円周率

数π（/ p aɪ / ^π （円周率、綴りはπ）は数学定数、約3.14159に等しく、円の円周と直径の比です。数学や物理学の多くの公式に登場し曲線の長さの定義に依存せずにπを定義するために、これらの公式のいくつかは一般的に用いられています。

数πは無理数であり、2 つの整数の比として正確に表すことはできませんが、一般に分数などを使用して近似値として表すことができます。したがって、その小数表現は終わることがなく、永久に繰り返されるパターンにはなりません。また、超越数であり、有限の和、積、累乗、整数のみを含む代数方程式の解にはなり得ません。π の超越性は、コンパスと定規を使用して円を正方形にするという古代の難問を解くことが不可能であることを意味します。πの小数桁はランダムに分布しているように見えますが、この予想を証明するものは見つかっていません。 ${\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}$

何千年もの間、数学者たちはπの理解を深めようと試み、ときにはその値を高精度で計算してきました。エジプト人やバビロニア人などの古代文明では、実用的な計算を行うためにπのかなり正確な近似値が必要でした。 紀元前 250 年頃、ギリシャの数学者 アルキメデスは、任意の精度でπ を近似するアルゴリズムを作成しました。西暦 5 世紀には、中国の数学者たちがπ を7 桁に近似し、インドの数学者たちは5 桁に近似しましたが、両者とも幾何学的な手法を用いていました。無限級数に基づくπの最初の計算式は、その 1000 年後に発見されました。円の円周と直径の比を表すためにギリシャ文字πが使用された最も古い例は、1706 年にウェールズの数学者ウィリアム ジョーンズによるものです。微積分の発明により、すぐにπの数百桁の計算が可能になり、あらゆる実用的な科学的計算に十分になりました。それでも、20世紀と21世紀には、数学者とコンピュータ科学者が新たなアプローチを追求し、計算能力の向上と組み合わせることで、πの十進表現を数兆桁にまで拡張しました。これらの計算は、数値列を計算するための効率的なアルゴリズムの開発と、人類の記録破りへの探求によって推進されてきました。また、膨大な計算量は、新しいコンピュータプロセッサの正確性をテストするためにも利用されてきました。

π は円に関係するため、三角法や幾何学の多くの公式、特に円、楕円、球に関する公式に見られます。また、宇宙論、フラクタル、熱力学、力学、電磁気学など、科学の他の分野の公式にも見られます。さらに、数論や統計など、幾何学とはあまり関係のない分野にも登場し、現代の数学的解析では幾何学を参照することなく定義できます。π はどこにでも見られるため、科学の内外でもっとも広く知られている数学定数の 1 つです。π を専門とする書籍が数冊出版されており、 πの桁の記録的な計算がニュースの見出しになることも少なくありません。

基礎

名前

数学者が円周と直径の比を表すために用いる記号は、ギリシャ語の小文字πで、piと綴られることもある。^[1]英語では、πは「パイ」（/ p aɪ / PY ）と発音される。^[2]数学では、小文字πは、大文字で拡大したΠと区別される。Πは数列の積を表し、Σが和を表すのと同様である。

記号πの選択については、「記号 π の採用」のセクションで説明します。

意味

円周は直径の3倍強です。正確な比率はπと呼ばれます。

πは一般的に、円の円周Cと直径dの比として定義されます。^[3] この比は円の大きさに関わらず一定です。例えば、ある円の直径が別の円の2倍であれば、円周も2倍になり、比は保持されます。 $${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$$ ${\textstyle {\frac {C}{d}}}$ ${\textstyle {\frac {C}{d}}}$

現代数学において、この定義はいくつかの理由から完全には満足のいくものではない。第一に、曲線の長さの厳密な定義が欠けている。このような定義には、少なくとも極限の概念[ ^{a] 、より一般的には、}微分と積分の概念が必要である。また、非ユークリッド幾何学では直径、円、円周を定義できるが、そのような幾何学では、比⁠ ⁠は定数である必要はなく、 ${\displaystyle C/d}$ πに等しい必要もない。^[3]また、 πは幾何学とはまったく独立した数学の多くの分野で多く見られ、現代数学では、他の数学の分野から独立して幾何学を構築するのではなく、代数と解析から幾何学を構築する傾向がある。これらの理由から、 πの定義として以下の特徴付けを用いることができる。^[4]

• πは正弦関数の最小の正のゼロです。つまり、⁠ ⁠であり、πはこの性質を持つ最小の正の数です。${\displaystyle \sin \pi =0}$
• πは、 ⁠ ⁠${\displaystyle \cos x}$ 、⁠ ⁠${\displaystyle \sin x}$ 、および ⁠ ⁠${\displaystyle \tan x}$ の 2 つのゼロ間の最小の正の差です。

正弦と余弦は微分方程式 ⁠ ⁠${\displaystyle f''+f=0}$ を満たし、この方程式のすべての解は周期的である。このことから、概念的な定義は以下のようになる。

• πは微分方程式⁠ ⁠の各非ゼロ解の基本周期の半分です。${\displaystyle f''+f=0}$

非合理性と正常性

πは無理数であり、 2つの整数の比として表すことはできません。⁠のような分数は、22/7⁠と⁠355/113⁠はπ を近似するためによく使用されますが、公分数（整数の比）は正確な値になりません。 ^[5] π は無理数であるため、小数表現では無限の桁数を持ち、無限に繰り返される数字のパターンに落ち着きません。 πが無理数であることの証明はいくつかありますが、一般的には背理法による証明であり、微積分が必要です。 π を有理数で近似できる程度（無理数測度と呼ばれる）は正確にはわかっていません。推定により、無理数測度はeの測度よりも大きいか少なくとも等しいが、リウヴィル数の測度よりも小さいこと。 ^[6]

πの数字には明らかなパターンがなく、正規性を含む統計的ランダム性に関するテストに合格している。無限長の数は、（任意の長さの）数字のあらゆる可能な並びが等頻度で出現する場合、正規数と呼ばれる。πが正規数であるという予想は、証明も反証もされていない。^[7]

コンピュータの登場以来、統計解析に利用可能なπの桁数は膨大である。金田康正はπの10進数の桁について詳細な統計解析を行い、それらが正規分布に従うことを明らかにした。例えば、0から9までの10桁の頻度を統計的有意性検定にかけたところ、パターンの証拠は見つからなかった。^[8]無限猿定理によれば、任意のランダムな桁列には、ランダムではないように見える任意の長さの部分列が含まれる。したがって、 πの桁列はランダム性の統計的検定に合格するため、 πの10進数表現の762桁目から始まる6つの連続する9の列など、ランダムではないように見える桁列も含まれる。^[9]これは数学の伝承ではリチャード・ファインマンにちなんで「ファインマン点」とも呼ばれているが、ファインマンとの関連は知られていない。

超越

πは超越数であるため、コンパスと定規という従来の道具を使って有限数のステップで円を二乗することは不可能です。

π は無理数であるだけでなく超越数でもあります。つまり、 のような有理係数を持つ非定数多項式方程式の解ではありません。^{[10] [b]}これは、いわゆるリンデマン・ワイエルシュトラスの定理から導かれ、定数eの超越性も確立しています。 ${\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}$

πの超越性には、2 つの重要な結果があります。第 1 に、π は有理数と平方根またはn乗根( や など)の有限の組み合わせでは表現できません。第 2 に、コンパスと定規で超越数を構成することはできないため、「円を正方形にする」ことはできません。言い換えると、コンパスと定規のみを使用して、与えられた円の面積と正確に等しい面積を持つ正方形を構成することは不可能です。^[11]円を正方形にすることは、古典古代の重要な幾何学の問題の 1 つでした。^[12]現代のアマチュア数学者は、数学的に不可能であるという事実にもかかわらず、円を正方形にしようと試み、成功したと主張することがあります。^[13]${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$

これまで未解決の問題は、 πとeが代数的に独立（ 「相対的に超越的」）であるかどうかである。これは、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理[15]の未証明の一般化であるシャヌエル予想^{[14]によって}解決される。

連分数

無理数であるπは、常分数で表すことはできません。しかし、πを含むすべての数は、単純連分数と呼ばれる無限の入れ子になった分数で表すことができます。

$${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}$$

連分数を任意の点で切り捨てると、πの有理近似値が得られます。最初の4つは3、⁠22/7⁠、⁠333/106⁠、そして⁠355/113⁠。これらの数は、定数の歴史的に最もよく知られ、最も広く使用されている近似値の一つです。このようにして生成された各近似値は、最良の有理近似値です。つまり、各値は、同じかより小さい分母を持つ他のどの分数よりもπに近いです。 ^[16] πは超越数であるため、定義により代数的ではなく、したがって二次無理数にはなり得ません。したがって、 πは周期連分数を持つことはできません。πの単純な連分数（分子がすべて1、上記参照）も他の明らかなパターンを示しませんが、 ^{[17] [18]}次のようないくつかの単純でない連分数は、そのパターンを示します。 ^{[19] [c]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$$

