ボルノロジー空間

数学、特に関数解析において、ボルノロジー空間（boronological space）とは、ある意味で集合や線型写像の有界性に関する問題を論じるために必要な最小限の構造を備えた空間の一種である。これは、位相空間が連続性に関する問題を論じるために必要な最小限の構造を備えているのと同様である。ボルノロジー空間は、ボルノロジー空間から任意の局所凸空間への線型写像が連続であるための必要十分条件は、それが有界線型作用素である場合のみであるという性質によって区別される。

ボルノロジー空間は、ジョージ・マッキーによって初めて研究されました。この名称は、フランス語で「有界」を意味する「 borné 」にちなんで、ブルバキによって命名されました。

ボルノロジーと境界地図

集合上の成因学は、以下の条件をすべて満たす の サブセットの集合です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ つまり、をカバーします。${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X=\cup {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ は包含関係において安定である。つまり、 であり、のときである。${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ は有限和の下で安定である。つまり、 の場合、${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}}$

集合の要素は、が理解されていれば、有界集合または単に有界集合と呼ばれる。^{[ 1 ]} このペアは有界構造または有界集合と呼ばれる。^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$

ボルノロジーの基本または基本システムは、の各要素が何らかの要素のサブセットであるようなのサブセットです。を含む最小のボルノロジーのサブセットのコレクションが与えられた場合、それは^{[ 2 ]}によって生成されるボルノロジーと呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

と が有界集合である場合、それらの上の積有界集合は、およびの形式の集合すべての集合を基底とする有界集合である。^{[ 2 ]} のサブセットが積有界集合で有界となるのは、およびへの標準射影によるその像が両方とも有界となる場合である。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle B\times C,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

境界付き地図

と が集合論的集合である場合、関数がの -有界部分集合を の -有界部分集合に写像する場合、その関数は局所有界写像または有界写像（これらの集合論に関して）であるという。 つまり、 ^{[ 2 ]}の場合、さらに が一対一でも有界である場合、は集合論的同型写像と呼ばれる。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\subseteq {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

ベクターボルノロジー

が体上のベクトル空間であるとします。体上のベクトル空間は、 ベクトル加算、スカラー乗算、および平衡包の形成に対して安定である場合(つまり、2 つの有界集合の和が有界である場合など) 、上のベクトル体上のベクトルと呼ばれます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

が位相ベクトル空間(TVS)であり、が 上のボルノロジーである場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ベクトル発生学です。
2. 有界集合の有限和と平衡包は有界である。^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. によって定義されるスカラー乗算写像とによって定義される加算写像は、それらの定義域が積分布に従うとき（すなわち、有界部分集合を有界部分集合に写像するとき）、両方とも有界である。^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle (s,x)\mapsto sx}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$

ベクトルのボルノロジーは、凸包の形成下で安定である（つまり、有界集合の凸包が有界である）場合、凸ベクトルのボルノロジーと呼ばれます。 また、ベクトルのボルノロジーは、唯一の有界ベクトル部分空間が0次元自明空間である場合、分離と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

通常、は実数または複素数のいずれかであり、 が凸集合からなる基底を持つ場合、上のベクトル ボルノロジーは凸ベクトル ボルノロジーと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

食肉食性のサブセット

のサブセットは、すべての境界付きセットを吸収する場合、生食性または生食者と呼ばれます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

ベクトル生成論では、すべての境界付きバランス集合を吸収する場合に は生死を伴います。また、凸ベクトル生成論では、すべての境界付きディスクを吸収する場合に は生死を伴います。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

同じベクトル空間上の2つのTVS位相が同じ有界部分集合を持つのは、それらが同じ食肉動物を持つ場合のみである。^{[ 3 ]}

局所凸計量化可能な位相ベクトル空間のすべての貪食部分集合は原点の近傍である。^{[ 4 ]}

マッキー収束

TVSにおける数列がMackey収束であるとは、正の実数列が存在し、その数列が^{[ 5 ]}において収束する場合を言う。${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=(r_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \infty}$ ${\displaystyle (r_{i}x_{i})_{i=1}^{\infty}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

