フラクタル
シェルピンスキカーペット- 無限の周囲とゼロの面積
マンデルブロ集合の境界上の拡大された領域
マンデルブロ集合: その境界は、ハウスドルフ次元2のフラクタル曲線です。(画像の色付きの部分は、実際にはマンデルブロ集合の一部ではなく、それを生成する関数がどれだけ速く発散するかに基づいていることに注意してください。)
12個の円環を持つマンデルブロ集合

マンデルブロ集合の境界を拡大する

数学において、フラクタルとは、任意の小さなスケールで詳細な構造を含む幾何学的形状であり、通常、フラクタル次元は位相次元を厳密に超える。多くのフラクタルは、マンデルブロ集合の連続的な拡大で示されるように、さまざまなスケールで類似して現れる。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]このように、スケールがだんだん小さくなるにつれて類似パターンが現れる現象は自己相似性と呼ばれ、拡大対称性や展開対称性とも呼ばれる。メンガースポンジのように、この複製がどのスケールでもまったく同じ場合、その形状はアフィン自己相似と呼ばれる。 [ 5 ]フラクタル幾何学は、ハウスドルフ次元によって数学の分野である測度論に関連している。

フラクタルが有限の幾何学的図形と異なる点の 1 つは、そのスケールの仕方です。塗りつぶされた多角形の辺の長さを 2 倍にすると、その面積は 4 倍になります。これは、2 (新しい辺の長さと古い辺の長さの比) の 2 乗 (塗りつぶされた多角形の従来の寸法) です。同様に、塗りつぶされた球の半径を2 倍にすると、その体積は8 倍になります。これは、2 (新しい半径と古い半径の比) の 3 乗 (塗りつぶされた球の従来の寸法) です。ただし、フラクタルの 1 次元の長さがすべて 2 倍になると、フラクタルの空間内容は、必ずしも整数ではない累乗でスケールされ、一般に従来の寸法よりも大きくなります。[ 1 ]この累乗は、従来の次元 (正式には位相次元と呼ばれる) と区別するために、幾何学的オブジェクトのフラクタル次元と呼ばれます。[ 6 ]

解析的には、多くのフラクタルはどこでも微分不可能である。[ 1 ] [ 4 ]無限フラクタル曲線は、通常の直線とは異なる方法で空間を曲がっていると考えられる。位相的には1次元であるが、そのフラクタル次元は、通常の直線よりも効率的に空間を局所的に満たしていることを示す。[ 1 ] [ 6 ]

シェルピンスキーカーペット（レベル6まで）、位相次元1、ハウスドルフ次元1.893のフラクタル
線分はそれ自身の適切な部分に似ていますが、フラクタルとはほとんど言えません。

フラクタルは17世紀に再帰の概念から始まり、 19世紀にはベルナルド・ボルツァーノ、ベルンハルト・リーマン、カール・ワイエルシュトラスの独創的な研究によって、ますます厳密な数学的処理を経て連続だが微分不可能な関数の研究へと進み、[ 7 ] 20世紀にはフラクタルという言葉が作られ、それに続いて20世紀にはフラクタルとコンピュータベースのモデリングへの関心が急増しました。[ 8 ] [ 9 ]

フラクタルの概念をどのように正式に定義すべきかについては、数学者の間で意見の相違がある。マンデルブロ自身は「美しく、非常に難しく、ますます有用である。それがフラクタルだ」と要約した。[ 10 ]より正式には、1982年にマンデルブロはフラクタルを次のように定義した。「フラクタルとは、定義上、ハウスドルフ＝ベシコヴィッチ次元が位相次元を厳密に超える集合である。」[ 11 ]後に、この定義はあまりにも限定的であると判断し、彼は定義を簡略化・拡張し、「フラクタルとは、複数の部分に分割できる、粗く断片化された幾何学的形状であり、各部分は（少なくとも近似的に）全体の縮小コピーである。」[ 1 ]さらに後に、マンデルブロは「フラクタルを衒学的定義なしに使用し、フラクタル次元をあらゆる変種に適用可能な一般的な用語として使用する」ことを提案した。[ 12 ]

