ヤン・ミルズ方程式
R 4の(x 1 ,x 2 )スライス上のBPST インスタントンのdx 1 ⊗σ 3係数。ここでσ 3は第 3パウリ行列です(左上)。dx 2 ⊗σ 3係数 (右上)。 これらの係数は、 g=2、ρ=1、z=0であるBPST インスタントンAのこのスライスへの制限を決定します。 z=0を中心とする対応する場の強度(左下)。R 4のコンパクト化S 4上の中心zを持つ BPST インスタントンの場の強度の視覚的表現 (右下)。 BPST インスタントンは、 R 4上の反自己双対方程式の解であり、したがってヤン–ミルズ方程式の解です。 この解は、ウーレンベックの特異点定理除去可能特異点定理によって、 S 4上の位相的に非自明な ASD 接続に拡張できます。

物理学と数学、特に微分幾何学とゲージ理論において、ヤン＝ミルズ方程式はベクトル束または主束上の接続に対する偏微分方程式系である。物理学においては、ヤン＝ミルズ作用汎関数のオイラー＝ラグランジュ方程式として現れる。また、数学においても重要な用途が見出されている。

これらの方程式の解はヤン＝ミルズ接続またはインスタントンと呼ばれる。ヤン＝ミルズモジュライ空間は、サイモン・ドナルドソンによってドナルドソンの定理を証明するために用いられた。

モチベーション

物理

ゲージ理論に関する基礎論文で、ロバート・ミルズとチェンニン・ヤンは（本質的に数学の文献から独立して）主束と接続の理論を展開し、ゲージ対称性やゲージ不変性の概念が物理理論に適用されることを説明した。[ 1 ]ヤンとミルズが発見したゲージ理論（現在ではヤン＝ミルズ理論と呼ばれている）は、ヴォルフガング・パウリらによってゲージ理論の言語で表現されたジェームズ・マクスウェルのマクスウェル方程式に関する古典的な研究を一般化した。[ 2 ]ヤンとミルズの研究の目新しさは、構造群（物理学ではゲージ群、詳細はゲージ群（数学）を参照）と呼ばれるリー群の任意の選択に対してゲージ理論を定義した点である。この群は、電磁気学に対応する場合とは異なり、非アーベル群である可能性があり、そのような対象を議論する適切な枠組みは主束の理論である。 あなた⁡（1）{\displaystyle \operatorname {U} (1)}G{\displaystyle G}G＝あなた⁡（1）{\displaystyle G=\operatorname {U} (1)}

ヤンとミルズの研究の要点は以下の通りである。物理モデルの基本記述は場を用いて行われると仮定し、局所ゲージ変換（主束の局所自明化の変化）の下では、これらの物理場は主束上の接続（物理学ではゲージ場）が変換するのと全く同じように変換されなければならないことを導く。ゲージ場の強度は接続の曲率であり、ゲージ場のエネルギーは（定数を除いて）ヤン・ミルズ作用汎関数[ 3 ] [ 4 ]によって与えられる。あ{\displaystyle A}Fあ{\displaystyle F_{A}}

YM⁡（あ）＝∫X‖Fあ‖2dvolグラム。{\displaystyle \operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}.}

最小作用の原理によれば、この物理理論の正しい運動方程式はこの関数のオイラー・ラグランジュ方程式で与えられるはずであり、それは以下で導かれるヤン・ミルズ方程式である：[ 5 ]

dあ⋆Fあ＝0。{\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0.}

数学

ヤン＝ミルズ方程式は、理論の物理的な起源に加えて、幾何学的にも重要な関心事である。一般に、ベクトル束や主束上の接続は自然に選択されない。この束がリーマン多様体 の接束である特殊な場合には、レヴィ＝チヴィタ接続という自然な選択が存在するが、一般には無限次元の選択肢が存在する。ヤン＝ミルズ接続は、一般的なファイバー束に対して、ここで説明するように、ある種の自然な接続の選択を与える。