位相ベクトル空間のボルノロジー

離散値体上の少なくともすべての位相ベクトル空間は、有界（またはフォンノイマン有界）となる部分集合を定義することによって、有界となる場合と、零点を含むすべての開集合に対して、有界となる場合とに限ります。が局所凸位相ベクトル空間である 場合、が有界となる場合と、すべての連続半ノルムが有界となる場合とに限ります。${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B\subseteq rU.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B.}$

位相ベクトル空間のすべての有界部分集合の集合は、ボルノロジーまたはフォン・ノイマン・ボルノロジーと呼ばれる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

が局所凸位相ベクトル空間である場合、の吸収円板がbornivorous（resp. infrabornivorous）であるための必要十分条件は、そのミンコフスキー関数が局所的に有界（resp. infrabounded）となることである。^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$

誘導トポロジー

がベクトル空間上の凸ベクトル位相幾何学である場合、 の凸均衡部分集合のうちで が であるものすべての集合は、上の局所凸位相の原点における近傍基底を形成し、この位相幾何学はによって誘導される位相幾何学と呼ばれる。^{[ 4 ]}${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {B}}(0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

がTVSである場合、それに関連付けられた分布空間は、フォン・ノイマン分布によって誘導される局所凸位相を備えたベクトル空間である^{[ 4 ]}${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

定理^{[ 4 ]} —とを局所凸TVSとし、をフォン・ノイマンのボルノロジーによって誘導される位相を持つとします。同様に定義します。すると、線型写像が有界線型作用素である場合、かつその場合のみ、が連続となります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y_{b}}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X_{b}\to Y}$

さらに、がボルノロジー、がハウスドルフ、が連続線型写像であるならば、 も連続である。加えて、が超ボルノロジーでもあるならば、 の連続性は の連続性を意味する。ここで、は に関連付けられた超ボルノロジー空間である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y_{b}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y_{ub},}$ ${\displaystyle Y_{ub}}$ ${\displaystyle Y.}$

準ボルノロジー空間

準ボルノロジー空間は1968年にS.イヤヘンによって導入された。^{[ 6 ]}

連続双対を持つ位相ベクトル空間（TVS）は、以下の同値な条件のいずれかが成り立つとき、 準ボルノロジー空間と呼ばれる^{[ 6 ] 。}${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$

1. から別のTVSへのすべての有界線型演算子は連続である。^{[ 6 ]}${\displaystyle X}$
2. から完全計量化可能なTVSへのすべての有界線形作用素は連続である。^{[ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle X}$
3. 食虫植物の紐の結び目はすべて起源の近傍である。^{[ 6 ]}

すべての擬似計量化可能なTVSは準ボルノロジーである。^{[ 6 ]}すべてのボルノロジー集合が原点の近傍である TVSは準ボルノロジー空間である。 ^{[ 8 ]}が準ボルノロジーTVSである 場合、その上の最も細かい局所凸位相は、局所凸ボルノロジー空間を 作るよりも粗い。${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle X}$

ボルノロジー空間

関数解析において、局所凸位相ベクトル空間は、その位相がその分布から自然な方法で復元できる場合、分布空間になります。

すべての局所凸準ボルノロジー空間はボルノロジー的であるが、準ボルノロジー的ではないボルノロジー空間も存在する。 ^{[ 6 ]}

連続双対を持つ位相ベクトル空間(TVS)は、局所的に凸であり、次の同値な条件のいずれかが成り立つ場合、 ボルノロジー空間と呼ばれます。${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$

1. あらゆる凸状でバランスのとれた、そして貪食的な集合はゼロの近傍である。^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$
2. から局所凸TVSへのすべての有界線型作用素は連続である。^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$
   • 線型写像が有界であるためには、領域内で収束する任意の列を余領域の有界部分集合に写像する必要があることを思い出してください。^{[ 4 ]}特に、原点で連続する任意の線型写像は有界です。${\displaystyle 0}$
3. 半ノルム空間へのすべての有界線型作用素は連続である。^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$
4. からバナッハ空間へのすべての有界線型作用素は連続である。^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$

