環（数学）

数学において、環とは、一般的に加算と乗算と呼ばれる2つの二項演算を含む集合からなる代数構造であり、整数の加算と乗算のように表記されます。これらの演算は整数の加算と乗算と同様に機能しますが、環における乗算は可換である必要はありません。環の元は整数や複素数などの数値である場合もあれば、多項式、正方行列、関数、冪級数などの非数値オブジェクトである場合もあります。

より正式には、環とは、2つの二項演算（加算と乗算）を備え、加法に関してアーベル群となる集合である。乗算は結合的であり、加算に関して分配的であり、乗法単位元を持つ。一部の研究者は、環という用語をさらに一般化した表現（しばしばrngと呼ばれる）に適用する。これは乗法単位元の要件を省略し、代わりに上記で定義された構造を単位元を持つ環と呼ぶ。

可換環とは、可換乗法を持つ環のことです。この性質は環​​の性質に深い意味を持ちます。可換環の理論である可換代数は、環論の主要な分野です。その発展は、代数的数論と代数幾何学の問題や考え方に大きく影響を受けています。そして、可換代数はこれらの数学分野における基本的なツールとなっています。

可換環の例としては、あらゆる体（実数や複素数など）、整数、別の環に係数を持つ1つまたは複数の変数の多項式、アフィン代数多様体の座標環、数体の整数環などが挙げられます。非可換環の例としては、 n ≥ 2のn × n実正方行列の環、表現論における群環、関数解析における作用素環、微分作用素の環、位相幾何学におけるコホモロジー環などが挙げられます。

環の概念化は1870年代から1920年代にかけて行われ、デデキント、ヒルベルト、フランケル、ネーターが重要な貢献を果たしました。環は、数論におけるデデキント整域、および代数幾何学や不変式論における多項式環と不変量環の一般化として初めて定式化されました。後に、幾何学や解析学といった数学の他の分野でも有用であることが証明されました。

リングは、次のクラスの包含の連鎖に現れます。

乱数⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃ GCD 域⊃一意因数分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数的に閉体

意味

環とは、2つの二項演算^{[ a ]} + (加算) と ⋅ (乗算)を備えた集合Rであり、環公理と呼ばれる次の3つの公理群を満たす: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

1. Rは加法に関してアーベル群であり、次のことを意味します。
   • Rのすべてのa、b、cについて、 ( a + b ) + c = a + ( b + c )です(つまり、+は結合法則です)。
   • Rのすべてのa、bについて、 a + b = b + aが成り立ちます(つまり、 +は可換です)。
   • Rには、 Rのすべてのaに対してa + 0 = aとなるような元0があります(つまり、0は加法的な単位元です)。
   • Rの各aに対して、 Rには− aが存在し、 a + (− a ) = 0となります(つまり、− aはaの加法逆元です)。
2. Rは乗算に関してモノイドであり、次のことを意味します。
   • Rのすべてのa、b、cについて、 ( a · b ) · c = a · ( b · c )です(つまり、⋅は結合的です)。
   • Rには元1が存在し、Rのすべてのaに対してa · 1 = aかつ1 · a = aが成り立つ（つまり、1は乗法単位元である）。^{[ b ]}
3. 乗算は加算に対して 分配的であり、次のことを意味します。
   • Rのすべてのa、b、cについて、 a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c )である(左分配性)。
   • Rのすべてのa、b、cについて、 ( b + c ) · a = ( b · a ) + ( c · a )である(右分配法則)。

表記では、乗算記号·が省略されることが多く、その場合にはa · bはabと表記されます。

用語のバリエーション

この記事の用語法では、環は乗法単位元を持つものと定義されますが、同じ公理的定義を持ちながら乗法単位元を必要としない構造は、代わりに「 i」が欠けた「 rng」（IPA: / r ʊ ŋ /）と呼ばれます。例えば、通常の + と ⋅ を含む偶数の集合はrngですが、環ではありません。以下の§ 歴史で説明するように、多くの著者は乗法単位元を必要とせずに「環」という用語を使用しています。

環の加法は可換であるが、環の乗法は必ずしも可換である必要はない。すなわち、 abは必ずしもbaと等しい必要はない。乗法についても可換性を満たす環（整数環など）は可換環と呼ばれる。可換代数や代数幾何学の書籍では、用語を簡略化するために、環は可換環を意味するという慣例がしばしば採用されている。

環においては、乗法逆元が存在する必要はありません。すべての非零元に乗法逆元が存在する非零環は除算環と呼ばれ、可換除算環は体と呼ばれます。

環の加法群とは、加法演算のみを備えた基底集合である。定義では加法群がアーベル群であることが必要であるが、これは他の環公理から推論できる。^{[ 4 ]}証明は「1」を用いており、環では成立しない。（環の場合、加法の可換公理を省略すると、残りの環の仮定から、積である元についてのみ、加法の可換公理が推論可能となる：ab + cd = cd + ab）。

一部の著者は、乗算が結合的である必要がない構造を指すために「環」という用語を使用しています。 以下の非結合的環のサブセクションを参照してください。 ^{[ 5 ]}これらの著者にとって、すべての代数は「環」です。

図

整数は、加算と乗算という 2 つの演算とともに、環の典型的な例を形成します。

環の最もよく知られた例は、すべての整数の集合であり、これは以下の${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ 数から成る。

${\displaystyle \dots ,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots }$

環の公理は、整数の加算と乗算のよく知られた特性に基づいてモデル化されています。

いくつかのプロパティ

環のいくつかの基本的性質は公理から直接導かれます。

• 加法的アイデンティティは一意です。
• 各要素の加法逆数は一意です。
• 乗法の恒等式は一意です。
• 環Rの任意の元xに対して、x 0 = 0 = 0 x（ゼロは乗算に関して吸収元である）かつ(–1) x = – x が成り立ちます。
• 環Rにおいて0 = 1 の場合（またはより一般的には、0は単位元）、Rには元が 1 つだけ存在し、零環と呼ばれます。
• 環Rが零環を部分環として含む場合、R自身は零環である。^{[ 6 ]}
• 二項式は、xy = yxを満たす任意のxおよびyに対して成立します。

例: 4を法とする整数

セットに次の操作を装備します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}}$

• ⁠ ⁠の和は、整数x + yを4で割ったときの余りです（x + yは常に8より小さいので、この余りはx + yまたはx + y − 4のいずれかです）。例えば、${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}}$ ${\displaystyle {\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}.}$
• ⁠ ⁠の積は、整数xy を4で割ったときの余りです。例えば、${\displaystyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}}$ ${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}.}$

すると⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ は環となる。各公理は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ の対応する公理から導かれる。xが整数の場合、 xを4で割った余りは⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} ,}$ の元とみなされ、この元はしばしば「x mod 4」またはと表記され、0, 1, 2, 3の表記法と整合する。 ⁠ ⁠ の任意の ⁠ ⁠の加法逆元は、例えば、${\displaystyle {\overline {x}},}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle -{\overline {x}}={\overline {-x}}.}}$ ${\displaystyle -{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.}$

例: 2行2列の行列

体Fに要素を持つ2行2列の正方行列の集合は^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}である。

${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in F\right\}.}$

行列の加算と乗算の演算により、は上記の環公理を満たします。 は環の乗法単位元です。 かつ であるとき、この例は環が非可換であることを示しています。 ${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle B=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),}$ ${\displaystyle AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right);}$

