ] 19世紀後半には、対称性と幾何学の関係が徹底的に調査されるようになった。フェリックス・クラインのエアランゲン・プログラムは、変換群の概念で表現される対称性が非常に正確な意味で、幾何学とは何かを決定すると主張した。[ 77 ]古典的なユークリッド幾何学における対称性は合同性と剛体運動によって表現されるが、射影幾何学では、直線を直線にする幾何学的変換である共線変換によって同様の役割が演じられる。 [ 78 ]しかし、ボヤイとロバチェフスキー、リーマン、クリフォードとクライン、そしてソフス・リーの新しい幾何学において、クラインの「対称群によって幾何学を定義する」というアイデアがインスピレーションを得た。[ 79 ]離散対称性と連続対称性はどちらも幾何学において重要な役割を果たしており、前者は位相幾何学と幾何学群論で、[ 80 ] [ 81 ]後者はリー理論とリーマン幾何学で重要な役割を果たしている。[ 82 ] [ 83 ]

対称性の別の種類として、射影幾何学をはじめとする分野における双対性の原理があります。このメタ現象は、おおよそ次のように記述できます。任意の定理において、点を平面と交換し、を繋いで交わり、を内包し、を内包し、を内包し、そして同様に真となる定理が得られます。[ 84 ]同様かつ密接に関連した双対性は、ベクトル空間とその双対空間の間にも存在します。[ 85 ]

現代幾何学

ユークリッド幾何学

ユークリッド幾何学は古典的な意味での幾何学である。[ 86 ]物理的世界の空間をモデル化するため、力学、天文学、結晶学などの多くの科学的領域で使用されている。 [ 87 ]また、工学、[ 88 ]建築学、[ 89 ]測地学、[ 90 ]空気力学、[ 91 ]航海術などの多くの技術分野でも使用されている。[ 92 ]大多数の国々の義務教育カリキュラムには、点、直線、平面、角度、三角形、合同、相似、立体、円、解析幾何学などのユークリッドの概念の研究が含まれている。[ 93 ]

ユークリッドベクトル

ユークリッド ベクトルは、位置、変位、変形、速度、加速度、力など、 物理学や工学のさまざまな用途に使用されます。

微分幾何学

微分幾何学では、微積分のツールを使って曲率に関する問題を研究します。

微分幾何学は、微積分と線型代数の手法を用いて幾何学の問題を研究する学問です。[ 94 ]微分幾何学は、物理学、[ 95 ]計量経済学、[ 96 ]バイオインフォマティクス、[ 97 ]などにも 応用されています。

特に、微分幾何学は、宇宙が曲がっているというアルバート・アインシュタインの一般相対性理論の仮説により、数理物理学にとって重要である。[ 98 ]微分幾何学は、内在的（対象とする空間が滑らかな多様体であり、その幾何学的構造がリーマン計量によって支配され、各点の近くでの距離の測定方法を決定する）または外在的（研究対象が周囲の平坦なユークリッド空間の一部である場合）のいずれかである。[ 99 ]

非ユークリッド幾何学

3種類の幾何学における共通の垂線を持つ直線の挙動

数学において、非ユークリッド幾何学は、ユークリッド幾何学を規定する公理と密接に関連する公理に基づく 2 つの幾何学から構成されます。ユークリッド幾何学は計量幾何学とアフィン幾何学の交差点にあるため、非ユークリッド幾何学は、平行線公理を別の公理に置き換えるか、計量幾何学に関連する定まった二次形式以外の二次形式を考慮することによって生じます。前者の場合、従来の非ユークリッド幾何学である双曲幾何学と楕円幾何学が得られます。等方二次形式が認められる場合、平面代数に関連するアフィン平面が存在し、非ユークリッド幾何学とも呼ばれる 運動学的幾何学が生じます。

トポロジー

三つ葉結び目の肥厚

位相幾何学は連続写像の性質を扱う分野であり[ 100 ]、ユークリッド幾何学の一般化と考えることができる。[ 101 ]実際には、位相幾何学は連結性やコンパクト性などの空間の大規模な性質を扱うことを意味することが多い。[ 49 ]

