K安定性

数学、特に微分幾何学と代数幾何学において、K-安定性は複素多様体と複素代数多様体に対する代数幾何学的安定性条件である。K-安定性の概念は、 Gang Tian ^{[ 1 ]}によって初めて導入され、後にSimon Donaldson ^{[ 2 ]}によってより代数的に再定式化され、その定義は幾何学的不変量理論(GIT) の安定性との比較から着想を得た。ファノ多様体の特殊なケースでは、K-安定性はケーラー・アインシュタイン計量の存在を正確に特徴付ける。より一般的には、任意のコンパクト複素多様体上で、K-安定性は定スカラー曲率ケーラー計量( cscK 計量)の存在と等価であると予想されている。

歴史

1954 年、エウジェニオ・カラビは、コンパクト・ケーラー多様体上のケーラー計量の存在についての予想を定式化し、これは現在カラビ予想として知られています。^{[ 3 ]}この予想の 1 つの定式化では、コンパクト・ケーラー多様体はのクラスで唯一のケーラー・アインシュタイン計量を許容します。 の特定のケースでは、そのようなケーラー・アインシュタイン計量はリッチ平坦となり、多様体はカラビ・ヤウ多様体になります。カラビ予想は、 の場合にはティエリー・オーバンとシン・トン・ヤウによって解決され、 の場合にはヤウ によって解決されました。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}の場合、つまり がファノ多様体のときには、ケーラー・アインシュタイン計量は必ずしも存在しないすなわち、松島洋三とアンドレ・リヒネロヴィッチの研究によって、ケーラー多様体は、リー代数が簡約的である場合にのみケーラー・アインシュタイン計量を許容することが知られていた。^{[ 7 ] [ 8 ]}しかし、複素射影平面のある点における爆発はファノ多様体ではあるが、簡約的リー代数を持たないことは容易に示される。したがって、すべてのファノ多様体がケーラー・アインシュタイン計量を許容するわけではない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$ ${\displaystyle {\text{Bl}}_{p}\mathbb {CP} ^{2}}$

カラビ予想が解決された後、関心は、複素多様体上のベクトル束の標準計量を求めるという、ゆるやかに関連した問題に移った。1983年、ドナルドソンはナラシムハン・セシャドリ定理の新しい証明を提示した。^{[ 9 ]}ドナルドソンによって証明されたように、この定理は、コンパクトリーマン面上の正則ベクトル束が安定であるためには、それが既約なユニタリヤン＝ミルズ接続に対応する必要があることを述べている。つまり、ヤン＝ミルズ汎関数の 臨界点となるユニタリ接続である。${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (\nabla )=\int _{X}\|F_{\nabla }\|^{2}\,d\operatorname {vol} .}$

リーマン面上ではこのような接続は射影平坦であり、そのホロノミーはリーマン面の基本群の射影ユニタリ表現を生じ、 MS NarasimhanとCS Seshadriによる定理の元の記述を回復する。^{[ 10 ]} 1980 年代にこの定理は Donaldson、Karen Uhlenbeckと Yau、Jun Liと Yauの研究を通じて小林–ヒッチン対応に一般化され、これは安定な正則ベクトル束を任意のコンパクト複素多様体上のエルミート–アインシュタイン接続に関連付ける。 ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}正則ベクトル束の設定に関する重要な観察は、いったん正則構造が固定されると、エルミート計量の任意の選択によってユニタリ接続、すなわちチャーン接続が生じるということである。したがって、エルミート-アインシュタイン接続、またはそれに対応するエルミート-アインシュタイン計量を検索することができます。

ベクトル束上の正準計量の存在問題の解決に触発され、1993年にヤウは、ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の存在は、多様体自体の何らかの代数幾何学的安定性条件と同値であるはずだという予想を立てた。これは、正則ベクトル束上のエルミート・アインシュタイン計量の存在がその安定性と同値であるのと同じである。ヤウはこの安定性条件はベクトル束の傾き安定性の類似物であるはずだと示唆した。^{[ 14 ]}

1997 年、Tian はそのような安定性条件を提案し、これをToshiki Mabuchiが導入したK エネルギー関数にちなんでK 安定性と名付けました。^{[ 1 ] [ 15 ]} K はもともと、K エネルギー関数が運動エネルギーと類似していることからkinetic (運動エネルギー)を表し、また標準バンドルのドイツ語のkanonisch (カノニッシュ) を表していました。Tian の定義は本質的に解析的で、ファノ多様体の場合に特有のものでした。数年後、Donaldson はこの論文で説明されているK 安定性と呼ばれる代数条件を導入しました。これは任意の分極多様体で意味をなしており、がファノである分極多様体の場合の Tian の解析的定義と同等です。^{[ 2 ]}${\displaystyle (X,-K_{X})}$ ${\displaystyle X}$

意味

この節では複素数 について論じますが、定義の本質的な点は任意の体にも適用できます。偏極多様体とは、が複素代数多様体でありが上の豊富な直線束であるような対です。このような偏極多様体は、 Proj 構成を用いた射影空間への埋め込みを備えています。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\cong \operatorname {Proj} \bigoplus _{r\geq 0}H^{0}\left(X,L^{kr}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} \left(H^{0}\left(X,L^{k}\right)^{*}\right)}$

ここでは十分に大きい任意の正の整数であり、したがってすべての偏多様体は射影的である。上の十分な直線束の選択を変えると、 の新たな埋め込みが生じ、その埋め込みは異なる射影空間になる可能性がある。したがって、偏多様体は、ある射影空間 への固定された埋め込みを伴う射影多様体と考えることができる。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L^{k}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{N}}$