より一般的には、可換か否かを問わず任意の環Rと任意の非負整数nに対して、Rを要素とするn × nの正方行列は環を形成します。「行列環」を参照してください。

歴史

環理論の創始者の一人、リヒャルト・デデキント

デデキント

環の研究は、多項式環論と代数的整数論に端を発する。^{[ 11 ]} 1871年、リヒャルト・デデキントは数体の整数環の概念を定義した。^{[ 12 ]}この文脈において、彼は「イデアル」（エルンスト・クンマーのイデアル数の概念に触発された）と「加群」という用語を導入し、それらの性質を研究した。デデキントは「環」という用語を使用しておらず、一般的な設定における環の概念も定義していない。

ヒルベルト

「ザールリング」（数環）という用語は、1892年にデイヴィッド・ヒルベルトによって造語され、1897年に発表されました。 ^{[ 13 ]}ハーヴェイ・コーンによれば、ヒルベルトはこの用語を、それ自身の元に「直接循環する」（同値性の意味で）性質を持つ環に対して使用しました。^{[ 14 ]}具体的には、代数的整数の環において、代数的整数のすべての高次べき数は、より低次のべき数の固定された集合の整集合として表すことができ、したがってべき数は「循環する」ことになります。例えば、a ³ − 4 a + 1 = 0の場合、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}&=4a-1,\\a^{4}&=4a^{2}-a,\\a^{5}&=-a^{2}+16a-4,\\a^{6}&=16a^{2}-8a+1,\\a^{7}&=-8a^{2}+65a-16,\\\vdots \ &\qquad \vdots \end{aligned}}}$

などとなります。一般に、a ⁿは1、a、およびa ²の整線形結合になります。

フランケルとネーター

環の最初の公理的定義は1915年にアドルフ・フランケルによって与えられた^{[ 15 ] [ 16 ]}が、彼の公理は現代の定義よりも厳密であった。例えば、彼はすべての非零約数に逆元が存在することを要求した。^{[ 17 ]} 1921年、エミー・ネーターは可換環（1を含むものと含まないもの）の現代的な公理的定義を与え、論文『環の理論』において可換環論の基礎を展開した。^{[ 18 ]}

乗法単位元と「環」という用語

フランケルは「環」という用語を乗法単位元を含む公理を持つ構造に適用したが^{[ 19 ]}、ノイマンは乗法単位元を含まない構造に適用した^{[ 18 ] 。}

1960年頃までの代数学に関する書籍のほとんど、あるいはすべて^{[ 20 ] [ 21 ]}は、「環」に1 は不要というノイマンの慣例に従っていました。1960年代から、「環」の定義に1の存在を含める書籍がますます一般的になり、特にアルティン^{[ 22 ]} 、ブルバキ^{[ 23 ]} 、アイゼンバッド [ 24 ] 、^{ラング[ 3 ]などの著名}な著者による高度な書籍で顕著でした。 2022年という遅い時期に出版された書籍でも、 1を必要とせずにこの用語を使用しているものがあります。^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}同様に、数学百科事典では環に単位元は不要です。^{[ 29 ]}研究論文では、著者が論文の冒頭でどの環の定義を使用しているかを指定することがよくあります。

ガードナーとヴィーガントは、環のカテゴリにおける複数の対象を扱う場合（固定された環を扱う場合とは対照的に）、すべての環が1を持つことを要求すると、環の無限直和が存在しない、また環の真直和元は部分環ではないといった結果が生じると主張している。彼らは、「環論の多くの、おそらくほとんどの分野において、単位元の存在を要求することは合理的ではなく、したがって受け入れられない」と結論付けている。^{[ 30 ]}プーネンは、環の自然な概念は直和ではなく直積であるはずだと反論する。しかし、彼の主張は、乗法単位元を持たない環は、空列を含む環の有限列の積を含まないという意味で、完全に結合的ではないというものである。^{[ c ] [ 31 ]}

「リング」という用語の使用に関していずれかの規則に従う著者は、他の規則を満たすオブジェクトを参照するために、次のいずれかの用語を使用できます。

• 乗法的な単位元を要件とする：「単位環」、「単位環」、「単位元を持つ環」、「単位元を持つ環」、「単位元を持つ環」^{[ 32 ]}または「1を持つ環」^{[ 33 ] 。}
• 乗法的な単位元を省略するために、「rng」^{[ 34 ]}または「擬似環」^{[ 35 ]}と呼ばれるが、後者は他の意味も持つため混乱を招く可能性がある。

基本的な例

可換環

• 典型的な例は、加算と乗算という 2 つの演算を持つ整数の環です。
• 有理数、実数、複素数は、体と呼ばれる型の可換環です。
• 可換環R上の単位結合代数は、それ自体が環であると同時にR -加群でもある。いくつか例を挙げる。
  • Rに係数を持つ多項式の代数R [ X ]。
  • Rにおける係数を持つ形式的冪級数の代数。${\displaystyle R[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$
  • 実数直線上で定義された連続実数値関数全体の集合は可換代${\displaystyle \mathbb {R} }$ 数を形成する。演算は関数の各点の加法と乗法である。
  • Xを集合、Rを環とする。すると、XからRへのすべての関数の成す集合は環を形成し、Rが可換ならば環も可換となる。
• 二次整数の環、 ⁠ ⁠の二次拡大における⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ の整閉包。これはすべての代数的整数の環の部分環です。${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• 無限整数 環は、${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }},}$ すべての素数p上のp進${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ 整数環の (無限) 積です。
• ヘッケ環、ヘッケ演算子によって生成される環。
• Sが集合である場合、加法を集合の対称差、乗法を交差と定義すると、 Sの冪集合は環となる。これはブール環の例である。

非可換環

• 任意の環Rと任意の自然数nに対し、 Rを要素とするn行n列の正方行列全体の成す集合は、行列の加法と乗法を演算として持つ環を形成する。n = 1の場合、この行列環はR自身と同型である。 n > 1 の場合（かつRが零環でない場合）、この行列環は非可換である。
• Gがアーベル群であるとき、Gの自己準同型は環、すなわちGの 自己準同型環End( G )を形成する。この環における演算は、自己準同型の加法と合成である。より一般に、V が環R上の左加群であるとき、 R -線型写像全体の成す集合は環、すなわち自己準同型環を形成し、End _R ( V )と表記される。
• 楕円曲線の自己準同型環。楕円曲線が標数 0 の体上で定義されている場合、それは可換環である。
• Gが群でRが環である場合、 R上のGの群環は、Gを基底とするR上の自由加群である。乗法は、 Gの元がRの元と交換し、群Gと同様に互いに乗算するという規則によって定義される。
• 微分作用素環（文脈によって異なる）。実際、解析学に現れる環の多くは非可換である。例えば、バナッハ代数のほとんどは非可換である。

非リング

• 通常の演算による自然数 集合⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$ は環ではありません。なぜなら⁠ ⁠は${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ 群ですらないからです（すべての要素が加法に関して可逆というわけではありません。たとえば、 3に加算して結果が0になる自然数は存在しません）。負の数を含めて整数環を生成することで、それを環に拡大する自然な方法があります⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ 自然数（0を含む）は、半環（加法逆環の公理を除く環のすべての公理を持つ）と呼ばれる代数構造を形成します。
• R を、関数に依存する有界区間の外側で消える実数直線上のすべての連続関数の集合とします。加算は通常どおりですが、乗算は畳み込みとして定義されます。このとき、Rは rng ですが、環ではありません。ディラックのデルタ関数は乗法単位元としての性質を持ちますが、関数ではないため、  Rの要素ではありません。$${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy.}$$

