一様5次元多面体
正則かつ均一な5 次元多面体 のグラフ。
5単体整流5単体切断された5単体
カンテレーション5単体ランシネーテッド5シンプレックス立体的に配列した5-単体
5-オルソプレックス切断型5-オルソプレックス整流5-オルトプレックス
カンテラ5-オルソプレックスランシン化5-オルソプレックス
5キューブのカンテラランシネーテッド5キューブステリケート5キューブ
5キューブ切り詰められた5立方体整流5キューブ
5デミキューブ切り詰められた5デミキューブ
カンテラテッド5デミキューブランシネート5デミキューブ

幾何学において、一様5次元多面体（いちよう5じんたいぶつぶつ）は、5次元の一様多面体である。定義により、一様5次元多面体は頂点推移的であり、一様4次元多面体の面から構成される。

凸一様5次元多面体の完全な集合は未だ決定されていないが、少数の対称群からウィトフ構成によって多くの多面体を作ることができる。これらの構成操作は、コクセター図の環の順列で表される。

発見の歴史

  • 正多面体：（凸面）
  • 凸半正多面体: (コクセターの均一カテゴリ以前の様々な定義)
  • 凸均一多面体:
    • 1940-1988 : この研究は、H.S.M. Coxeterの著書『Regular and Semi-Regular Polytopes I, II, and III』で体系的に拡張されました。
    • 1966年：ノーマン・W・ジョンソンがコクセターの指導の下、トロント大学で「均一多面体とハニカムの理論」という博士論文を完成。
  • 非凸一様多面体:
    • 1966年：ジョンソンは博士論文の中で5次元空間における2つの非凸均一反プリズムについて記述した。[ 2 ]
    • 2000-2024年：ジョナサン・バウアーズらは、他の非凸一様5次元多面体の探索を行っている[ 3 ]。現在までに、無限族（凸・非凸）外の一様5次元多面体は1348個知られているが、一様4次元多面体のプリズムは除外されている。このリストは完全ではないことが証明されている[ 4 ] 。 [ 5 ]

正5次元多面体

正5次元多面体は、シュレーフリ記号{p,q,r,s}で表され、各面の周りには{p,q,r}個の4次元多面体面が存在します。このような正5次元多面体は正確に3つ存在し、すべて凸面です。

5 次元以上には非凸正多面体は存在しません。

凸一様5次元多面体

数学における未解決問題
凸一様5次元多面体の完全な集合は何ですか？[ 6 ]
数学におけるさらなる未解決問題

凸一様5次元多面体は104個知られており、さらにデュオプリズムプリズムの無限族、および多角形多面体デュオプリズムが数多く存在します。グランドアンチプリズムプリズムを除くすべてのプリズムは、コクセター群によって生成される反射対称性であるウィトフ構成に基づいています。

4次元における均一5次元多面体の対称性

5-単体はA 5族の正則形式です。5-キューブと5-オルソプレックスはB 5族の正則形式です。D 5族の分岐グラフには、 5-オルソプレックスと、5-キューブが交代した5-デミキューブが含まれます。

それぞれの反射一様5次元多面体は、コクセター図のノードの順列を囲む環で表されるウィトフ構成によって、5次元の1つ以上の反射点群に構築できます。ミラー超平面は、色付きのノードで見られるように、偶数枝で区切られたグループ化できます。[a,b,b,a]形式の対称群は、[[a,b,b,a]]という拡張対称性を持ち、[3,3,3,3]と同様に、対称順序が2倍になります。対称環を持つこれらの群の一様多面体には、この拡張対称性が含まれます。

ある一様多面体において、ある色のすべての鏡が非環式（不活性）である場合、その非活性鏡をすべて除去することで、より低い対称性を持つ構成が得られます。ある色のすべてのノードが環式（活性）である場合、交代操作によって、カイラル対称性を持つ新しい5次元多面体（「空の」円で囲まれたノードとして表示されます）が生成されますが、その形状は一般に一様解を生成するように調整できません。

コクセター図は、ファミリー間の対応関係と、図内の高次対称性を表します。各行の同じ色のノードは、同一のミラーを表します。黒いノードは、この対応関係ではアクティブではありません。
基本家族[ 7 ]
グループシンボル注文コクセターグラフ括弧表記交換子部分群コクセター数（h）反射m =5/2 h [ 8 ]
A5​720[3,3,3,3][3,3,3,3] +615
D5​1920[3,3,3 1,1 ][3,3,3 1,1 ] +820
B5​3840[4,3,3,3]10520
均一プリズム