がハウスドルフ局所凸空間である場合、このリストに以下を追加することができる: ^{[ 7 ]}${\displaystyle X}$

5. フォン ノイマン ボルノロジーによって に誘導される局所凸位相は、の与えられた位相と同じです。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X}$
6. 上のすべての有界半ノルムは連続である。^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$
7. と同じ（フォン・ノイマン）ボルノロジーを持つ他のハウスドルフ局所凸位相ベクトル空間位相は、必然的に${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau .}$
8. ${\displaystyle X}$ はノルム空間の帰納的極限である。^{[ 4 ]}
9. ${\displaystyle X}$ はノルム空間の帰納的極限であり、 は閉有界円板上で変化する（または は有界円板上で変化する）。^{[ 4 ]}${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$
10. ${\displaystyle X}$ はマッキー位相を持ち、その上のすべての有界線形関数は連続である。^{[ 4 ]}${\displaystyle \tau (X,X^{\prime })}$ ${\displaystyle X}$
11. ${\displaystyle X}$ 次の両方の特性を持ちます:
    • ${\displaystyle X}$ は凸順次またはC順次であり、これは のすべての凸順次開部分集合が開集合であることを意味する。${\displaystyle X}$
    • ${\displaystyle X}$ は順次ボルノロジーまたはS-ボルノロジーであり、これは のすべての凸かつボルノイボラスな部分集合が順次開いていることを意味します。${\displaystyle X}$
    ここで、の 部分集合は、 に収束するすべてのシーケンスが最終的に に属する場合、順次オープンと呼ばれます。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A.}$

局所凸ボルノロジー空間から局所凸TVSへのすべての逐次連続線型作用素は連続である。^{[ 4 ]}ここで、線型作用素が逐次連続であるためには、原点において逐次連続でなければならないことを思い出してほしい。したがって、ボルノロジー空間から局所凸空間への線型写像において、連続性は原点における逐次連続性と同値である。より一般的には、以下も成り立つ。

• 局所凸ボルノロジー空間から局所凸空間への線型写像で、のヌル列を の有界部分集合に写像するものは、必ず連続する。${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

十分な条件

マッキー・ウラム定理^{[ 9 ]} —局所凸ボルノロジー空間の集合の積がボルノロジー的であるための必要十分条件は、ウラム測度を許容しないことである。 ${\displaystyle X_{\bullet }=(X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$

マッキー・ウラム定理の帰結として、「実用上、ボルノロジー空間の積はボルノロジー的である。」^{[ 9 ]}

以下の位相ベクトル空間はすべてボルノロジー的である。

• 任意の局所凸擬計量化可能なTVSはボルノロジー的である。^{[ 4 ] [ 10 ]}
  • したがって、すべてのノルム空間とフレシェ空間は誕生論的です。
• ボルノロジー空間の任意の厳密な帰納的極限、特に任意の厳密なLF空間はボルノロジーである。
  • これは、計量​​化できない成因的空間が存在することを示しています。
• 局所凸ボルノロジー空間の可算積はボルノロジー的である。^{[ 11 ] [ 10 ]}
• ハウスドルフ局所凸ボルノロジー空間の商はボルノロジー的である。^{[ 10 ]}
• ハウスドルフ局所凸ボルンロジカル空間の直和と帰納的極限はボルンロジカルである。^{[ 10 ]}
• フレシェ・モンテル空間には、成因論的強双対性がある。
• あらゆる反射的フレシェ空間の強い双対は誕生論的である。^{[ 12 ]}
• 計量化可能な局所凸空間の強双対が可分であれば、それは分布論的である。^{[ 12 ]}
• ハウスドルフ局所凸ボルンロジカル空間のベクトル部分空間は有限余次元を持ち、ボルンロジカルである。^{[ 4 ] [ 10 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• ベクトル空間上の最も微細な局所凸位相は、分布的である。^{[ 4 ]}