基本概念

製品とパワー

非負の整数nごとに、 Rのn要素のシーケンスが与えられれば、${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ 積を再帰的に定義できます。P 0 = 1とし、₁ ≤ m ≤ nに対してP m ₌ P m _{−1 a} m_とします。 ${\displaystyle \textstyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}}$

特別な場合として、環の元aの非負整数冪を定義することができる。すなわち、 n ≥ 1に対してa ⁰ = 1かつa ⁿ = a ^{n −1} aである。すると、任意のm , n ≥ 0に対してa ^{m + n} = a ^m a ^{n が}成立する。

環の要素

環Rの左零因子とは、環の元aであって、 Rの非零元bが存在し、 ab = 0となるような元である。^{[ d ]}右零因子も同様に定義される。

冪零元とは、あるn > 0に対してa ⁿ = 0となるような元aのことである。冪零元の一例として、冪零行列が挙げられる。非零環の冪零元は、必ず零因子となる。

べき等 元とは、 e ² = eとなる元です。べき等元の一例として、線形代数における 射影が挙げられます。${\displaystyle e}$

単位元とは、乗法逆元を持つ元a のことである。この場合、逆元は唯一であり、a ^–1で表される。環の単位元の集合は、環乗法による群である。この群はR ^×、R * 、またはU ( R )で表される。例えば、Rが体上の大きさnの正方行列全体の環であるとすると、R ^{× は}大きさnの可逆行列全体の集合から成り、一般線型群と呼ばれる。

サブリング

Rの部分集合Sは、次の同値な条件のいずれかが成り立つ場合、 部分環と呼ばれます。

• R の加算と乗算は、S × S → Sの演算を与えるように制限され、 SはRと同じ乗法単位元を 持つ環になります。
• 1 ∈ S ; S内のすべてのx、 yに対して、要素xy、x + y、および−xはSに存在します 。
• S には、包含写像S → Rが環準同型となるような環を作る演算を装備することができます。

例えば、整数環⁠ ⁠は実数${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 体の部分環であり、多項式環⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ の部分環でもあります（どちらの場合も、⁠ ⁠ は${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 1 を含み、これはより大きな環の乗法単位元です）。一方、偶数の部分集合⁠ ⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ は単位元1を含まないため、 ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ;}$ の部分環とは言えませんが 、 ⁠ ⁠ を${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ 部分環と呼ぶことはできます。

部分環の交差は部分環である。Rの部分集合Eが与えられたとき、 Eを含むRの最小の部分環は、 Eを含む Rのすべての部分環の交差であり、これはEによって生成される部分環と 呼ばれる。

環Rにおいて、 Rの最小の部分環はRの特性部分環と呼ばれる。これは1と −1のコピーの加法によって生成される。 n · 1 = 1 + 1 + ... + 1 ( n回) が 0 になる可能性がある。nがそのような最小の正の整数である場合、n はRの 特性と呼ばれる。環によっては、任意の正の整数nに対してn · 1が 0 になることがなく、そのような環は特性零を持つと言われる。

環Rが与えられたとき、Rのすべての元xの集合をZ( R )で表し、 x がRのすべての元と可換であるものとし、Rの 任意のyに対してxy = yxが成り立つとします。このときZ( R )はRの部分環となり 、Rの 中心と呼ばれます。より一般的には、 Rの 部分集合Xが与えられたとき、Rのすべての元でXのすべての元と可換なもの すべてを集合Sとします。このときSはRの部分環となり 、Xの中心化元（または可換元） と呼ばれます。中心は環 R全体の中心化元です。中心の元または部分集合はRの 中心であるとされ、それらは（それぞれ個別に）中心の部分環を生成します。

理想的

Rを環とする。Rの左イデアルとは、 Rの空でない部分集合Iであって、 Iの任意のx, yおよびRの任意のrに対して、元x + yおよびrxがIに含まれるようなものである。RI はIのR 範囲、すなわち有限和の集合 を表す。

${\displaystyle r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {\textrm {such}}\;{\textrm {that}}\;r_{i}\in R\;{\textrm {and}}\;x_{i}\in I;}$

RI ⊆ IならばI は左イデアルである。同様に、右イデアルはIR ⊆ Iとなるような部分集合Iである。部分集合Iが左イデアルと右イデアルの両方であるとき、その部分集合は両側イデアルまたは単にイデアルであると言われる。片側または両側イデアルはRの加法部分群である。EがRの部分集合ならばREは左イデアルであり、 Eによって生成される左イデアルと呼ばれる。これはEを含む最小の左イデアルである。同様に、 Rの部分集合によって生成される右イデアルまたは両側イデアルを考えることができる。

xがRに属する場合、Rxは左イデアル、xRは右イデアルである。これらはxによって生成される主左イデアルおよび主右イデアルと呼ばれる。主イデアルRxRは( x )と表記される。例えば、 2の正負の倍数すべてと0の集合は整数のイデアルを形成し、このイデアルは整数 2によって生成される。実際、整数環のすべてのイデアルは主イデアルである。

環が単純であるとは、それが非零であり、かつ真非零の両側イデアルを持たない場合である。可換単純環はまさに体である。

環はしばしば、そのイデアルに特別な条件を課して研究される。例えば、左イデアルの狭義増加無限連鎖を持たない環は、左ノイマン環と呼ばれる。左イデアルの狭義減少無限連鎖を持たない環は、左アルティン環と呼ばれる。左アルティン環が左ノイマン環であるというのは、やや意外な事実である（ホプキンス・レヴィツキーの定理）。しかし、整数はノイマン環を形成するが、これはアルティン環ではない。

可換環の場合、イデアルは代数学における整数の割り切れる可能性と素数への分解という古典的な概念を一般化します。Rの真イデアルPが素イデアルと呼ばれるのは、任意の元に対してが成り立つか が成り立つときです。同様に、任意のイデアル I , J に対して、IJ ⊆ PならばI ⊆ PまたはJ ⊆ Pが成り立つとき、Pは素イデアルと呼ばれます。この後者の定式化は、イデアルを元の一般化として捉える考え方を示しています。 ${\displaystyle x,y\in R}$ ${\displaystyle xy\in P}$ ${\displaystyle x\in P}$ ${\displaystyle y\in P.}$

準同型性

環( R , +, ⋅ )から環( S , ‡, ∗ )への準同型写像は、環演算を保存するRからSへの 関数fです。つまり、 Rのすべてのa、bに対して、次の恒等式が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(a+b)=f(a)\ddagger f(b)\\&f(a\cdot b)=f(a)*f(b)\\&f(1_{R})=1_{S}\end{aligned}}}$

rng を使用している場合は、3 番目の条件は削除されます。

環準同型fは、 fの逆準同型（つまり、逆関数である環準同型）が存在する場合、またはそれと同等にそれが全単射である場合に、同型であると言われます。

例:

• 各整数x を4 を法とした剰余( {0, 1, 2, 3}の範囲の数) にマッピングする関数は、環⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ から商環⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ への準同型です(「商環」は以下で定義されます)。
• u が環Rの単位元である場合、 は環準同型であり、Rの内部自己同型と呼ばれます。${\displaystyle R\to R,x\mapsto uxu^{-1}}$
• R を素特性pの可換環とする。このとき、x ↦ x ^pはRの環準同型であり、フロベニウス準同型と呼ばれる。
• 体拡大L / Kのガロア群は、 Kへの制約が恒等であるLのすべての自己同型写像​​の集合です。
• 任意の環Rに対して、一意の環準同型⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$ が存在し、一意の環準同型⁠ ⁠${\displaystyle R\to 0}$ が存在します。
• k代数からk上のベクトル空間の準同型代数への代数準同型は、代数の表現と呼ばれます。

環準同型f  : R → Sが与えられたとき、 fによって 0 に写されるすべての元からなる集合はfの 核と呼ばれる。核はRの両側イデアルである 。一方、  fの像は 必ずしもイデアルではないが、必ずSの部分環となる。

可換環RからAの中心に像が含まれる環Aへの環準同型を与えることは、 R上の代数の構造をAに 与えることと同じです(特に、Aモジュールの構造を与えます)。

商環

商環の概念は商群の概念に類似している。環( R , +, ⋅ )と( R , +, ⋅ )の両側イデアルIが与えられ、 I を( R , +)の部分群と見なすと、商環R / IはIの剰余類の集合と、次の演算を組み合わせた ものとなる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\\&(a+I)(b+I)=(ab)+I.\end{aligned}}}$

Rの任意のa , bに対して成り立つ。環R / Iは因子環とも呼ばれる。

商群と同様に、x ↦ x + Iで与えられる標準準同型p  : R → R / Iが存在する。これは射影的であり、以下の普遍性を満たす。

• f  : R → Sがf ( I ) = 0となる環準同型ならば、次のような唯一の準同型が存在する。${\displaystyle {\overline {f}}:R/I\to S}$ ${\displaystyle f={\overline {f}}\circ p.}$

任意の環準同型f  : R → Sに対して、 I = ker fの普遍性を適用すると、R / ker fからfの像への同型を与える準同型が生成されます。 ${\displaystyle {\overline {f}}:R/\ker f\to S}$

モジュール

環上の加群の概念は、ベクトル空間（体上）の概念を、ベクトルと体の元の乗算（スカラー乗算）から環の元の乗算へと一般化することで一般化します。より正確には、環Rが与えられたとき、R加群Mは、特定の公理を満たす演算R × M → M （ Mの元をRの元とMの元のすべてのペアに関連付ける）を備えたアーベル群です。この演算は一般に並置によって示され、乗算と呼ばれます。加群の公理は次のとおりです。Rのすべてのa、bおよびMのすべてのx、yに対して、

Mは加法に関してアーベル群である。

${\displaystyle {\begin{aligned}&a(x+y)=ax+ay\\&(a+b)x=ax+bx\\&1x=x\\&(ab)x=a(bx)\end{aligned}}}$

環が非可換な場合、これらの公理は左加群を定義します。右加群も同様にaxの代わりにxaと書くことで定義されます。これは単なる表記の変更ではありません。右加群の最後の公理（つまりx ( ab ) = ( xa ) b）は、右加群に左乗法（環の元による）を用いると、 ( ab ) x = b ( ax )となります。

モジュールの基本的な例としては、リング自体を含むイデアルが挙げられます。

定義は似ているものの、加群の理論はベクトル空間の理論よりもはるかに複雑です。主な理由は、ベクトル空間とは異なり、加群は（同型性を除いて）単一の不変量（ベクトル空間の次元）によって特徴付けられないことです。特に、すべての加群が基底を持つわけではありません。

加群の公理は、(−1) x = − xが成り立つことを意味しており、最初のマイナスは環における加法逆元を表し、2番目のマイナスは加群における加法逆元を表す。これを用い、繰り返し加算を正の整数による乗算で表すことで、整数環上の加群とアーベル群を同一視することができる。

任意の環準同型は加群の構造を誘導する。すなわち、f  : R → Sが環準同型ならば、乗法rs = f ( r ) sにより、 SはR上の左加群となる。Rが可換であるか、f ( R )がSの中心に含まれる場合、環SはR代数と呼ばれる。特に、任意の環は整数上の代数である。

建設

直接製品

RとSを環とします。すると、積R × Sは次の自然な環構造を備えることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})\\&(r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})\end{aligned}}}$

任意のr ₁、r _{2 が}Rに、任意のs ₁、s _{2 が}Sに それぞれ存在する。上記の加法と乗法の演算と乗法単位元(1, 1)を持つ環R × Sは、 Rと Sの直積と呼ばれる。同じ構成は任意の環族に対しても成り立つ。すなわち、 R _iが集合Iで添字付けされた環であるとき、 は成分ごとの加法と乗法を持つ環である。 ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$

R を可換環とし、i ≠ jとなるイデアルとする。このとき、中国剰余定理によれば、標準環同型が存在する。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)}$ $${\displaystyle R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{R/{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x{\bmod {\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}}}\mapsto (x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{1},\ldots ,x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{n}).}$$

「有限」直積はイデアルの直和とみなすこともできる。^{[ 36 ]}すなわち、環を とし、その像への包含（特に は環であるが部分環ではない）とする。するとはRのイデアルとなり、 は アーベル群の直和となる（アーベル群では有限積は直和と同じであるため）。明らかに、このようなイデアルの直和は Rと同型の環の積も定義する。同様に、上記は中心冪等元を用いて行うことができる。R が上記の分解を持つと仮定する。すると と書ける。 上の条件により、 e _iは中心冪等元であり、 e _i e _j = 0、i ≠ j（直交）となる。ここでも、この構成を逆にすることができる。すなわち、直交中心冪等元における 1 の分割が与えられた場合、が両側イデアルであるとする。各e _{i が}直交中心冪等元の和でない場合、^{[ e ]}、それらの直和は Rと同型です。 ${\displaystyle R_{i},1\leq i\leq n}$ ${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ $${\displaystyle R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}}$$ $${\displaystyle 1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}.}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i},}$

無限直積の重要な応用として、環の射影極限の構成が挙げられる（下記参照）。もう一つの応用として、環族の制限積が挙げられる（アデーレ環を参照）。

多項式環

記号t（変数と呼ばれる）と可換環 Rが与えられたとき、多項式集合

${\displaystyle R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}}$

通常の加法と乗法で可換環を形成し、R を部分環として含む。これはR上の 多項式環と呼ばれる。より一般に、変数に関する多項式全体の集合は可換環を形成し、Rを部分環として 含む。${\displaystyle R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ ${\displaystyle R\left[t_{i}\right]}$

Rが整域ならば、R [ t ]も整域である。その分数体は有理関数体 である。R がネーター環 ならば、 R [ t ]もネーター環である。Rが一意の因数分解域 ならば、R [ t ]も一意の因数分解域である。最後に、R が体であるための必要十分条件は、 R [ t ]が主イデアル域 となることである。

を可換環とする。Sの 元xが与えられたとき、環準同型を考えることができる 。${\displaystyle R\subseteq S}$

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)}$

（つまり、置換）。S = R [ t ]かつx = tのとき、f ( t ) = fとなる。このため、多項式fはしばしばf ( t )とも表記される。写像⁠ ⁠${\displaystyle f\mapsto f(x)}$ の像はR [ x ]と表記され、これはRと xによって生成されるSの部分環と同じものである。