20世紀に飛躍的な発展を遂げた位相幾何学は、技術的な意味では、変換が同相写像である変換幾何学の一種である。[ 102 ]これはしばしば「位相幾何学はゴムシート幾何学である」という形で表現される。位相幾何学のサブフィールドには、幾何学的位相幾何学、微分位相幾何学、代数的位相幾何学、一般位相幾何学などがある。[ 103 ]

代数幾何学

五次カラビ・ヤウ三重項

代数幾何学は、基本的には代数集合と呼ばれる幾何学的形状を代数的手法によって研究するものであり、多変数多項式の共通零点として定義されます。[ 104 ]代数幾何学は、代数集合と多項式環のイデアルの間に強い対応関係を確立するヒルベルトの零点定理によって、 1900年頃に幾何学の独立したサブフィールドとなりました。これにより、代数幾何学と、その代数的対応物である可換代数が並行して発展しました。[ 105 ] 1950年代後半から1970年代半ばにかけて、代数幾何学はアレクサンダー・グロタンディークによるスキーム理論の導入により、基礎的な大きな発展を遂げました。スキーム理論により、コホモロジー理論などの位相的手法を純粋に代数的なコンテキストで使用できるようになりました。[ 105 ]スキーム理論は、幾何学だけでなく数論においても多くの難問を解くことを可能にした。ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明は、スキーム理論とその拡張であるスタック理論を用いて解決された数論における長年の課題の有名な例である。7つのミレニアム懸賞問題の一つであるホッジ予想は、代数幾何学における問題である。[ 106 ]

代数幾何学は暗号[ 107 ]や弦理論[ 108 ]など多くの分野に応用されています。

複雑な幾何学

複素幾何学は、複素平面をモデルにした、あるいは複素平面から生じる幾何学的構造の性質を研究する。[ 109 ] [ 110 ] [ 111 ]複素幾何学は、微分幾何学、代数幾何学、および複素変数解析学の交差点に位置し、弦理論やミラー対称性に応用されている。[ 112 ]

複素幾何学が独自の研究分野として初めて登場したのは、ベルンハルト・リーマンによるリーマン面の研究においてである。[ 113 ] [ 114 ] [ 115 ]リーマンの精神を継承する研究は、1900年代初頭にイタリア代数幾何学学派によって行われた。複素幾何学の現代的な扱いは、この分野に層の概念を導入し、複素幾何学と代数幾何学の関係を明らかにしたジャン＝ピエール・セールの研究に始まった。 [ 116 ] [ 117 ] 複素幾何学の主な研究対象は、複素多様体、複素代数多様体、複素解析多様体、およびこれらの空間上の正則ベクトル束と連接層である。複素幾何学で研究される空間の特別な例としては、リーマン面やカラビ・ヤウ多様体があり、これらの空間は弦理論で使われている。特に、弦の世界面はリーマン面によってモデル化され、超弦理論では 10 次元時空の追加の 6 次元がカラビ・ヤウ多様体によってモデル化される可能性があると予測されています。

離散幾何学

離散幾何学には、さまざまな球の詰め込みの研究が含まれます。

離散幾何学は凸幾何学と密接な関連を持つ分野である。[ 118 ] [ 119 ] [ 120 ]離散幾何学は主に、点、直線、円といった単純な幾何学的物体の相対的な位置に関する問題を扱っている。例としては、球面パッキング、三角形分割、クネザー＝ポールセン予想などがあげられる。 [ 121 ] [ 122 ]離散幾何学は組合せ論と多くの方法論や原理を共有している。

計算幾何学

計算幾何学は、幾何学的物体を操作するためのアルゴリズムとその実装を扱います。歴史的に重要な問題としては、巡回セールスマン問題、最小全域木、隠線消去、線形計画法などが挙げられます。[ 123 ]

幾何学の新しい分野ではありますが、コンピュータビジョン、画像処理、コンピュータ支援設計、医用画像など多くの分野で応用されています。 [ 124 ]