非プリズム状一様4次元多面体に基づく、有限なカテゴリカル一様プリズム状多面体族は5つ存在する。一様二重プリズム{p}×{q}×{}に基づく、無限の5次元多面体族が1つ存在する。

コクセターグループ注文コクセター図コクセター記法交換子部分群反射
A 4 A 1120[3,3,3,2] = [3,3,3]×[ ][3,3,3] +101
D 4 A 1384[3 1,1,1 ,2] = [3 1,1,1 ]×[ ][3 1,1,1 ] +121
B 4 A 1768[4,3,3,2] = [4,3,3]×[ ]4121
F 4 A 12304[3,4,3,2] = [3,4,3]×[ ][3 + ,4,3 + ]12121
H 4 A 128800[5,3,3,2] = [3,4,3]×[ ][5,3,3] +601
デュオプリズムプリズム（偶数の場合は2pと2qを使用）
I 2 ( p )I 2 ( q )A 18ポイント[p,2,q,2] = [p]×[q]×[ ][p + ,2,q + ]pq1
I 2 (2 p )I 2 ( q )A 116ポイント[2p,2,q,2] = [2p]×[q]×[ ]ppq1
I 2 (2 p )I 2 (2 q )A 132ポイント[2p,2,2q,2] = [2p]×[2q]×[ ]ppqq1
均一なデュオプリズム

一様多面体と正多角形の直積に基づく多面体のカテゴリカル一様デュオプリスマティック族は3 つあります: { q , r }×{ p }。

コクセターグループ注文コクセター図コクセター記法交換子部分群反射
プリズマティックグループ（偶数の場合は2pを使用）
A 3 I 2 ( p ) 48ページ[3,3,2, p ] = [3,3]×[ p ][(3,3) + ,2, p + ]6p
A 3 I 2 ( 2p ) 96ページ[3,3,2,2 p ] = [3,3]×[2 p ]6pp
B 3 I 2 ( p ) 96ページ[4,3,2, p ] = [4,3]×[ p ]36p
B 3 I 2 ( 2p ) 192ページ[4,3,2,2 p ] = [4,3]×[2 p ]36pp
H 3 I 2 ( p ) 240ページ[5,3,2, p ] = [5,3]×[ p ][(5,3) + ,2, p + ]15p
H 3 I 2 ( 2p ) 480ページ[5,3,2,2 p ] = [5,3]×[2 p ]15pp

凸一様5次元多面体の列挙

合計は19+31+8+45+1=104

さらに、次のものがあります:

  • デュオプリズムプリズム族に基づく無限の数の均一な5次元多面体構成: [ p ]×[ q ]×[ ]。
  • デュオプリスマティック族に基づく無限の数の均一な5次元多面体構成: [3,3]×[ p ]、[4,3]×[ p ]、[5,3]×[ p ]。

A5ファミリー​

1 つ以上の環を持つ Coxeter 図のすべての順列に基づく形式は 19 個あります。(16+4-1 の場合)

これらは、通常の 5 単体 (ヘキサテロン) に対する Wythoff の構築操作から Norman Johnsonによって命名されました。

A 5族は、順序 720 (6 の階乗) の対称性を持ちます。対称的に環状になったコクセター図を持つ 19 個の図のうち 7 個は、順序 1440 の二重対称性を持ちます。

5 次元単体対称性を持つ均一な 5 次元多面体の座標は、法線ベクトル (1,1,1,1,1,1) を持つ超平面にある 6 次元空間の単純な整数の順列として生成できます。

# 基点 ジョンソン命名システム、バウアーズ名、（頭字語）コクセター図k面要素数 頂点図形場所別のファセット数: [3,3,3,3]
4 3 2 1 0 [3,3,3] (6) [3,3,2] (15) [3,2,3] (20) [2,3,3] (15) [3,3,3] (6) 代替
1 (0,0,0,0,0,1) または (0,1,1,1,1,1) 5-シンプレックスヘキサテロン（hix）6 15 20 15 6 {3,3,3}{3,3,3}- - - -
2 (0,0,0,0,1,1) または (0,0,1,1,1,1) 整流5単体整流ヘキサテロン（rix）12 45 80 60 15 t{3,3}×{}r{3,3,3}- - - {3,3,3}
3 (0,0,0,0,1,2) または (0,1,2,2,2,2) 切断された5単体切断ヘキサテロン（tix）12 45 80 75 30 テトラ.ピルt{3,3,3}- - - {3,3,3}
4 (0,0,0,1,1,2) または (0,1,1,2,2,2) 5単体の小さな菱形六方体（sarx）27 135 290 240 60 プリズムウェッジ rr{3,3,3}- - { }×{3,3}r{3,3,3}
5 (0,0,0,1,2,2) または (0,0,1,2,2,2) ビットトランケーテッド5単体ビット トランケーテッドヘキサテロン（ビティックス）12 60 140 150 60 2t{3,3,3}- - - t{3,3,3}
6 (0,0,0,1,2,3) または (0,1,2,3,3,3) 5単体の斜切形大菱形六角形（garx）27 135 290 300 120 tr{3,3,3}- - { }×{3,3}t{3,3,3}
7 (0,0,1,1,1,2) または (0,1,1,1,2,2) ランシネーテッド5単体小型柱状ヘキサテロン（スピックス）47 255 420 270 60 t 0,3 {3,3,3}- {3}×{3}{ }×r{3,3}r{3,3,3}
8 (0,0,1,1,2,3) または (0,1,2,2,3,3) ランシトランケート5単体角柱トランケートヘキサテロン（パティックス）47 315 720 630 180 t 0,1,3 {3,3,3}- {6}×{3}{ }×r{3,3}rr{3,3,3}
9 (0,0,1,2,2,3) または (0,1,1,2,3,3) ルンシカンテラ型5単体角柱角錐ヘキサテロン（pirx）47 255 570 540 180 t 0,1,3 {3,3,3}- {3}×{3}{ }×t{3,3}2t{3,3,3}
10 (0,0,1,2,3,4) または (0,1,2,3,4,4) ルンシカンティ切頂5単体大柱状ヘキサテロン（ギッピクス）47 315 810 900 360 Irr. 5セルt 0,1,2,3 {3,3,3}- {3}×{6}{ }×t{3,3}tr{3,3,3}
11 (0,1,1,1,2,3) または (0,1,2,2,2,3) ステリトランケーテッド5シンプレックスセルリプリズムヘキサテロン（カピックス）62 330 570 420 120 t{3,3,3}{ }×t{3,3}{3}×{6}{ }×{3,3}t 0,3 {3,3,3}
12 (0,1,1,2,3,4) または (0,1,2,3,3,4) 立体的に切断された5-単体のセルリグレーターホバテッドヘキサテロン（コグラックス）62 480 1140 1080 360 tr{3,3,3}{ }×tr{3,3}{3}×{6}{ }×rr{3,3}t 0,1,3 {3,3,3}
13 (0,0,0,1,1,1) 二重5単体ドデカテロン（点）12 60 120 90 20 {3}×{3}r{3,3,3}- - - r{3,3,3}
14 (0,0,1,1,2,2) 双眼5単体小型二菱形十二面体（シブリッド）32 180 420 360 90 rr{3,3,3}- {3}×{3}- rr{3,3,3}
15 (0,0,1,2,3,3) 双円錐台5単体型大二菱形十二面体（ギブリド）32 180 420 450 180 tr{3,3,3}- {3}×{3}- tr{3,3,3}
16 (0,1,1,1,1,2) 立体的に5つの単細胞を持つ小胞体を持つ十二指腸球菌（scad）62 180 210 120 30 Irr. 16セル{3,3,3}{ }×{3,3}{3}×{3}{ }×{3,3}{3,3,3}
17 (0,1,1,2,2,3) 立体格子状の5単体小細胞菱形十二面体（カード）62 420 900 720 180 rr{3,3,3}{ }×rr{3,3}{3}×{3}{ }×rr{3,3}rr{3,3,3}
18 (0,1,2,2,3,4) ステリルンシトランケート5単体セルリプリズマトトランケートドデカテロン（キャプティド）62 450 1110 1080 360 t 0,1,3 {3,3,3}{ }×t{3,3}{6}×{6}{ }×t{3,3}t 0,1,3 {3,3,3}
19 (0,1,2,3,4,5) 全端5単体大胞十二細胞（ゴカド）62 540 1560 1800 720 不協和音 {3,3,3}t 0,1,2,3 {3,3,3}{ }×tr{3,3}{6}×{6}{ }×tr{3,3}t 0,1,2,3 {3,3,3}
非均一 オムニスナブ 5-シンプレックススナブ ドデカテロン (スノッド)スナブ ヘキサテロン (スニックス)422 2340 4080 2520 360 高さ0,1,2,3 {3,3,3}高さ0,1,2,3 {3,3,2}高さ0,1,2,3 {3,2,3}高さ0,1,2,3 {3,3,2}高さ0,1,2,3 {3,3,3}（360）イール。{3,3,3}

B 5ファミリー

B5族は3840次（5!× 25 ）の対称性を持つ。

この族には、コクセター図の1つ以上のノードをマークすることによって生成された2 5 −1=31個のウィソフ一様多面体が含まれる。また、半分の対称性を持つ交代として生成された8個の一様多面体も追加され、これらはD 5族の完全な複製を形成する。... =.....（繰り返しだけを生成するためリストに載っていない交替もいくつかある。... =.... そして... =.... これらは、対称性が半分に破れた、番号 20 から 34 までの均一な 5 次元多面体の完全な複製になります。

簡単にするために、2 つのサブグループに分けられ、各サブグループには 12 個のフォームがあり、両方に等しく属する 7 つの「中間」フォームがあります。

5次元多面体の5次元立方体族は、以下の表に挙げた基点の凸包によって与えられ、座標と符号のあらゆる順列が採用されています。各基点は、それぞれ異なる一様5次元多面体を生成します。すべての座標は、辺の長さが2の一様5次元多面体に対応します。

# 基点 名前コクセター図要素数 頂点図形場所別のファセット数: [4,3,3,3]
43210 [4,3,3] (10) [4,3,2] (40) [4,2,3] (80) [2,3,3] (80) [3,3,3] (32) 代替
20 (0,0,0,0,1)√25-オルソプレックストリアコンタジテロン（tac）3280804010 {3,3,4}----{3,3,3}
21 (0,0,0,1,1)√2整流5-オルソプレックス整流トリアコンタジテロン（ラット）4224040024040 { }×{3,4}{3,3,4}---r{3,3,3}
22 (0,0,0,1,2)√2切断型5-オルソプレックス切断型トリアコンタジテロン（tot）4224040028080 （オクタ.ピル）{3,3,4}---t{3,3,3}
23 (0,0,1,1,1)√2二重5立方体ペンテラクチトリアコンタジテロン（ニット）（二重5正孔複合体）4228064048080 {4}×{3}r{3,3,4}---r{3,3,3}
24 (0,0,1,1,2)√25-orthoplexの小さな菱形三角錐（sart）のカンテラ化8264015201200240 プリズムウェッジr{3,3,4}{ }×{3,4}--rr{3,3,3}
25 (0,0,1,2,2)√2ビットトランケート5-オルソプレックスビットトランケートトリアコンタジテロン（ビットティット）42280720720240 t{3,3,4}---2t{3,3,3}
26 (0,0,1,2,3)√25-orthoplex の斜切形大菱形三角錐（ガート）8264015201440480 t{3,3,4}{ }×{3,4}--t 0,1,3 {3,3,3}
27 (0,1,1,1,1)√2整流5立方体整流ペンテラクト（輪）4220040032080 {3,3}×{ }r{4,3,3}---{3,3,3}
28 (0,1,1,1,2)√2ランシネートされた5直角複合体の小さな柱状トリアコンタジテロン（稚貝）162120021601440320 r{4,3,3}{ }×r{3,4}{3}×{4}t 0,3 {3,3,3}
29 (0,1,1,2,2)√2双眼5立方体小型双菱形ペンテラクティトリアコンタジテロン（シブラント）（双眼5正角体）12284021601920480 rr{3,3,4}-{4}×{3}-rr{3,3,3}
30 (0,1,1,2,3)√2ランシトランケート5-オルソプレックスプリズマトトランケートトリアコンタジテロン（パティット）162144036803360960 rr{3,3,4}{ }×r{3,4}{6}×{4}-t 0,1,3 {3,3,3}
31 (0,1,2,2,2)√2ビットトランケーテッド 5 キューブ ビットトランケーテッド ペンテラクト (ビットティン)42280720800320 2t{4,3,3}---t{3,3,3}
32 (0,1,2,2,3)√2ルンシカンテラ化5-オルソプレックス柱状角柱状三角錐（ピルト）162120029602880960 2t{4,3,3}{ }×t{3,4}{3}×{4}-t 0,1,3 {3,3,3}
33 (0,1,2,3,3)√2双面截頭5立方体大双面截頭三角錐（ギブラント）（双面截頭5正角錐）12284021602400960 tr{3,3,4}-{4}×{3}-rr{3,3,3}
34 (0,1,2,3,4)√2ルンシカンティトランケーテッド5オルソプレックスグレートプリズマテッドトリアコンタディテロン（ギピット）1621440416048001920 tr{3,3,4}{ }×t{3,4}{6}×{4}-t 0,1,2,3 {3,3,3}
35 （1、1、1、1、1）5キューブペンタラクト（ペント）1040808032 {3,3,3}{4,3,3}----
36 (1,1,1,1,1) + (0,0,0,0,1)√2ステリケートされた5立方体の小胞ペンテラクチトリアコンタジテロン（スカント）（ステリケートされた5オルソプレックス）2428001040640160 テトラヒドロカンナビノール{4,3,3}{4,3}×{ }{4}×{3}{ }×{3,3}{3,3,3}
37 (1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,1)√2ランシネーテッド5キューブ小型プリズマティックペンテラクト（スパン）202124021601440320 t 0,3 {4,3,3}-{4}×{3}{ }×r{3,3}r{3,3,3}
38 (1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,2)√2ステリトランケート5-オルソプレックスセルリプリズムトリアコンタジテロン（カピン）242152028802240640 t 0,3 {4,3,3}{4,3}×{ }{6}×{4}{ }×t{3,3}t{3,3,3}
39 (1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,1)√25つの立方体の小さな菱形五面体（SIRN）12268015201280320 プリズムウェッジrr{4,3,3}--{ }×{3,3}r{3,3,3}
40 (1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,2)√2立体環状5立方細胞リロンバテッドペンテラクチトリアコンタジテロン（カルニット）（立体環状5オルソプレックス）242208047203840960 rr{4,3,3}rr{4,3}×{}{4}×{3}{ }×rr{3,3}rr{3,3,3}
41 (1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,2)√2ルンチカンテラテッド 5 キューブプリズマトールホムベーテッド ペンテラクト (プリン)202124029602880960 t 0,2,3 {4,3,3}-{4}×{3}{ }×t{3,3}2t{3,3,3}
42 (1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,3)√2立体的切断5-オルソプレックスセルリグレーターホムベーテッドトリアコンタジテロン（コガート）2422320592057601920 t 0,2,3 {4,3,3}rr{4,3}×{}{6}×{4}{ }×tr{3,3}tr{3,3,3}
43 (1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,1)√2切頂5立方体切頂五面体（黄褐色）42200400400160 テトラ.ピルt{4,3,3}---{3,3,3}
44 (1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,2)√2ステリトランケーテッド5キューブセルリプリズムトリアコンタジテロン（キャプテン）242160029602240640 t{4,3,3}t{4,3}×{}{8}×{3}{ }×{3,3}t 0,3 {3,3,3}
45 (1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,2)√2ランシ切頂5立方体角柱切頂五面体（パティン）202156037603360960 t 0,1,3 {4,3,3}-{8}×{3}{ }×r{3,3}rr{3,3,3}
46 (1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,3)√2ステリルンシトランケート5キューブセルリプリズマトトランケートペンテラクチトリアコンタジテロン（キャプティント）（ステリルンシトランケート5オルソプレックス）2422160576057601920 t 0,1,3 {4,3,3}t{4,3}×{}{8}×{6}{ }×t{3,3}t 0,1,3 {3,3,3}
47 (1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,2)√25立方体大菱形五面体（ガーン）12268015201600640 tr{4,3,3}--{ }×{3,3}t{3,3,3}
48 (1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,3)√2立体的切断型5立方体セルリグレーター角状ペンテラクト（コグリン）2422400600057601920 tr{4,3,3}tr{4,3}×{}{8}×{3}{ }×rr{3,3}t 0,1,3 {3,3,3}
49 (1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,3)√2ルンチカンティ切頂5立方体大角柱五面体（ギッピン）2021560424048001920 t 0,1,2,3 {4,3,3}-{8}×{3}{ }×t{3,3}tr{3,3,3}
50 (1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,4)√2全切断型5立方体大細胞ペンテラクティトリアコンタジテロン（ガクネット）（全切断型5正複合体）2422640816096003840 不協和音 {3,3,3}tr{4,3}×{}tr{4,3}×{}{8}×{6}{ }×tr{3,3}t 0,1,2,3 {3,3,3}
51 5-デミキューブヘミペンテラクト (ヒン)＝26 120 160 80 16 r{3,3,3}h{4,3,3}- - - - （16）{3,3,3}
52 カンティック5キューブ切頂ヘミペンテラクト（薄型）＝42 280 640 560 160 h 2 {4,3,3}- - - （16）r{3,3,3}（16）t{3,3,3}
53 ランシック5キューブ小型菱形半五面体（シルヒン）＝42 360 880 720 160 h 3 {4,3,3}- - - （16）r{3,3,3}（16）rr{3,3,3}
54 立体的な5立方体の小型角柱状半五翅目（シフィン）＝82 480 720 400 80 h{4,3,3}h{4,3}×{}- - （16）{3,3,3}（16）t 0,3 {3,3,3}
55 ルンシカンティック 5 キューブグレート ロンバテッド ヘミペンテラクト (ギルヒン)＝42 360 1040 1200 480 h 2,3 {4,3,3}- - - （16）2t{3,3,3}（16）tr{3,3,3}
56 立体的な5立方体プリズマトトランケーテッドヘミペンテラクト（ピチン）＝82 720 1840 1680 480 h 2 {4,3,3}h 2 {4,3}×{}- - （16）rr{3,3,3}（16）t 0,1,3 {3,3,3}
57 ステリルンシック 5 キューブプリズマトールホムバテッド ヘミペンテラクト (ピルヒン)＝82 560 1280 1120 320 h 3 {4,3,3}h{4,3}×{}- - （16）t{3,3,3}（16）t 0,1,3 {3,3,3}
58 ステリルンシカンティック 5 キューブ グレートプリズマテッド ヘミペンテラクト (ギフィン)＝82 720 2080 2400 960 h 2,3 {4,3,3}h 2 {4,3}×{}- - （16）tr{3,3,3}（16）t 0,1,2,3 {3,3,3}
非均一 交互ルンシカンティトランケート5-オルソプレックススナブ プリズマトトリアコンタジテロン (スニップピット)スナブ ヘミペンテラクト (スナヒン)＝1122 6240 10880 6720 960 sr{3,3,4}sr{2,3,4}sr{3,2,4}- 高さ0,1,2,3 {3,3,3}（960）イール。{3,3,3}
非均一 エッジスナブ5-オルソプレックスピリトスナブペンテラクト（ピスナン）1202 7920 15360 10560 1920 sr 3 {3,3,4} sr 3 {2,3,4}sr 3 {3,2,4} s{3,3}×{}高さ0,1,2,3 {3,3,3}（960）不等号{3,3}×{}
非均一 スナブ 5キューブスナブ ペンテラクト (snan)2162 12240 21600 13440 960 高さ0,1,2,3 {3,3,4}高さ0,1,2,3 {2,3,4}高さ0,1,2,3 {3,2,4}高さ0,1,2,3 {3,3,2}高さ0,1,2,3 {3,3,3}（1920）Irr. {3,3,3}