ヒルベルト・マンフォード基準

K-安定性は、有限次元幾何学的不変量理論におけるヒルベルト・マンフォードの基準との類推によって定義される。この理論は分極多様体上の点の安定性を記述するのに対し、K-安定性は分極多様体自体の安定性に関係する。

ヒルベルト・マンフォードの判定基準によれば、簡約代数群の作用下での射影代数多様体内の点の安定性を判定するには、 の1パラメータ部分群（ 1-PS）を考慮すれば十分である。次に、 の1-PS 、例えばを取り、その極限点を見る。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{N}}$ ${\displaystyle G\subset \operatorname {GL} (N+1,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \lambda :\mathbb {C} ^{*}\hookrightarrow G}$

${\displaystyle x_{0}=\lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x.}$

これは1-PSの作用の不動点であり、したがってアフィン空間上の直線はの作用によって保存される。1次元ベクトル空間上の乗法群の作用には重み（整数）が伴い、これは と名付けられ、次のような性質を持つ 。${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N+1}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )}$

${\displaystyle \lambda (t)\cdot {\tilde {x}}=t^{\mu (x,\lambda )}{\tilde {x}}}$

上のファイバー上の任意の に対して となる。ヒルベルト・マンフォードの基準によれば、 ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

• すべての 1-PS に対して、点は半安定です。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )\leq 0}$ ${\displaystyle \lambda <G}$
• すべての 1-PS に対して、この点は安定です。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )<0}$ ${\displaystyle \lambda <G}$
• 任意の 1-PS の場合、この点は不安定です。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )>0}$ ${\displaystyle \lambda <G}$

したがって、多様体の安定性の概念を定義したい場合、ヒルベルト・マンフォードの基準によれば、多様体の1つのパラメータの変形を考慮するだけで十分であることが示唆される。これはテスト配置の概念につながる。

テスト構成

テスト構成の一般的なファイバーはすべて多様体 X と同型ですが、中心のファイバーは異なる場合があり、特異な場合もあります。

偏極多様体のテスト構成は、平坦射を持つスキームであり、 が射 に対する比較的豊富な直線束であるペアであり、次のようになります。 ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \pi :{\mathcal {X}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \pi }$

1. 任意の に対して、ファイバーのヒルベルト多項式はのヒルベルト多項式に等しい。これは の平坦性から生じる。${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \pi }$
2. の標準アクションをカバーする、ファミリに対するのアクションがあります。${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
3. 任意の（したがってすべての） に対して、 は分極多様体として表される。特に から離れると、族は自明となる。ここでは第一因子への射影である。${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})\cong (X,L)}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t\neq 0},{\mathcal {L}}_{t\neq 0})\cong (X\times \mathbb {C} ^{*},\operatorname {pr} _{1}^{*}L)}$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}:X\times \mathbb {C} ^{*}\to X}$

の場合にはテスト構成は積構成であると言われ、の作用が最初の因子に対して自明である 場合には自明構成であると言われます。${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$

ドナルドソン・二木不変量

ヒルベルト・マンフォードの基準に類似した安定性の概念を定義するには、分極多様体 に対するテスト配置上のファイバーの重みの概念が必要である。定義によりこの族は基底への作用を覆う作用を備えているため、上のテスト配置のファイバーは固定されている。つまり、中心ファイバー 上にの作用がある。一般に、この中心ファイバーは滑らかではなく、多様体ですらない。中心ファイバーの重みを定義する方法はいくつかある。最初の定義は、一般化二木不変量の Ding-Tian バージョンを使用して与えられた。^{[ 1 ]}この定義は微分幾何学的であり、ケーラー幾何学における存在問題に直接関係している。代数定義は、ドナルドソン二木不変量と交差公式によって定義される CM 重みを使用して与えられた。 ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0})}$

定義により、偏極スキームへの の作用は、の豊富な直線束への作用を伴うため、すべての整数 に対してベクトル空間への作用を誘導します。複素ベクトル空間への の作用は、重み空間への直和分解を誘導します。ここで、各 はの1次元部分空間であり、に制限されたの作用は重み を持ちます。作用の全重みを整数 と定義します。これは、 の1次元ベクトル空間へのの誘導作用の重みと同じです。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$ ${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle w=w_{1}+\cdots +w_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\textstyle \bigwedge ^{n}V}$ ${\displaystyle n=\dim V}$

テスト構成の重み関数を関数 と定義する。ここで は、各非負整数 に対するベクトル空間への作用の総重みである。この関数は一般に多項式ではないが、 である固定整数 に対して、すべての に対して次数の多項式となる。これは、同変リーマン・ロッホの定理を用いて確認できる。ヒルベルト多項式は、すべての に対して である固定整数 に対して等式を満たし、 次数の多項式であることを思い出そう。このような に対して、次のように書こう 。${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle k>k_{0}\gg 0}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle n=\dim X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=\dim H^{0}(X,L^{k})=\dim H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ ${\displaystyle k>k_{1}\gg 0}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k\gg 0}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2}),\quad w(k)=b_{0}k^{n+1}+b_{1}k^{n}+O(k^{n-1}).}$

テスト構成のドナルドソン・フタキ不変量は有理数である ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {b_{0}a_{1}-b_{1}a_{0}}{a_{0}^{2}}}.}$

特に、展開式における第1次の項は どこにあるか${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-f_{1}}$ ${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle {\frac {w(k)}{k{\mathcal {P}}(k)}}=f_{0}+f_{1}k^{-1}+O(k^{-2}).}$