接続は、バンドル の自明化開被覆の局所形式により定義されます。標準的な接続を選択する最初の試みは、これらの形式が消えることを要求することです。しかし、遷移関数が定数関数であるという意味で自明化が平坦でない限り、これは不可能です。すべてのバンドルが平坦であるとは限らないため、一般にこれは不可能です。代わりに、局所接続形式自体が定数であることを要求できます。主バンドル上でこの条件を正しく表現する方法は、曲率[ 6 ]が消えることです。しかし、チャーン-ヴェイユ理論によれば、曲率が消える場合 (つまり、平坦接続である場合)、基礎となる主バンドルは自明なチャーン類を持つ必要があり、これは平坦接続の存在に対する位相的な障害です。つまり、すべての主バンドルが平坦接続を持つことができるわけではありません。 あα∈Ω1（あなたα、広告⁡（P））{\displaystyle A_{\alpha}\in \Omega^{1}(U_{\alpha},\operatorname {ad} (P))}{あなたα}{\displaystyle \{U_{\alpha }\}}P→X{\displaystyle P\to X}グラムαβ:あなたα∩あなたβ→G{\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}あα{\displaystyle A_{\alpha}}Fあ＝dあ+12[あ、あ]{\displaystyle F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]}Fあ{\displaystyle F_{A}}あ{\displaystyle A}

期待できる最善のことは、曲率がゼロになるのではなく、束の曲率が可能な限り小さくなるようにすることです。上述のヤン＝ミルズ作用汎関数はまさに曲率の -ノルム（の2乗）であり、そのオイラー＝ラグランジュ方程式はこの汎関数の臨界点、すなわち絶対最小値または局所最小値を記述します。つまり、ヤン＝ミルズ接続とは、まさにその曲率を最小化する接続です。この意味で、数学的観点から、ヤン＝ミルズ接続は多様体上の主束またはベクトル束における接続として自然な選択です。 L2{\displaystyle L^{2}}

意味

をコンパクトで有向なリーマン多様体 とします。ヤン・ミルズ方程式は、何らかのコンパクト・リー群 に対するベクトル束または 上の主-束 上の接続として表現することができます。ここでは後者の規約を示します。を 上の主 -束 と表記します。すると、上の接続は、主束の全空間上のリー代数値微分形式によって指定できます。この接続は曲率形式を持ち、これはの随伴束に値を持つ上の2 次元形式です。接続に関連付けられているのは、随伴束上で定義されている外共変微分です。さらに、はコンパクトであるため、その関連付けられたコンパクト・リー代数は、随伴表現 の下で不変内積を許容します。 X{\displaystyle X}G{\displaystyle G}X{\displaystyle X}G{\displaystyle G}P{\displaystyle P}G{\displaystyle G}X{\displaystyle X}P{\displaystyle P}あ{\displaystyle A}Fあ{\displaystyle F_{A}}X{\displaystyle X}広告⁡（P）{\displaystyle \operatorname {ad} (P)}P{\displaystyle P}あ{\displaystyle A}dあ{\displaystyle d_{A}}G{\displaystyle G}

はリーマン関数なので、余接バンドル上に内積が存在し、 上の不変内積と組み合わせることで、 上の-値2次元形式のバンドル 上に内積が存在する。 は有向なので、このバンドルの切断上に -内積が 存在する。つまり、X{\displaystyle X}広告⁡（P）{\displaystyle \operatorname {ad} (P)}広告⁡（P）⊗Λ2T∗X{\displaystyle \operatorname {ad} (P)\otimes \Lambda ^{2}T^{*}X}広告⁡（P）{\displaystyle \operatorname {ad} (P)}X{\displaystyle X}X{\displaystyle X}L2{\displaystyle L^{2}}

⟨s、t⟩L2＝∫X⟨s、t⟩dvolグラム{\displaystyle \langle s,t\rangle _{L^{2}}=\int _{X}\langle s,t\rangle \,dvol_{g}}

ここで積分の内部ではファイバー方向の内積が用いられており、は のリーマン体積形式である。この-内積を用いて、の形式的随伴演算子は次のように定義される。 dvolグラム{\displaystyle dvol_{g}}X{\displaystyle X}L2{\displaystyle L^{2}}dあ{\displaystyle d_{A}}

⟨dあs、t⟩L2＝⟨s、dあ∗t⟩L2{\displaystyle \langle d_{A}s,t\rangle _{L^{2}}=\langle s,d_{A}^{*}t\rangle _{L^{2}}}。

明示的には、これは2 形式に作用する ホッジスター演算子によって与えられます。dあ∗＝±⋆dあ⋆{\displaystyle d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star }⋆{\displaystyle \star}