おおよその値と桁数

円周率の近似値には次のようなものがあります。

• 整数: 3
• 分数：近似分数には以下のものが含まれます（精度が上がる順）⁠22/7⁠、⁠333/106⁠、⁠355/113⁠、⁠52163/16604⁠、⁠103993/33102⁠、⁠104348/33215⁠、そして⁠245850922/78256779⁠ . ^[16]（リストはOEIS :A063674とOEIS :A063673から選択された用語です。）
• 桁数：最初の50桁は3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... ^[20]（OEIS：A000796参照）

他の記数法における数字

• 最初の 48桁の2進数(基数2) (ビットと呼ばれる) は、 11、0010、0100、0011、1111、0110、1010、1000、1000、1000、0101、1010、0011 ...です( OEIS : A004601を参照) 。
• 3進法（基数3）の最初の36桁は10、010、211、012、222、010、211、002、111、110、221、222、220 ...です（OEIS ： A004602を参照）。
• 16進数（基数16） の最初の20桁は3.243F 6A88 85A3 08D3 1319... ^{[21] （} OEIS：A062964参照）
• 最初の5つの60進法（基数60）の数字は3、8、29、44、0、47である^[22]（OEIS：A060707を参照）

複素数とオイラーの恒等式

複素平面上の原点を中心とする単位円上の点と数eの虚数乗との関係はオイラーの公式によって与えられる。

任意の複素数、例えばzは、実数のペアを用いて表すことができます。極座標系では、一方の数値（半径またはr ）は複素平面の原点からのzの距離を表し、もう一方の数値（角度またはφ ）は実数正直線からの反時計回りの回転を表します。 ^[23]

$${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$$

ここで、iはを満たす虚数単位である。複素解析においてπが頻繁に現れるのは、オイラーの公式で表される複素変数の指数関数の挙動と関係していると考えられる。^[24]${\displaystyle i^{2}=-1}$

$${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}$$

ここで、定数eは自然対数の底である。この式は、 eの虚数乗と複素平面の原点を中心とする単位円上の点との対応関係を確立する。オイラーの公式にeを設定すると、オイラーの恒等式が得られる。これは、5つの重要な数学定数を含むことから数学で高く評価されている。^{[24] [25]}${\displaystyle \varphi =\pi }$

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$$

⁠ ⁠を満たすn種類の複素数zがあり、これらは「n乗根」^[26]と呼ばれ、次の式で表されます。 ${\displaystyle z^{n}=1}$

$${\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}$$

歴史

西暦2世紀以前に現存するπの近似値は、せいぜい小数点1～2桁の精度である。最古の文献に記された近似値はバビロンとエジプトで発見されており、どちらも真の値から1%以内の誤差しかなかった。バビロンでは、紀元前1900～1600年の粘土板に幾何学的な記述があり、πを⁠25/8⁠  = 3.125 です。^[27]エジプトでは、紀元前 1650 年頃のリンド・パピルス（紀元前 1850 年の文書からコピーされたもの）に、πを として扱う円面積の公式が示されています。^{[18] [27]}ピラミッド学者の中には、ギザの大ピラミッドはπに関連した比率で建てられたという説を唱える人もいますが、この説は学者に広く受け入れられていません。^{[28]紀元前 1 千年紀または 2 千年紀の口承による}インドの数学のシュルバ・スートラ では、およそ 3.08831、3.08833、3.004、3、または 3.125 と様々に解釈されている近似値が示されています。^[29]${\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}\approx 3.16}$

多角形近似の時代

アルキメデスはπ を近似するための多角形アプローチを開発しました。

π は、外接多角形と内接多角形の周囲長を計算することによって推定できます。

πの値を厳密に計算する最初のアルゴリズムとして記録されているのは、紀元前250年頃にギリシャの数学者アルキメデスが考案した、多角形を用いた幾何学的なアプローチで、尽き果ての法則を実装したものです。^[30]この多角形アルゴリズムは1000年以上もの間主流となり、その結果、πはアルキメデスの定数と呼ばれることもあります。^[31]アルキメデスは、円の内側と外側に正六角形を描き、辺の数を2倍にして96辺の正多角形に達することで、 πの上限と下限を計算しました。これらの多角形の周囲を計算することで、彼は次のことを証明しました。223/71⁠ < π < ⁠22/7⁠（つまり、 3.1408 < π < 3.1429）。 ^[32]アルキメデスの上限⁠22/7⁠ は、 π が⁠に等しいという広く信じられた考えにつながった可能性がある。22/7⁠ [ ^33]紀元150年頃、ギリシャ・ローマの科学者プトレマイオスは著書『アルマゲスト』の中で、 πの値を3.1416としているが、これはアルキメデスかペルガのアポロニウスから得たものと考えられる。 ^{[34] [35]数学者たちは多角形アルゴリズムを使って1630年に}πの39桁に到達したが、この記録は1699年に無限級数を使って71桁に到達したときに破られた。 ^[36]

古代中国では、πの値は3.1547（西暦1年頃）、（西暦100年、およそ3.1623）、そして⁠${\displaystyle {\sqrt {10}}}$ 142/45⁠ (3 世紀、およそ 3.1556)。 ^[37]西暦 265 年頃、曹魏の数学者劉徽は、多角形ベースの反復アルゴリズムを作成し、3,072 角形の多角形を構築してπ を3.1416 と近似しました。 ^{[38] [39]劉は後に}π を計算するより高速な方法を発明し、連続する多角形の面積の差が 4 の等比級数を形成するという事実を利用して、96 角形の多角形で 3.14 という値を得ました。 ^[38]西暦 480 年頃、祖崇志はそれを計算し、近似値 と を提案し、それぞれmilü (「近い比率」) とyuelü (「近似比率」) と名付け、劉徽のアルゴリズムを 12,288 角形の多角形まで反復しました。最初の7桁の値が正しかったため、ズーの結果はその後800年間、 πの最も正確な近似値として残りました。 ^[40]${\displaystyle 3.1415926<\pi <3.1415927}$ ${\textstyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159292035...}$ ${\textstyle \pi \approx {\frac {22}{7}}=3.142857142857...}$

インドの天文学者アーリヤバータは、著書『アーリヤバティーヤ』（紀元499年）の中で3.1416という値を用いている。^[41] 1220年頃、フィボナッチはアルキメデスとは独立して考案された多角形法を用いて3.1418という値を計算し、これをアルキメデスの法則に当てはめた。^[42]イタリアの作家ダンテは、この値を用いたとみられる。^[42]${\textstyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}$

ペルシャの天文学者ジャムシード・アル＝カーシーは1424年、多角形を用いて60進法の9桁（十進法の16桁にほぼ相当）を生成し、^[43]これは約180年間世界記録であった。^[44]フランスの数学者フランソワ・ヴィエトは1579年に多角形を用いて9桁を達成した。^[44]フランドルの数学者アドリアーン・ファン・ルーメンは1593年に小数点以下15桁に到達した。^[44] 1596年、オランダの数学者ルドルフ・ファン・クーレンは20桁に到達し、後にこの記録を35桁にまで伸ばした（その結果、 20世紀初頭までドイツではπは「ルドルフ数」と呼ばれていた）。^[45]オランダの科学者ウィレブロード・スネリウスは1621年に34桁に到達し、^[46]オーストリアの天文学者クリストフ・グリーンベルガーは1630年に10の⁴⁰乗辺を使って38桁に到達した。^[47]クリスティアーン・ホイヘンスは1654年にリチャードソン外挿法に相当するわずかに異なる方法を使って小数点以下10桁に到達した。^[48]${\textstyle 3\times 2^{28}}$ ${\textstyle 3\times 2^{17}}$

無限級数

πに関するいくつかの歴史的無限級数の収束の比較。S n_はn項を取った後の近似値である。以降の各サブプロットは、網掛け部分を水平方向に 10 倍に拡大している。(クリックして詳細を表示)