を正のべき乗 に置き換えてもドナルドソン-フタキ不変量は変化しないため、文献では K 安定性は-line バンドルを使用して議論されることが多いです。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ドナルドソン・フタキ不変量は交差理論によって記述することができ、これはティアンがCM-重みを定義する際に採用したアプローチである。^{[ 1 ]}任意のテスト構成は（例えば、 ^{[ 16 ] [ 17 ]}を参照）上で自然なコンパクト化が許されるので、CM-重みは次のように定義される。 ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle ({\bar {\mathcal {X}}},{\bar {\mathcal {L}}})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle CM({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)\cdot L^{n}}}\left(\mu \cdot n{({\bar {\mathcal {L}}})}^{n+1}+(n+1){K}_{{\bar {\mathcal {X}}}/{\mathbb {P} }^{1}}\cdot {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n}\right)}$

ここで、交差公式によるこの定義は、現在では代数幾何学でよく使われています。 ${\displaystyle \mu =-{\frac {L^{n-1}\cdot K_{X}}{L^{n}}}}$

は と一致することが知られているので、重みはまたはとすることができる。重みはChow 形式と超判別式で表すこともできる。^{[ 18 ]ファノ多様体の場合、重みは Chi Li [ 19 ]}と Kento Fujita ^{[ 20 ]}によって発見された新しい値に関する不変量 によって解釈される。${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \beta }$

K安定性

K安定性を定義するためには、まず特定のテスト構成を除外する必要がある。当初は、ドナルドソン・フタキ不変量が常にゼロとなる、上記で定義したような自明なテスト構成は無視すべきだと想定されていたが、LiとXuは定義においてより注意深い方法が必要であると指摘した。^{[ 21 ] [ 22 ]} K安定性を定義するエレガントな方法の一つは、Székelyhidiによってテスト構成のノルムを用いて示されており、まずそれについて説明する。^{[ 23 ]}

テスト構成 に対して、ノルムを次のように定義する。 をベクトル空間 への作用の無限小生成元とする。すると となる。多項式や と同様に、関数 は十分大きな整数（この場合は次数 ）に対する多項式となる。その展開を次のように書く。 ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L^{k})}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k})=w(k)}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n+2}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})=c_{0}k^{n+2}+O(k^{n+1}).}$

テスト構成のノルムは次の式で定義さ れる。

${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|^{2}=c_{0}-{\frac {b_{0}^{2}}{a_{0}}}.}$

ヒルベルト-マンフォード基準との類推によれば、変形（テスト構成）と中心繊維の重み（ドナルドソン-フタキ不変量）の概念が得られれば、K安定性と呼ばれる安定性条件を定義できます。

を有極代数多様体とします。これは次の式で表されます。 ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle (X,L)}$

• すべてのテスト構成の場合、K 半安定です。${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,L)}$
• のすべてのテスト構成での場合、また の場合はさらに K 安定です。${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0}$ ${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|>0}$
• が K 半安定である場合、 K多安定であり、さらに である場合、テスト構成は積構成です。${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$
• K半安定でない場合は K 不安定です。

ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想

K-安定性はもともと、ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の存在を特徴付ける代数幾何学的条件として導入された。これは、 （ファノ多様体に対する）ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想として知られるようになった。この予想は、2010年代にXiuxiong Chen、Simon Donaldson、Song Sunの研究で解決された^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}この戦略は、固定された反正準因子に沿った円錐特異点を持つケーラー・アインシュタイン計量の円錐角に関する連続性法、およびリッチ境界を持つケーラー多様体のグロモフ・ハウスドルフ極限の Cheeger-Colding-Tian 理論の詳細な使用に基づいている。

定理（ケーラー・アインシュタイン計量に対するヤウ・ティアン・ドナルドソン予想）：ファノ多様体は、ペアが K 多安定である場合に限り、クラスのケーラー・アインシュタイン計量を許容します。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle (X,-K_{X})}$

陳、ドナルドソン、孫は、ティアンが証明の同等の優先権を主張しているのは間違いであると主張し、彼を学術上の不正行為で告発した。^{[ a ]}ティアンは彼らの主張に異議を唱えた。^{[ b ]}陳、ドナルドソン、孫は、この予想を解決したとして、アメリカ数学会の権威ある2019年ヴェブレン賞を受賞した。 ^{[ 30 ]}ブレークスルー賞は、ドナルドソンに数学ブレークスルー賞、孫にニューホライズンズブレークスルー賞を授与したが、これはチェンと共同でこの予想について行った研究が一部根拠となっている。^{[ 31 ] [ 32 ]}

さらに最近では、ヴェド・ダタールとガボール・セーケイリヒディによって「古典的な」連続法に基づく証明が提供され^{[ 33 ] [ 34 ]}、続いてチェン、サン、ビン・ワンによってケーラー・リッチフローを用いた証明が行われた。^{[ 35 ]}ロバート・バーマン、セバスチャン・ブックソム、マティアス・ジョンソンも変分アプローチからの証明を提供した。^{[ 36 ]}

定スカラー曲率ケーラー計量への拡張

ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想は、より一般的に任意の滑らかな分極多様体上のcscK計量に適用できると期待される。実際、ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想は、このより一般的な設定を指し、ファノ多様体の場合は特別な場合であり、これはヤウとティアンによって以前に予想されていた。ドナルドソンは、任意の分極多様体に対するK安定性の定義を導入した後、ファノ多様体の場合からヤウとティアン予想を構築した。^{[ 2 ]}

定数スカラー曲率計量に対する Yau–Tian–Donaldson 予想: 滑らかな分極多様体は、ペアが K 多安定である場合に限り、クラスの定数スカラー曲率ケーラー計量を許容します。${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle (X,L)}$