上記の設定を仮定すると、ヤン・ミルズ方程式は（一般に非線形の）偏微分方程式系であり、[ 7 ] [ 8 ] [ 5 ]で与えられる。

ホッジスターは同型なので、ヤン・ミルズ方程式の明示的な公式によって次のように書ける。 dあ∗{\displaystyle d_{A}^{*}}

( 1 )または( 2 )を満たす接続をヤン・ミルズ接続と呼ぶ。

すべての接続は自動的にビアンキ恒等式を満たすので[ 9 ]、ヤン・ミルズ接続は調和微分形式の非線形類似体と見なすことができ、これは dあFあ＝0{\displaystyle d_{A}F_{A}=0}

dω＝d∗ω＝0{\displaystyle d\omega =d^{*}\omega =0}。

この意味で、ヤン＝ミルズ接続の探索は、微分形式のド・ラームコホモロジー類における調和的代表を求めるホッジ理論に類似している。ヤン＝ミルズ接続は、主束上のすべての可能な接続の集合における調和的代表のようなものと言える。

導出

ヤン・ミルズ方程式は、ヤン・ミルズ汎関数のオイラー・ラグランジュ方程式であり、 [ 3 ] [ 4 ]で定義される。

関数から方程式を導くには、上のすべての接続の空間がベクトル空間をモデル化したアフィン空間であることを思い出す必要がある。このアフィン空間における接続の小さな変形を与えると、曲率は[ 10 ]の関係にある。あ{\displaystyle {\mathcal {A}}}P{\displaystyle P}Ω1（P;グラム）{\displaystyle \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}あ+t1つの{\displaystyle A+ta}あ{\displaystyle A}

Fあ+t1つの＝Fあ+tdあ1つの+t21つの∧1つの。{\displaystyle F_{A+ta}=F_{A}+td_{A}a+t^{2}a\wedge a.}

（３ ）の臨界点を決定するには、

ddt（YM⁡（あ+t1つの））t＝0＝ddt（∫X⟨Fあ+tdあ1つの+t21つの∧1つの、Fあ+tdあ1つの+t21つの∧1つの⟩dvolグラム）t＝0＝ddt（∫X‖Fあ‖2+2t⟨Fあ、dあ1つの⟩+2t2⟨Fあ、1つの∧1つの⟩+t4‖1つの∧1つの‖2dvolグラム）t＝0＝2∫X⟨dあ∗Fあ、1つの⟩dvolグラム。{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\operatorname {YM} (A+ta)\right)_{t=0}&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\langle F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a,F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\|F_{A}\|^{2}+2t\langle F_{A},d_{A}a\rangle +2t^{2}\langle F_{A},a\wedge a\rangle +t^{4}\|a\wedge a\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&=2\int _{X}\langle d_{A}^{*}F_{A},a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}.\end{aligned}}}

接続がヤン・ミルズ汎関数の臨界点となるのは、任意の に対してこれが消えるときのみであり、これは( 1 )が満たされるときに正確に起こります。 A{\displaystyle A}a{\displaystyle a}

ヤン・ミルズ接続のモジュライ空間

ヤン・ミルズ方程式はゲージ不変である。数学的には、ゲージ変換は主バンドルの自己同型 であり、上の内積は不変なので、ヤン・ミルズ汎関数は g{\displaystyle g}P{\displaystyle P}ad⁡(P){\displaystyle \operatorname {ad} (P)}

YM⁡(g⋅A)=∫X‖gFAg−1‖2dvolg=∫X‖FA‖2dvolg=YM⁡(A){\displaystyle \operatorname {YM} (g\cdot A)=\int _{X}\|gF_{A}g^{-1}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\operatorname {YM} (A)}

そして、が( 1 )を満たすなら、も満たす。 A{\displaystyle A}g⋅A{\displaystyle g\cdot A}

ゲージ変換を法とするヤン・ミルズ接続のモジュライ空間が存在する。の自己同型群を のゲージ群で表す。この集合はゲージ変換を法とするすべての接続を分類し、ヤン・ミルズ接続のモジュライ空間はその部分集合となる。一般に、 ももハウスドルフ多様体でも滑らかな多様体でもない。しかし、 を既約接続、つまりホロノミー群が のすべての によって与えられる接続に制限することで、ハウスドルフ空間が得られる。既約接続の空間は と表されるので、モジュライ空間はおよび と表される。 G{\displaystyle {\mathcal {G}}}P{\displaystyle P}B=A/G{\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}M{\displaystyle {\mathcal {M}}}B{\displaystyle {\mathcal {B}}}M{\displaystyle {\mathcal {M}}}A{\displaystyle A}G{\displaystyle G}A∗{\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}B∗{\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}}M∗{\displaystyle {\mathcal {M}}^{*}}