例:準同型写像の像を表す ${\displaystyle k\left[t^{2},t^{3}\right]}$

${\displaystyle k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).}$

つまり、t ²と t ³によって生成されるk [ t ]の部分代数です。

例：f を一変数多項式、すなわち多項式環Rの元とします。すると、f ( x + h )はR [ h ]の元となり、f ( x + h ) - f ( x )はその環においてhで割り切れます。 ( f ( x + h ) - f ( x )) / hにおいてhにゼロを代入すると、 fのxにおける 微分f' ( x )が得られます。

置換は多項式環の普遍性に関する特別な場合である。この性質は、環準同型とSの元xが与えられたとき、ϕに制限されるような環準同型が唯一存在することを示している。^{[ 37 ]}例えば、基底を選ぶと、対称代数は普遍性を満たし、多項式環も普遍性を満たす。 ${\displaystyle \phi :R\to S}$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}:R[t]\to S}$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}(t)=x}$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

例を挙げると、S をRからそれ自身へのすべての関数の環とする。加法と乗法は関数のそれと同じである。x を恒等関数とする。Rの各rは定数関数を定義し、準同型R → Sが生じる。普遍性は、この写像が一意に拡張されることを意味する 。

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}}$

( t はxに写像される) ここで はfによって定義される多項式関数である。結果として得られる写像は、 Rが無限大の場合にのみ単射となる。 ${\displaystyle {\overline {f}}}$

R [ t ]の非定数モニック多項式fが与えられたとき、 Rを含む環Sが存在し、 fはS [ t ]の線型因子の積となる。^{[ 38 ]}

k を代数的に閉体とする。ヒルベルトの零点定理（零点定理）は、 k n の素イデアル全体の集合と k ⁿの閉部分多様体の集合との間に自然な一対一対応が存在することを述べている。特に、代数幾何学における多くの局所問題は、多項式環のイデアルの生成元の研究を通して解明できる可能性がある。（グレブナー基底を参照。） ${\displaystyle k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$

他にも関連する構成がいくつかある。形式冪級数環は 形式冪級数から構成される。 ${\displaystyle R[\![t]\!]}$

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R}$

収束級数の乗算と加算を模倣した関数も含む。R [ t ] を部分環として含む。形式的冪級数環は多項式環の普遍性を持たない。つまり、級数は置換後に収束しない可能性がある。形式的冪級数環が多項式環に対して持つ重要な利点は、局所的（つまり完全）である点である。

行列環と準同型環

R を環とする（必ずしも可換ではない）。R を要素とするn次元の正方行列全体の集合は、要素ごとの加法と通常の行列乗算によって環を形成する。これは行列環と呼ばれ、 M _n ( R )と表記される。右R加群Uが与えられたとき、 Uからそれ自身へのR線型写像全体の集合は、関数の加法と関数の合成による乗法を持つ環を形成する。これはUの自己準同型環と呼ばれ、 End _R ( U )と表記される。

線型代数と同様に、行列環は標準的な自己準同型環として解釈できる。これは、次の事実の特別な場合である。 がR線型写像である場合、 fはS = End _R ( U )に要素f _ijを持つ行列として表すことができ、その結果、環同型が得られる。 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R).}$ ${\displaystyle f:\oplus _{1}^{n}U\to \oplus _{1}^{n}U}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij}).}$

任意の環準同型R → SはM _n ( R ) → M _n ( S )を誘導する。^{[ 39 ]}

シュアーの補題によれば、Uが単純右R加群ならばEnd _R ( U )は除算環となる。^{[ 40 ]}が m _i個の単純R加群の直和ならば${\displaystyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$ ${\displaystyle U_{i},}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i})).}$

アルティン・ウェダーバーンの定理によれば、任意の半単純環（下記参照）はこの形式になります。

環Rとその上の行列環M _n ( R )は森田同値である。すなわち、Rの右加群のカテゴリはM _n ( R )上の右加群のカテゴリと同値である。^{[ 39 ]}特に、 Rの両側イデアルはM _n ( R )の両側イデアルに一対一に対応する。

環の極限と余極限

R _{i を}環の列とし、すべて_{の i に対して R i +} 1の部分_環とする。R iの和集合（またはフィルタード・コリミット）は、次のように定義される環である。R _iの和集合は、同値関係x ~ yを法とするすべてのR _iの非結合和集合であり、かつ十分に大きいiに対してR _iにおいてx = y が成立する場合に限る。 ${\displaystyle \varinjlim R_{i}}$

余極限の例:

• 無限変数の多項式環:${\displaystyle R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].}$
• 同じ特性を持つ有限体の代数的閉包${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.}$
• 体k上の代数多様体の関数体とは、極限が空でない開部分集合Uのすべての座標環k [ U ]を通る場所です（より簡潔に言えば、ジェネリック点における構造層の茎です）。${\displaystyle \varinjlim k[U]}$

任意の環はその有限生成部分環のフィルタされた余極限（和集合）である。

環の射影極限（またはフィルター極限）は次のように定義されます。正の整数上の環族R _i , iと、環準同型R _j → R _i , j ≥ iが与えられ、 R _i → R _{i が}すべての恒等写像であり、 _k ≥ j ≥ iのときはいつでもR k → R _j → R _iがR _k → R _iとなるとします。すると、R _j → R _i , j ≥ iのもとでx _jがx _iに写像されるような( x _n )からなるの部分環が与えられます。 ${\displaystyle \varprojlim R_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \prod R_{i}}$

射影極限の例については、§ 完成を参照してください。

ローカリゼーション

局所化は、整域の分数体の構成を任意の環と加群に一般化する。（必ずしも可換ではない）環RとRの部分集合Sが与えられたとき、 S を「反転」する環準同型写像を伴う環が存在する。すなわち、準同型写像はSの元を の単位元に写し、さらに、S を「反転」するRからの任意の環準同型は、 を通して一意に因数分解される^{[ 41 ]。}この環はSに関するRの局所化と呼ばれる。例えば、Rが可換環でfがRの元である場合、局所化は（正確には）の形の元から構成される^{[ 42 ]。}${\displaystyle R[S^{-1}]}$ ${\displaystyle R\to R\left[S^{-1}\right]}$ ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right],}$ ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$ ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$ ${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]}$ ${\displaystyle r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0}$ ${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).}$

局所化は、 Rの素イデアル（または素イデアルの和）の補環に関して、 可換環Rによく適用される。その場合、 はと書くことが多い。すると は極大イデアルを持つ局所環となる。これが「局所化」という用語の由来である。整域Rの分数体とは、素イデアル零点におけるRの局所化である。 が可換環 Rの素イデアルである場合、 の分数体は局所環の留数体と同じであり、 と表記される。${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}},}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {p}}).}$

Mが左R加群ならば、 Sに関するMの局所化は環の変換によって与えられる。${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M.}$