議論したように、ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想はファノの設定で解決されている。2009 年にドナルドソンは、ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想が複素次元2のトーリック多様体に対して成り立つことを証明した。 ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}任意の分極多様体に対して、cscK 計量の存在は K 多安定性を意味することが、やはりアレッツォとパカードの研究を用いて、ストッパによって証明された。^{[ 40 ] [ 41 ]}これは、難しい偏微分方程式の解の存在を仮定し、比較的簡単な代数的結果に到達するので、ある意味では予想の簡単な方向である。重要な課題は、逆方向、つまり純粋に代数的な条件が PDE の解の存在を意味することを証明することである。

例

滑らかな曲線

ピエール・ドリーニュとデイヴィッド・マンフォードの原著以来、滑らかな代数曲線は幾何学的不変量論の意味で漸近安定であり、特にK安定であることが知られている。^{[ 42 ]}この設定では、ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想は均一化定理と同等である。すなわち、すべての滑らかな曲線は、射影直線の場合、楕円曲線の場合、または種数 のコンパクト・リーマン面の場合のいずれかにおいて、定スカラー曲率のケーラー・アインシュタイン計量を許容する。 ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle g>1}$

ファノ品種

が十分であり、がファノ多様体であるよう な設定は特に重要であり、この設定ではファノ多様体のK安定性を検証するための多くのツールが知られている。例えば、純粋に代数的な手法を用いると、すべてのフェルマー超面が${\displaystyle L=-K_{X}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{n,d}=\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots z_{n+1}^{d}=0\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}}$

はK安定なファノ多様体である。^{[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]}${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$

トーリック多様体

K-安定性はもともとドナルドソンによってトーリック多様体の文脈で導入された。^{[ 2 ]}トーリック設定では、K-安定性の複雑な定義の多くは、分極トーリック多様体 のモーメント多面体 上のデータによって与えられるように単純化される。まず、K-安定性をテストするには、トーリックテスト構成 を考えれば十分であることがわかっている。ここで、テスト構成の全空間もトーリック多様体である。このようなトーリックテスト構成はどれも、モーメント多面体 上の凸関数によって簡潔に記述することができ、ドナルドソンはもともとこのような凸関数に対して K-安定性を定義した。に対するトーリックテスト構成が上の凸関数によって与えられる場合、ドナルドソン-二木不変量は次のように書ける。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}(f)={\frac {1}{2}}\left(\int _{\partial P}f\,d\sigma -a\int _{P}f\,d\mu \right),}$

ここで は上のルベーグ測度、は の境界上の標準測度であり、モーメント多面体としての記述から生じる（ の辺が 上の整数係数を持つアフィン線形汎関数 h に対する線形不等式で与えられる場合、）、 となる。さらに、テスト構成のノルムは次のように与えられる。 ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle h(x)\leq a}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\mu =\pm dh\wedge d\sigma }$ ${\displaystyle a=\operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )/\operatorname {Vol} (P,d\mu )}$

${\displaystyle \left\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\right\|=\left\|f-{\bar {f}}\right\|_{L^{2}},}$

ここで、 はに関する の平均です。 ${\displaystyle {\bar {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d\mu }$

ドナルドソンは、トーリック面の場合、特に単純な形式の凸関数をテストすれば十分であることを示した。 上の凸関数が区分線形であるとは、それが何らかのアフィン線形関数 の最大値として書き表せる場合である。定数 の定義により、ドナルドソン・フタキ不変量はアフィン線形関数の付加によって不変であるため、常に の 1 つを定数関数 とすることができることに注意されたい。凸関数が 2 つの関数の最大値である場合、その凸関数は単純区分線形であるといい、したがって何らかのアフィン線形関数 に対してで与えられ、 が有理係数を持つ場合、単純有理区分線形である。ドナルドソンは、トーリック面の場合、単純有理区分線形関数でのみ K 安定性をテストすれば十分であることを示した。このような結果は、そのような単純なテスト構成のドナルドソン・フタキ不変量を容易に計算し、したがって与えられたトーリック面が K 安定であるかどうかを計算によって決定できる限りにおいて強力である。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f=\max(h_{1},\dots ,h_{n})}$ ${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f=\max(0,h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

K-不安定多様体の例としては、トーリック面、第一ヒルツェブルッフ面が挙げられます。これは、 で与えられる分極に関する、ある点での複素射影平面の引き伸ばしです。ここで、は引き伸ばしで、例外的因子です。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}=\operatorname {Bl} _{0}\mathbb {CP} ^{2}}$ ${\textstyle L={\frac {1}{2}}(\pi ^{*}{\mathcal {O}}(2)-E)}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {F} _{1}\to \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle E}$

第一ヒルツェブルッフ面のモーメント多面体。

多面体の水平境界面と垂直境界面における測度はそれぞれと である。対角面における測度は で与えられる。この多面体上の 凸関数を考える。すると${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle x+y=2}$ ${\displaystyle (dx-dy)/2}$ ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$

${\displaystyle \int _{P}f\,d\mu ={\frac {11}{6}},\qquad \int _{\partial P}f\,d\sigma =6,}$

そして

${\displaystyle \operatorname {Vol} (P,d\mu )={\frac {3}{2}},\qquad \operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )=5,}$

したがって

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=6-{\frac {55}{9}}=-{\frac {1}{9}}<0,}$

したがって、最初のヒルツェブルッフ面はK 不安定です。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$

代替概念

ヒルベルトとチョウの安定性

K-安定性は、有限次元幾何学的不変量論におけるヒルベルト-マンフォードの基準との類似性から生じます。幾何学的不変量論を直接用いることで、K-安定性と密接に関連する多様体の安定性に関する他の概念を得ることが可能です。