数学者の間では、理論上のフラクタルとは、無限に自己相似性の反復的で詳細な数学的構成物であり、多くの例が定式化され研究されてきたという点でコンセンサスがある。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]フラクタルは幾何学的パターンに限定されず、時間的プロセスを記述することもできる。[ 5 ] [ 4 ] [ 13 ]様々な自己相似性を持つフラクタルパターンが、視覚的、物理的、聴覚的メディアで表現または研究されており[ 14 ]自然界、[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]テクノロジー、[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]芸術、[ 23 ] [ 24 ]建築物にも見られる。[ 25 ]フラクタルは、カオス理論の分野では特に重要です。なぜなら、フラクタルはほとんどのカオス的プロセスの幾何学的描写に現れるからです（典型的にはアトラクターとして、または吸引域間の境界として）。[ 26 ]

語源

「フラクタル」という用語は、1975年に数学者ブノワ・マンデルブロによって造られました。 [ 27 ]マンデルブロは、ラテン語の「frāctus」 （「壊れた」または「破砕された」）に基づいてこの用語を定義し、理論的な分数次元の概念を自然界の幾何学的パターンに拡張するために使用しました。[ 1 ] [ 28 ] [ 29 ]

導入

単純なフラクタルツリー
11回の反復によるフラクタル「ツリー」

「フラクタル」という言葉は、数学者と一般の人々の間でしばしば異なる意味合いを持ちます。一般の人々にとっては、数学的概念よりもフラクタルアートの方が馴染みがあるでしょう。数学的概念を正式に定義するのは数学者にとっても難しいですが、少し数学的な背景があれば、その主要な特徴を理解することができます。

例えば、「自己相似性」という特徴は、レンズなどのデバイスを使ってデジタル画像を拡大することで、これまで見えなかった微細な新しい構造を発見するのと類似していることで容易に理解できます。しかし、フラクタルにこれを適用しても、新たな細部は現れず、何も変化せず、同じパターンが何度も繰り返されます。あるいは、フラクタルによっては、ほぼ同じパターンが何度も現れることもあります。自己相似性自体は必ずしも直感に反するものではありません（例えば、平行鏡の無限後退や、ホムンクルス（頭の中の小さな男の頭の中の小さな男）など、人々は自己相似性について非公式に考察してきました）。フラクタルの場合の違いは、再現されるパターンが詳細でなければならないということです。[ 1 ] : 166, 18 [ 2 ] [ 28 ]

この「詳細」という概念は、数学的な背景知識があまりなくても理解できる別の特徴と関連しています。例えば、フラクタル次元が位相次元よりも大きいということは、幾何学的形状が通常どのように認識されるかと比較して、フラクタルがどのように拡大縮小するかを指します。例えば、直線は慣習的に1次元であると理解されています。そのような図形を元の長さの1/3ずつに分割すると、常に3つの等しいピースが存在します。一方、正方形は2次元であると理解されています。そのような図形を両次元で1/3ずつ縮小したピースに分割すると、合計で3 2 = 9個のピース​​が存在します。

通常の自己相似物体の場合、n次元であるということは、1/ rのスケール係数でそれぞれ縮小された断片に反復タイル分割すると、合計でr n個の断片が存在することを意味します。ここで、コッホ曲線を考えてみましょう。これは、それぞれが 1/3 のスケール係数で縮小された 4 つのサブコピーに反復タイル分割できます。したがって、厳密に類推すると、コッホ曲線の「次元」は、 3 D = 4を満たす唯一の実数Dであると考えることができます。この数はコッホ曲線のフラクタル次元と呼ばれ、従来認識されている曲線の次元ではありません。一般に、フラクタルの重要な特性は、フラクタル次元が従来理解されている次元（正式には位相次元と呼ばれる） とは異なることです。

3Dコンピューター生成フラクタル

これはまた、数式としてのフラクタルが「微分不可能」であるという3つ目の特徴の理解にもつながります。具体的には、フラクタルは従来の方法では測定できないことを意味します。[ 1 ] [ 4 ] [ 30 ]詳しく説明すると、波状の非フラクタル曲線の長さを測ろうとする場合、測定器具の直線部分を端から端まで波の上に重ねられるほど小さく、その部分は通常の巻尺による測定方法で曲線に沿うとみなせるほど小さくなる可能性があります。しかし、コッホの雪片のような無限に「波打つ」フラクタル曲線を測定する場合、曲線に沿うほど小さな直線部分を見つけることは決してできません。なぜなら、ギザギザのパターンは常に任意の小さなスケールで再び現れ、曲線に沿わせようとするたびに、測定された全長に巻尺が少しずつ引き込まれるからです。その結果、曲線全体を完全に覆うためには無限のテープが必要となり、つまり雪片の周囲は無限になる。[ 1 ]