πの計算は、16世紀と17世紀に無限級数の技法が開発されたことで革命的に変化した。無限級数とは、無限列の項の和である。無限級数により、数学者はアルキメデスや他の幾何学的技法を用いた人々よりもはるかに高い精度でπを計算できるようになった。 ^[49]無限級数は、ジェームズ・グレゴリーやゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツなどのヨーロッパの数学者によってπに最も顕著に利用されたが、このアプローチは14世紀または15世紀のいずれかの時期にケーララ学派にも登場した。 ^{[50] [51] 1500年頃、} πを計算するために使用できる無限級数がサンスクリットの詩の形で書かれ、ニラカンタ・ソーマヤジによってタントラサングラハに発表された。^[50]この級数は証明なしで提示されているが、1530年頃に出版された後代の著作『ユクティバーシャ』には証明が示されている。いくつかの無限級数について説明されており、その中には正弦級数（ニラカンタはサンガマグラマのマダヴァに帰している）、余弦級数、逆正接級数があり、これらは現在ではマダヴァ級数と呼ばれることもある。逆正接級数はグレゴリー級数またはグレゴリー・ライプニッツ級数と呼ばれることもある。^[50]マダヴァは1400年頃に無限級数を用いてπを11桁まで推定した^{。[52] [53] [54]}

1593年、フランソワ・ヴィエトは、現在ヴィエトの公式として知られる無限積（ π計算でより一般的に使用される無限和ではなく）を発表しました。^[55]

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$$

1655年、ジョン・ウォリスは現在ウォリス積として知られる無限積を発表しました。^[56]

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots }$$

アイザック・ニュートンは無限級数を使ってπを15桁まで計算し、後に「この計算を何桁まで行ったかを言うのは恥ずかしい」と記している。^[57]

1660年代、イギリスの科学者アイザック・ニュートンとドイツの数学者ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは微積分を発見し、 πを近似するための多くの無限級数の開発につながりました。ニュートン自身も1665年か1666年に逆正弦級数を用いてπの15桁の近似値を計算し、「当時は他に何もすることがなかったので、これらの計算を何桁まで行ったかを言うのは恥ずかしい」と記しています。^[57]

1671年にジェームズ・グレゴリーが、そして独立に1673年にライプニッツが逆正接のテイラー級数展開を発見した。^{[50] [58] [59]}

$${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$$

この級数はグレゴリー・ライプニッツ級数とも呼ばれ、⁠ ⁠で評価すると等しくなります。^[59]しかし⁠ ⁠の場合、収束が非現実的に遅く（つまり、答えに非常にゆっくりと近づきます）、各追加桁を計算するのに約10倍の項が必要になります。^[60]${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle {1}}$

1699年、イギリスの数学者アブラハム・シャープはグレゴリー・ライプニッツ級数を用いてπを71桁まで計算し、多角形アルゴリズムで達成された39桁というそれまでの記録を破った。^[61]${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$

1706年、ジョン・マチンはグレゴリー・ライプニッツ級数を用いて、はるかに速く収束するアルゴリズムを作成した。^{[62] [63] [64]}

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$$

マチンはこの式でπの100桁に到達した。 ^{[65]他の数学者たちは、現在では}マチン風の式として知られる変種を作成し、 πの桁を計算するためのいくつかの連続した記録を樹立するために使用された。^{[66] [65]}

アイザック・ニュートンは1684年にグレゴリー・ライプニッツ級数の収束を加速した（未発表の研究で、他の人々は独立してこの結果を発見した）: ^[67]

$${\displaystyle \arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots }$$

レオンハルト・オイラーは1755年に出版した微分積分の教科書でこの級数を広く知らしめ、後にマチンのような公式と組み合わせて使用​​し、 1時間でπの20桁を計算した。^[68]${\textstyle {\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{79}},}$

マシンのような公式は、コンピュータの時代になってもπを計算するための最もよく知られた方法であり、250年間記録を更新するために使用され、1946年にダニエル・ファーガソンによって620桁の近似値が達成されました。これは計算機の助けを借りずに達成された最良の近似値でした。^[69]

1844年、ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスの要請により、ザカリアス・ダーゼがマチンのような公式を用いてπの200桁を暗算するという記録を樹立した。^[70]

1853年、イギリスの数学者ウィリアム・シャンクスは円周率を607桁まで計算しましたが、528桁目に誤りがあり、それ以降の桁はすべて不正確になりました。1873年にさらに100桁を計算し、合計は707桁になりましたが、以前の誤りによって、新しい桁もすべて不正確になりました。^[71]

収束速度

π の無限級数の中には、他の級数よりも収束が速いものがあります。π の無限級数が2つある場合、数学者は一般的に収束の速い方を選択します。収束が速いほど、π を任意の精度で計算するために必要な計算量が少なくなるからです。 ^[72] πの単純な無限級数はグレゴリー・ライプニッツ級数です。^[73]

$${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }$$

この無限級数の個々の項を合計に加えていくと、合計は徐々にπに近づき、十分な項数があれば、望む限りπに近づくことができます。しかし、収束は非常に遅く、50万項を越えると、 πの正しい小数点はわずか5桁しか生成されません。^[74]

グレゴリー・ライプニッツ級数よりも速く収束するπの無限級数（15世紀にニラカンタによって発表されたもの）は次の通りである： ^{[75] [76]}

$${\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }$$

次の表は、これら 2 つのシリーズの収束率を比較したものです。

5項後、グレゴリー・ライプニッツ級数の和はπの正しい値の0.2以内であるのに対し、ニラカンタ級数の和は正しい値の0.002以内である。ニラカンタ級数はより速く収束し、πの桁を計算するのにより有用である。さらに速く収束する級数には、マチン級数とチュドノフスキー級数があり、後者は1項あたり14桁の正しい小数点を生成する。^[72]

非合理性と超越性

πに関する数学的進歩のすべてが近似値の精度向上を目的としたわけではない。1735年にオイラーがバーゼル問題を解き、逆数の平方和の正確な値を発見したことで、彼はπと素数との関連性を確立し、後にリーマンゼータ関数の発展と研究に貢献した。^[77]

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$$

スイスの科学者ヨハン・ハインリヒ・ランバートは1768年、πが無理数であることを証明した。つまり、 πは任意の2つの整数の商とは等しくないということである。^[5] ランバートの証明は、正接関数の連分数表現を利用した。^[78]フランスの数学者アドリアン＝マリー・ルジャンドルは1794年にπ2も無理数であることを証明した^。 1882年、ドイツの数学者フェルディナント・フォン・リンデマンはπが超越数であることを証明し、^[79]ルジャンドルとオイラーの予想を裏付けた。^{[80] [81]}ハーディとライトは、「これらの証明は後にヒルベルト、フルヴィッツ、その他の著者によって修正され、簡略化された」と述べている。^[82]

シンボルの採用π

円幾何学における記号πの最初の使用記録は、オートレッドの 数学書（1648年）^{[83] [84]} で、ギリシャ文字の πとδが分数に組み合わされて、半周${\displaystyle {\tfrac {\pi }{\delta }}}$ と半直径、周長と直径の比、つまり現在πと表記されるものを示した。^{[1] [85] [86] [87]}（それ以前は、数学者はcやpなどの文字を使用することもあった。^[84]）バローも同様の表記法を使用したが、^[88]グレゴリーは代わりに6.28... と表記した。[ ^{89] [86]}${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$

円周と直径の比を表すためにギリシャ文字πのみを用いた最古の記録は、ウェールズの数学者ウィリアム・ジョーンズが1706年に著作『数学への新入門』の中で用いたものである。^{[62] [90]}ギリシャ文字は243ページの「周長（π ）」という句に登場し、これは半径1の円について計算されたものである。しかし、ジョーンズはπの式は「真に独創的なジョン・マシン氏の筆による」と記しており、マシンがジョーンズよりも先にギリシャ文字を用いていたのではないかとの憶測が広がっている。^[84]ジョーンズの記法は他の数学者にすぐには採用されず、分数記法は1767年まで使われていた。^{[85] [91]}${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$

オイラーは1727年の『空気の性質に関するエッセイ』からこの一文字表記を使い始めたが、この論文とその後のいくつかの著作では、円周と半径の比であるπ = 6.28...を用いた。 ^{[92]オイラーは1736年の著作}『機械論』で 初めてπ = 3.14...を使用し、^[93]広く読まれた1748年の著作『有限要素法入門』でもこの表記を続けた（彼は「簡潔にするために、この数をπと書く。したがって、πは半径1の円の円周の半分に等しい」と記している）。^[94]オイラーはヨーロッパの他の数学者と頻繁に文通していたため、ギリシャ文字の使用は急速に広まり、その後西洋世界で広く採用された^[84]。ただし、定義は1761年になっても3.14...から6.28...の間で変動していた。 ^[95]