ヤン–ミルズ接続のモジュライ空間は、特定の状況において集中的に研究されてきた。マイケル・アティヤとラウル・ボットは、コンパクト・リーマン面上のバンドルに対するヤン–ミルズ方程式を研究した。[ 11 ]そこでは、モジュライ空間は、正則ベクトルバンドルのモジュライ空間として別の記述が得られる。これがナラシマン–セシャドリの定理であり、ヤン–ミルズ接続を正則ベクトルバンドルに関連付ける形でドナルドソンが証明した。[ 12 ]この設定では、モジュライ空間はコンパクト・ケーラー多様体の構造を持つ。ヤン–ミルズ接続のモジュライは、基本多様体の次元が 4 のときに最も研究されてきた。[ 13 ] [ 14 ]ここで、ヤン–ミルズ方程式は、2 階 PDE から 1 階 PDE、つまり反自己双対方程式への簡略化が可能である。 X{\displaystyle X}

反自己双対性方程式

基本多様体の次元が4のとき、偶然の一致が起こります。ホッジスター演算子は2次元形式を2次元形式に写像します。 X{\displaystyle X}

⋆:Ω2(X)→Ω2(X){\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)}。

この場合、ホッジスター演算子は恒等式に平方し、固有値 とも同様になる。特に、分解が存在する。 1{\displaystyle 1}−1{\displaystyle -1}

Ω2(X)=Ω+(X)⊕Ω−(X){\displaystyle \Omega ^{2}(X)=\Omega _{+}(X)\oplus \Omega _{-}(X)}

を の正および負の固有空間、自己双対および反自己双対二次元形式に挿入する。四次元多様体上の主-バンドル上の接続がまたはを満たす場合、[ 15 ] [ 16 ] ( 2 )より、接続はヤン・ミルズ接続である。これらの接続は自己双対接続または反自己双対接続と呼ばれ、方程式は自己双対性 (SD) 方程式および反自己双対性 (ASD) 方程式と呼ばれる。[ 13 ]自己双対および反自己双対接続の空間はおよびで表され、およびについても同様に表される。 ⋆{\displaystyle \star }A{\displaystyle A}G{\displaystyle G}X{\displaystyle X}FA=⋆FA{\displaystyle F_{A}={\star F_{A}}}FA=−⋆FA{\displaystyle F_{A}=-{\star F_{A}}}A+{\displaystyle {\mathcal {A}}^{+}}A−{\displaystyle {\mathcal {A}}^{-}}B±{\displaystyle {\mathcal {B}}^{\pm }}M±{\displaystyle {\mathcal {M}}^{\pm }}

ASD接続、あるいはインスタントンのモジュライ空間は、と が単連結である場合について、ドナルドソンによって最も精力的に研究された。[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]この設定では、主バンドルはその第2チャーン類によって分類される。[注 1 ]主バンドルを様々に選択すると、興味深い性質を持つモジュライ空間が得られる。これらの空間は、可約接続を許容する場合でもハウスドルフであり、一般に滑らかである。滑らかな部分は向き付け可能であることがドナルドソンによって示された。アティヤ・シンガーの指数定理により、のときの ASD接続のモジュライ空間の次元は、G=SU⁡(2){\displaystyle G=\operatorname {SU} (2)}X{\displaystyle X}SU⁡(2){\displaystyle \operatorname {SU} (2)}c2(P)∈H4(X,Z)≅Z{\displaystyle c_{2}(P)\in H^{4}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }Mk−{\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}^{-}}c2(P)=k{\displaystyle c_{2}(P)=k}

dim⁡Mk−=8k−3(1−b1(X)+b+(X)){\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{k}^{-}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X))}

ここでは の最初のベッティ数であり、 は上の交差形式に関するの正定値部分空間の次元である。[ 13 ]例えば、および のとき、交差形式は自明であり、モジュライ空間は次元 を持つ。これは、 での中心とそのスケールを定義する 5 パラメータ族までの上の唯一の ASD インスタントンであるBPST インスタントンの存在と一致する。 上のこのようなインスタントンは、ウーレンベックの特異点定理を用いて無限遠点を越えて拡張することができる。より一般的には、 が正のとき、モジュライ空間は次元を持つ。b1(X){\displaystyle b_{1}(X)}X{\displaystyle X}b+(X){\displaystyle b_{+}(X)}H2(X,R){\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}X{\displaystyle X}X=S4{\displaystyle X=S^{4}}k=1{\displaystyle k=1}dim⁡M1−(S4)=8−3=5{\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{1}^{-}(S^{4})=8-3=5}S4{\displaystyle S^{4}}R4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}R4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}k,{\displaystyle k,}8k−3.{\displaystyle 8k-3.}