歴史

コッホスノーフレークは、正三角形から始まり、各線分の中央の 3 分の 1 を、正三角形の隆起を形成する 1 組の線分に置き換えるフラクタルです。
カントール（三元）集合

フラクタルの歴史は、主に理論的な研究から現代のコンピュータグラフィックスへの応用へと続いており、その過程で何人かの著名人が標準的なフラクタル形式に貢献してきました。[ 8 ] [ 9 ]伝統的なアフリカの建築 に共通するテーマはフラクタルスケーリングの使用であり、円形の家でできた円形の村など、構造の小さな部分が大きな部分と類似して見える傾向があります。[ 31 ]ピックオーバー によると、フラクタルの背後にある数学は、数学者で哲学者のゴットフリート・ライプニッツが再帰的な自己相似性について考えていた17世紀に形になり始めました（ただし、彼は直線だけがこの意味で自己相似であると考えるという間違いを犯しました）。[ 32 ]

ライプニッツは著作の中で「分数指数」という用語を用いていたが、「幾何学」がまだそれを知らなかったことを嘆いていた。[ 1 ] : 405 実際、様々な歴史的記録によれば、それ以降、この問題に取り組んだ数学者はほとんどおらず、取り組んだ人々の研究も、数学の「怪物」と呼ばれることもある、馴染みのない新興概念への抵抗感から、ほとんど知られずに終わった。[ 30 ] [ 8 ] [ 9 ]こうして、2世紀も経った1872年7月18日、カール・ヴァイエルシュトラスが、今日ではフラクタルとみなされるグラフを持つ関数の最初の定義を、プロイセン王立科学アカデミーで発表した。この関数は、どこでも連続でありながら、どこでも微分不可能であるという直感に反する性質を持つ。[ 8 ] : 7 [ 9 ]

さらに、和の指数が増加すると、商の差は任意に大きくなります。[ 33 ]その後間もなく、1883年に、ワイエルシュトラスの講義に出席したゲオルク・カントール[ 9 ]は、カントール集合として知られる実数直線の部分集合の例を発表しました。これは珍しい性質を持ち、現在ではフラクタルとして認識されています。[ 8 ]：11–24 また、1880年代後半には、フェリックス・クラインとアンリ・ポアンカレが「自己逆」フラクタルと呼ばれるフラクタルのカテゴリを導入しました。[ 1 ]：166

ジュリア集合、マンデルブロ集合に関連するフラクタル
シェルピンスキー ガスケットはフラクタル ツリーによって生成できます。

次の画期的な出来事の一つは1904年にヘルゲ・フォン・コッホがポアンカレのアイデアを拡張し、ワイエルシュトラスの抽象的かつ解析的な定義に満足せず、類似の関数の手描き画像を含むより幾何学的な定義を与えた時であり、これは現在コッホの雪片と呼ばれている。[ 8 ] : 25 [ 9 ]もう1つの画期的な出来事はその10年後の1915年であり、ヴァツワフ・シェルピンスキが有名な三角形を描き、その1年後にはカーペットを作った時である。 1918年までに、ピエール・ファトゥとガストン・ジュリアという2人のフランス人数学者が独立して研究していたが、複素数や反復関数の写像に関連するフラクタル挙動として現在見られている現象を記述する結果にほぼ同時に到達し、アトラクターとリペラー（他の点を引き付けたり反発したりする点）についての更なるアイデアにつながった。これはフラクタルの研究で非常に重要になった。[ 4 ] [ 8 ] [ 9 ]

その論文が提出されてから間もなく、1918年3月までにフェリックス・ハウスドルフは「次元」の定義を拡張し、集合が非整数次元を持つことを認めるようになりました。これはフラクタルの定義の発展に大きく貢献しました。[ 9 ]自己相似曲線のアイデアはポール・レヴィによってさらに発展し、彼は1938年の論文『全体に相似な部分から成る平面または空間曲線と曲面』の中で、新しいフラクタル曲線であるレヴィC曲線について説明しました。[注1 ]