より多くの数字を求める現代の探求

コンピューティングの動機π

数学者が新しいアルゴリズムを発見し、コンピュータが利用可能になるにつれて、 πの既知の小数桁数は劇的に増加しました。縦軸は対数です。

π を含むほとんどの数値計算では、数桁の精度で十分な結果が得られます。イェルク・アルントとクリストフ・ヘーネルによると、観測可能な宇宙の円周を原子 1 個の精度で計算するには 39 桁の精度が必要であり、ほとんどの宇宙論計算には 39 桁で十分です。アルントは、計算上の丸め誤差を補正するために必要な追加の桁を考慮しても、科学的応用には数百桁で十分だと結論付けています。それにもかかわらず、人々はπ を数千桁、数百万桁まで計算しようと精力的に取り組んできました。^{[96]この努力は、記録を破ろうとする人間の衝動に部分的に起因している可能性があり、} πに関するこのような成果は世界中でニュースの見出しを飾ることがよくあります。^[97]また、スーパーコンピュータのテスト、数値解析アルゴリズム（高精度乗算アルゴリズムを含む）のテスト、そして純粋数学自体の中でπの桁のランダム性を評価するためのデータを提供するなど、実用的な利点もあります。^{[98] [99]}

コンピュータ時代と反復アルゴリズム

20世紀半ばのコンピュータの発達は、πの桁数の探求に再び革命をもたらした。数学者のジョン・レンチとレヴィ・スミスは1949年に卓上計算機を用いて1,120桁に到達した。^{[100]同年、ジョージ・ライトヴィースナーと}ジョン・フォン・ノイマン率いるチームは、逆正接（アークタンジェント）無限級数を用いて、 ENIACコンピュータで70時間の計算時間をかけ、2,037桁を達成した。^{[101] [102]}この記録は常に逆正接級数に依存しており、1955年に3089桁、^[103] 1957年に7480桁、1958年に10000桁、1961年に100000桁と、1973年に100万桁に達するまで繰り返し破られました。^[101]

1980年頃の2つのさらなる進歩により、 πの計算能力が再び加速した。1つ目は、無限級数よりもはるかに高速なπを計算するための新しい反復アルゴリズムの発見であり、2つ目は、大きな数を非常に高速に乗算できる高速乗算アルゴリズムの発明である。 ^{[104]このようなアルゴリズムは、コンピュータのほとんどの時間が乗算に費やされているため、現代の}π計算において特に重要である。^[105]これらには、カラツバアルゴリズム、トゥーム・クック乗算、フーリエ変換に基づく方法などがある。^[106]

ガウス・ルジャンドル反復アルゴリズム：
初期化 反復 するとπ の推定値は次のように与えられる。 $${\displaystyle \textstyle a_{0}=1,\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad t_{0}={\frac {1}{4}},\quad p_{0}=1.}$$ $${\displaystyle \textstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},}$$ $${\displaystyle \textstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\quad \quad p_{n+1}=2p_{n}.}$$ $${\displaystyle \textstyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.}$$

反復アルゴリズムは、物理学者ユージン・サラミンと科学者リチャード・ブレントによって1975年から1976年にかけて独立に発表されました。^[107]これらのアルゴリズムは、無限級数への依存を回避します。反復アルゴリズムは特定の計算を繰り返し、各反復では前のステップの出力を入力として使用し、各ステップで目的の値に収束する結果を生成します。このアプローチは、実際には160年以上前にカール・フリードリヒ・ガウスによって発明され、現在では算術幾何平均法（AGM法）またはガウス・ルジャンドルアルゴリズムと呼ばれています。^[107]サラミンとブレントによって改良されたこのアルゴリズムは、ブレント・サラミンアルゴリズムとも呼ばれます。

反復アルゴリズムは、無限級数アルゴリズムよりも高速であるため、1980年以降広く使用されるようになりました。無限級数は通常、正しい桁数を段階的に加算的に増やしていくのに対し、反復アルゴリズムは一般的に各ステップで正しい桁数を乗算します。例えば、ブレント・サラミンアルゴリズムは、各反復で桁数を2倍にします。1984年、ジョン・ボーウェインとピーター・ボーウェイン兄弟は、各ステップで桁数を4倍にする反復アルゴリズムを開発しました。そして1987年には、各ステップで桁数を5倍にする反復アルゴリズムを開発しました。^{[108]反復法は、日本の数学者}、金田康正氏によって1995年から2002年の間にπの計算でいくつかの記録を樹立するために使用されました。[ ^109]この急速な収束には代償が伴います。反復アルゴリズムは、無限級数よりもはるかに多くのメモリを必要とします。^[109]

急速に収束する系列

シュリニヴァーサ・ラマヌジャンはインドで孤立して研究し、πを計算するための多くの革新的な級数を生み出しました。

現代のπ計算機は反復アルゴリズムのみを使用しているわけではない。1980年代と1990年代には、反復アルゴリズムと同等の速度でありながら、より単純でメモリ消費量が少ない新しい無限級数が発見された。^[109]高速反復アルゴリズムは1914年にインドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンがπに関する数十もの革新的な新しい公式を発表したときに予見されていた。その優雅さ、数学的な深み、そして急速な収束性は注目に値する。^[110]モジュラー方程式に基づく彼の公式の一つは、

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}\left(396^{4k}\right)}}.}$$

この級数は、マチンの公式を含むほとんどの逆正接級数よりもはるかに速く収束します。^[111] ビル・ゴスパーは、 πの計算の進歩のために初めてこれを使用し、1985年に1700万桁の記録を樹立しました。^{[112]ラマヌジャンの公式は、ボルウェイン兄弟（}ジョナサンとピーター）とチュドノフスキー兄弟によって開発された現代のアルゴリズムを先取りしていました。^[113] 1987年に開発された チュドノフスキーの公式は、

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {10005}}{4270934400}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!\,k!^{3}(-640320)^{3k}}}.}$$

この式は1項あたり約14桁のπを生成し^[114] 、 1989年にチュドノフスキー兄弟によって10億（10の⁹乗）桁を超えた最初のπ計算、2011年にアレクサンダー・イーと近藤滋によって10兆（10の^13乗）桁を超えた最初のπ計算、^[115] 、 2022年にエマ・ハルカ・イワオによって100兆桁を超えた最初のπ計算など、いくつかの記録を樹立したπ計算に使用されてきた。 ^{[116] [117]同様の公式については、}ラマヌジャン-佐藤級数 も参照のこと。

2006年、数学者サイモン・プラウフはPSLQ整数関係アルゴリズム^[118]を使用して、次のテンプレートに準拠した πの新しい式をいくつか生成しました。

$${\displaystyle \pi^{k}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{k}}}\left({\frac{a}{q^{n}-1}}+{\frac{b}{q^{2n}-1}}+{\frac{c}{q^{4n}-1}}\right),}$$

ここでqはeπ（ゲルフォンドの定数）、kは奇数、a、b、c^はプルーフが計算した特定の有理数である。^[119]

モンテカルロ法

モンテカルロ法は、複数のランダムな試行の結果を評価し、πの近似値を求めるのに用いることができる。^[120] ビュフォンの針はそのような手法の一つである。長さℓの針をt単位間隔で平行線が引かれた面にn回落とし、そのうちx回針が直線と交差して止まる（x > 0）場合、その回数に基づいてπを近似することができる。 ^[121]

$${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell}{xt}}.}$$

πを計算するための別のモンテカルロ法は、正方形に内接する円を描き、その正方形内にランダムに点を配置するというものである。円内の点の数と点の総数の比は、ほぼπ/4となる。^[122]

200ステップのランダムウォークを5回行う。 | W ₂₀₀ |の標本平均はμ = 56/5なので、2(200) μ ⁻² ≈ 3.19はπの 0.05以内にある。

確率を用いてπを計算する別の方法は、一連の（公平な）コイン投げによって生成されるランダムウォークから始めることである。ランダムウォークとは、 X _k ∈ {−1,1}となるような独立確率変数 X _kを等確率で生成するものである。このランダムウォークは

$${\displaystyle W_{n}=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$$

したがって、各nに対して、W _nはシフト・スケールされた二項分布から抽出される。nが変化すると、 W n_は（離散）確率過程を定義する。そしてπは^[123]によって計算される。

$${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.}$$

このモンテカルロ法は円とのいかなる関係にも依存せず、以下で説明する中心極限定理の結果です。

これらのモンテカルロ法はπを近似するが、他の方法に比べて非常に遅く、得られる桁数に関する情報も正確には得られない。そのため、速度や精度が求められるπの近似には用いられない。^[124]