反例

強双対がボルノロジー的ではないボルノロジー的LB空間が存在する。^{[ 13 ]}

局所凸ボルノロジー空間の閉ベクトル部分空間は必ずしもボルノロジー的ではない。^{[ 4 ] [ 14 ]} 局所凸ボルノロジー空間の閉ベクトル部分空間は完備（したがって順次完備）であるが、樽型でもボルノロジー的でもない。^{[ 4 ]}

ボルノロジー空間は樽型である必要はなく、樽型空間はボルノロジーである必要はない。^{[ 4 ]}すべての局所凸超ボルノロジー空間は樽型であるため、^{[ 4 ]}ボルノロジー空間は必ずしも超ボルノロジーではないということになる。

プロパティ

• 局所凸ボルノロジー空間の強双対空間は完備である。^{[ 4 ]}
• すべての局所凸ボルノロジー空間は、下バレル化されている。^{[ 4 ]}
• すべてのハウスドルフ逐次完全なボルノロジーTVSは超ボルノロジーである。^{[ 4 ]}
  • したがって、すべての完全なハウスドルフボルノロジー空間は超ボルノロジーである。
  • 特に、あらゆるフレシェ空間は超ボルノロジー的である。^{[ 4 ]}
• 局所凸超ボルノロジー空間の有限積は超ボルノロジー的である。^{[ 4 ]}
• 全てのハウスドルフボルノロジー空間は準バレルである。^{[ 15 ]}
• 連続双対を持つボルノロジー空間が与えられたとき、その位相はマッキー位相と一致する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau (X,X^{\prime }).}$
  • 特に、ボルノロジー空間はマッキー空間です。
• 準完備な（すなわち、すべての閉有界部分集合が完備な）ボルノロジー空間はすべて樽型である。しかし、樽型ではないボルノロジー空間も存在する。
• あらゆるボルノロジー空間はノルム空間の帰納的極限である（空間が準完全でもある場合はバナッハ空間）。
• が連続双対を持つ計量化可能な局所凸空間であるとします。 このとき、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
  1. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$ 生まれつきのものです。
  2. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$ 準砲身型です。
  3. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$ 樽詰めされています。
  4. ${\displaystyle X}$ 格別な空間です。
• が局所凸空間間の線型写像であり、が分布論的である場合、以下は同値である。 ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$
  1. ${\displaystyle L:X\to Y}$ 連続的です。
  2. ${\displaystyle L:X\to Y}$ 連続的である。^{[ 4 ]}
  3. 境界が定められたすべての集合は、境界が定められます。${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(B)}$
  4. がヌルシーケンスの場合、はヌルシーケンスです${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$
  5. がMackey収束零列である場合、はの有界部分集合である。${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$
• とが局所凸TVSであり、連続線型写像の空間がの有界部分集合上の一様収束の位相を備えていると仮定する。がボルノロジー空間であり、が完備であれば、は完備TVSである。^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
  • 特に、局所凸ボルノロジー空間の強双対は完全である。^{[ 4 ]}しかし、ボルノロジーである必要はない。

サブセット

• 局所凸ボルノロジー空間では、すべての凸ボルノロジー集合はの近傍である（は円板である必要はない）。 ^{[ 4 ]}${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B}$
• 局所凸計量化可能な位相ベクトル空間のすべての貪食部分集合は原点の近傍である。^{[ 4 ]}
• ボルノロジー空間の閉ベクトル部分空間はボルノロジーである必要はない。^{[ 4 ]}

超自然的空間

位相ベクトル空間内のディスクがすべてのバナッハ ディスクを吸収する場合、そのディスクはインフラボーンイボラスと呼ばれます。 ${\displaystyle X}$