幾何群論

2つの生成元aとb上の自由群のケーリーグラフ

群はクラインのエアランゲン・プログラム以来、幾何学的対象として理解されてきた。幾何学群論は、幾何学的とみなされる対象への群作用（特に距離空間への等長作用）を研究し、有限生成群を研究する。その際、大規模な幾何学的手法[ 125 ]をしばしば用い、位相幾何学、幾何学、力学、解析学からの借用も行う。[ 126 ]これは低次元位相幾何学に大きな影響を与え、その有名な成果として、ペレルマン幾何化とキュビュレーション手法を組み合わせた事実上ハーケン予想をアゴルが証明したことが挙げられる。[ 127 ]

ケーリーグラフ上への群作用は等長群作用の基本的な例である。その他の主要なトピックには、準等長写像、グロモフ双曲型群とその一般化（相対双曲型群と円筒型双曲型群）、自由群とその自己同型、木に作用する群、群の非正曲率のさまざまな概念（CAT(0)群、デーン関数、自動性など）、直角アルティン群、および小相殺理論やアルゴリズム問題（例えば、語、共役性、同型性の問題）などの組み合わせ群論に近いトピックがある。写像類群、性質（T）、可解性、従属性、リー群の格子などの他の群論的トピックも、強く幾何学的であると見なされることがある。[ 125 ] [ 128 ] [ 129 ] [ 130 ]

凸幾何学

凸幾何学は、ユークリッド空間とそのより抽象的な類似物における凸形状を、実解析や離散数学の手法を用いて研究する。[ 131 ]凸解析、最適化、関数解析と密接な関係があり、数論においても重要な応用がある。

凸幾何学の歴史は古代に遡る。[ 131 ]アルキメデスは凸性について初めて正確な定義を与えた。凸幾何学で繰り返し登場する概念である等周問題は、ゼノドロスを含むギリシャ人によっても研究された。アルキメデス、プラトン、ユークリッド、そして後にはケプラーやコクセターも凸多面体とその性質を研究した。19世紀以降、数学者は高次元多面体、凸体の体積と表面積、ガウス曲率、アルゴリズム、タイリング、格子など、凸数学の他の分野を研究してきた。

アプリケーション

幾何学は多くの分野で応用されており、そのいくつかを以下に説明します。

美術

ブー・イナニア・マドラサ、フェズ、モロッコ、精巧な幾何学模様を形成するゼリージュ・モザイク・タイル

数学と芸術は様々な形で関連しています。例えば、透視図法の理論は、幾何学には図形の計量的性質以上のものが存在することを示しました。透視図法は射影幾何学の起源です。[ 132 ]

芸術家たちは古くからデザインにおいて比率の概念を用いてきました。ウィトルウィウスは人体の理想的な比率に関する複雑な理論を提唱しました。 [ 133 ]これらの概念は、ミケランジェロから現代の漫画家に至るまで、多くの芸術家によって用いられ、応用されてきました。 [ 134 ]

黄金比は、芸術において議論の的となってきた特定の比率です。長さの比率として最も美的に美しいとしばしば主張され、有名な芸術作品にも取り入れられているとされていますが、最も信頼性が高く明確な例は、この伝説を熟知した芸術家によって意図的に作られたものです。[ 135 ]

タイル張り、あるいはモザイク模様は、歴史を通じて美術において用いられてきました。イスラム美術ではモザイク模様が頻繁に用いられており、 MCエッシャーの作品も同様です。[ 136 ]エッシャーの作品にも双曲幾何学が用いられています。

セザンヌは、あらゆるイメージは球面、円錐、円筒から構成できるという理論を提唱しました。この理論は今日でも美術理論で用いられていますが、具体的な形状のリストは作者によって異なります。[ 137 ] [ 138 ]

建築

幾何学は建築において多くの応用分野を持っています。実際、幾何学は建築デザインの中核を成すと言われています。[ 139 ] [ 140 ]建築における幾何学の応用としては、射影幾何学を用いた強制遠近法の創出、[ 141 ]ドームなどの建築における円錐曲線の利用、 [ 89 ]モザイク模様の利用、[ 89 ]対称性の利用などが挙げられます。[ 89 ]

物理

天文学の分野、特に天球上の星や惑星の位置を測量し、天体の動きの関係を記述する分野は、歴史を通じて幾何学の問題の重要な源泉となってきた。[ 142 ]