スピゴットアルゴリズム

1995年に2つのアルゴリズムが発見され、 πの研究に新たな道が開かれました。これらは、蛇口から滴り落ちる水のように、計算後に再利用されないπの1桁目を生成することから、スピゴットアルゴリズムと呼ばれています。 ^{[125] [126]}これは、最終結果が得られるまですべての中間桁を保持して使用する無限級数アルゴリズムや反復アルゴリズムとは対照的です。^[125]

数学者のスタン・ワゴンとスタンレー・ラビノウィッツは1995年にシンプルなスピゴットアルゴリズムを開発しました。^{[126] [127] [128]}その速度は逆正接アルゴリズムに匹敵しますが、反復アルゴリズムほど速くはありません。^[127]

もう一つのスピゴットアルゴリズムであるBBP 数字抽出アルゴリズムは、1995年にサイモン・プラウフによって発見されました。^{[129] [130]} $${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$$

この式は、これまでの式とは異なり、先行するすべての桁を計算することなく、πの任意の16進桁を生成することができます。 ^[129]個々の16進桁から個々の2進桁を抽出でき、 1桁または2桁の16進桁から8進桁を抽出できます。桁抽出アルゴリズムの重要な応用は、 πの計算に関する新たな記録の検証です。新たな記録が主張された後、10進数の結果は16進数に変換され、次に桁抽出アルゴリズムを使用して末尾近くのランダムに選択されたいくつかの16進桁を計算します。それらが一致すれば、計算全体が正しいという信頼性が得られます。^[115]

1998年から2000年にかけて、分散コンピューティングプロジェクトPiHexは、ベラールの公式（BBPアルゴリズムの修正版）を使用してπの1000兆分の1（10の¹⁵乗）ビットを計算しましたが、結果は0でした。^[131] 2010年9月、Yahoo!の従業員が、23日間にわたって1000台のコンピューターで同社のHadoopアプリケーションを使用し、256ビットのπの2000兆分の1（2×10の¹⁵乗）ビットを計算しましたが、これも0でした。^[132]

2022年、プルーフはπの桁を計算するための10進アルゴリズムを発見した。^[133]

数学における役割と特徴

πは円と密接な関係にあるため、幾何学や三角法、特に円、球、楕円に関する多くの公式に見られます。統計学、物理学、フーリエ解析、数論といった他の科学分野でも、重要な公式に πが含まれています。

幾何学と三角法

円の面積は、網掛けされた面積のπ倍です。単位円の面積はπです。

πは、楕円、球、円錐、トーラスなど、円を基本とした幾何学的形状の面積と体積の公式に登場します。^{[134]以下は、} π を含む一般的な公式の一部です。^[135]

• 半径rの円周は2πrである。^[136 ]
• 半径rの円の面積はπ r ²です。
• 長軸aと短軸bを持つ楕円の面積はπabである。^[137]
• 半径rの球の体積は⁠4/3⁠ π r ³。
• 半径rの球の表面積は4π r ²です。

上記の公式のいくつかは、以下に示すn次元球の体積とその境界である( n −1) 次元球の表面積の特殊なケースです。

円以外にも、一定幅の曲線は存在します。バルビエの定理によれば、一定幅の曲線はすべて、周長が幅のπ倍になります。ルーローの三角形（正三角形の辺を半径とする3つの円の交点から形成される）は、その幅に対して面積が最小で、円の面積が最大になります。また、一定幅の滑らかな代数曲線や、円ではない代数曲線も存在します。^[138]

円周、面積、あるいは円によって生成される図形の体積を表す定積分は、通常πを含む値を持ちます。例えば、半径1の円の面積の半分を表す積分は、次のように表されます。^[139]

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$$

この積分において、関数は半円の - 軸上の高さを表し（平方根はピタゴラスの定理の帰結である）、積分は半円の下の面積を計算する。このような積分の存在により、π は代数的周期となる。^[140]${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${\displaystyle x}$

角度の単位

正弦関数と余弦関数は周期 2 πで繰り返されます。

三角関数は角度に依存しており、数学者は一般的にラジアンを測定単位として用います。ラジアンで測定される角度においてπは重要な役割を果たします。ラジアンは、完全な円が2πラジアンの角度に広がるように定義されています 。180°の角度はπ ラジアンに等しく、1° = π /180ラジアンです。^[141]

一般的な三角関数はπの倍数の周期を持つ。例えば正弦関数と余弦関数は周期が2πなので、任意の角度θと任意の整数kに対して、^[142] $${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right){\text{ および }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}$$

固有値

振動する弦の倍音は2階微分の固有関数であり、調和数列を形成します。関連する固有値はπの整数倍の等差数列を形成します。

数学や科学の公式におけるπの出現の多くは、幾何学との密接な関係に関係しています。しかし、 πは幾何学と一見何の関係もないように見える自然界の多くの状況にも現れます。

多くの応用において、λ は固有値として重要な役割を果たします。例えば、理想的な振動弦は、単位区間[0, 1]上の関数fのグラフとしてモデル化でき、その固定端はf (0) = f (1) = 0 です。弦の振動モードは、微分方程式⁠ ⁠、または⁠ ⁠の解です。したがって、λ は2 次微分演算子⁠ ⁠の固有値であり、シュトゥルム・リウヴィル理論によって特定の値のみを取るように制約されます。演算子は負定値であるため、λ は正でなければなりません。そのため、 λ = ν ²と書くのが便利です。ここで、ν > 0は波数と呼ばれます。すると、f ( x ) = sin( π x )は境界条件とν = πの微分方程式を満たします。^[143] ${\displaystyle f''(x)+\lambda f(x)=0}$ ${\displaystyle f''(t)=-\lambda f(x)}$ ${\displaystyle f\mapsto f''}$

π の値は、実際にはそのような波数の最小値であり、弦の基本振動モードと関連しています。これを示す一つの方法は、エネルギーを推定することです。これはWirtinger の不等式 を満たします。^[144] f (0) = f (1) = 0かつfとf ′がともに平方積分可能な関数に対して、次式が得られます。 ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \pi^{2}\int_{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int_{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}$$

は、 f がsin(π x )の倍数である場合にのみ等式となる。ここでπ はWirtinger の不等式における最適定数として現れ、固有値の変分的特徴付けを用いると、π が最小の波数となる。結果として、πは[0, 1]上の関数の空間（ソボレフ空間）における、両端で零となる微分作用素の最小の特異値となる。 ${\displaystyle H_{0}^{1}[0,1]}$

分析とトポロジー

上記で、πは円周と直径の比として定義されました。円周とは円周の円周を囲む弧の長さであり、幾何学とは独立して、微積分学の概念である極限を用いて正式に定義できる量です。^{[145]例えば、単位円の上半分の弧の長さは、}直交座標系で方程式⁠ ⁠によって与えられ、次のように積分として 直接計算できます。[ ^146]${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

$${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}}$$

このような積分はカール・ワイエルシュトラスによってπの定義として提案され、彼は1841年にそれを積分として直接定義した。^[d]

積分はもはや最初の解析的定義では一般的には使われていない。なぜなら、Remmert 2012 が説明しているように、大学のカリキュラムでは通常、微分積分が積分積分に先行するため、後者に依存しないπの定義を持つことが望ましいからである。そのような定義の 1 つは、Richard Baltzer ^[148]によって考案され、Edmund Landau [ ^149]によって普及されたものであり、次のようになる: πは、コサイン関数が 0 に等しい最小の正の数の 2 倍である。^{[3] [146] [4]} πはまた、サイン関数が 0 に等しい最小の正の数であり、サイン関数の連続する 0 間の差である。コサインとサインは、幾何学とは独立して、べき級数として^{[150]または}微分方程式の解として定義することができる。^[4]

同様の考え方で、πは複素変数zの複素指数関数exp zの性質を用いて定義できます。コサインと同様に、複素指数関数も複数の方法で定義できます。exp zが1となる複素数の集合は、以下の形式の（虚数）等差数列となります。

$${\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}}$$

そしてこの性質を持つ唯一の正の実数πが存在する。^{[146] [151]}

位相幾何学と代数学という洗練された数学的概念を用いた、同じ考え方のバリエーションとして、次の定理がある。^[152]実数群R / Zの整数を法とした加法群（円周群）から、絶対値1の複素数群への（自己同型を除いて ）連続同型が一意に存在する。πは、この準同型の導関数の大きさの半分として定義される。^[153]