多重フラクタルスケーリングを示す奇妙なアトラクター
均一な質量中心の三角形フラクタル
2x 120度再帰IFS

様々な研究者が、現代のコンピュータグラフィックスの助けがなければ、初期の研究者は手描きの絵で描くことしかできず、発見した多くのパターンの美しさを視覚化したり、その意味合いを理解したりする手段がなかったと仮説を立てている（例えば、ジュリア集合は、非常に単純な絵として数回の反復を経て視覚化することしかできなかった）。[ 1 ] : 179 [ 30 ] [ 9 ]しかし、1960年代にブノワ・マンデルブロが、ルイス・フライ・リチャードソンの初期の研究を基にして、「ブリテンの海岸線はどのくらい長いのか? 統計的自己相似性および分数次元」などの論文で自己相似性について書き始めたことで、状況は変わった。 [ 34 ] [ 35 ]

1975年[ 28 ] 、マンデルブロは数百年にわたる思考と数学的発展を「フラクタル」という言葉の造語にまとめ上げ、その数学的定義をコンピュータで構築した印象的な視覚化によって示しました。これらの画像、例えば彼の標準的なマンデルブロ集合などは人々の想像力を掻き立てました。その多くは再帰に基づいており、「フラクタル」という用語の一般的な意味につながりました。[ 36 ] [ 30 ] [ 8 ] [ 32 ]

1980年、ローレン・カーペンターはSIGGRAPHでプレゼンテーションを行い、フラクタル的に生成された風景を生成およびレンダリングするためのソフトウェアを紹介しました。[ 37 ]

定義と特徴

マンデルブロが幾何学的フラクタルを説明する際によく引用される記述の一つに、「複数の部分に分割できる、粗く断片化された幾何学的形状で、各部分は（少なくとも概ね）全体の縮小コピーである」というものがあります。[ 1 ]これは一般的には有用ですが、限定的な意味合いがあります。フラクタルの正確な定義については著者間で意見が分かれていますが、ほとんどの場合、自己相似性という基本的な概念と、フラクタルが埋め込まれた空間と持つ特異な関係について詳しく説明されています。[ 1 ] [ 5 ] [ 2 ] [ 4 ] [ 38 ]

フラクタルパターンはフラクタル次元によって特徴付けられるという点については一致しているが、これらの数値は複雑さ（つまり、スケールの変化に伴う詳細の変化）を定量化するものの、特定のフラクタルパターンを構築する方法の詳細を一意に記述したり特定したりするものではない。[ 39 ] 1975年にマンデルブロが「フラクタル」という言葉を造語したとき、彼はハウスドルフ・ベシコヴィッチ次元が位相次元よりも大きいオブジェクトを表すためにそうしました。[ 28 ]しかし、この要件はヒルベルト曲線などの空間充填曲線では満たされません。[注 2 ]

フラクタルの定義を一つにまとめるのは困難であるため、フラクタルを厳密に定義する必要はないと主張する人もいます。ファルコナーによれば、フラクタルは一般的に以下の特徴のゲシュタルトによって特徴付けられるべきです。 [ 2 ]

  • 自己相似性には次のようなものが含まれます。

これらの基準は全体として、他の典型的なフラクタル特徴を持たずに自己相似性を持つ可能性のあるケースなど、特定のケースを除外するためのガイドラインを形成します。例えば、直線は自己相似性はあるものの、細部が欠けているためフラクタルではなく、再帰を必要とせずにユークリッド言語で容易に記述できます。[ 1 ] [ 4 ]

マンデルブロがフラクタルという用語を導入したとき、彼は、数学的フラクタルよりも範囲が限定された物理的フラクタルに対応するために、拡大範囲を定義特性として除外しました。[ 41 ]

フラクタルを生成するための一般的な手法

Lシステム原理を用いてコンピュータ上でモデル化された自己相似分岐パターン[ 18 ]

