ガウス曲率
左から右へ：負のガウス曲率の面（双曲面）、ガウス曲率ゼロの面（円柱面）、正のガウス曲率の面（球面）。
トーラス上のいくつかの点は正のガウス曲率を持ち、いくつかの点は負のガウス曲率を持ち、いくつかの点はガウス曲率がゼロです。

微分幾何学において、 3次元空間内の滑らかな表面のある点におけるガウス曲率またはガウス曲率Κ は、その点における 主曲率κ 1とκ 2の積である。 たとえば、半径rの球面のガウス曲率は⁠K＝κ1κ2.{\displaystyle K=\kappa _{1}\kappa _{2}.}1/r 2⁠ はどこでもガウス曲率ゼロであり、平面と円柱はどこでもガウス曲率がゼロです。ガウス曲率は、双曲面やトーラスの内部、

ガウス曲率は曲率の本質的な尺度であり、原理的には曲面内に完全に存在する2次元の存在によって測定可能であることを意味する。なぜなら、ガウス曲率はユークリッド空間における等長的な埋め込み方ではなく、曲面「内」または曲面に沿って測定される距離のみに依存するからである。これがエグレギウム定理の内容である。

ガウス曲率は、 1827 年に「 Theorema Egregium」を出版したカール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられました。

非公式な定義

主曲率の方向に法線平面を持つ鞍面

面上の任意の点において、面に対して直角な法線ベクトルが存在します。法線ベクトルを含む平面は法平面と呼ばれます。法平面と面の交点は法線断面と呼ばれる曲線を形成し、この曲線の曲率が法曲率です。ほとんどの「滑らかな」面上のほとんどの点では、法線断面が異なると曲率も異なります。これらの最大値と最小値は主曲率と呼ばれ、それぞれκ 1、κ 2とします。ガウス曲率は、2つの主曲率Κ = κ 1 κ 2の積です。

ガウス曲率の符号は表面を特徴付けるために使用できます。

  • 両方の主曲率が同じ符号、すなわちκ 1 κ 2 > 0である場合、ガウス曲率は正となり、曲面は楕円点を持つといわれる。このような点では、曲面はドーム状となり、局所的には接面の片側に位置する。すべての断面曲率は同じ符号を持つ。
  • 主曲率の符号が異なる場合（κ 1 κ 2 < 0 ）、ガウス曲率は負となり、曲面は双曲点または鞍点を持つと言われます。このような点では、曲面は鞍型になります。一方の主曲率は負、もう一方の主曲率は正であり、また、曲面に直交する平面を法線を中心に2方向に回転させると法曲率は連続的に変化するため、その点における漸近曲線は法曲率がゼロになります。
  • 主曲率の 1 つが 0 の場合: κ 1 κ 2 = 0、ガウス曲率は 0 であり、曲面は放物点を持つと言われます。

ほとんどのサーフェスには、放物線と呼ばれるガウス曲率ゼロの点の曲線によって分離された、正のガウス曲率の領域 (楕円点) と負のガウス曲率の領域が含まれます。

幾何学との関係

曲面が一定のガウス曲率ゼロを持つ場合、それは可展面であり、その曲面の幾何学はユークリッド幾何学です

曲面が一定の正のガウス曲率を持つ場合、その曲面の幾何学は球面幾何学です。球面や球面のパッチはこの幾何学を持ちますが、レモンやアメリカンフットボールなど、他にも例があります。

面が一定の負のガウス曲率を持つ場合、それは擬球面であり、面の幾何学は双曲幾何学です。

主曲率との関係

曲面上の任意の点における2つの主曲率は、その点における形状演算子の固有値です。これらは、その点から異なる方向に、曲面がどの程度異なる量で曲がるかを測定します。暗黙関数定理を用いて、曲面を2変数関数fのグラフとして表します。この場合、点pは臨界点、つまりfの勾配がゼロになります（これは適切な剛体運動によって常に達成できます）。すると、 pにおける曲面のガウス曲率は、fの2 x 2ヘッセ行列の行列式になります（ヘッセ行列の固有値の積）。 (ヘッセ行列は2 次導関数の対称行列であり、ユークリッド空間では、H がその共役転置に等しい場合、つまり H が実数である場合に制限されるスペクトル定理の特殊なケースを介して対角化可能であることを思い出してください) この定義により、カップ/キャップと鞍点の違いをすぐに把握できます。

代替定義

これは次のようにも与えられます。 ここ で、∇ i = ∇ e iは共変微分、gは計量テンソルですK＝⟨（∇2∇1−∇1∇2）e1、e2⟩detg,{\displaystyle K={\frac {{\bigl \langle }(\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}{\bigr \rangle }}{\det g}},}

R 3の正則面上の点pでは、ガウス曲率は次のように表されます 。 ここで、Sは形状演算子です。 K(p)=detS(p),{\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det S(\mathbf {p} ),}

ガウス曲率の便利な公式は、等温座標のラプラシアンに関するリウヴィルの方程式です。

全曲率

負の曲率を持つ面上の三角形の角度の和は、平面三角形の角度の和よりも小さくなります

曲面のある領域におけるガウス曲率の面積分は、全曲率と呼ばれます。測地三角形の全曲率は、その角度の和のπからの偏差に等しくなります。正の曲率の曲面上の三角形の角度の和はπを超えますが、負の曲率の曲面上の三角形の角度の和はπ未満になります。ユークリッド平面などの曲率ゼロの曲面上では、角度の合計はちょうどπラジアンになります。 より一般的な結果は、ガウス・ボネの定理です。 ∑i=13θi=π+∬TKdA.{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.}

重要な定理

エグレギウム定理

ガウスの定理エグレギウム（ラテン語で「注目すべき定理」）は、曲面のガウス曲率は、その曲面自体の長さの測定から決定できると述べています。実際、第一基本形式に関する完全な知識があれば、第一基本形式とその1階および2階の偏微分によってガウス曲率を求めることができます。同様に、 R 3における曲面の第二基本形式の行列式も同様に表現できます。この定理の「注目すべき」、そして驚くべき特徴は、R 3における曲面Sのガウス曲率の定義は、曲面が空間内に位置する方法に確かに依存しますが、最終的な結果であるガウス曲率自体は、周囲の空間を参照することなく、曲面の固有の計量によって決定されることです。つまり、ガウス曲率は固有の不変量です。特に、ガウス曲率は曲面の 等長変形に対して不変です。

現代微分幾何学において、「曲面」は抽象的に見ると、2次元の微分可能多様体である。この観点を古典的な曲面理論と結び付けるために、このような抽象的な曲面はR 3に埋め込まれ、第一基本形式によって与えられるリーマン計量を備える。埋め込みの像がR 3の曲面Sであるとする。局所等長写像とは、 R 3の開領域間の微分同相写像f  : U → Vであり、そのS ∩ Uへの制限はその像への等長写像となる。したがって、 Theorema egregiumは次のように述べられる。

R 3に埋め込まれた滑らかな表面のガウス曲率は、局所等長変換に対して不変です。

例えば、円筒形のガウス曲率はゼロで、「展開された」円筒形（平らな円筒形）の場合と同じです。[ 1 ]一方、半径Rの球面は一定の正の曲率R -2を持ち、平面は一定の曲率0を持つため、これら2つの面は等長面ではなく、局所的にも同様です。したがって、球面のごく一部であっても、平面表現は距離を歪ませることになります。したがって、完璧な地図投影は存在しません。

ガウス・ボネ定理

ガウス・ボネ定理は、曲面の全曲率とそのオイラー特性を関連付け、局所的な幾何学的性質と大域的な位相的性質の間に重要なつながりを提供します

∫MKdA+∫∂Mkgds=2πχ(M),{\displaystyle \int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi \chi (M),\,}

一定曲率の曲面

どちらも一定の正のガウス曲率を持ちますが、境界が開いているか、特異点がある 2 つのサーフェス。
  • ミンディングの定理（1839）は、同じ一定曲率Kを持つすべての曲面は局所等長であると述べています。ミンディングの定理の帰結として、曲率が常にゼロである任意の曲面は、ある平面領域を曲げることによって構成できます。このような曲面は可展面と呼ばれます。ミンディングはまた、一定の正の曲率を持つ閉曲面が必ずしも剛体であるかどうかという疑問も提起しました
  • リープマンの定理（1900）はミンディングの問いに答えた。R 3において、正の定常ガウス曲率を持つ（C 2 クラスの）正則閉曲面は球面のみである。[ 2 ]球面を変形すると球面ではなくなるため、球面は剛体であることが証明される。標準的な証明は、非臍点が非正のガウス曲率を持つというヒルベルトの補題を用いる。 [ 3 ]
  • ヒルベルトの定理（1901）は、 R 3に定数負ガウス曲率を持つ完全な解析的（ C ω類）正則曲面は存在しないことを述べている。実際、この結論はR 3に浸漬されたC 2類の曲面にも成立するが、 C 1曲面では成立しない。擬球面は、境界円を除いて定数負ガウス曲率を持つ。境界円ではガウス曲率は定義されない。

正の定ガウス曲率を持つ曲面は他にも存在します。マンフレド・ド・カルモは、 、（第二種不完全楕円積分）となる回転面を考察しています。これらの曲面はすべて定ガウス曲率1を持ちますが、 については境界または特異点を持ちます。ド・カルモはまた、負の定ガウス曲率を持つ曲面の3つの異なる例を示しており、そのうちの1つが擬球です。[ 4 ](ϕ(v)cos⁡(u),ϕ(v)sin⁡(u),ψ(v)){\displaystyle (\phi (v)\cos(u),\phi (v)\sin(u),\psi (v))}ϕ(v)=Ccos⁡v{\displaystyle \phi (v)=C\cos v}ψ(v)=∫0v1−C2sin2⁡v′ dv′{\textstyle \psi (v)=\int _{0}^{v}{\sqrt {1-C^{2}\sin ^{2}v'}}\ dv'}C≠1{\displaystyle C\neq 1}

定ガウス曲率を持つ有界面は他にも数多く存在します。球面は剛体であり、等長変換を用いて曲げることはできませんが、小さな領域を除去したり、小さな線分に沿って切断したりすることで、結果として得られる面を曲げることができます。このような曲げはガウス曲率を保存するため、領域を除去した球面を曲げても、定ガウス曲率を持つことになります。[ 5 ]

代替公式

  • R 3における曲面のガウス曲率は、第2基本形式IIと第1基本形式Iの行列式の比として表すことができますK=det(II)det(I)=LN−M2EG−F2.{\displaystyle K={\frac {\det(\mathrm {I\!I} )}{\det(\mathrm {I} )}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.}
  • そのブリオスキの公式（フランチェスコ・ブリオスキ）は、ガウス曲率を第一基本形式のみで与えますK=|−12Evv+Fuv−12Guu12EuFu−12EvFv−12GuEF12GvFG|−|012Ev12Gu12EvEF12GuFG|(EG−F2)2{\displaystyle K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{\left(EG-F^{2}\right)^{2}}}}
  • 直交パラメータ化（F = 0 ）の場合、ガウス曲率は次のようになります。K=−12EG(∂∂uGuEG+∂∂vEvEG).{\displaystyle K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right).}
  • 二変数関数z = F ( x , y )のグラフとして記述される曲面の場合、ガウス曲率は次のようになる: [ 6 ]K=Fxx⋅Fyy−Fxy2(1+Fx2+Fy2)2{\displaystyle K={\frac {F_{xx}\cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{2}}}}
  • 暗黙的に定義された曲面F ( x , y , z ) = 0の場合、ガウス曲率は勾配∇Fとヘッセ行列H ( F )で表すことができます。[ 7 ] [ 8 ]K=−|H(F)∇FT∇F0||∇F|4=−|FxxFxyFxzFxFxyFyyFyzFyFxzFyzFzzFzFxFyFz0||∇F|4{\displaystyle K=-{\frac {\begin{vmatrix}H(F)&\nabla F^{\mathsf {T}}\\\nabla F&0\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\\F_{xy}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\\F_{xz}&F_{yz}&F_{zz}&F_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\\\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}}
  • ユークリッド距離に等角な曲面、つまりF = 0かつE = G = e σの場合、ガウス曲率は次のように表されます（Δは通常のラプラス演算子です）。K=−12eσΔσ.{\displaystyle K=-{\frac {1}{2e^{\sigma }}}\Delta \sigma .}
  • ガウス曲率は、測地円の円周と平面上の円周の差の限界値である。 [ 9 ]K=limr→0+32πr−C(r)πr3{\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}}
  • ガウス曲率は、測地円板と平面内の円板の面積の極限差である。 [ 9 ]K=limr→0+12πr2−A(r)πr4{\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}}
  • ガウス曲率はクリストッフェル記号で表すことができる：[ 10 ]K=−1E(∂∂uΓ122−∂∂vΓ112+Γ121Γ112−Γ111Γ122+Γ122Γ122−Γ112Γ222){\displaystyle K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}

参照

参考文献

  1. ^ポーテウス、IR（1994年）。『幾何微分法』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-39063-X。
  2. ^キューネル、ヴォルフガング (2006).微分幾何学：曲線、曲面、多様体. アメリカ数学会. ISBN 0-8218-3988-8。
  3. ^グレイ、アルフレッド(1997). 「28.4 ヒルベルトの補題とリープマンの定理」. Mathematica による曲線と曲面の現代微分幾何学（第2版）. CRC Press.  652– 654ページ. ISBN 9780849371646。。
  4. ^カルモ、マンフレド・ペルディゴン・ド (2016) [1976].曲線と曲面の微分幾何学（第2版）. ミネオラ、ニューヨーク州: ドーバー出版. p. 171. ISBN 978-0-486-80699-0– zbMATH経由
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  7. ^ Goldman, R. (2005). 「暗黙曲線および曲面の曲率公式」.コンピュータ支援幾何学設計. 22 (7): 632– 658. CiteSeerX 10.1.1.413.3008 . doi : 10.1016/j.cagd.2005.06.005 . 
  8. ^スピヴァック、M. (1975). 『微分幾何学入門』第3巻. ボストン: Publish or Perish.
  9. ^ a bベルトラン・ディケ・ピュイズーの定理
  10. ^ Struik, Dirk (1988). Lectures on Classical Differential Geometry . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65609-8。

書籍

  • グリンフェルド, P. (2014).テンソル解析と移動面の微積分入門. シュプリンガー. ISBN 978-1-4614-7866-9。
  • ロヴェッリ、カルロ（2021年）『一般相対性理論のエッセンス』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-009-01369-7。
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