不平等

ケルビン卿の伝説によれば、古代都市カルタゴは等周問題の解決策であった。 ^[154]ディド女王は、海に面した土地の残りのすべての側面を、細長く切った牛皮一枚で囲むことができた。

πは高次元解析における同様の固有値問題にも現れる。前述のように、πは等周不等式における最適な定数として特徴付けられる。すなわち、周囲長Pの平面ジョルダン曲線で囲まれた面積Aは、不等式を満たす 。

$${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},}$$

円の場合も等式が成立するのは明らかである。なぜなら、その場合A = π r ²、P = 2π rとなるからである。^[155]

最終的に、等周不等式の結果として、πはn次元の臨界ソボレフ不等式の最適定数に現れ、これは多くの物理現象、例えば古典ポテンシャル理論におけるπの役割を特徴づける。^{[156] [157] [158]} 2次元では、臨界ソボレフ不等式は

$${\displaystyle 2\pi \|f\|_{2}\leq \|\nabla f\|_{1}}$$

f がR ²にコンパクトな台を持つ滑らかな関数である場合、はfの勾配であり、と はそれぞれL ²ノルムとL ¹ノルムを指します。ソボレフの不等式は、最適な定数が同じである等周不等式（任意の次元）と等価です。 ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle \|f\|_{2}}$ ${\displaystyle \|\nabla f\|_{1}}$

ヴィルティンガーの不等式は、高次元ポアンカレ不等式にも一般化され、 n次元膜のディリクレエネルギーに対する最適な定数を与える。具体的には、πは、

$${\displaystyle \pi \leq {\frac {\left(\int _{G}|\nabla u|^{2}\right)^{1/2}}{\left(\int _{G}|u|^{2}\right)^{1/2}}}}$$

^直径1のRnの凸部分集合Gと、平均0のG上の平方積分可能な関数uに対して成り立つ。 ^{[159]ヴィルティンガーの不等式が1次元における}ディリクレ固有値問題の変分形式 であるのと同様に、ポアンカレ不等式は任意の次元における ノイマン固有値問題の変分形式である。

フーリエ変換とハイゼンベルクの不確定性原理

ハイゼンベルク群の測地線のアニメーション

定数πは、フーリエ変換における重要なスペクトルパラメータとしても現れます。これは、実数直線上の複素数値の積分可能な関数fを、以下のように定義される関数に 変換する積分変換です。

$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}$$

フーリエ変換とその逆変換にはいくつかの異なる慣例があるが、いずれの慣例もπを必ず どこかに含む。しかしながら、上記は最も標準的な定義であり、L ^{2上の唯一のユニタリ作用素を与え、これは}L ^1からL ^∞への代数準同型でもある。^[160]

ハイゼンベルクの不確定性原理にもπという数が含まれる。不確定性原理は、関数を空間と周波数の両方で局所化できる範囲について明確な下限を与える。フーリエ変換の慣例を用いると、

$${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.}$$

量子力学系の位置と運動量の同時観測における不確実性に関する物理的な帰結については、以下で議論する。フーリエ解析の式におけるπの出現は、究極的にはストーン＝フォン・ノイマンの定理の帰結であり、ハイゼンベルク群のシュレーディンガー表現の一意性を主張するものである。^[161]

ガウス積分

ガウス関数 ƒ ( x ) = e ^{− x 2}のグラフ。関数とx軸の間の色付き領域の面積は√ πです。

確率と統計の分野では、複雑な現象の単純なモデルとして正規分布が頻繁に用いられます。例えば、科学者は一般的に、ほとんどの実験における観測誤差は正規分布に従うと仮定しています。 ^[162]平均μと標準偏差σを持つ正規分布の確率密度関数であるガウス関数には、当然πが含まれます。 [ ^163]

$${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$$

の係数は 、確率分布に必要なように、fのグラフの下の面積を1にする。これはガウス積分における変数変換から導かれる。^[163]${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }},}$$

これは、図の基本的なベル曲線の下の面積がπの平方根に等しいことを示しています。

中心極限定理は、確率と統計における正規分布、ひいてはπの中心的役割を説明する。この定理は、ハイゼンベルクの不確定性原理に関連する固有値としてのπのスペクトル特性、そして不確定性原理において等式が成り立つのはガウス関数の場合のみであるという事実と究極的に結びついている。^[164]同様に、πはガウス正規分布e ^{−π × 2}をそれ自身のフーリエ変換に等しくする唯一の定数である。^[165]実際、ハウ（1980）によれば、フーリエ解析の基本定理を確立するという「仕事全体」は、ガウス積分に帰着する。^[161]

トポロジー

種数3、オイラー標数-4の曲面であるクライン四次曲面を、双曲面をファノ平面の対称群PSL(2,7)で割ったものとして統一化する。ガウス・ボネによれば、基本領域の双曲面積は8πである。

定数πは、曲面の微分幾何学とその位相を関連付けるガウス・ボネの公式に現れる。具体的には、コンパクト曲面Σがガウス曲率Kを持つ場合、

$${\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )}$$

ここでχ (Σ)はオイラー特性で整数である。^{[166]一例として、曲率1の球面}S の表面積が挙げられる（したがって、その曲率半径も1であり、球面の半径と一致する）。球面のオイラー特性はホモロジー群から計算でき、2であることが分かる。したがって、

$${\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi }$$

半径 1 の球の表面積の公式を再現します。

この定数は位相幾何学における他の多くの積分公式、特にチャーン・ヴェイユ準同型を介して特性類に関わる公式に現れる。^[167]

コーシーの積分公式

複素解析関数は、流線と等電位線の集合、つまり直角に交差する曲線群として視覚化できます。ここでは、ガンマ関数の複素対数を示します。

複素解析における重要なツールの一つは、正の向き（修正可能）ジョルダン曲線γ上の関数の路内積分である。コーシーの積分公式の一形式によれば、点z _0がγの内部にあるとき、^[168]

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.}$$

曲線γは円ではないため、定数πとの明確な関連性はないが、この結果の標準的な証明にはモレラの定理が用いられる。この定理は、積分が曲線のホモトピーに対して不変であることを示唆しており、したがって曲線を円に変形し、極座標で明示的に積分することができる。より一般的には、整流可能な閉曲線γ がz ₀を含まない場合、上記の積分は2π iに曲線の巻数をかけたものとなる。

コーシーの積分公式の一般形は、ジョルダン曲線γ上の複素解析関数 f ( z )の値とγの_任意の内部点z0におけるf ( z )の値との間の関係を確立する。^[169]

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0})}$$

ただし、f ( z )はγで囲まれた領域で解析的であり、γまで連続的に拡張される。コーシーの積分公式は留数定理の特別な場合であり、g ( z )が有理型関数で、 γで囲まれた領域がγの近傍で連続である場合、

$${\displaystyle \oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k})}$$

ここで、和はg ( z )の極における留数の合計である。

ベクトル解析と物理学

定数πはベクトル計算やポテンシャル理論のいたるところで使われており、例えばクーロンの法則^[170] やガウスの法則、マクスウェル方程式、さらにはアインシュタイン場の方程式[171]にも見られる。^{[ 172]} おそらくその最も単純な例は2次元ニュートンポテンシャルであり、これは原点における点源のポテンシャルを表し、その関連場は、その点源を囲む任意の滑らかで方向性のある閉表面を通る単位外向きの磁束を持つ。

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\log |\mathbf {x} |.}$$

の因子は、がにおけるポアソン方程式の基本解であることを保証するために必要である：^[173]${\displaystyle 1/2\pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle \Delta \Phi =\delta }$$

ここで、 はディラックのデルタ関数です。 ${\displaystyle \delta}$

高次元では、単位n球のn次元体積による正規化のため、πの因子が存在する。例えば、3次元では、ニュートン力学ポテンシャルは次のようになる。^[173]

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )=-{\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} |}},}$$

これは、分母に単位 2 次元球面の 2 次元体積 (つまり面積) を持ちます。

全曲率

この曲線の全曲率は6 π、回転数は3です。また、 pの周りの回転数は 2 で、 p を含まない追加のループがあります。

曲線の微分幾何学では、滑らかな平面曲線の全曲率は、始点から終点までの反時計回りの回転量（ラジアン単位）であり、符号付き曲率を弧の長さに対して積分して計算されます。

$${\displaystyle \int _{a}^{b}k(s)\,ds}$$

閉曲線の場合、この量は2πNに等しく、整数Nは曲線の回転数または指数と呼ばれます。Nは、弧長でパラメータ化された曲線のホドグラフの原点を中心とした回転数です。ホドグラフは単位円上にあり、元の曲線上の各点における正規化された接線ベクトルによって記述されます。同様に、Nは曲線上の各点をホドグラフ上の対応する点に写像する次数であり、曲面のガウス写像に類似しています。