局所化の最も重要な性質は次の通りである：Rが可換環であり、Sが乗法的に閉じた部分集合で あるとき

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]}$ は、 Sと交わらないRのすべての素イデアルの集合と^{[ 43 ]}のすべての素イデアルの集合との間の一対一集合である。${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$
• ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right],}$ fはSの要素を、割り切れるかどうかで決まる半順序に従って巡回する。^{[ 44 ]}
• 局所化は正確です:がR上で正確であれば、は 上で正確 です。$${\displaystyle 0\to M'\left[S^{-1}\right]\to M\left[S^{-1}\right]\to M''\left[S^{-1}\right]\to 0}$$ ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$ ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• 逆に、任意の最大イデアルに対して が正確であれば、は正確です。${\displaystyle 0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$ ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• 注意：局所化は大域的存在の証明には役立ちません。例えば、2つの加群がすべての素イデアルにおいて同型であっても、それらが同型であるとは限らないということがあります。（これを説明する一つの方法は、局所化によって加群を素イデアル上の層と見なすことが可能になり、層は本質的に局所的な概念であるというものです。）

圏論において、圏の局所化とは、いくつかの射を同型にすることである。可換環Rの元は、任意のR -加群の自己準同型と考えることができる。したがって、圏論的に、Rの部分集合Sに関するRの局所化は、 R -加群の圏から自身への関手であり、自己準同型として見たSの元を自己同型に写像し、この性質に関して普遍的である。（もちろん、このときRは -加群に写像し、R -加群は -加群に写像する。） ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$ ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$

完了

R を可換環とし、IをRのイデアルとする 。IにおけるRの完備化は射影極限であり、それが可換環であることを表す。Rから商への標準準同型は準同型を誘導する。後者の準同型は、 Rがネーター整域でI が真イデアルの場合、またはRが最大イデアルIを持つネーター局所環の場合、クルルの交差定理により、単射となる。^{[ 45 ]}この構成はI が最大イデアルの 場合に特に有用である。${\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n};}$ ${\displaystyle R/I^{n}}$ ${\displaystyle R\to {\hat {R}}.}$

基本的な例は、素数pによって生成される主イデアル( p )での⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ の完備化です。これはp進整数の環と呼ばれ、 ⁠ ⁠と表記されます。この場合の完備化は、⁠ ⁠上のp進絶対値からも構築できます。 ⁠ ⁠上のp進絶対値は、 ⁠ ⁠から⁠ ⁠への写像で、 によって与えられます。ここで、は非ゼロ整数nを素因数分解する際のpの指数を表します( および も示します) 。 ⁠ ⁠上の距離関数を定義し、 ⁠ ⁠を距離空間として完備化することは⁠ ⁠で表されます。これは、体の演算が完備化まで拡張されるため、再び体です。 | x | _p ≤ 1となる要素xからなる⁠ ⁠の部分環は、⁠ ⁠と同型です 。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\mapsto |x|}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$ ${\displaystyle v_{p}(n)}$ ${\displaystyle |0|_{p}=0}$ ${\displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$

同様に、形式冪級数環R [{[ t ]}]はR [ t ]の( t )における完備化である（ヘンゼルの補題も参照）。

完備環は可換環よりもはるかに単純な構造を持つ。これはコーエン構造定理によるもので、大まかに言えば、完備局所環は形式的冪級数環またはその商に似たものになりやすいと述べている。一方、整閉包と完備化の相互作用は、現代の可換環論をノイマンらが発展させた古典的な可換環論と区別する最も重要な側面の一つである。永田が発見した病的な例は、ノイマン環の役割の再検討につながり、とりわけ優れた環の定義の動機となった。

生成元と関係を持つ環

環を構成する最も一般的な方法は、生成元と関係式を指定することである。Fを記号集合Xを持つ自由環（つまり、整数上の自由代数）とする。つまり、FはXの元である非可換変数に整数係数を持つ多項式から構成される。自由環は普遍性を満たす。すなわち、集合Xから環Rへの任意の関数はFを通り因数分解され、 F → Rが唯一の環準同型となる。群の場合と同様に、すべての環は自由環の商として表すことができる。^{[ 46 ]}

ここで、商を取ることでXのシンボル間に関係を課すことができます。具体的には、 EがFの部分集合である場合、 Eによって生成されるイデアルによるFの商環は、生成元Xと関係Eを持つ環と呼ばれます。 ⁠ ⁠の代わりに環、例えばA を基底環として使用した場合、結果として得られる環はA上の環になります。例えば、 の場合、結果として得られる環は、Aの係数がXの要素である変数である通常の多項式環になります（これは、シンボルXを持つA上の対称代数と同じものです）。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle E=\{xy-yx\mid x,y\in X\},}$

カテゴリー理論の用語では、この形成は、環のカテゴリーから集合への忘却関手の左随伴関手です（自由環関手と呼ばれることもあります）。 ${\displaystyle S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S}$

A , Bを可換環R上の代数と する。R加群のテンソル積は、乗法が次式で表されるR代数である。${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv.}$

特殊な種類の指輪

ドメイン

非零の零因子を持たない非零環は、整域と呼ばれる。可換整域は、整域と呼ばれる。最も重要な整域は、主イデアル整域（略してPID）と体である。主イデアル整域とは、すべてのイデアルが主である整域である。PIDを含む重要な整域のクラスは、一意因数分解域（UFD）である。これは、すべての非単位元が素元の積である整域である（元が素イデアルを生成する場合、その元は素である）。代数的整数論における基本的な問題は、数体の（一般化）整数の環（「イデアル」が素因数分解を許容する場合）が、どの程度PIDではなくなるかという ことである。

PIDに関する定理の中で最も重要なのは、主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理である。この定理は、線形代数への次の応用によって説明できる。^{[ 47 ]} Vを体k上の有限次元ベクトル空間とし、f  : V → Vを最小多項式qを持つ線型写像とする。すると、k [ t ]は一意の因数分解領域であるため、qは異なる既約多項式（つまり、素元）のべき乗に因数分解される。 $${\displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.}$$

Vをk [ t ]加群とします。構造定理によれば、Vは巡回加群の直和であり、各加群は形式 の加群と同型です。ここで、 とすると、そのような巡回加群（p _iに対して）は、 fの制約がジョルダン行列で表される基底を持ちます。したがって、例えばkが代数的に閉じている場合、すべてのp _iはt – λ _iの形式となり、上記の分解はfのジョルダン標準形に対応します。 ${\displaystyle t\cdot v=f(v),}$ ${\displaystyle k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right).}$ ${\displaystyle p_{i}(t)=t-\lambda _{i},}$

例を挙げたリングのいくつかのクラスの階層。

代数幾何学において、UFDは滑らかさのゆえに生じる。より正確には、多様体（完全体上）の点が滑らかであるとは、その点における局所環が正則局所環であることを意味する。正則局所環はUFDである。^{[ 48 ]}

以下は、リング、ドメイン、およびフィールド間の関係を記述する クラス包含のチェーンです。

乱数⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃ GCD 域⊃一意因数分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数的に閉体

分割リング

分割環とは、すべての非零元が単位元となる環である。可換分割環は体である。体ではない分割環の代表的な例としては、四元数環が挙げられる。分割環の中心化元も分割環である。特に、分割環の中心は体である。すべての有限領域（特に有限分割環）は体であり、特に可換であることがわかった（ウェダーバーンの小定理）。