ヒルベルト多項式 を持つ偏極多様体 をとり、高次コホモロジーがゼロとなるようなを固定する。この対は、ヒルベルト多項式 を持つの部分スキームのヒルベルトスキームにおける点と同一視できる。 ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle L^{r}}$ ${\displaystyle (X,L^{r})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{{\mathcal {P}}(r)-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}'(K)={\mathcal {P}}(Kr)}$

このヒルベルトスキームは、グラスマン多様体（プルッカー埋め込みを介して射影的である）のサブスキームとして射影空間に埋め込むことができる。一般線型群はこのヒルベルトスキームに作用し、ヒルベルトスキーム内の2点は、対応する分極多様体が同型である場合に限り同値である。したがって、この群作用に幾何学的不変量理論を用いて安定性の概念を与えることができる。この構成は の選択に依存するため、十分に大きいすべての に対して、ある固定された に対して、分極多様体がこの埋め込みに関して安定であるとき、その分極多様体は漸近的にヒルベルト安定であるという。 ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathcal {P}}(r),\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r>r_{0}\gg 0}$ ${\displaystyle r_{0}}$

ヒルベルト法には、チャウ埋め込みと呼ばれる別の射影埋め込みがあり、これはヒルベルト法の異なる線形化を与え、したがって異なる安定性条件を与える。したがって、同様に漸近的チャウ安定性を定義することができる。固定された に対するチャウ重みは、明示的に次のように計算できる。 ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{r}({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {rb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(r)}{{\mathcal {P}}(r)}}}$

十分に大きい場合である。 ^{[ 46 ]}ドナルドソン・二木不変量とは異なり、チャウの重みは線束を何らかのべきで置き換えると変化する。しかし、式 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}})={\frac {krb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(kr)}{{\mathcal {P}}(kr)}}}$

人は次のように観察する

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=\lim _{k\to \infty }\operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}}),}$

したがって、K 安定性は、射影空間の次元が無限大に近づくにつれて、ある意味では Chow 安定性の限界になります。 ${\displaystyle X}$

同様に漸近的チャウ半安定性と漸近的ヒルベルト半安定性を定義することもできます。安定性のさまざまな概念は次のように関連しています。

漸近的にチャウ安定漸近的にヒルベルト安定漸近的にヒルベルト半安定漸近的にチャウ半安定K半安定 ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$

しかし、K安定性が漸近的チャウ安定性を意味するかどうかは分かっていない。^{[ 47 ]}

勾配K安定性

多様体の安定性の正しい概念はベクトル束の傾きの安定性に類似しているはずだと、もともとヤウは予測していた。ジュリアス・ロスとリチャード・トーマスは、傾きK安定性として知られる多様体の傾きの安定性の理論を展開した。ロスとトーマスは、任意のテスト構成は本質的に、中心ファイバー上に支えられた不変イデアルの列に沿って多様体を爆発させることで得られることを示した。 ^{[ 47 ]}この結果は、 本質的にデイヴィッド・マンフォードによるものである。^{[ 48 ]}明示的に、すべてのテスト構成は、${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$

${\displaystyle I=I_{0}+tI_{1}+t^{2}I_{2}+\cdots +t^{r-1}I_{r-1}+(t^{r})\subset {\mathcal {O}}_{X}\otimes \mathbb {C} [t],}$

は上の座標である。イデアルのサポートを取ることで、これは部分スキームの 旗に沿って爆発することに相当する。${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle Z_{r-1}\subset \cdots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}\subset X}$

のコピーの内側。この分解は本質的に、作用の下での不変イデアルの重み空間分解をとることによって得られる。 ${\displaystyle X\times \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

この部分スキームの旗の長さが1である特別な場合、ドナルドソン・フタキ不変量は簡単に計算でき、傾きK安定性が得られる。理想層によって定義される部分スキームが与えられた場合、テスト構成は次のように与えられる。 ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle I_{Z}}$

${\displaystyle {\mathcal {X}}=\operatorname {Bl} _{Z\times \{0\}}(X\times \mathbb {C} ),}$

これは埋め込みの法線円錐への変形です。 ${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$

多様体がヒルベルト多項式を持つ場合、の傾きを次のように 定義する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu (X)={\frac {a_{1}}{a_{0}}}.}$

部分スキームの傾きを定義するために、部分スキームのヒルベルト・サミュエル多項式を考える。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \chi (L^{r}\otimes I_{Z}^{xr})=a_{0}(x)r^{n}+a_{1}(x)r^{n-1}+O(r^{n-2}),}$

となる有理数に対してである。係数は次数 の多項式であり、に対するのK勾配は次のように定義される。 ${\displaystyle r\gg 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle xr\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a_{i}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n-i}$ ${\displaystyle I_{Z}}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})={\frac {\int _{0}^{c}{\big (}a_{1}(x)+{\frac {a_{0}'(x)}{2}}{\big )}\,dx}{\int _{0}^{c}a_{0}(x)\,dx}}.}$

この定義は、がのセシャドリ定数である実数の任意の選択に対して意味を成します。 を取るとの傾きが回復されることに注意してください。すべての適切なサブスキーム に対して、すべて に対して のとき、ペアは傾き K 半安定です(この不等式が厳密に、いくつかの追加の技術的条件を課すことで、 傾き K 安定性と傾き K 多安定性を定義することもできます)。${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$ ${\displaystyle \epsilon (Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z=\emptyset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})\leq \mu (X)}$ ${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$