ガンマ関数とスターリング近似

実軸上のガンマ関数のプロット

階乗関数は、 nまでのすべての正の整数の積です。ガンマ関数は、階乗の概念（通常は非負整数に対してのみ定義されます）を、負の実数を除くすべての複素数に拡張し、単位元 を持ちます。ガンマ関数を半整数で評価すると、結果にはπ が含まれます。例えば、と です。^[174]${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ ${\displaystyle \Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\sqrt {\pi }}}$ ${\textstyle \Gamma {\bigl (}{\tfrac {5}{2}}{\bigr )}={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}}$

ガンマ関数はワイエルシュトラスの積の展開によって定義される。^[175]

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{z/n}}{1+z/n}}}$$

ここで、γはオイラー・マスケローニ定数である。⁠ ⁠${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}}$ で評価し、2乗すると、式⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=\pi }$ はワリス積の公式に帰着する。ガンマ関数はリーマンゼータ関数とも関連しており、関数行列式の恒等式にも依存する。この関数行列式では定数π が重要な役割を果たす。

ガンマ関数は、ユークリッドn次元空間における半径rのn次元球の体積Vn( r )と、その境界である₍ n − 1)次元球の表面積Sn − 1 ( _{r )}を計算するために使用される。^[176]

$${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}r^{n},}$$

$${\displaystyle S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}r^{n-1}.}$$

さらに、関数方程式から次 の式が導かれる。

$${\displaystyle 2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.}$$

ガンマ関数は、大きなnに対する階乗関数n !の単純な近似値を作成するために使用できます。これはスターリング近似として知られています。^[177] 同様に、 ${\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

$${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.}$$

スターリング近似の幾何学的応用として、Δ _{n を}n次元ユークリッド空間の標準単体とし、( n  + 1)Δ _{n を}そのすべての辺をn  + 1倍した単体とします。すると、

$${\displaystyle \operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.}$$

エアハートの体積予想は、これが整数格子点を1つだけ含む凸体の体積の（最適な）上限であるというものである。^[178]

数論とリーマンゼータ関数

それぞれの素数には、円周上の算術的局所化であるプリューファー群が関連付けられている。解析的整数論のL関数も、それぞれの素数pに局所化されている。

ヴェイユ予想を用いたバーゼル問題の解法： ζ（２）の値はモジュラー群の基本領域の双曲面積にπ /2を掛けたものである。

リーマンゼータ関数 ζ ( s )は数学の多くの分野で用いられている。s = 2で評価すると、次のように書ける。

$${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }$$

この無限級数の簡単な解を見つけることは、数学ではバーゼル問題と呼ばれる有名な問題でした。レオンハルト・オイラーは1735年にこれを解き、それがπ ² /6に等しいことを示しました。^[77]オイラーの結果から、2つの乱数が互いに素である（つまり、共通の因数を持たない）確率は6/π ²に等しいという数論の結果が導かれます。^[179]この確率は、任意の数が素数pで割り切れる確率は1/ p 2であるという観察に基づいています（たとえば、7番目の整数はすべて7で割り切れます）。したがって、2つの数が両方ともこの素数で割り切れる確率は1/ p ²であり、少なくともそのうちの1つが割り切れない確率は1 − 1/ p ²です。異なる素数の場合、これらの割り切れるイベントは互いに独立しています。したがって、2つの数が互いに素である確率は、すべての素数の積で与えられます。^[180]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\[4pt]&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\[4pt]&={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}}$$

この確率は乱数発生器と組み合わせてモンテカルロ法を用いてπを近似するために使用することができます。 ^[181]

バーゼル問題の解は、幾何学的に導出された量πが素数の分布と深く結びついていることを意味する。これは、各素数pに局在する算術量と幾何学的量（ある局所対称空間の体積の逆数）との相似無限積が等しいことを主張する、玉川数に関するヴェイユ予想の特別な場合である。バーゼル問題の場合、それは双曲型3次元多様体SL ₂ ( R ) / SL ₂ ( Z )である。^[182]

ゼータ関数は、ガンマ関数だけでなく πも含むリーマン関数方程式も満たします。

$${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$$

さらに、ゼータ関数の導関数は

$${\displaystyle \exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.}$$

結果として、πは調和振動子の関数行列式から得られる。この関数行列式は積展開によって計算でき、ワリス積の公式と等価である。^{[183]​​ この計算は}量子力学、具体的には水素原子のスペクトルに対する変分アプローチを用い て再構成することができる。^[184]

フーリエ級数

πはp進数の指標（図示）に現れ、これはプリューファー群の元である。テイトの論文ではこの仕組みが多用されている。^[185]

定数πは周期関数のフーリエ級数にも自然に現れる。周期関数とは、実数の分数部からなる群T = R / Z上の関数である。フーリエ分解は、 T上の複素数値関数fがTの単位指標の無限線形重ね合わせとして表せることを示す。つまり、Tから単位係数複素数の円群U (1)への連続群準同型である。Tのあらゆる指標は複素指数関数のいずれかであるという定理がある。 ${\displaystyle e_{n}(x)=e^{2\pi inx}}$

Tには複素共役を除いて唯一の指標、すなわち群同型が存在する。円周群のハール測度を用いると、定数π はこの指標のラドン・ニコディム微分の大きさの半分になる。他の指標の微分の大きさは 2 πの正の整数倍である。^[153]結果として、定数πは、そのハール測度を備えた群Tが 2 πの整数倍の格子とポントリャギン双対となる唯一の数である。^[186] これは1次元ポアソン和公式の一種である。

フーリエ解析では、2 πではなくπという数も現れ、この違いが重要な結果をもたらすことがあります。基本指数はもはや群Tの指標ではなく、円周群を1回転した後、符号によってねじれています。これは射影表現として知られています。つまり、 Tではなくその二重被覆の表現です。これは最も基本的な射影表現であり、最も基本的なコンパクト群に関連付けられており、二重被覆を必要とする射影表現ではπ (2 πではなく) がよく現れます。たとえば、スピノルは物理学でこの動作を示し、符号によるねじれを伴う回転を表します。行列式が 1 の実数行列の群SL(2, R )の特定の表現も、ハイゼンベルク群の表現と同様に、この追加のねじれを必要とします。 ${\displaystyle e^{\pi ix}}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

モジュラー形式とシータ関数

シータ関数は楕円曲線の周期格子の下で変換されます。

定数πは、モジュラー形式やシータ関数の理論と深く結びついています。例えば、チュドノフスキー法は、楕円曲線のj不変量を本質的に含んでいます。

モジュラー形式は、上半平面上の正則関数であり、群⁠ ⁠内の格子であるモジュラー群（またはその様々な部分群）の下での変換特性によって特徴付けられる。例としてヤコビ・シータ関数が挙げられる。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz\ +\ \pi in^{2}\tau }}$$

これはヤコビ形式と呼ばれる一種のモジュラー形式である。^{[187]これは}ノーム という用語で書かれることもある。 ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

定数πは、ヤコビ・シータ関数を保型形式にする唯一の定数であり、これは特定の方法で変換されることを意味します。すべての保型形式には一定の恒等式が成り立ちます。例えば、

$${\displaystyle \theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau ),}$$

これは、θが離散ハイゼンベルク群の下で表現として変換されることを意味する。一般のモジュラー形式や他のシータ関数にもπが含まれるが、これもストーン・フォン・ノイマン定理によるものである。^[187]

コーシー分布とポテンシャル理論

アグネージの魔女は、マリア・アグネージ(1718-1799) にちなんで名付けられた、コーシー分布のグラフの幾何学的構成です。

コーシー分布はブラウン運動粒子の膜通過を制御します。

コーシー分布

$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}}$$

は確率密度関数である。積分により、全体の確率は1となる。

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi .}$$

コーシー分布のシャノンエントロピーはln(4π)に等しく、これもπを含みます。

コーシー分布は、最も単純なフルステンベルク測度であり、半平面におけるブラウン運動に関連する古典的なポアソン核であるため、ポテンシャル理論において重要な役割を果たしている。 ^[188]共役調和関数、そしてヒルベルト変換は、ポアソン核の漸近挙動と関連している。ヒルベルト変換Hは、特異積分のコーシー主値によって与えられる積分変換である。

$${\displaystyle Hf(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)\,dx}{xt}}.}$$