フラクタル画像は、フラクタル生成プログラムによって作成できます。バタフライ効果により、単一の変数の小さな変化が予測不可能な結果を​​もたらす可能性があります。

交互リンクの有限分割規則によって生成されたフラクタル

アプリケーション

シミュレートされたフラクタル

ジュリア集合から作られたフラクタルアート

フラクタルパターンは、物理的な時間と空間の実際的な限界のため、無限ではなく一定の範囲内で、広範囲にモデル化されてきました。モデルは、理論上のフラクタルやフラクタル的な特徴を持つ自然現象をシミュレートすることができます。モデリングプロセスの出力は、高度に芸術的なレンダリング、調査のための出力、またはフラクタル分析のベンチマークとなる場合があります。フラクタルの技術への具体的な応用については、別途記載されています。画像やその他のモデリング出力は、フラクタル特性を示さないフラクタル画像領域を拡大表示できる場合など、厳密にフラクタル的な特性を持たない場合でも、通常「フラクタル」と呼ばれます。また、これらには、真のフラクタルの特性ではない計算や表示のアーティファクトが含まれる場合があります。

モデル化されたフラクタルには、音、[ 14 ]デジタル画像、電気化学パターン、概日リズム[ 47 ]などがあります。フラクタルパターンは物理的な3次元空間[ 21 ] : 10 および仮想的に再構成されており、しばしば「インシリコ」モデリングと呼ばれます。[ 44 ]フラクタルのモデルは、通常、上記のような手法を実装したフラクタル生成ソフトウェアを使用して作成されます。 [ 4 ] [ 13 ] [ 21 ]一例として、樹木、シダ、神経系の細胞[ 18 ]血液と肺の血管系[ 44 ]および自然界の他の分岐パターンは、再帰アルゴリズムとLシステム手法を使用してコンピューター上でモデル化できます。[ 18 ]

いくつかのパターンの再帰的な性質は、特定の例において明らかです。例えば、木の枝やシダの葉は、全体のミニチュアレプリカです。つまり、同一ではありませんが、性質は似ています。同様に、ランダムフラクタルは、海岸線や山など、現実世界の非常に不規則な物体を記述・作成するために使用されてきました。フラクタルモデリングの限界は、フラクタルモデルが自然現象に類似しているからといって、モデル化対象の現象がモデリングアルゴリズムと同様のプロセスによって形成されるとは限らないことです。

フラクタル特性を持つ自然現象

自然界に見られる近似的なフラクタルは、有限ではあるものの、広範囲にわたる自己相似性を示す。例えば、フラクタルと葉の関係は、現在、樹木に含まれる炭素量を決定するために利用されている。[ 48 ]フラクタル的な特徴を持つことが知られている現象には、以下のものがある。

細胞生物学におけるフラクタル

フラクタルは生物界でしばしば現れ、分岐過程やその他の複雑なパターン形成を通して生じます。リチャード・テイラーとその同僚は、ニューロンの樹状突起がフラクタルパターンを形成することを示しました。[ 73 ]イアン・ウォンとその同僚は、移動中の細胞がクラスター化と分岐によってフラクタルを形成できることを示しました。[ 74 ]神経細胞は細胞表面でのプロセスを通して機能し、表面積と体積の比が大幅に増加すると現象が促進されます。その結果、神経細胞はフラクタルパターンを形成することがしばしば見られます。[ 75 ]これらのプロセスは細胞生理学やさまざまな病理において極めて重要です。[ 76 ]

複数の細胞内構造がフラクタル状に集合することも発見されている。ディエゴ・クラプフは、ヒト細胞内のアクチンフィラメントが分岐過程を経てフラクタルパターンを形成することを明らかにした。 [ 77 ]同様にマティアス・ワイスは、小胞体がフラクタル的な特徴を示すことを明らかにした。[ 78 ]現在、フラクタルはタンパク質から細胞小器官、そして細胞全体に至るまで、細胞生物学のあらゆる場所に存在していると考えられている。

創作活動において

フラクタル表現主義は、アーティストによって直接生成されたフラクタルアートと、数学やコンピュータを使用して生成されたフラクタルアートを区別するために使用されます。 [ 79 ]