K-半安定性は傾き K-半安定性を意味することが Ross と Thomas によって示された。^{[ 49 ]}しかし、ベクトル束の場合とは異なり、傾き K-安定性が K-安定性を意味するわけではない。ベクトル束の場合は単一の部分層だけを考えれば十分であるが、多様体の場合は 1 より大きい長さの旗も考える必要がある。それにもかかわらず、傾き K-安定性は依然として K-不安定多様体を識別するために使用でき、したがって Stoppa の結果により cscK 計量の存在に障害を与える。たとえば、Ross と Thomas は傾き K-安定性を使用して、 K-安定基底上の不安定ベクトル束の射影化はK-不安定であり、したがって cscK 計量を許容しないことを示している。これは、cscK 計量を許容する基底上の安定バンドルの射影化も cscK 計量を許容し、したがって K-安定であることを示す Hong の結果の逆である。^{[ 50 ]}

ろ過K安定性

アポストロフ・カルダーバンク・ゴードゥション・トンネセン・フリードマンの研究は、いかなる極限計量も許容しないが、いかなるテスト配置によっても不安定化しないように見える多様体の存在を示している。^{[ 51 ]}これは、ここで与えられたK安定性の定義が、一般のヤウ・ティアン・ドナルドソン予想を示唆するほど正確ではない可能性があることを示唆している。しかし、この例はテスト配置の極限によって不安定化される。これは、濾過K安定性を導入したセーケイリヒディによって明確にされた。[ 46 ] [ ^{23 ]ここでの濾過}は、座標環の濾過である。

${\displaystyle R=\bigoplus _{k\geq 0}H^{0}(X,L^{k})}$

偏極多様体の。考慮する濾過は、座標環上の次数付けと次の意味で両立しなければならない。の濾過は、有限次元部分空間の連鎖である。 ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \mathbb {C} =F_{0}R\subset F_{1}R\subset F_{2}R\subset \dots \subset R}$

以下の条件が成り立つ:

1. 濾過は乗法的 である。つまり、すべての に対して となる。${\displaystyle (F_{i}R)(F_{j}R)\subset F_{i+j}R}$ ${\displaystyle i,j\geq 0}$
2. 濾過は、分級された破片 から生じるの分級と整合する。つまり、 ならば、 の各均質な破片は に含まれる。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{k}=H^{0}(X,L^{k})}$ ${\displaystyle f\in F_{i}R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F_{i}R}$
3. 濾過により が排出されます。つまり、 が得られます。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\geq 0}F_{i}R=R}$

濾過が与えられたとき、そのリース代数は次のように定義される。 ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \operatorname {Rees} (\chi )=\bigoplus _{i\geq 0}(F_{i}R)t^{i}\subset R[t].}$

濾過が有限生成であるとは、そのリース代数が有限生成であることを意味する。デイヴィッド・ウィット・ニストロムは、濾過が有限生成となるのは、それがテスト構成から生じる場合のみであること、またセケリヒディは、任意の濾過が有限生成濾過の極限であることを証明した。^{[ 52 ]}これらの結果を組み合わせて、セケリヒディは、アポストロフ＝カルダーバンク＝ガウドゥチョン＝トンネセン＝フリードマンの例は、K安定性を濾過K安定性に置き換えれば、ヤウ＝ティアン＝ドナルドソン予想に違反しないことを指摘した。これは、これらの極限例を考慮して、K安定性の定義を編集する必要があるかもしれないことを示唆している。

参照

• ケーラー多様体
• ケーラー・アインシュタイン計量
• ファノ多様体のK安定性
• 幾何学的不変理論
• カラビ予想
• 小林・ヒッチン通信
• 安定した曲線

参考文献

1. Tian, Gang (1997). 「正のスカラー曲率を持つケーラー・アインシュタイン計量」 . Inventiones Mathematicae . 130 (1): 1– 37. Bibcode : 1997InMat.130....1T . doi : 10.1007 / s002220050176 . MR  1471884. S2CID 122529381  .
2. ドナルドソン、サイモン・K. (2002). 「スカラー曲率とトーリック多様体の安定性」 .微分幾何学ジャーナル. 62 (2): 289– 349. doi : 10.4310/jdg/1090950195 .
3. Calabi, Eugenio (1956)、「ケーラー計量の空間」、国際数学者会議1954年大会論文集(PDF)、第2巻、フローニンゲン：EP Noordhoff、pp.  206– 207
4. オーバン、ティエリー (1976)。「タイプ モンジュ アンペール シュール バリエーション ケーレリエンヌ コンパクトの方程式」。Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、セリエ A。283 : 119–121 . Zbl 0333.53040。 
5. Yau, Shing-Tung (1977). 「カラビ予想と代数幾何学におけるいくつかの新しい結果」 . Proceedings of the National Academy of Sciences . 74 (5): 1798– 1799. Bibcode : 1977PNAS...74.1798Y . doi : 10.1073/ PNAS.74.5.1798 . PMC 431004. PMID 16592394. S2CID 9401039 .   
6. Yau, Shing-Tung (1978). 「コンパクトケーラー多様体のリッチ曲率と複素モンジュ・アンペール方程式について、I」.純粋応用数学通信. 31 (3): 339– 411. doi : 10.1002/CPA.3160310304 . S2CID 62804423 . 
7. 松島洋三 (1957). 「特定のバリエーションのカエリンヌの準同型解析グループの構造」。名古屋数学ジャーナル。11：145–150。土井：10.1017/S0027763000002026。S2CID 31531037。 
8. アンドレ・リヒネロヴィッツ (1958)。 「変形グループの幾何学」。Travaux et Recherches Mathématiques (フランス語)。３．デュノー、パリ。MR 0124009。OCLC 911753544。Zbl 0096.16001。   
9. Donaldson, SK (1983). 「ナラシムハンとセシャドリの定理の新しい証明」 . Journal of Differential Geometry . 18 (2): 269– 277. doi : 10.4310/jdg/1214437664 .
10. Narasimhan, MS; Seshadri, CS (1965). 「コンパクトリーマン面上の安定かつユニタリなベクトル束」 Annals of Mathematics . 82 (3): 540– 567. doi : 10.2307/1970710 . JSTOR 1970710 . 
11. Donaldson, SK (1985). 「複素代数面と安定ベクトル束上の反自己双対ヤン＝ミルズ接続」.ロンドン数学会誌: 1–26 . doi : 10.1112/plms/s3-50.1.1 .
12. Uhlenbeck, K.; Yau, ST (1986). 「安定ベクトル束におけるエルミート-ヤン-ミルズ接続の存在について」, Frontiers of Mathematical Sciences: 1985 (New York, 1985). Communications on Pure and Applied Mathematics . 39 : S257– S293. doi : 10.1002/cpa.3160390714 .
13. Li, Jun; Yau, Shing Tung (1987). 「非ケーラー多様体上のエルミート-ヤン-ミルズ接続」.弦理論の数学的側面. pp.  560– 573. doi : 10.1142/9789812798411_0027 . ISBN 978-9971-5-0273-7。
14. ヤウ・シン・トン (1993). 「幾何学における未解決問題」.微分幾何学：多様体上の偏微分方程式 (ロサンゼルス、カリフォルニア州、1990年) . 純粋数学シンポジウム論文集. 第54巻. pp.  1– 28. doi : 10.1090/pspum/054.1/1216573 . ISBN 9780821814949. MR  1216573 .
15. 馬渕俊樹 (1986). 「二木不変量を積分したKエネルギー写像」 .東北数学ジャーナル. 38 (4): 575– 593. doi : 10.2748/tmj/1178228410 . S2CID 122723602 . 
16. 小高雄二 (2013年3月). 「ロス-トーマスの傾き理論の一般化」 .大阪数学ジャーナル. 50 (1): 171-185 . MR 3080636 . 
17. 王暁偉 (2012). 「身長と消化管重量」 .数学研究レター. 19 (4): 909– 926. doi : 10.4310/MRL.2012.V19.N4.A14 . S2CID 11990163 . 
18. ポール、ショーン・ティモシー (2012). 「超判別多面体、チャウ多面体、そしてマブチエネルギー漸近論」 Annals of Mathematics . 175 (1): 255– 296. arXiv : 0811.2548 . doi : 10.4007/annals.2012.175.1.7 . JSTOR 41412137 . S2CID 8871401 .  
19. Li, Chi (2017). 「K-半安定性は等変体積最小化である」. Duke Mathematical Journal . 166 (16): 3147– 3218. arXiv : 1512.07205 . doi : 10.1215/00127094-2017-0026 . S2CID 119164357 . 
20. 藤田健人 (2019). 「Q-Fano 品種の均一な K 安定性の評価基準」。Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)。2019 (751): 309–338 . doi : 10.1515/crelle-2016-0055。S2CID 125279282。 
21. Li, Chi; Xu, Chenyang (2014). 「特殊検定配置とファノ多様体のK安定性」 . Annals of Mathematics . 180 (1): 197– 232. arXiv : 1111.5398 . doi : 10.4007 / annals.2014.180.1.4 . JSTOR 24522921. S2CID 54927428 .  
22. Stoppa, Jacopo (2011). 「K-安定性の定義に関する注記」. arXiv : 1111.5826 [ math.AG ].
23. 極限ケーラー計量入門. 大学院数学研究科 第152巻 . 2014年doi : 10.1090/gsm/152 . ISBN 9781470410476。
24. Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song (2014). 「ケーラー・アインシュタイン計量と安定性」. International Mathematics Research Notices . 2014 (8): 2119– 2125. arXiv : 1210.7494 . doi : 10.1093/IMRN/RNS279 . S2CID 119165036 . 
25. Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon ; Sun, Song (2014). 「ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量．I：円錐特異点を持つ計量の近似」アメリカ数学会誌．28 : 183–197 . arXiv : 1211.4566 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00799-2 . S2CID 119641827 . 
26. Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon ; Sun, Song (2014). 「ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量。II：円錐角が2π未満の極限」アメリカ数学会誌. 28 : 199– 234. arXiv : 1212.4714 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00800-6 . S2CID 119140033 . 
27. Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon ; Sun, Song (2014). 「ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量。III：円錐角が2πに近づく際の極限と主証明の完成」アメリカ数学会誌。28 : 235– 278. arXiv : 1302.0282 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00801-8 . S2CID 119575364 . 
28. Tian, Gang (2015). 「K安定性とケーラー・アインシュタイン計量」.純粋・応用数学通信. 68 (7): 1085–1156 . arXiv : 1211.4669 . doi : 10.1002/cpa.21578 . S2CID 119303358 . 
29. Tian, Gang (2015). 「訂正：K-安定性とケーラー・アインシュタイン計量」 .純粋・応用数学通信. 68 (11): 2082– 2083. doi : 10.1002/cpa.21612 . S2CID 119666069 . 
30. 「2019年オズワルド・ヴェブレン幾何学賞はシウシオン・チェン、サイモン・ドナルドソン、ソン・サンの3名に授与される」アメリカ数学会2018年11月19日. 2019年4月9日閲覧。
31. サイモン・ドナルドソン「4次元多様体の新しい革新的な不変量と、束とファノ多様体の両方に対する代数幾何学と大域微分幾何学における安定性の関係の研究に対して。」
32. 2021年数学ブレークスルー賞
33. Székelyhidi, Gábor (2016). 「連続法に沿った部分𝐶⁰推定」 .アメリカ数学会誌. 29 (2): 537– 560. arXiv : 1310.8471 . doi : 10.1090/jams/833 .
34. Datar, Ved; Székelyhidi, Gábor (2016). 「滑らかな連続法に沿ったケーラー・アインシュタイン計量」.幾何学と機能解析. 26 (4): 975– 1010. arXiv : 1506.07495 . doi : 10.1007/s00039-016-0377-4 . S2CID 253643887 . 
35. Chen, Xiuxiong; Sun, Song; Wang, Bing (2018). 「ケーラー・リッチフロー、ケーラー・アインシュタイン計量、そしてK安定性」. Geometry & Topology . 22 (6): 3145– 3173. arXiv : 1508.04397 . doi : 10.2140/gt.2018.22.3145 . MR 3858762 . S2CID 5667938 .  
36. Berman, Robert; Boucksom, Sébastien; Jonsson, Mattias (2021). 「ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想への変分アプローチ」アメリカ数学会誌. 34 (3): 605– 652. arXiv : 1509.04561 . doi : 10.1090 / jams/964 . MR 4334189. S2CID 119323049 .  
37. Donaldson, Simon K. (2005). 「Abreu方程式の解の内部推定」 . Collectanea Mathematica . 56 (2): 103– 142. arXiv : math/0407486 . Zbl 1085.53063 . 
38. Donaldson, SK (2008). 「トーリック面上の極値計量：連続法」 . Journal of Differential Geometry . 79 (3): 389– 432. doi : 10.4310/jdg/1213798183 .
39. ドナルドソン、サイモン・K. (2009). 「トーリック面上の定スカラー曲率計量」.幾何学と機能解析. 19 : 83–136 . arXiv : 0805.0128 . doi : 10.1007/s00039-009-0714-y . S2CID 17765416 . 
40. Stoppa, Jacopo (2009). 「定数スカラー曲率ケーラー多様体のK安定性」 . Advances in Mathematics . 221 (4): 1397– 1408. arXiv : 0803.4095 . doi : 10.1016/j.aim.2009.02.013 . S2CID 6554854 . 
41. Arezzo, Claudio; Pacard, Frank (2006). 「定数スカラー曲率ケーラー多様体の爆発と特異点除去」 . Acta Mathematica . 196 (2): 179– 228. arXiv : math/0411522 . doi : 10.1007/s11511-006-0004-6 . S2CID 14605574 . 
42. Deligne, P. ; Mumford, D. (1969). 「与えられた種数の曲線空間の既約性」 . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75–109 . doi : 10.1007/BF02684599 .
43. Tian, Gang (1987). 「C1 (M)> 0 を満たす特定のケーラー多様体上のケーラー・アインシュタイン計量について」 . Inventiones Mathematicae . 89 (2): 225– 246. Bibcode : 1987InMat..89..225T . doi : 10.1007/BF01389077 . S2CID 122352133 . 
44. Zhuang, Ziquan (2021). 「最適不安定化中心と同変K安定性」. Inventiones Mathematicae . 226 (1): 195– 223. arXiv : 2004.09413 . Bibcode : 2021InMat.226..195Z . doi : 10.1007/s00222-021-01046-0 . S2CID 215827850 . 
45. ティアン、ガン (2000).ケーラー幾何学における正準計量。 Meike Akveld がとったメモ。数学の講義。チューリッヒ工科大学、ビルクホイザーフェルラーク、バーゼル。土井：10.1007/978-3-0348-8389-4。ISBN 978-3-7643-6194-5. S2CID  120250582 .
46. Székelyhidi, Gábor (2015). 「フィルタリングとテスト構成。Sebastien Boucksomによる付録付き」. Mathematische Annalen . 362 ( 1– 2): 451– 484. arXiv : 1111.4986 . doi : 10.1007/s00208-014-1126-3 . S2CID 253716855 . 
47. Ross, Julius; Thomas, Richard (2006). 「射影多様体の安定性に関するヒルベルト・マンフォード基準の研究」 . Journal of Algebraic Geometry . 16 (2): 201– 255. arXiv : math/0412519 . doi : 10.1090/ S1056-3911-06-00461-9 . MR 2274514. S2CID 15621023 .  
48. デヴィッド・マムフォード (1977)。 「射影多様体の安定性」。Enseignement Mathémathique。22 (2): 39–110 .土井: 10.5169/seals-48919。
49. Ross, Julius; Thomas, Richard (2006). 「定スカラー曲率ケーラー計量の存在に対する障害」 . Journal of Differential Geometry . 72 (3): 429– 466. arXiv : math/0412518 . doi : 10.4310 / jdg/1143593746 . MR 2219940. S2CID 15411889 .  
50. Hong, Ying-Ji (1999). 「ルールド多様体上の定エルミートスカラー曲率方程式」 . Journal of Differential Geometry . 53 (3): 465– 516. doi : 10.4310/jdg/1214425636 .
51. Apostolov, Vestislav; Calderbank, David MJ; Gauduchon, Paul; Tønnesen-Friedman, Christina W. (2008). 「ケーラー幾何学におけるハミルトニアン2-形式、III 極値計量と安定性」Inventiones Mathematicae . 173 (3): 547– 601. arXiv : math/0511118 . Bibcode : 2008InMat.173..547A . doi : 10.1007/s00222-008-0126-x . S2CID 17821805 . 
52. Witt Nyström, David (2012). 「テスト構成とオクンコフ体」 . Compositio Mathematica . 148 (6): 1736– 1756. arXiv : 1001.3286 . doi : 10.1112/S0010437X12000358 .

注記

1. Xiuxiong Chen、Simon Donaldson、Song Sun。「ケーラー幾何学における最近の発展について」
2. Gang Tian.「CDSへの応答」および「CDSに関するさらなるコメント」