リーマン幾何学と擬リーマン幾何学は一般相対論で用いられている。[ 143 ]弦理論では幾何学のいくつかの変種が用いられており、[ 144 ]量子情報理論でも同様である。[ 145 ]

その他の数学の分野

ピタゴラス学派は、三角形の辺の長さが互いに一致しないことを発見しました。

微積分学は幾何学の影響を強く受けました。[ 30 ]例えば、ルネ・デカルトによる座標の導入とそれと並行して起こった代数学の発展は、平面曲線などの幾何学的図形を関数や方程式の形で解析的に表現できるようになり、幾何学にとって新たな段階をもたらしました。これは17世紀における微積分の出現に重要な役割を果たしました。解析幾何学は、現在も微積分学の基礎課程および微積分学のカリキュラムの柱となっています。[ 146 ] [ 147 ]

もう一つの重要な応用分野は数論である。[ 148 ]古代ギリシャでは、ピタゴラス学派が幾何学における数の役割について考察した。しかし、通約不可能な長さの発見は彼らの哲学的見解と矛盾した。[ 149 ] 19世紀以降、幾何学は数論の問題を解くために用いられてきた。例えば、数の幾何学や、より最近では、ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明に用いられたスキーム理論などである。[ 150 ]

参照

リスト
関連トピック
その他のアプリケーション

注記

  1. ^ (古代ギリシャ語γεωμετρία ( geometría ) 「土地の測定」に由来。 γῆ ( gê ) 「地球、土地」およびμέτρον ( métron ) 「測定」に由来)   
  2. ^ 19世紀まで、幾何学はすべての幾何学的構成はユークリッド的であるという仮定に支配されていました。19世紀以降、ロバチェフスキーによる双曲幾何学、そしてガウスらによる非ユークリッド幾何学の発展によって、この仮定は揺らぎました。その後、17世紀のデザルグの業績を含め、古代から地球の測地学を理解し、海洋航行を行うために球面幾何学が暗黙的に用いられてきた時代まで遡り、暗黙的に。
  3. ^ピタゴラス数列は、 という性質を持つ整数の組です。したがって、、などとなります（1つの、b、c）{\displaystyle (a,b,c)}1つの2+b2＝c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}32+42＝52{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}82+152＝172{\displaystyle 8^{2}+15^{2}=17^{2}}122+352＝372{\displaystyle 12^{2}+35^{2}=37^{2}}
  4. ^古代ギリシャ人は他の楽器を使った建造物もいくつか持っていました。

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    イブン・アル＝ハイサム、ハイヤーム、そしてアル＝トゥーシという3人の科学者は、この幾何学の分野に最も大きな貢献を果たした。その重要性が完全に認識されるようになったのは19世紀になってからである。本質的には、四角形の性質に関する彼らの命題は、これらの図形のいくつかの角が鋭角または鈍角であると仮定して考察したもので、双曲幾何学と楕円幾何学の最初のいくつかの定理を体現していた。彼らの他の提案は、様々な幾何学的命題がユークリッドの公準Vと同値であることを示した。これらの学者たちが、この公準と三角形と四角形の角度の和との相互関係を確立したことは極めて重要である。アラブの数学者たちは、平行線理論に関する彼らの研究によって、ヨーロッパの数学者たちの関連する研究に直接影響を与えた。平行線に関する公準を証明しようとした最初のヨーロッパの試みは、13世紀のポーランドの科学者ウィテロによって行われた。彼はイブン・アル＝ハイサムの理論を改訂する際に、イブン・アル＝ハイサムの『光学の書』（キタブ・アル＝マナジール）は、アラビアの文献に触発されたことは間違いありません。14世紀に南フランスに住んでいたユダヤ人学者レヴィ・ベン・ゲルソンと、前述のスペイン出身のアルフォンソによって提唱された証明は、イブン・アル＝ハイサムの証明と直接的に近接しています。以上で、偽トゥーシの『ユークリッド解説』が、J・ウォリスとG・サッケリの平行線理論の研究に影響を与えたことを実証しました。

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