1999年以来、数多くの科学グループが、ジャクソン・ポロックが水平のキャンバスに直接絵の具を注いで作成した50点以上の絵画に対してフラクタル分析を行ってきました。例えば、[ 80 ] [ 81 ] [ 82 ] [ 83 ] [ 84 ] [ 85 ] [ 86 ] [ 87 ] [ 88 ] [ 89 ] [90] [91] [ 92 ] 2015年には、フラクタル分析を使用して、ポロックの本物と偽物の区別に93％の成功率を達成しました。[ 93 ] 2024年の研究では、フラクタルに基づく人工知能技術を使用して99％の成功率を達成しました。[ 94 ]

デカルコマニーはマックス・エルンストなどの芸術家が用いた技法で、フラクタルのような模様を作り出すことができます。[ 95 ]これは、2つの表面の間に絵の具を押し付け、引き離すという技法です。

サイバネティクス研究者のロン・エグラッシュは、フラクタル幾何学と数学がアフリカの芸術、ゲーム、占い、貿易、建築に広く見られると示唆している。円形の家は円の円の中に、長方形の家は長方形の長方形の中に、といった具合である。このようなスケーリングパターンは、アフリカの織物、彫刻、さらにはコーンロウのヘアスタイルにも見られる。[ 24 ] [ 96 ]ホッキー・シトゥンキルも、インドネシアの伝統芸術であるバティックや、伝統的な家屋に見られる装飾品に同様の特性があると示唆している。[ 97 ] [ 98 ]

民族数学者ロン・エグラッシュは、ベナンの都市計画において、都市自体や村落だけでなく、家屋の部屋に至るまで、フラクタル構造が用いられていることを論じている。彼は「ヨーロッパ人が初めてアフリカに来た時、彼らは建築が非常に無秩序で原始的だと考えていた。アフリカ人がまだ発見さえしていなかった数学の一形態を用いていたかもしれないとは、彼らには思いもよらなかったのだ」と述べている。[ 99 ]

1996年のマイケル・シルバーブラットとのインタビューで、デイヴィッド・フォスター・ウォレスは編集者のマイケル・ピエッチに渡した『インフィニット・ジェスト』の初稿の構成はフラクタル、特にシェルピンスキーの三角形（別名シェルピンスキー・ガスケット）に触発されたものだったが、編集後の小説は「むしろ不均一なシェルピンスキー・ガスケットのようなものだ」と説明した。[ 23 ]

オランダの芸術家MC エッシャーの作品の中には、 「Circle Limit III」など、端に近づくにつれてどんどん小さくなる形状が無限に繰り返され、拡大しても同じパターンに見えるものがあります。

  • 山の表面をモデル化したフラクタル（アニメーション）
    山の表面をモデル化したフラクタル（アニメーション）
  • 3D再帰画像
    3D再帰画像
  • 再帰的なフラクタル蝶の画像
    再帰的なフラクタル蝶の画像
  • フラクタル炎
    フラクタル炎

バイオフィリック・フラクタルとは、自然の景色に触れることで得られる健康と幸福への効果を誘発するように設計されたパターンです。[ 100 ]これらには、ストレス軽減や認知能力の向上などが含まれます。デザイナーや建築家は、人々が92%の時間を屋内で過ごし、自然の景色から遠ざかっているという事実に対処するため、バイオフィリック・フラクタルを建築環境に取り入れています。オーストリア、グラーツの州立病院にINNOCAD architectureが設計したフラクタル・チャペルはその顕著な例であり、2025年度IIDA（国際インテリアデザイン協会）最優秀コンペティション賞を受賞しました。

生理学的反応：フラクタル流暢性

フラクタル流暢性とは、人間の視覚系が自然界のフラクタルな風景に触れることで、フラクタルを効率的に容易に処理できるように適応したという神経科学モデルである。この適応は、目の動き方から脳のどの領域が活性化するかまで、視覚系の多くの段階で起こる。[ 101 ]流暢性は鑑賞者を「快適ゾーン」に置き、美的体験を誘発する。神経科学の実験では、ジャクソン・ポロックのフラクタル画が、自然界のフラクタルや数学的フラクタルと同様の肯定的な生理的反応を鑑賞者に誘発することが示されている。 [ 102 ]これは、ポロックなどの芸術家が人々にアピールするために芸術においてフラクタル表現主義を使用する動機を与えることによって、フラクタル表現主義がフラクタル流暢性と関連していることを示すものである。