定数πは唯一の（正の）正規化因子であり、Hは実数値関数の平方可積分なヒルベルト空間上の線型複素構造を実数直線上で定義する。 ^{[189]ヒルベルト変換は、フーリエ変換と同様に、ヒルベルト空間}L ² ( R ) 上の変換特性によってのみ特徴付けることができる。正規化因子を除けば、ヒルベルト変換は、正の拡大と交換し、実数直線のすべての反射と反交換する唯一の有界線型演算子である。^[190] 定数πは、この変換をユニタリにする唯一の正規化因子である。

マンデルブロ集合において

マンデルブロ集合はπを近似するのに使用できます。

マンデルブロ集合と呼ばれるフラクタルにおけるπの出現は、1991年にデイヴィッド・ボルによって発見された。彼は、マンデルブロ集合の「ネック」である点（−0.75, 0）付近の挙動を調べた。点（−0.75, ε）における発散までの反復回数にεを乗じると、 εが0に近づくにつれて結果はπに近づく。マンデルブロ集合の右側にある大きな「谷」の尖端にある点（0.25 + ε , 0）も同様の挙動を示す。発散までの反復回数にεの平方根を乗じると、πに近づく。^[191]

数学以外

物理現象の記述

πは物理定数ではないものの、円や球座標系との関係から、物理現象を記述する方程式に頻繁に登場する。古典力学の分野における簡単な公式は、小さな振幅（gは地球の重力加速度）で振動する長さLの単振り子の周期Tのおおよその値を与える。 ^[192]

$${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}.}$$

量子力学の重要な公式の一つにハイゼンベルクの不確定性原理がある。これは、粒子の位置（ Δx ）と運動量（Δp ）の測定における不確定性は、同時に任意に小さくなることはできないことを示している（hはプランク定数）。^[193]

$${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.}$$

πが約3に等しいという事実は、オルトポジトロニウムの比較的長い寿命に関係している。微細構造定数 αの最低位に対する逆寿命は^[194]である。

$${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m_{\text{e}}\alpha ^{6},}$$

ここで、m _eは電子の質量です。

πは、オイラーによって導かれた座屈公式など、いくつかの構造工学公式に登場します。この公式は、長さL、弾性係数E、断面モーメントIの細長い柱が座屈することなく支えることができる最大軸荷重F^{を与えます。 [195]}

$${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.}$$

流体力学の分野では、ストークスの法則にπが含まれており、これは、動粘性ηの流体中を速度vで運動する半径Rの小さな球状物体に働く摩擦力Fを近似するものである。^[196]

$${\displaystyle F=6\pi \eta Rv.}$$

電磁気学において、真空透磁率定数μ ₀は、電場、磁場、電磁放射の特性を記述するマクスウェル方程式に現れる。2019年5月20日以前は、次のように定義されていた。

$${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}{\text{H/m}}\approx 1.2566370614\ldots \times 10^{-6}{\text{N/A}}^{2}.}$$

数字を記憶する

円周率学とは、円周率の膨大な桁数を暗記する習慣であり、^[197]ギネス世界記録に認定されている。ギネス世界記録に認定されている円周率の暗記記録は、2015年3月21日にインドでラジヴィール・ミーナが9時間27分かけて暗唱した7万桁である。^[198] 2006年には、引退した日本人エンジニアの原口明が、小数点以下10万桁を暗唱したと主張したが、ギネス世界記録によってその主張は検証されなかった。^[199]

よくある方法の一つは、物語や詩を暗記することです。その際、単語の長さがπの桁を表します。最初の単語は3文字、2番目の単語は1文字、3番目の単語は4文字、4番目の単語は1文字、5番目の単語は5文字、というように続きます。このような暗記補助はニーモニックと呼ばれます。円周率のニーモニックの初期の例として、イギリスの科学者ジェームズ・ジーンズが考案した「量子力学に関する重苦しい講義の後には、お酒が飲みたくなる。もちろんアルコール飲料だ」があります。^[197]詩が使われる場合は、パイエムと呼ばれることもあります。^[200] πを暗記するための詩は、英語に加えていくつかの言語で作られています。^[197] 記録的なπ暗記をする人は、通常、詩に頼るのではなく、数のパターンを覚えたり、場所法を使ったりするなどの方法を用います。^[201]

少数の著者は、 πの数字を用いて、 πの数字を表す語の長さを規定する新しい形式の制約文法を確立した。カダエック・カデンツァは、この方法でπの最初の3835桁を収録している^[202]。また、長編小説『Not a Wake』には1万語が収録されており、各語はπの1桁を表している^[203]。

大衆文化において

円周率のパイ。多くのパイは円形で、「パイ」と「π」は同音異義語なので、パイは円周率に関する語呂合わせの題材としてよく使われます。

おそらくその定義の単純さと数式における普遍的な存在のため、πは他の数学的構成よりも大衆文化の中で表現されてきました。^[204]

パレ・ド・ラ・デクーヴェルト（パリの科学博物館）には、円周率の部屋として知られる円形の部屋があります。その壁には707桁のπが刻まれています。これらの数字は、ドーム状の天井に取り付けられた大きな木製の文字です。これらの数字は、1873年にイギ​​リスの数学者ウィリアム・シャンクスが行った計算に基づいていますが、528桁目から誤りがありました。この誤りは1946年に発見され、1949年に修正されました。^[205]

カール・セーガンの1985年の小説『コンタクト』では、宇宙の創造主がπの数字の奥深くにメッセージを埋め込んだと示唆されています。この部分は小説の映画化では省略されました。 ^[206] πの数字は、ケイト・ブッシュの2005年のアルバム『エアリアル』に収録されている曲「Pi」の歌詞にも取り入れられています。^[207] 1967年の『スタートレック』のエピソード「ウルフ・イン・ザ・フォールド」では、悪魔に取り憑かれたコンピューターが「 πの値を最後の桁まで計算せよ」という指示によって閉じ込められます。^[32]

アメリカ合衆国では、円周率の日（パイデー）は3月14日（米国式では3/14）で、学生の間で人気があります。^[32] πとそのデジタル表現は、自称「数学オタク」の間で、数学やテクノロジーに興味のあるグループ内でのジョークとしてよく使われます。マサチューセッツ工科大学やレンセラー工科大学でよく使われる応援歌には「3.14159」が含まれています。^[208] 2015年の円周率の日が特に重要だったのは、2015年3月14日9時26分53秒という日時が、円周率の桁数をより多く反映していたためです。^[209]日付を日/月/年の形式で表記するのが一般的である地域では、7月22日は「円周率近似の日」であり、22/7 ≈ 3.142857となります。^[210]

πをτ = 2πに置き換える ことを提案する人もいます。τは1回転のラジアン数、つまり円周と半径の比であるため、πよりも自然で多くの式を簡素化できると主張しています。^{[211] [212]}このτの使用は主流の数学には取り入れられていませんが、^[213] 2010年以降、6月28日を2πの日またはタウの日として祝うようになりました。^[214]

1897年、あるアマチュア数学者がインディアナ州議会を説得し、円周率法（Indiana Pi Bill）を可決させようとした。この法案は円周率を2乗する方法を規定したもので、 πの値が3.2など様々な点で誤っていることを示唆する文言が含まれていた。この法案は、立法府の命令によって数学定数の値を確立しようとする試みとして悪名高い。この法案はインディアナ州下院で可決されたが、上院で否決されたため、法律にはならなかった。^[215]

現代のインターネット文化では、個人や組織がしばしばπという数字に敬意を払っています。例えば、コンピュータ科学者の ドナルド・クヌースは、自身のプログラムTeXのバージョン番号をπに近づけました。バージョン番号は3、3.1、3.14などです。^[216]

参照

• 数学定数のリスト
• πの計算の年表

参考文献

説明ノート

1. アルキメデスは、単位円に内接する正多角形の辺の数が無限大に近づくときの周囲の極限の半分としてπ を計算した。
2. 示されている多項式は、正弦関数のテイラー級数展開の最初のいくつかの項です。
3. これらの中間のものは、17 世紀半ばの数学者ウィリアム・ブラウンカーによるものです。§ブラウンカーの公式を参照してください。
4. ワイエルシュトラスが使用した特定の積分は^[147]
   $${\displaystyle \pi =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}.}$$

引用

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    ${\displaystyle {\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=}$
    
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さらに読む

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• デラエ、ジャン＝ポール(1997)。Le fascinant nombre π。パリ：プール・ラ・サイエンス図書館。ISBN 2-902918-25-9。

外部リンク

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• π検索エンジンπ、e、√2の20億桁を検索可能
• 格子点によるπの近似と長方形と台形によるπの近似（インタラクティブなイラスト）