が局所的に凸でハウスドルフである場合、ディスクがすべてのコンパクト ディスクを吸収する場合に限り、ディスクはインフラボーンを食らうものとなります。 ${\displaystyle X}$

局所凸空間は、次の同値な条件のいずれかが成り立つ場合、 超凸空間と呼ばれます。

1. あらゆる亜幼生食性ディスクは起源の近傍です。
2. ${\displaystyle X}$ は、すべてのコンパクトディスクにわたって変化する空間の誘導極限である。${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$
3. 各バナッハ円板上で有界となる半ノルムは必然的に連続である。${\displaystyle X}$
4. すべての局所凸空間とすべての線型写像に対して、各バナッハ円板上で有界であれば、は連続です。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$
5. すべてのバナッハ空間とすべての線型写像に対して、各バナッハ円板上で有界であれば、は連続です。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

プロパティ

超ボルノロジー空間の有限積は超ボルノロジー的である。超ボルノロジー空間の帰納的極限は超ボルノロジー的である。

参照

• ボルノロジー – 有界性の数学的一般化
• 貪食集合 – 任意の有界部分集合を吸収できる集合
• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸集合によって生成される位相を持つ空間
• 線型写像の空間
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間
• ベクターボルノロジー

参考文献

1. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、p.168。
2. ナリシ & ベッケンシュタイン 2011、156–175 ページ。
3. Wilansky 2013、50ページ。
4. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、441–457頁。
5. シュワルツ 1992、15～16ページ。
6. ナリシ & ベッケンシュタイン 2011、453–454 ページ。
7. アダシュ、エルンスト、ケイム、1978 年、60–61 ページ。
8. Wilansky 2013、48ページ。
9. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、450頁。
10. Adasch、Ernst & Keim 1978、60–65 ページ。
11. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、453ページ。
12. シェーファー＆ウォルフ 1999、144ページ。
13. カリールーラ 1982、28–63 ページ。
14. シェーファー＆ウォルフ 1999、103–110ページ。
15. アダシュ、エルンスト、ケイム、1978 年、70–73 ページ。

参考文献

• アダッシュ, ノルベルト; エルンスト, ブルーノ; ケイム, ディーター (1978).位相ベクトル空間：凸性条件のない理論. 数学講義ノート. 第639巻. ベルリン, ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003 .
• ベルベリアン、スターリング・K. (1974). 『関数解析と作用素論の講義』 . 数学大学院テキスト. 第15巻. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401 .
• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190 .
• コンウェイ、ジョン・B. (1990). 『関数解析講座』. 『数学大学院テキスト』. 第96巻（第2版）. ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• エドワーズ、ロバート・E. (1995). 『関数解析：理論と応用』 ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• グロタンディーク、アレクサンダー(1973). 『位相ベクトル空間』 . チャルジュブ、オーランド訳. ニューヨーク: ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• ホグベ＝ンレンド、アンリ（1977）『ボルノロジーと機能分析』アムステルダム：ノースホランド出版社、pp. xii+144. ISBN 0-7204-0712-5. MR  0500064 .
• ホグベ＝ンレンド、アンリ(1977).ボルノロジーと関数解析：双対性位相幾何学理論入門コース-ボルノロジーと関数解析におけるその応用. ノースホランド数学研究. 第26巻. アムステルダム, ニューヨーク, ノースホランド. ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064 . OCLC  316549583 .
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• カレルラ, SM (1982).位相ベクトル空間における反例.数学講義ノート. 第936巻. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• ケーテ、ゴットフリート(1983) [1969]。位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• クリーグル、アンドレアス、ミコール、ピーター・W. (1997).大域解析の便利な設定. 数学概説とモノグラフ.アメリカ数学会. ISBN 9780821807804。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• シェクター、エリック（1996年）『分析とその基礎ハンドブック』サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• シュワルツ、チャールズ (1992). 『関数解析入門』 ニューヨーク: M. デッカー. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• ウィランスキー、アルバート(2013). 『位相ベクトル空間における現代的手法』 ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .