ラプラス変換

数学 において、ラプラス変換は、ピエール＝シモン・ラプラス（/ l ə ˈ p l ɑː s /）にちなんで名付けられ、実変数関数（通常は⁠ ⁠、時間領域）を複素変数関数（複素数値周波数領域、 s領域またはs平面とも呼ばれる）に変換する積分変換です。これらの関数は、時間領域関数には小文字の記号、周波数領域関数には対応する大文字の記号を使用して表記されることがよくあります（例： および⁠ ⁠ ）。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(s)}$

この変換は、時間領域における微分と積分を、ラプラス領域におけるはるかに簡単な乗算と除算に変換するのに有用である（対数が乗算と除算を加算と減算に簡略化するのと同様に）。この変換は科学技術において多くの応用があり、主に常微分方程式と積分方程式を代数多項式方程式に簡略化し、畳み込みを乗算に簡略化することで、線形微分方程式^{[ 1 ]}や動的システムを解くためのツールとして用いられている。^{[ 2 ] [ 3 ]}

例えば、ラプラス変換によって、単振動子の方程式（フックの法則）は、初期条件と⁠ ⁠を含む代数方程式に変換され、未知関数について解くことができます。解いた後、逆ラプラス変換を用いて元の領域に変換することができます。これは、以下に 示すような表を参照することで容易に行うことができます。 $${\displaystyle x''(t)+kx(t)=0}$$ $${\displaystyle s^{2}X(s)-sx(0)-x'(0)+kX(s)=0,}$$ ${\displaystyle x(0)}$ ${\displaystyle x'(0)}$ ${\displaystyle X(s).}$

ラプラス変換は（適切な関数⁠ ⁠${\displaystyle f}$ に対して）積分 によって定義されます。 ここで、sは複素数です。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$

ラプラス変換は他の多くの変換と関連しています。メリン変換と本質的に同じであり、フーリエ変換と密接に関連しています。フーリエ変換とは異なり、関数のラプラス変換は解析関数であることが多いです。つまり、収束するべき級数を持ち、その係数は元の関数のモーメントを表します。さらに、複素解析の手法、特に線積分は計算を簡素化するために使用できます。

歴史

ラプラス侯爵ピエール＝シモン

ラプラス変換は、確率論の研究で同様の変換を使用した数学者で天文学者のピエール・シモン・ラプラス侯爵にちなんで名付けられました。^{[ 4 ] [ 5 ]}ラプラスは生成関数の使用について広範囲に渡って著作を残し （1814年）、その結果としてラプラス変換の積分形式が自然に発展しました。^{[ 6 ]}

ラプラスの母関数の使用は、現在Z変換として知られているものと似ており、ニールス・ヘンリク・アーベルが議論した連続変数のケースにはほとんど注意を払っていなかった。^{[ 7 ]}

1744年より、レオンハルト・オイラーは微分方程式の解として形式の積分を研究し 、特にガンマ関数を導入した。^{[ 8 ]}ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュはオイラーの崇拝者であり、確率密度関数の積分に関する研究において、 ラプラス変換に似た形式の表現を研究した 。 ^{[ 9 ] [ 10 ]}$${\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ と }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx}$$ $${\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,}$$

この種の積分は、1782年に初めてラプラスの注目を集めたようで、彼はオイラーの精神に倣い、積分自体を方程式の解として用いていた。^{[ 11 ]}しかし、1785年にラプラスは、単に積分の形で解を探すのではなく、後に普及する意味で変換を適用し始めたことで、決定的な一歩を踏み出した。彼は、 メリン変換 に似た形の積分を用いて差分方程式全体を変換し、変換された方程式の解を探した。その後、彼はラプラス変換を同じように適用してその特性のいくつかを導き出し、その潜在的な力を理解し始めた。^{[ 12 ]}$${\displaystyle \int x^{s}\varphi (x)\,dx,}$$

ラプラスはまた、ジョセフ・フーリエのフーリエ級数法による拡散方程式の解法は、その解が周期的であるため、限られた空間領域にしか適用できないことを認識していました。1809年、ラプラスはこの変換を用いて、空間に無限に拡散する解を求めました。^{[ 13 ]} 1821年、コーシーはラプラス変換の演算法を開発し、これは現在基礎工学で使用されているのとほぼ同じ方法で線型微分方程式の研究に使用できました。この方法は、世紀の変わり目頃にオリバー・ヘヴィサイドによって普及し、おそらく再発見されました。 ^{[ 14 ]}

ベルンハルト・リーマンは1859年の論文『与えられた大きさより小さい素数の個数について』でラプラス変換を用い、その中で反転定理も導出した。リーマンはラプラス変換を用いてリーマンゼータ関数の関数方程式を導出し、彼の手法は今でもヤコビ・シータ関数のモジュラー変換則をこの関数方程式に関連付けるのに用いられている。ヤコビ・シータ関数のモジュラー変換則はポアソン和によって簡単に証明できる。^{[ 15 ]}

20世紀初頭、ヤルマー・メリンはカール・ワイエルシュトラス流の解析学派においてラプラス変換を厳密に研究し、それを微分方程式や特殊関数の研究に応用した最初の研究者の一人であった。 ^{[ 16 ]} 同じ頃、ヘヴィサイドは演算計算に取り組んでいた。 トーマス・ヨハンネス・スティルチェスは、モーメントに関する研究に関連してラプラス変換の一般化を検討した。この時期の他の貢献者には、マティアス・レルヒ、^{[ 17 ]}オリバー・ヘヴィサイド、トーマス・ブロムウィッチなどがいた。^{[ 18 ]}

1929年、ヴァネヴァー・ブッシュとノーバート・ウィーナーは、フーリエ変換と演算法の両方を適用した電気回路の工学解析のテキストとして演算回路解析を出版し、その中に現代のラプラス変換表の最初の前身の1つを含めました。 1934年、レイモンド・ペイリーとノーバート・ウィーナーは、現在ラプラス変換と呼ばれているものについての重要な著作、複素領域におけるフーリエ変換を出版しました（下記参照）。 また1930年代には、ラプラス変換はGHハーディとジョン・エデンサー・リトルウッドによるタウバー定理の研究に役立ち、この応用は後にウィダー（1941年）によって詳しく説明され、ウィダーは反転の新しい方法など理論の別の側面を発展させました。 エドワード・チャールズ・ティッチマーシュは、影響力のあるフーリエ積分理論の入門書（1937年）を執筆しました。

この変換が現在（主に工学分野で）広く利用されるようになったのは、第二次世界大戦中およびその直後であり、^{[ 19 ]}以前のヘヴィサイドの演算法に取って代わったためである。ラプラス変換の利点はグスタフ・デーチ^{[ 20 ]}によって強調されており、ラプラス変換という名称は彼に由来すると思われる。

正式な定義

${\displaystyle \Re (e^{-st})}$ s領域における様々な複素周波数は次のように表すことができます。軸には純粋な余弦が含まれます。正の軸には減衰余弦が含まれます。負の軸には指数関数的に増加する余弦が含まれます。${\displaystyle (s=\sigma +i\omega ),}$ ${\displaystyle e^{-\sigma t}\cos(\omega t).}$ ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

関数f ( t )のラプラス変換は、すべての実数t ≥ 0に対して定義され、関数F ( s )であり、これは次のように定義される片側変換である。

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$    （式1）

ここで、sは 実数σとωを持つ複素周波数領域パラメータ です。 $${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$$

ラプラス変換の別の表記法は${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$ Fの代わりに を用いる。^{[ 3 ]}関数記法では となる。これは、特に工学分野では、ダミー変数が関数⁠ ⁠には現れないことを理解した上で、 ⁠ ⁠と表記されることが多い。 ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)}$ ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F(s)}$

積分の意味は、対象となる関数の種類によって異なります。積分が存在するための必要条件は、f が[0, ∞)上で局所的に積分可能であることです。無限大で減少する、または指数型( ⁠ ⁠ )である局所的に積分可能な関数の場合、積分は（適切な）ルベーグ積分であると理解できます。ただし、多くの用途では、これを∞で条件付き収束する不適切積分と見なす必要があります。さらに一般的には、積分は弱い意味で理解することができ、これについては以下で扱います。 ${\displaystyle \vert f(t)\vert \leq Ae^{B\vert t\vert }}$

有限ボレル測度μのラプラス変換はルベーグ積分によって定義できる^{[ 21 ]}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).}$$

重要な特別なケースとして、μが確率測度、例えばディラックのデルタ関数である場合が挙げられます。演算計算では、測度のラプラス変換は、その測度が確率密度関数fから得られたものとして扱われることがよくあります。その場合、混乱を避けるため、 と書くことがよくあります。 ここで、 0 ⁻ の下限はの略記です。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}$$

この極限は、0に位置する任意の質点がラプラス変換によって完全に捉えられることを強調しています。ルベーグ積分においてはこのような極限を取る必要はありませんが、ラプラス・スティルチェス変換と関連付けるとより自然に現れます。

両側ラプラス変換

「ラプラス変換」と限定なしに言う場合、通常は片側変換を指します。ラプラス変換は、積分の極限を実軸全体に拡張することで、両側ラプラス変換、または両側ラプラス変換と定義することもできます。その場合、一般的な片側変換は単に両側変換の特殊なケースとなり、変換される関数の定義にはヘビサイドの階段関数が乗算されることが含まれます。

双対ラプラス変換F ( s )は次のように定義されます。

${\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$    （式2）

両側ラプラス変換の代替表記は、 Fではなく⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}}$ です。

逆ラプラス変換

二つの可積分関数が同一のラプラス変換を持つのは、ルベーグ測度零点の集合において両者が異なる場合に限られます。これは、変換の値域において逆変換が存在することを意味します。実際、ラプラス変換は可積分関数だけでなく、他の多くの関数空間においても、ある関数空間から別の関数空間への一対一写像です。ただし、その値域を容易に特徴付けることは通常できません。

これが成り立つ典型的な関数空間としては、有界連続関数の空間、L ^∞ (0, ∞)、あるいはより一般的には(0, ∞)上の緩和超関数の空間が挙げられる。ラプラス変換もまた定義され、緩和超関数の適切な空間に対して単射である。

これらの場合、ラプラス変換の像は収束領域における解析関数の空間に存在します。逆ラプラス変換は、以下の複素積分で与えられ、これは様々な名前（ブロムウィッチ積分、フーリエ・メリン積分、メリンの逆公式など） で知られています。

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds,}$    （式3）

ここでγは実数であり、積分の収束経路はF ( s )の収束領域内にあります。ほとんどの応用では、収束経路は閉じているため、留数定理を使用することができます。逆ラプラス変換の別の公式は、ポストの逆変換公式によって与えられます。ここでの極限は、弱*位相で解釈されます。

実際には、ラプラス変換をテーブルから取得した関数の既知の変換に分解し、検査によって逆変換を構築する方が通常は便利です。

確率論

純粋確率および応用確率において、ラプラス変換は期待値として定義されます。Xが確率密度関数fを持つ確率変数である場合、 fのラプラス変換は期待値で与えられます 。 ここで、は確率変数⁠ ⁠の期待値です。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right],}$$ ${\displaystyle \operatorname {E} [r]}$ ${\displaystyle r}$

慣例により、これは確率変数X自体のラプラス変換と呼ばれます。ここで、sを-tに置き換えると、 Xのモーメント生成関数が得られます。ラプラス変換は、マルコフ連鎖などの確率過程の初通過時間や再生理論など、確率論全般に応用されています。

特に有用なのは、ラプラス変換によって連続確率変数Xの累積分布関数を次のように復元できることである。 ^{[ 22 ]}$${\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}(x).}$$

代数的構成

ラプラス変換は、正半直線上の関数の畳み込み環に分数体構成を適用することで、純粋に代数的に定義することもできる。結果として得られる抽象作用素の空間はラプラス空間と全く同じであるが、この構成では順方向変換と逆方向変換を明示的に定義する必要がない（収束性の証明に伴う困難を回避するため）。^{[ 23 ]}

収束領域

fが局所的に積分可能な関数（またはより一般的には局所的に有界な変化のボレル測度）である場合、 fのラプラス変換F（s）は極限が 存在する限り収束します。 $${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$$

ラプラス変換は、積分が真のルベーグ積分として存在する場合、 絶対収束します 。ラプラス変換は通常、条件付き収束と理解されており、前者の意味では収束しますが、後者の意味で収束しません。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$$

F ( s )が絶対収束する値の集合は、Re( s ) > aまたはRe( s ) ≥ aの形式のいずれかであり、ここでa は、 −∞ ≤ a ≤ ∞を満たす拡張された実定数です(優勢収束定理の結果)。定数aは絶対収束の横座標として知られ、f ( t )の増加動作に依存します。^{[ 24 ]}同様に、両側変換は、 a < Re( s ) < bの形式の帯で絶対収束し、おそらくRe( s ) = aまたはRe( s ) = bの線を含みます。^{[ 25 ]}ラプラス変換が絶対収束するsの値のサブセットは、絶対収束領域、または絶対収束の定義域と呼ばれます。両側の場合、これは絶対収束帯と呼ばれることもあります。ラプラス変換は絶対収束の領域では解析的です。これは、フビニの定理とモレラの定理の結果です。

同様に、 F ( s ) が（条件付きまたは絶対的に）収束する値の集合は、条件付き収束領域、または単に収束領域（ROC）と呼ばれます。ラプラス変換がs = s ₀で（条件付きで）収束する場合、 Re( s ) > Re( s ₀ )を満たすすべてのsに対して自動的に収束します。したがって、収束領域はRe( s ) > aの形をした半平面であり、境界線Re( s ) = a 上のいくつかの点を含む可能性があります。

収束領域Re( s ) > Re( s0 )では、 fのラプラス変換は部分積分によって次のように 表される_。$${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$$

つまり、収束領域において、F ( s ) は、他の関数の絶対収束ラプラス変換として効果的に表現できる。特に、これは解析的である。最も一般的な形では、ラプラス変換は、ある に対してで定義され、絶対値が多項式によってそこで制限される正則関数と、 ⁠ ⁠で支えられ、ある⁠ ⁠に対してを乗じると緩和分布になる実数直線上の分布との間に一対一の対応を与える。^{[ 26 ]}${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} \ |\ \mathrm {Re} (s)>\sigma \}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle e^{-\sigma t}}$ ${\displaystyle \sigma }$

fの減衰特性と収束領域内のラプラス変換の特性 との関係に関しては、いくつかのPaley-Wiener の定理があります。

工学応用において、線形時不変（LTI）システムに対応する関数は、すべての有界入力が有界出力を生成する場合、安定である。これは、インパルス応答関数のラプラス変換がRe( s ) ≥ 0の領域で絶対収束することと等価である。結果として、インパルス応答関数のラプラス変換の極が負の実部を持つ限り、LTIシステムは安定である。

この ROC は、システムの因果関係と安定性を知るために使用されます。

性質と定理

ラプラス変換の重要な性質は、時間領域における微分と積分を、ラプラス領域におけるsによる乗算と除算に変換することです。したがって、ラプラス変数s は、ラプラス領域における演算子変数とも呼ばれ、微分演算子、または（s ⁻¹の場合）積分演算子と呼ばれます。

関数f ( t )とg ( t )、およびそれぞれのラプラス変換F ( s )とG ( s )が与えられれば、 $${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\},\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\},\end{aligned}}}$$

次の表は片側ラプラス変換の性質の一覧である。^{[ 27 ]}

片側ラプラス変換の性質

財産	時間領域	sドメイン	コメント
直線性	${\displaystyle af(t)+bg(t)\ }$	${\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }$	積分の基本規則を使用して証明できます。
周波数領域微分	${\displaystyle tf(t)\ }$	${\displaystyle -F'(s)\ }$	F ′はsに関するFの 1 次導関数です。
周波数領域一般微分	${\displaystyle t^{n}f(t)\ }$	${\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }$	より一般的な形式は、F ( s )のn次導関数です。
デリバティブ	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0^{-})\ }$	fは微分可能関数であり、その導関数は指数型であると仮定する。これは部分積分によって得られる。
2階微分	${\displaystyle f''(t)\ }$	${\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }$	fは2回微分可能であり、2階微分は指数型であると仮定する。次に、 f ′( t )に微分法を適用して計算する。
一般微分	${\displaystyle f^{(n)}(t)\ }$	${\displaystyle s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{-})\ }$	fはn回微分可能であり、 n次導関数は指数型であると仮定する。数学的帰納法により導かれる。
周波数領域積分	${\displaystyle {\frac {1}{t}}f(t)\ }$	${\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ }$	これは周波数微分と条件付き収束の性質を利用して推論されます。
時間領域積分	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)}$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	u ( t )はヘヴィサイドステップ関数であり、 ( u ∗ f )( t )はu ( t )とf ( t )の畳み込みです。
周波数シフト	${\displaystyle e^{at}f(t)}$	${\displaystyle F(s-a)}$
タイムシフト	${\displaystyle f(t-a)u(t-a)}$ ${\displaystyle f(t)u(t-a)\ }$	${\displaystyle e^{-as}F(s)\ }$ ${\displaystyle e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t+a)\}}$	a > 0、 u ( t )はヘヴィサイドステップ関数である。
時間スケーリング	${\displaystyle f(at)}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)}$	a > 0
乗算	${\displaystyle f(t)g(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \ }$	積分はFの収束領域内に完全に含まれる垂直線Re( σ )= cに沿って行われる。[ 28 ]
畳み込み	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$
循環畳み込み	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{T}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$	周期Tの周期関数の場合。
複雑な活用	${\displaystyle f^{*}(t)}$	${\displaystyle F^{*}(s^{*})}$
周期関数	${\displaystyle f(t)}$	${\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$	f ( t )は周期Tの周期関数であり、すべてのt ≥ 0に対してf ( t ) = f ( t + T )が成り立ちます。これは時間シフト特性と等比級数の結果です。
周期的な合計	${\displaystyle f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }f(t-Tn)}$ ${\displaystyle f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(t-Tn)}$	${\displaystyle F_{P}(s)={\frac {1}{1-e^{-Ts}}}F(s)}$ ${\displaystyle F_{P}(s)={\frac {1}{1+e^{-Ts}}}F(s)}$

初期値定理

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.}$

最終値定理

⁠ ⁠${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$ 、のすべての極が左半平面内にある場合。${\displaystyle sF(s)}$

終値定理は、部分分数分解（またはその他の難しい代数計算）を行うことなく長期的な挙動を導くため有用である。F ( s ) が右手平面に極を持つ場合、または虚軸上に極を持つ場合（例えば、または⁠ ⁠）、この式の挙動は未定義である。${\displaystyle f(t)=e^{t}}$ ${\displaystyle f(t)=\sin(t)}$

べき級数との関係

ラプラス変換は、連続的なべき級数とみなすことができます。^{[ 29 ]} a ( n )が正の整数nの離散関数である場合 、 a ( n )に関連付けられたべき級数は、xが実変数 である級数です （ Z変換を参照）。n上の総和をt上の積分に 置き換えると、べき級数の連続バージョンは次のようになります。 ここで、離散関数a ( n )は連続関数f ( t )に置き換えられます。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt}$$

べき乗の基数をxからeに変更すると 、$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt}$$

例えば、すべての有界関数fに対して収束するには、 ln x < 0を満たす必要があります。 − s = ln xと代入すると、ラプラス変換が得られます。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$$

言い換えれば、ラプラス変換は、離散パラメータn が連続パラメータtに置き換えられ、x がe ^{− s}に置き換えられた、累乗級数の連続アナログです。

べき級数と同様に、⁠ ⁠${\displaystyle a(n)=O(\rho ^{-n})}$ ならば、べき級数は⁠ ⁠における解析関数に収束し、 ${\displaystyle \vert x\vert <\rho }$ ⁠ ⁠${\displaystyle f(t)=O(e^{-\sigma t})}$ ならば、ラプラス変換は⁠ ⁠${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$ における解析関数に収束します。^{[ 30 ]}

瞬間との関係

これらの量 は関数fのモーメント である。 fの最初のn個のモーメントが絶対収束する場合、積分 の下での繰り返し微分により、 が得られる。 これは確率論において特に重要であり、確率変数X のモーメントは期待値 で与えられる。したがって、関係式は $${\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt}$$ $${\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.}$$ ${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]}$ $${\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).}$$

関数の導関数の変換

ラプラス変換の微分性を利用して関数の導関数を求めると便利な場合が多い。これはラプラス変換の基本式から次のように導出できる。 そして、両側変換の場合は 、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}$$

一般的な結果は 、fのn次導関数を表し、帰納的議論によって確立できます。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}$$ ${\displaystyle f^{(n)}}$

正の実軸上の積分を評価する

ラプラス変換の有用な性質は、 ⁠ ⁠ の右近傍における の挙動と ⁠ ⁠の左近傍におけるの減衰率に関する適切な仮定の下で、次のようになることです。上記の式は部分積分を変形したもので、演算子 と を と ⁠ ⁠ に置き換えたものです 。同等の定式化を証明しましょう。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds}$$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle \int \,dx}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.}$$

を代入すると、左側は次のように変わります。 ただし、Fubini の定理が成り立つと仮定すると、積分の順序を逆にすると、必要な右側が得られます。 ${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,}$$

この方法は、実微積分学の初等的な手法では計算が困難な積分を計算するのに使用できます。例えば、 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin xdx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.}$$

他の変換との関係

ラプラス・スティルチェス変換

関数g  : ℝ → ℝの (一方的) ラプラス・スティールチェス変換は、ルベーグ・スティールチェス積分によって定義されます。$${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.}$$

関数gは有界変化であると仮定する。gがfの不定積分であるとすると、 $${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t}$$

とすると、 gのラプラス・スティルチェス変換とfのラプラス変換は一致する。一般に、ラプラス・スティルチェス変換はgに関連付けられたスティルチェス測度のラプラス変換である。したがって、実際には、2つの変換の唯一の違いは、ラプラス変換が測度の密度関数に作用すると考えられるのに対し、ラプラス・スティルチェス変換はその累積分布関数に作用すると考えられるという点である。^{[ 31 ]}

フーリエ変換

を⁠ ⁠で支えられた複素数値ルベーグ可積分関数とし、をそのラプラス変換とする。すると、収束領域内では、 関数⁠ ⁠のフーリエ変換が成り立つ。^{[ 32 ]}${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}f(s)}$ $${\displaystyle F(\sigma +i\tau )=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\tau t}\,dt,}$$ ${\displaystyle f(t)e^{-\sigma t}}$

実際、フーリエ変換は、（特定の条件下では）双対ラプラス変換の特殊なケースです。主な違いは、関数のフーリエ変換が実変数（周波数⁠ ⁠${\displaystyle \tau }$ ）の複素関数であるのに対し、関数のラプラス変換は複素変数（減衰係数と周波数⁠ ⁠ ）の複素関数であることです。ラプラス変換は通常、 t ≥ 0のtの関数の変換に制限されます。この制限の結果として、関数のラプラス変換は変数sの正則関数になります。フーリエ変換とは異なり、分布のラプラス変換は一般に、行儀の良い関数です。複素変数の手法を使用して、ラプラス変換を直接研究することもできます。正則関数として、ラプラス変換はべき級数表現を持ちます。このべき級数は、関数を関数のモーメントの線形重ね合わせとして表現します。この観点は、確率論に応用されています。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$

正式には、フーリエ変換は、以下に説明する条件が満たされる場合、 虚数引数s = iω ^{[ 33 ] [ 34 ]を持つ両側ラプラス変換を評価することと同等である。}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}$$

このフーリエ変換の規則（フーリエ変換 § その他の規則）では、⁠${\displaystyle {\hat {f}}_{3}(\omega )}$ の係数が必要である。1/2π​⁠逆フーリエ変換について。ラプラス変換とフーリエ変換の関係は、信号または動的システムの周波数スペクトルを決定するためによく使用されます。

上記の関係は、F ( s )の収束領域(ROC)に虚軸σ =0が含まれる場合にのみ有効です。

例えば、関数f ( t ) = cos( ω ₀ t )にはラプラス変換F ( s ) = s /( s ² + ω ₀ ² )があり、その ROC はRe( s ) > 0です。s = iω _0はF ( s )の極である ため、F ( s )にs = iωを代入しても、ディラックのデルタ関数δ ( ω ± ω ₀ )に比例する項を含むf ( t ) u ( t )のフーリエ変換は得られません。

しかし、 という関係は、 はるかに弱い条件下でも成り立ちます。例えば、上の例では、 の極限が測度の弱極限として理解されている限り、この関係が成り立ちます（曖昧位相を参照）。境界上の関数のラプラス変換の極限とフーリエ変換を関連付ける一般的な条件は、ペイリー・ウィーナーの定理の形をとります。 $${\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )}$$

メリン変換

メリン変換とその逆変換は、単純な変数の変更によって両側ラプラス変換に関連付けられます。

メリン変換で θ = e ^{− t} と設定すると、両側ラプラス変換が得られます。 $${\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}}$$

Z変換

片側 Z 変換は、理想的にサンプリングされた信号のラプラス変換に代入するだけです。 ここで、T = 1/ f _sはサンプリング間隔(時間単位、たとえば秒)、 f _sはサンプリング レート(サンプル/秒またはヘルツ) です。$${\displaystyle z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},}$$

をサンプリングインパルス列（ディラックコムとも呼ばれる）とし、 を 連続時間x ( t )のサンプリング表現とする。$${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.}$$

サンプリングされた信号x _q ( t )のラプラス変換は $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}}$$

これは、 z → e ^sT を代入した離散関数x [ n ] の片側Z変換の正確な定義です。 $${\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$$

最後の2つの式を比較すると、片側Z変換とサンプリングされた信号のラプラス変換の関係が分かります。 $${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}$$

Z 変換とラプラス変換の類似性は、時間スケール計算の理論でさらに詳しく説明されています。

ボレル変換

ボレル変換 の積分形は、指​​数型整関数f に対するラプラス変換の特殊なケースであり、これは、 ある定数AとBに対して成り立つことを意味します。一般化ボレル変換では、指数型ではない関数を変換する際に、指数関数ではなく異なる重み関数を使用することができます。ナクビンの定理は、ボレル変換が適切に定義されるための必要十分条件を示しています。 $${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz}$$ $${\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}$$

基本的な関係

通常のラプラス変換は両側変換の特殊なケースとして表すことができ、両側変換は2つの片側変換の和として表すことができるため、ラプラス変換、フーリエ変換、メリン変換、Z変換の理論は本質的に同じ主題である。しかしながら、これら4つの主要な積分変換にはそれぞれ異なる視点と異なる固有の問題が伴う。

選択されたラプラス変換の表

次の表は、単一変数の多くの一般的な関数のラプラス変換を示しています。^{[ 35 ] [ 36 ]}定義と説明については、表の最後に ある説明を参照してください。

ラプラス変換は線形演算子なので、

• 和のラプラス変換は、各項のラプラス変換の合計です。$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)+g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}}$$
• 関数の倍数のラプラス変換は、その関数のラプラス変換の倍数です。$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$$

この線形性と、さまざまな三角関数、双曲線関数、複素数 (など) の特性や恒等式を使用すると、定義を直接使用するよりも速く、いくつかのラプラス変換を他のラプラス変換から取得できます。

片側ラプラス変換は、時間領域が非負の実数である関数を入力として受け取ります。そのため、以下の表の時間領域関数はすべてヘビサイドステップ関数u ( t )の倍数になります。

表中の時間遅延τを伴うエントリは、因果的（つまりτ > 0 ）であることが要求される。因果システムとは、 t = 0より前のすべての時刻tにおいてインパルス応答h ( t )がゼロとなるシステムである。一般に、因果システムの収束領域は反因果システムの収束領域と同じではない。

選択されたラプラス変換

関数	時間領域 ${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}}$	ラプラスs領域 ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}}$	収束領域	参照
単位インパルス	${\displaystyle \delta (t)\ }$	${\displaystyle 1}$	すべてのs	検査
遅延インパルス	${\displaystyle \delta (t-\tau )\ }$	${\displaystyle e^{-\tau s}\ }$	すべてのs	単位インパルス の時間シフト
単位ステップ	${\displaystyle u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	単位インパルスを積分する
遅延ユニットステップ	${\displaystyle u(t-\tau )\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{-\tau s}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	単位ステップ の時間シフト
遅延関数と遅延ステップの積	${\displaystyle f(t-\tau )u(t-\tau )}$	${\displaystyle e^{-s\tau }{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$		u-置換、${\displaystyle u=t-\tau }$
長方形のインパルス	${\displaystyle u(t)-u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}(1-e^{-\tau s})}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
ランプ	${\displaystyle t\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	単位インパルスを2回 ​​積分する
n乗（整数nの場合）	${\displaystyle t^{n}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {n! \over s^{n+1}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$ （n > −1）	単位ステップをn回 積分する
q乗（複素数qの場合）	${\displaystyle t^{q}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\operatorname {\Gamma } (q+1) \over s^{q+1}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (q)>-1}$	[ 37 ] [ 38 ]
n乗根	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {1}{n}}+1\right)}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	上記でq = 1/ nと設定します。
周波数シフトによるn乗	${\displaystyle t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	単位ステップを積分し、周波数シフトを適用する
周波数シフトによる n乗遅延	${\displaystyle (t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	単位ステップを積分し、周波数シフトを適用し、時間シフトを適用する
指数関数的減衰	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s+\alpha }}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	単位ステップ の周波数シフト
両側指数関数的減衰（両側変換のみ）	${\displaystyle e^{-\alpha |t|}\ }$	${\displaystyle {2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}}$	${\displaystyle -\alpha <\operatorname {Re} (s)<\alpha }$	単位ステップ の周波数シフト
指数関数的アプローチ	${\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	単位ステップマイナス指数関数的減衰
正弦	${\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[ 39 ]
余弦	${\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[ 39 ]
双曲線正弦	${\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|}$	[ 40 ]
双曲線余弦	${\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|}$	[ 40 ]
指数関数的に減少する正弦波	${\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	[ 39 ]
指数関数的に減少する余弦波	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	[ 39 ]
自然対数	${\displaystyle \ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -{1 \over s}\left[\ln(s)+\gamma \right]}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[ 40 ]
n次の第一種ベッセル関数	${\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{\!n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$ （n > −1）	[ 41 ]
誤差関数	${\displaystyle \operatorname {erf} (t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{s^{2}/4}\!\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[ 41 ]
説明文: u ( t )はヘヴィサイドステップ関数を表す。 δ はディラックのデルタ関数 を表します。 Γ( z )はガンマ関数を表す。 γはオイラー・マスケローニ定数です。 実数t は、通常は時間を表しますが、任意の独立した次元を表すこともできます。 sは複素周波数領域パラメータであり、 Re( s )はその実部である。 α、β、τ、およびωは実数です。 nは整数です。

s領域等価回路とインピーダンス

ラプラス変換は回路解析においてよく用いられ、回路要素のs領域への簡単な変換が可能です。回路要素は、位相インピーダンスに非常によく似たインピーダンスに変換できます。

同等のものを以下にまとめます。

s領域等価回路

抵抗器は時間領域とs領域で全く同じであることに注意してください。回路要素に初期条件がある場合、ソースが挿入されます。例えば、コンデンサに初期電圧がかかる場合や、インダクタに初期電流が流れる場合、s領域に挿入されたソースはそれを考慮します。

電流源と電圧源の等価物は、上記の表の変換から簡単に導き出されます。

例と応用

ラプラス変換は工学や物理学で頻繁に用いられます。線形時不変システムの出力は、その単位インパルス応答を入力信号と畳み込むことで計算できます。この計算をラプラス空間で実行すると、畳み込みは乗算に変換されます。乗算は代数形式であるため、より簡単に解くことができます。詳細については、制御理論を参照してください。ラプラス変換は、多くの関数クラスで可逆です。システムへの入力または出力の簡単な数学的または機能的記述が与えられれば、ラプラス変換は代替の機能的記述を提供し、多くの場合、システムの動作を解析するプロセスや、一連の仕様に基づいて新しいシステムを合成するプロセスを簡素化します。^{[ 42 ]}

ラプラス変換は微分方程式を解くのにも利用でき、機械工学や電気工学で広く用いられています。ラプラス変換は線形微分方程式を代数方程式に変換し、代数の正式な規則を用いて解くことができます。そして、逆ラプラス変換を適用することで、元の微分方程式を解くことができます。イギリスの電気技師オリバー・ヘヴィサイドは、ラプラス変換を用いない同様の手法を初めて提案しました。この結果得られた演算法は、ヘヴィサイド計算と呼ばれています。

不定積分の評価

⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$ とします。すると（上の表を参照） $${\displaystyle \partial _{s}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\partial _{s}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=-\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=-F(s)}$$

そこから次のものが得られます: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.}$$

極限⁠ ⁠${\displaystyle s\rightarrow 0}$ においては、 極限の交換が正当化され得ることが示される。これは終値定理の結果としてしばしば可能である。交換が正当化されない場合でも、計算は示唆的となることがある。例えば、a ≠ 0 ≠ bの場合、形式的に進めると、 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}}$$

コンデンサの複素インピーダンス

電気回路理論では、コンデンサに流れる電流は、静電容量と電位の変化率に比例します（SI単位系における式を参照）。これは記号的に、微分方程式で表されます。 ここで、 Cはコンデンサの静電容量、i = i ( t )はコンデンサを流れる電流の時間の関数、v = v ( t )はコンデンサの端子間 電圧の時間の関数です。$${\displaystyle i=C{dv \over dt},}$$

この方程式をラプラス変換すると、 次 の式が得られる 。 $${\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0}),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle V_{0}=v(0).}$$

V ( s )を解くと、 $${\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.}$$

複素インピーダンスZ（オーム）の定義は、初期状態V _0をゼロに 保持しながら、複素電圧Vを複素電流Iで割った比です。$${\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.}$$

この定義と前の式を用いると、次式が得られます。 これはコンデンサの複素インピーダンスの正しい表現です。さらに、ラプラス変換は制御理論において広く応用されています。 $${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}},}$$

インパルス応答

伝達関数を持つ線形時間不変システムを考える$${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}$$

インパルス応答は、この伝達関数の逆ラプラス変換です。 $${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}$$

部分分数展開

この逆変換を評価するために、まず部分分数展開法を用いて H ( s )を展開する。$${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}$$

未知定数PとRは、伝達関数の対応する極に位置する留数です。各留数は、その特異点が伝達関数全体の形状にどの程度寄与するかを表します。

留数定理によれば、逆ラプラス変換は極とその留数のみに依存します。留数Pを求めるには、方程式の両辺にs + αを掛けて、 $${\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}$$

そして、 s = − αとすると、 Rからの寄与は消え、残るのは $${\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}$$

同様に、留数Rは次のように与えられる。 $${\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}$$

であることに注意し 、 RとPを展開したH ( s )の式に 代入すると、 $${\displaystyle R={-1 \over \beta -\alpha }=-P}$$ $${\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).}$$

最後に、線形性特性と指数関数的減少の既知の変換（上記のラプラス変換表の項目＃3を参照）を使用して、 H（s）の逆ラプラス変換を実行して、 システムのインパルス応答を 取得 できます。$${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),}$$

畳み込み

畳み込みの性質を利用して、システムが伝達関数1/( s + α )と1/( s + β )を持つ一連のフィルタであるかのように同じ結果を得ることができます。つまり、の逆関数 は $${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={\frac {1}{s+\alpha }}\cdot {\frac {1}{s+\beta }}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\alpha }}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\beta }}\right\}=e^{-\alpha t}*e^{-\beta t}=\int _{0}^{t}e^{-\alpha x}e^{-\beta (t-x)}\,dx={\frac {e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}}{\beta -\alpha }}.}$$

位相遅延

時間関数	ラプラス変換
${\displaystyle \sin {(\omega t+\varphi )}}$	${\displaystyle {\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$
${\displaystyle \cos {(\omega t+\varphi )}}$	${\displaystyle {\frac {s\cos(\varphi )-\omega \sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}.}$

ラプラス変換から始めて、 分数の項を並べ替えることで逆変換を求めます。 $${\displaystyle X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

これで、項の逆ラプラス変換を行うことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\cos(\varphi )\sin(\omega t).\end{aligned}}}$$

これは単に引数の合計の正弦であり、次のようになります。 $${\displaystyle x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).}$$

同様の論理を適用すれば、 $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \varphi -\omega \sin \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.}$$

統計力学

統計力学では、状態密度のラプラス変換は分配関数を定義する。^{[ 43 ]}すなわち、標準的な分配関数は次のように与えられ 、逆関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle Z(\beta )}$ $${\displaystyle Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}g(E)\,dE}$$ $${\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\beta _{0}-i\infty }^{\beta _{0}+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )\,d\beta }$$

天文スペクトルからの空間構造（時間構造ではない）

ラプラス変換とその逆変換の広く一般的な適用性は、天文学における応用によって実証されています。この応用では、時間領域とスペクトル (周波数領域)を関連付けるのではなく、磁束密度スペクトルが与えられた場合に、点として分解するには遠すぎる天体の無線周波数熱放射源の物質の空間分布に関する情報が提供されます。

物体の特定の特性、例えば球形や一定温度を仮定し、物体のスペクトルに対して逆ラプラス変換を実行することに基づく計算によって、スペクトルと一致する、物体内の物質の分布（中心からの距離の関数としての密度）の唯一の可能なモデルを生成することができる。 ^{[ 44 ]}物体の構造に関する独立した情報が利用可能な場合、逆ラプラス変換法は良好な一致を示すことがわかっている。

誕生と死のプロセス

確率⁠ ⁠でステップが発生するランダムウォークを考えます。^{[ 45 ]}また、時間ステップがパラメータ⁠ ⁠を持つポアソン過程であると仮定します。すると、ウォークが時間に格子点に存在する確率は、次の式で表されます。 これは積分方程式 系（または微分方程式系と同等）につながります。しかし、これは畳み込み方程式系であるため、ラプラス変換によって次の線型方程式系に変換されます。 これ は 標準的な方法で解くことができます。 ${\displaystyle \{+1,-1\}}$ ${\displaystyle p,q=1-p}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle P_{n}(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda (t-s)}(pP_{n-1}(s)+qP_{n+1}(s))\,ds\quad (+e^{-\lambda t}\quad {\text{when}}\ n=0).}$$ $${\displaystyle \pi _{n}(s)={\mathcal {L}}(P_{n})(s),}$$ $${\displaystyle \pi _{n}(s)={\frac {\lambda }{\lambda +s}}(p\pi _{n-1}(s)+q\pi _{n+1}(s))\quad (+{\frac {1}{\lambda +s}}\quad {\text{when}}\ n=0)}$$

タウバー理論

上の測度のラプラス変換は次のように与えられる。 ⁠ ⁠ が小さい場合、指数関数的に減少する積分関数は、領域のより大きな部分集合への測度の集中に対してより敏感になることは 直感的に明らかである。 これをより正確にするために、分布関数を導入する。 正式には、次のような種類の極限が期待される。 タウバー定理は、 ⁠ ⁠としてのラプラス変換の漸近挙動と、⁠ ⁠としての分布の漸近挙動を関連付ける定理である。 したがって、これらは確率と統計の漸近式で重要であり、スペクトル側には推論がより簡単な漸近挙動があることが多い。^{[ 45 ]}${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\mu (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}d\mu (t).}$$ ${\displaystyle s>0}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle M(t)=\mu ([0,t)).}$$ $${\displaystyle \lim _{s\to 0^{+}}{\mathcal {L}}\mu (s)=\lim _{t\to \infty }M(t).}$$ ${\displaystyle s\to 0^{+}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle t\to \infty }$

注目すべき2つのタウバー定理は、ハーディ・リトルウッドのタウバー定理と ウィーナーのタウバー定理である。ウィーナーの定理は、池原のタウバー定理を一般化したものであり、以下の命題を成す。

A ( x ) をxの非負単調非減少関数とし、 0 ≤ x < ∞で定義されるものとする。ℜ ( s ) > 1 において関数f ( s ) に収束し、ある非負数cに対して、 ℜ( s ) ≥ 1において連続関数 として拡張されるとする。このとき、 x が無限大に向かうときのe ^{− x} A ( x )の極限は c に等しい。 $${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }A(x)e^{-xs}\,dx}$$ $${\displaystyle f(s)-{\frac {c}{s-1}}}$$

この主張は特にリーマンゼータ関数の対数微分に適用することができ、素数定理を証明するための非常に簡潔な方法を提供する。^{[ 46 ]}

参照

• アナログ信号処理
• 単調関数に関するベルンシュタインの定理
• 継続返済型住宅ローン
• ディリクレ積分
• 微分方程式
• 母関数
• ハンバーガーモーメント問題
• ハーディ・リトルウッド・タウバー定理
• ラプラス・カーソン変換
• モーメント生成関数
• 非局所演算子
• 部分分数分解
• ポストの反転公式
• シグナルフローグラフ
• 伝達関数
• Z変換

注記

1. Lynn, Paul A. (1986)、「ラプラス変換とz変換」、Electronic Signals and Systems、ロンドン：Macmillan Education UK、pp.  225– 272、doi：10.1007/978-1-349-18461-3_6、ISBN 978-0-333-39164-8ラプラス変換とZ変換はフーリエ変換と密接に関連しています。ラプラス変換はフーリエ変換よりも範囲が広く、自動制御システムを含む連続回路やシステムを記述するためにエンジニアに広く使用されています。
2. 「微分方程式 - ラプラス変換」、Pauls Online Math Notes 、 2020年8月8日閲覧
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参考文献

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• オイラー、レオンハルト(1769)、Institutiones calculiintegris [ Institutions of Integral Calculus ] (ラテン語)、vol. II、パリ: ペトロポリ、ch. 3–5、57–153ページ
• グラッタン・ギネス、I（1997）「偏微分方程式のラプラス積分解」、ギリスピー、CC（編）、ピエール・シモン・ラプラス1749-1827：精密科学の生涯、プリンストン：プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-01185-1
• ラグランジュ、JL (1773)、Mémoire sur l'utilité de la methode、āuvres de Lagrange、vol. 2、171–234 ページ​

さらに読む

• アーレント、ヴォルフガング。バティ、チャールズ JK;ヒーバー、マティアス; Frank Neubrander (2002)、Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy 問題、Birkhäuser Basel、ISBN 978-3-7643-6549-3
• デイヴィス、ブライアン（2002）『積分変換とその応用』（第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 978-0-387-95314-4
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• ドゥーチュ、グスタフ（1974）、ラプラス変換の理論と応用入門、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-06407-9
• マシューズ、ジョン; ウォーカー、ロバート L. (1970)、物理学の数学的方法(第 2 版)、ニューヨーク: WA ベンジャミン、ISBN 0-8053-7002-1
• ポリアニン、AD; マンジロフ、AV (1998)、『積分方程式ハンドブック』、ボカラトン：CRCプレス、ISBN 978-0-8493-2876-3
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• シーバート、ウィリアム・マッケンジー（1986年）、回路、信号、システム、マサチューセッツ州ケンブリッジ：MITプレス、ISBN 978-0-262-19229-3
• ウィダー、デイヴィッド・ヴァーノン（1945）、「ラプラス変換とは何か？」アメリカ数学月刊誌、52（8）：419-425、doi：10.2307/2305640、ISSN  0002-9890、JSTOR  2305640、MR  0013447
• Weidman, JAC; Fornberg, Bengt (2023)、「完全数値ラプラス変換法」、数値アルゴリズム、92 : 985–1006、doi : 10.1007/s11075-022-01368-x

外部リンク

• 「ラプラス変換」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 変換または逆変換のオンライン計算、wims.unice.fr
• EqWorld: 数式の世界における積分変換の表。
• ワイスタイン、エリック W.、「ラプラス変換」、MathWorld
• 初期値定理と終値定理の優れた説明。 2009年1月8日Wayback Machineにアーカイブ。
• MathPagesのラプラス変換
• 計算知識エンジンを使用すると、ラプラス変換とその逆変換を簡単に計算できます。
• ラプラス変換をオンラインで簡単に計算できるラプラス計算機。
• ラプラス変換を視覚化するためのコードと多くのサンプルビデオ。