人間は、フラクタル次元が1.3から1.5のフラクタルパターンを処理することに特によく適応しているようです。 [ 103 ]人間がこの範囲のフラクタル次元を持つフラクタルパターンを見ると、これらのフラクタルは生理的ストレスを軽減し、認知能力を高めます。[ 104 ]

テクノロジーへの応用

参照

注記

  1. ^元の論文、 Lévy、Paul (1938)。 「クールブの平面とゴーシュと表面を構成するパーティーの組み合わせ」。エコール・ポリテクニック誌: 227–247 , 249–291 .は、エドガーの181～239ページに翻訳されています。
  2. ^ヒルベルト曲線写像は同相写像ではないため、位相次元を保存しない。R 2におけるヒルベルト写像の像の位相次元とハウスドルフ次元はともに2である。ただし、ヒルベルト写像のグラフ（ R 3の集合）の位相次元は1であることに注意されたい。

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さらに読む

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  • バーンズリー、マイケル・F.、ライジング、ホーリー著『Fractals Everywhere』、ボストン：Academic Press Professional、1993年。ISBN 0-12-079061-0
  • ドゥアルテ、ゲルマンA.著『フラクタル・ナラティブ。幾何学とテクノロジーの関係性、そしてそれが物語空間に与える影響について』ビーレフェルト：トランスクリプト、2014年。ISBN 978-3-8376-2829-6
  • ファルコナー、ケネス著『フラクタル幾何学の技法』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、1997年。ISBN 0-471-92287-0
  • ユルゲンス、ハルトムート。パイトゲン, ハインツ・オットー;そしてソープ、ディートマール。カオスとフラクタル: 科学の新たなフロンティア。ニューヨーク: Springer-Verlag、1992。ISBN 0-387-97903-4
  • マンデルブロ、ブノワ・B.著『自然のフラクタル幾何学』ニューヨーク：WHフリーマン社、1982年。ISBN 0-7167-1186-9
  • パイトゲン、ハインツ＝オットー。そしてソープ、ディートマール。編;フラクタル画像の科学。ニューヨーク: Springer-Verlag、1988。ISBN 0-387-96608-0
  • ピックオーバー、クリフォード・A.編著『カオスとフラクタル：コンピュータグラフィックの旅 ― 10年間の先端研究の集大成』エルゼビア、1998年。ISBN 0-444-50002-2
  • ジョーンズ、ジェシー著『Fractals for the Macintosh』、Waite Group Press、Corte Madera、CA、1993年。ISBN 1-878739-46-8。
  • ローウェリエ、ハンス著『フラクタル：無限に繰り返される幾何学図形』、ソフィア・ギル＝ホフスタット訳、プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州、1991年。ISBN 0-691-08551-X、布。ISBN 0-691-02445-6ペーパーバック。「本書は幅広い読者層を対象としています…」付録にはサンプルBAICプログラムが含まれています。
  • スプロット、ジュリアン・クリントン（2003年）『カオスと時系列分析』オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-850839-7。
  • ヴァール、バーント。ヴァン・ロイ、ピーター。ラーセン、マイケル。そしてカンプマン、エリック。Macintosh でのフラクタルの探索、Addison Wesley、1995。ISBN 0-201-62630-6
  • レスモア・ゴードン、ナイジェル著『無限の色彩：フラクタルの美、力、そして感覚』 2004年、ISBN 1-904555-05-5(この本には、フラクタル概念とマンデルブロ集合を紹介するアーサー・C・クラークのドキュメンタリーの関連 DVD が付属しています。)
  • 劉華傑著『フラクタルアート』、長沙：湖南省科学技術出版社、1997年、ISBN 9787535722348。
  • グイエ、ジャン＝フランソワ著『物理学とフラクタル構造』（B.マンデルブロ序文）マッソン社、1996年。ISBN 2-225-85130-1、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、1996年。ISBN 978-0-387-94153-0絶版。PDF版はこちら。「物理学とフラクタル構造」（フランス語）。Jfgouyet.fr 。 2010年10月17日閲覧。
  • ファルコナー、ケネス（2013）『フラクタル入門』オックスフォード大学出版局。
ウィキメディア コモンズには、フラクタルに関連するメディアがあります。
ウィキブックスにはフラクタルに関する本があります。
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