アプリケーション

ドナルドソンの定理

ヤン・ミルズ方程式のモジュライ空間は、ドナルドソンが単連結 4 次元多様体の交差形式に関するドナルドソンの定理を証明するために使用しました。クリフォード・タウブスとカレン・ウーレンベックの解析的結果を使用して、ドナルドソンは、特定の状況では (交差形式が明確な場合)、滑らかでコンパクトで向き付けられた単純連結 4 次元多様体上の ASD インスタントンのモジュライ空間が、多様体自体のコピーと複素射影平面のコピーの互いに素な和集合との間にコボルディズムを与えることを示すことができました。[ 17 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]のコピーの数は 2 つの方法で数えることができます。1 つは、そのシグネチャがコボルディズム不変量を使用する方法であり、もう 1 つは、約分接続のホッジ理論的解釈を使用する方法です。これらの数を注意深く解釈すると、そのような滑らかな多様体は対角化可能な交差形式を持つと結論付けることができます。 X{\displaystyle X}CP2{\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}CP2{\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}

ASDインスタントンのモジュライ空間は、四次元多様体のさら​​なる不変量を定義するために用いることができる。ドナルドソンは、モジュライ空間上のコホモロジー類の対から生じる、適切に制限された四次元多様体の第二ホモロジー群上の多項式を定義した。[ 19 ]この研究はその後、ザイバーグ・ウィッテン不変量によって凌駕された。

次元削減とその他のモジュライ空間

次元縮約の過程を通して、ヤン＝ミルズ方程式は微分幾何学やゲージ理論における他の重要な方程式を導くために用いられることがある。次元縮約とは、ヤン＝ミルズ方程式を4次元多様体（典型的には ）上でとり、その解が対称群の下で不変であることを課す過程である。例えば、 R4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}

次元縮小されたASD方程式の解と の間には双対性があり、ナーム変換と呼ばれています。これは、ナーム方程式データから単極子を構築する方法を初めて説明したヴェルナー・ナームにちなんで名付けられています。[ 23 ]ヒッチンはその逆を示し、ドナルドソンはナーム方程式の解が複素射影直線からそれ自身への有理写像のモジュライ空間にさらに結び付けられることを証明しました。[ 24 ] [ 25 ]R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}R{\displaystyle \mathbb {R} }

これらの解に見られる双対性は、4次元多様体の任意の双対対称群に対して成立すると理論化されている。実際、内部の双対格子に対して不変なインスタントンと双対4次元トーラス上のインスタントンの間にも同様の双対性があり、ADHM構成は、単一点上のインスタントンと双対代数データとの間の双対性として考えることができる。[ 13 ]R4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}R4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}

ASD方程式の対称性縮小からも多数の積分可能系が導かれ、ウォードの予想によれば、実際にすべての既知の積分可能常微分方程式と偏微分方程式はASDYMの対称性縮小から得られる。例えば、SU(2) ASDYMの縮小からはサイン・ゴードン方程式とコルテヴェク・ド・フリース方程式が得られ、 ASDYMの縮小からはツィッツェイカ方程式が得られ、特定の次元への縮小からはウォードの積分可能カイラル模型が得られる。[ 26 ]この意味で、これは積分可能系の「マスター理論」であり、ゲージ群や対称性縮小スキームの選択など、適切なパラメータを選ぶことで多くの既知の系を復元できる。その他のそのようなマスター理論には、4次元チャーン・サイモンズ理論とアフィン・ゴーダン模型がある。 SL(3,R){\displaystyle \mathrm {SL} (3,\mathbb {R} )}2+1{\displaystyle 2+1}

チャーン・サイモンズ理論

コンパクトリーマン面上のヤン＝ミルズ方程式のモジュライ空間は、円筒上のチャーン＝サイモンズ理論の配置空間と見ることができる。この場合、モジュライ空間はナイジェル・ヒッチンとアクセルロッド＝デラ・ピエトラ＝ウィッテンによって独立に発見された幾何量子化を許容する。[ 27 ] [ 28 ]Σ{\displaystyle \Sigma }Σ×[0,1]{\displaystyle \Sigma \times [0,1]}

参照

注記

  1. ^この事実の証明については、投稿https://mathoverflow.net/a/265399を参照してください。

文学

参考文献

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