分割環上のすべてのモジュールは自由モジュール（基底を持つ）です。したがって、線形代数の多くは、体ではなく分割環上で実行できます。

共役類の研究は、古典的な除算環の理論において重要な役割を果たします。たとえば、カルタン・ブラウアー・フアの定理を参照してください。

巡回代数は、 LE Dicksonによって導入され、四元数代数の一般化です。

半単純リング

半単純加群は単純加群の直和です。半単純環は、それ自身の左加群（または右加群）として半単純となる環です。

例

• 分割環は半単純（かつ単純）である。
• 任意の除算環Dと正の整数nに対して、行列環M _n ( D )は半単純（かつ単純）である。
• 体kと有限群Gに対して、群環kGが半単純であるためには、kの標数がGの位数を割り切らない必要がある(マシュケの定理)。
• クリフォード代数は半単純です。

体上のワイル代数は単純環 であるが、半単純環ではない。多変数微分作用素環についても同様である。

プロパティ

半単純環上の任意の加群は半単純である。(証明: 半単純環上の自由加群は半単純であり、任意の加群は自由加群の商である。)

環Rの場合、以下は同値です。

• Rは半単純です。
• Rはアルティニアンかつセミプリミティブです。
• Rは有限直積 であり、各n _iは正の整数、各D _{i は}分割環です ( Artin–Wedderburn の定理)。${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$

半単純性は分離可能性と密接に関連している。体k上の単位結合代数Aは、任意の体拡大F / kに対して基底拡大が半単純であるとき、分離可能と呼ばれる。Aが体である場合、これは体論における通常の定義と同値である（分離可能拡大を参照）。 ${\displaystyle A\otimes _{k}F}$

中心単純代数とブラウアー群

体kに対して、k -代数はその中心がkであるとき中心代数であり、単純環であるとき単純代数はである。単純k -代数の中心は体であるため、任意の単純k -代数はその中心上の中心単純代数である。この節では、中心単純代数は有限次元であると仮定する。また、基底体は主に固定するため、代数はk -代数を指す。環R上の大きさnの行列環はR _nと表記される。

スコーレム・ノイマン定理は、中心単純代数の任意の自己同型は内部自己同型であることを述べています。

二つの中心単純代数AとBは、整数nとmが存在して^{[ 49 ]}となるとき、相似であるという。相似関係は同値関係であるからである。相似類[ A ]は乗法とともにkのブラウアー群と呼ばれるアーベル群を形成し、 Br( k )と表記される。アルティン・ウェダーバーンの定理によれば、中心単純代数は分環の行列環である。したがって、各相似類は一意の分環によって表される。 ${\displaystyle A\otimes _{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}.}$ ${\displaystyle k_{n}\otimes _{k}k_{m}\simeq k_{nm},}$ ${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]}$

例えば、k が有限体または代数閉体（より一般的には準代数閉体;ツェンの定理 参照）である場合、 Br( k )は自明である。 は位数2である（フロベニウスの定理の特別な場合）。最後に、kが非アルキメデス的局所体（例えば⁠ ⁠）である場合、不変写像を通してが成り立つ。 ${\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \operatorname {Br} (k)=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

ここで、Fがkの体拡大ならば、基底拡大はBr( k ) → Br( F )を誘導する。その核はBr( F / k )と表記される。これは、F上の行列環となる[ A ]から構成される（つまり、AはFで分解される）。拡大が有限かつガロアならば、Br( F / k )は^{[ 50 ]}と標準同型である。${\displaystyle -\otimes _{k}F}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}F}$ ${\displaystyle H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right).}$

アズマヤ代数は、中心単純代数の概念を可換局所環に一般化します。

評価リング

Kが体である場合、付値vは乗法群K ^∗から全順序アーベル群Gへの群準同型であり、Kの任意のf、gでf + gが非零であるとき、v ( f + g ) ≥ min{ v ( f ), v ( g )}が成立する。vの付値環は、 Kの部分環であり、零とすべての非零fから成り、v ( f ) ≥ 0となる。

例:

• 体k上の形式ローラン級数 の体には、fの非零項の最小次数であるv ( f )となるような値vが伴う。vの値環は形式冪級数環である。${\displaystyle k(\!(t)\!)}$ ${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• より一般的には、体kと全順序付きアーベル群Gが与えられたとき、Gからkへの関数のうち、サポート（関数が非ゼロとなる点の集合）が整列しているすべての関数の集合を とします。これは、畳み込みによって与えられる乗算を持つ体です。また、値vを持ち、v ( f )はfのサポートにおける最小の元となります。有限なサポートを持つ元で構成される部分環は、Gの群環と呼ばれます（これは、 G が可換でなくても意味をなします）。G が整数環である場合、前の例を復元します（ n番目の係数 がf ( n )である級数をfと同一視することにより）。${\displaystyle k(\!(G)\!)}$ $${\displaystyle (f*g)(t)=\sum _{s\in G}f(s)g(t-s).}$$

特別な構造を持つリング

環は（加法演算を用いることで）アーベル群とみなすことができ、さらに環の乗法という構造も持つ。同様に、環にさらに構造を持つものとして考えられる数学的対象は他にも存在する。例えば、

• 結合代数とは、体上のベクトル空間でもある環であり、スカラー乗法が環の乗法と両立する。例えば、実体⁠ ⁠上のn行n列の行列の集合は、実ベクトル空間としてn ²次元を持つ。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 環Rが位相環であるとは、その元の集合Rに、加法写像 ( ) と乗法写像⋅ : R × R → R が位相空間間の写像として連続となるような位相が与えられることである（ただし、 X × X は積位相またはカテゴリ内の他の積位相を継承する）。例えば、実数上のn行n列の行列には、ユークリッド位相またはザリスキー位相 のいずれかを与えることができ、どちらの場合でも位相環が得られる。${\displaystyle +:R\times R\to R}$
• λ環は^、 n次の外乗のような演算λn : R → Rを伴う可換環Rである。

  ${\displaystyle \lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y).}$

例えば、⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ は二項係数を持つλ環です。この概念は、リーマン・ロッホの定理への代数的アプローチにおいて中心的な役割を果たします。${\displaystyle \lambda ^{n}(x)={\binom {x}{n}},}$

• 全順序付けされた環は、環演算と互換性のある全順序付けを持つ環です。

指輪の普遍性を示すいくつかの例

さまざまな数学的対象を、なんらかの関連する環の観点から効果的に分析することができます。

位相空間のコホモロジー環

任意の位相空間Xには、その整コホモロジー環を関連付けることができる。

${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X,\mathbb {Z} ),}$

次数付き環。空間 のホモロジー群 も存在し、実際これらは、点集合位相学の方法があまり適していない球面とトーラスのような位相空間の特定のペアを区別するための便利なツールとして最初に定義されました。コホモロジー群は、ベクトル空間の双対とほぼ同様の方法で、ホモロジー群によって後に定義されました。普遍係数定理により、個々の整ホモロジー群を知ることは、個々の整コホモロジー群を知ることと本質的に同じです。しかし、コホモロジー群の利点は、自然積 が存在することです。これは、 k -多重線型形式とl -多重線型形式を点ごとに乗じて( k + l )-多重線型形式を取得できることに似ています。 ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$

