岩澤理論の主予想
| 分野 | 代数的数論岩澤理論 |
|---|---|
| 推測 | 岩沢健吉 |
| 推測では | 1969 |
| 最初の証明 | バリー・マズールアンドリュー・ワイルズ |
| 最初の校正 | 1984 |
数学において、岩澤理論の主予想は、 p進L関数と円分体のイデアル類群との深い関係性に関するもので、クンマー・ヴァンディバー予想を満たす素数については岩澤健吉によって証明され、すべての素数についてはマズールとワイルズ（1984）によって証明された。エルブラン・リベットの定理とグラス予想は、どちらも主予想から容易に導かれる帰結である。主予想には、全実体、[ 1 ] CM体、楕円曲線など への一般化がいくつかある。
モチベーション
岩澤（1969a）は、有限体上の代数曲線のゼータ関数をそのヤコビ多様体上のフロベニウス自己準同型の固有値で記述したヴェイユの記述との類似性に一部基づいていた。この類似性において、
- フロベニウスの作用は、Γ 群の作用に対応します。
- 曲線のヤコビアンは、イデアル類群の観点から定義された Γ 上のモジュールXに対応します。
- 有限体上の曲線のゼータ関数は、p進L関数に対応します。
- フロベニウスの固有値と曲線のゼータ関数の零点を関連付けるヴェイユの定理は、X上の岩澤代数の作用とp進ゼータ関数の零点を関連付ける岩澤の主予想に対応する。
歴史
岩澤理論の主要予想は、p進L関数を定義する2つの方法（加群論による方法と補間による方法）が、それが明確に定義されている限りにおいて一致するはずであるという主張として定式化された。これは、Mazur & Wiles (1984)によってQに対して、またWiles (1990)によってすべての全実数体に対して証明された。これらの証明は、ケン・リベットによるエルブランの定理の逆の証明（エルブラン・リベットの定理） をモデルにしている。
カール・ルービンは、ラング（1990）とワシントン（1997）で説明されているタイネ法とコリヴァギンのオイラー体系を使用して、マズール・ワイルズの定理のより基本的な証明を見つけ、後に虚二次体に対する主予想の他の一般化を証明した。[ 2 ]
2014 年に、クリストファー・スキナーとエリック・アーバンは、モジュラー形式の大きなクラスに対する主要予想のいくつかのケースを証明しました。[ 3 ]結果として、有理数上のモジュラー楕円曲線について、 s = 1でEのハッセ・ヴァイルのL関数L ( E、 s )が消滅することは、Eのp進セルマー群が無限である ことを意味することを証明しました。グロス・ザギエとコリヴァギンの定理と組み合わせることで、 L ( E 、1) = 0の場合に限り、 Eに無限個の有理点が存在するという予想の条件付き証明 (テイト・シャファレビッチ予想に基づく) が得られました。これはバーチ・スウィナートン・ダイアー予想の (弱い) 形式です。これらの結果は、マンジュル・バーガヴァ、スキナー、ウェイ・チャンによって、楕円曲線の正の割合がバーチ・スウィナートン・ダイアー予想を満たすことを証明するために使用されました。[ 4 ] [ 5 ]
声明
- pは素数です。
- F nは体Q (ζ) であり、ζ は位数p n +1の単位根である。
- Γはp進整数に同型なF∞の絶対ガロア群の最大の部分群である。
- γ は Γ の位相的生成元です。
- L nはF nのp -ヒルベルト類体です。
- H nはガロア群 Gal( L n / F n ) であり、位数がpのべき乗であるF nの理想類群の元の部分群と同型です。
- H ∞はガロア群H nの逆極限である。
- Vはベクトル空間H∞⊗ZpQpです。
- ω はTeichmüller 指標です。
- V iはVのω i固有空間です。
- h p (ω i , T )はベクトル空間V iに作用するγの特性多項式である。
- L pはp 進 L 関数で、L p (ω i ,1– k ) = –B k (ω i – k )/ kとなります。ここで、Bは一般化ベルヌーイ数です。
- uは、ζ のすべての p 乗根に対してγ(ζ) = ζ u を満たす唯一の p 進数です。
- G pはG p (ω i , u s –1) = L p (ω i , s )のべき級数です。
マズールとワイルズによって証明された岩澤理論の主要予想は、i が1 mod p –1と合同でない奇数の整数である場合、 h p (ω i , T ) とG p (ω 1– i , T )によって生成されるイデアルは等しいというものです。
![{\displaystyle \mathbf {Z} _{p}[[T]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea09a2b8779d7d214977c5be10c7292d1db95d6)
注記
出典
- ベイカー、マット (2014-03-10)、「BSD予想はほとんどの楕円曲線に当てはまる」、マット・ベイカーの数学ブログ、 2019年2月24日閲覧
- Bhargava, Manjul; Skinner, Christopher; Zhang, Wei (2014-07-07)「$\mathbb Q$ 上の楕円曲線の大多数は Birch および Swinnerton-Dyer 予想を満たす」arXiv : 1407.1826 [ math.NT ]
- コーツ、ジョン；スジャタ、R.（2006）、サイクロトミック体とゼータ値、シュプリンガー数学モノグラフ、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-33068-4、Zbl 1100.11002
- 岩澤健吉 (1964)、「円分体論におけるいくつかの加群について」、日本数学会誌、16 : 42– 82、doi : 10.2969/jmsj/01610042、ISSN 0025-5645、MR 0215811
- 岩沢健吉 (1969a)、「数体と関数体の類推」、基礎科学の最近の進歩、第2巻（1965-1966年イェシヴァ大学ベルファー大学院理学研究科年次科学会議）、イェシヴァ大学ベルファー大学院理学研究科、ニューヨーク、pp. 203– 208、MR 0255510
- 岩沢健吉 (1969b)、「p進L関数について」、Annals of Mathematics、Second Series、89 (1): 198– 205、doi : 10.2307/1970817、ISSN 0003-486X、JSTOR 1970817、MR 0269627
- カクデ, マヘシュ(2013), 「全実体体に対する岩澤理論の主予想」, Inventiones Mathematicae , 193 (3): 539– 626, arXiv : 1008.0142 , Bibcode : 2013InMat.193..539K , doi : 10.1007/s00222-012-0436-x , MR 3091976
- Lang, Serge (1990), Cyclotomic fields I and II , Graduate Texts in Mathematics , vol. 121, With an appendix by Karl Rubin (Combined 2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96671-7、Zbl 0704.11038
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