コホモロジーにおける環構造は、ファイバー束の特性類、多様体と代数多様体上の交差理論、シューベルト計算などの基礎となります。

グループのバーンサイドリング

任意の群にはバーンサイド環が関連付けられており、バーンサイド環は環を使用して、群が有限集合に作用できるさまざまな方法を記述します。バーンサイド環の加法群は自由アーベル群であり、その基底は群の推移的作用の集合であり、その加法は作用の互いに素な和です。作用を基底で表すと、作用をその推移的構成要素に分解します。乗算は表現環で簡単に表すことができます。バーンサイド環における乗算は、2 つの置換モジュールのテンソル積を置換モジュールとして記述することで形成されます。環構造により、1 つの作用から別の作用を引き算する正式な方法が可能になります。バーンサイド環は表現環の有限添字部分環として含まれているため、係数を整数から有理数に拡張することで、一方から他方へ簡単に移行できます。

群環の表現環

任意の群環またはホップ代数には、その表現環、すなわち「グリーン環」が関連付けられます。表現環の加法群は自由アーベル群であり、その基底は不分解加群であり、その加法は直和に対応します。加群を基底で表すことは、加群の不分解分解を求めることです。乗算はテンソル積です。代数が半単純である場合、表現環は指標環であり、これはほぼグロタンディーク群に環構造が与えられたものと同じです。

既約代数多様体の関数体

任意の既約代数多様体には、その関数体が関連付けられます。代数多様体の点は、関数体 に含まれる付値環 と、座標環を含む付値環に対応します。代数幾何学の研究では、環論的性質の観点から幾何学的概念を研究するために、可換代数を多用します。双有理幾何学は、関数体の部分環間の写像を研究します。

単体複合体の面環

すべての単体複体には、スタンレー・ライスナー環とも呼ばれる面環が関連付けられています。この環は単体複体の多くの組合せ論的性質を反映しているため、代数的組合せ論において特に興味深いものです。特に、スタンレー・ライスナー環の代数幾何学は、単体多面体の各次元における面の数を特徴付けるために用いられました。

カテゴリー理論的記述

あらゆる環は、アーベル群の圏Ab （ -加群のテンソル積の下でのモノイド圏と考えられる）におけるモノイドとして考えることができる。環Rのアーベル群へのモノイド作用は、単にR -加群である。本質的に、R -加群はベクトル空間の概念の一般化であり、体上のベクトル空間ではなく、「環上のベクトル空間」を持つ。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

( A , +)をアーベル群とし、End ( A )をその自己準同型環とします（上記参照）。本質的に、End( A )はAのすべての射の集合であり、 f がEnd( A )に含まれ、gがEnd( A )に含まれる場合、以下の規則を用いてf + gとf ⋅ gを計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\&(f\cdot g)(x)=f(g(x)),\end{aligned}}}$

ここで、f ( x ) + g ( x )における+はAにおける加算であり、関数の合成は右から左へ表記される。したがって、任意のアーベル群に関連付けられた は環である。逆に、任意の環、( R , +, ⋅ )が与えられた場合、( R , +)はアーベル群である。さらに、Rのすべてのrについて、 rによる右（または左）乗算により、右（または左）分配法則により、( R , +)の射が生じる。 A = ( R , +)とする。Rの右（または左）乗算を「因数分解する」Aの自己準同型を考えてみよう。言い換えれば、m ( r ⋅ x ) = r ⋅ m ( x )という特性を持つAのすべての射mの集合をEnd _R ( A )としよう。Rの任意のrはAの射、すなわちrによる右乗法を生じることが分かった。実際、Rの任意の元とAの射（ RからEnd _R ( A )への関数）との関連付けは、環の同型である。したがってこの意味で、任意の環はあるアーベルX群の自己準同型環と見なすことができる（X群とは、 Xがその作用素の集合である群を意味する）。^{[ 51 ]}本質的に、環の最も一般的な形は、あるアーベルX群の自己準同型群である。

任意の環は、単一の対象を持つ前加法圏と見なすことができます。したがって、任意の前加法圏を環の一般化と見なすのは自然なことです。実際、環に対して元々与えられた多くの定義や定理は、このより一般的な文脈に翻訳することができます。前加法圏間の加法関手は環準同型の概念を一般化し、加法圏のイデアルは任意の射と加法および合成に関して閉じた 射の集合として定義できます。

一般化

代数学者は環の公理の一部を弱めたり削除したりすることで、環よりも一般的な構造を定義してきました。

乱数

rngは環と同じですが、乗法単位元の存在が仮定されていない点が異なります。^{[ 52 ]}

非結合環

非結合環とは、結合性と乗法単位元の存在を除くすべての環公理を満たす代数構造である。注目すべき例としてリー代数があげられる。このような代数には、リー代数と結合代数に対する類似の結果を一般化する構造理論が存在する。

セミリング

半環（場合によってはrig ）は、 （R、+）が可換モノイドであるという仮定に対して（R、+）がアーベル群であるという仮定を弱め、 R内のすべてのaに対して0⋅a = a⋅0 = 0という公理を追加することによって得られます（他の公理から従わなくなるため）。

例:

• 通常の加算と乗算による非負整数。${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$
• 熱帯半環。

その他のリング状物体

カテゴリ内のリングオブジェクト

C を有限積を持つ圏とする。ptをCの終端対象（空積）とする。Cの環対象とは、通常の環公理を満たす射（加法）、（乗法）、（加法恒等）、（加法逆）、 （乗法恒等）を備えた対象Rである。同様に、環対象とは、環の圏を通して点の関数を因数分解した対象Rである。${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R}$ ${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R}$ ${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}\,R}$ ${\displaystyle R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R}$ ${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R}$ ${\displaystyle h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets} }$ ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets} .}$

リングスキーム

代数幾何学において、基本スキームS上の環スキームは、 Sスキームの圏における環対象である。一例として、任意の可換環Aに対して、A上の長さnの_p同型ウィットベクトルの環W _n ( A )を返す環スキームW n ( A )がある。^{[ 53 ]}${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$

リングスペクトル

代数位相幾何学において、環スペクトルとは、スペクトルXと、球面スペクトルSからの乗法および単位写像S → Xとの組み合わせであり、環公理図式はホモトピーに至るまで可換となる。実際には、環スペクトルを、対称スペクトルの圏のようなスペクトルの良い圏におけるモノイド対象として定義するのが一般的である。 ${\displaystyle \mu :X\wedge X\to X}$

参照

• 可換環上の代数
• カテゴリカルリング
• リングのカテゴリー
• 環理論の用語集
• 非結合代数
• セットのリング
• セミリング
• リングのスペクトル
• 単体可換環

特殊なタイプのリング:

• ブールリング
• デデキント環
• 差動リング
• 指数環
• 有限環
• ジャファードリング
• 嘘リング
• ローカルリング
• ネーター環とアルティン環
• オーダーリング
• ポアソン環
• リングの縮小
• レギュラーリング
• 周期の輪
• SBIリング
• 評価環と離散評価環

注記

1. これは、各操作が定義され、 Rの要素の順序付けられたペアごとにRで一意の結果を生成することを意味します。
2. 1の存在は一部の著者によって仮定されていない。ここでは、乗法単位元の存在が仮定されていない場合にrngという用語が使用される。次のサブセクションを参照。
3. プーネンは、「結合法則の自然な拡張は環が空積を含むことを要求するので、環が 1を持つことを要求するのは自然である」と主張している。
4. Lang などの他の著者は、ゼロの約数がゼロ以外であることも要求しています。
5. このような中心冪等性は中心原始的と呼ばれます。

引用

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