D 5ファミリー

D 5族は1920次 (5! x 2 4 ) の対称性を持ちます。

このファミリーには、 1 つ以上のリングを持つD 5コクセター図の3×8-1順列から、23 個のウィソフ一様多面体があります。そのうち 15 個 (2×8-1) は B 5ファミリーから繰り返され、8 個はこのファミリーに固有ですが、その 8 個でも B 5ファミリーの代替が重複しています。

15回の繰り返しでは、長さ1の枝を終端するノードは両方ともリング状になっているため、要素は同一であり、対称性は2倍である。関係は... =.... そして... =...、上記の一様5次元多面体20から34の完全な複製を作成する。8つの新しい形態では、このようなノードの1つは環を持ち、もう1つは環を持たない。関係は... =...上記の均一な 5 次元多面体 51 から 58 を複製します。

# コクセター図シュレーフリ記号 シンボルジョンソンとバウワーズの名前 要素数 頂点図形場所によるファセット: [3 1,2,1 ]
4 3 2 1 0 [3,3,3] (16) [3 1,1,1 ] (10) [3,3]×[ ] (40) [ ]×[3]×[ ] (80) [3,3,3] (16) 代替
[51] ＝h{4,3,3,3}, 5-デミキューブヘミペンテラクト (hin) 26 120 160 80 16 r{3,3,3}{3,3,3}h{4,3,3}- - -
[52] ＝h 2 {4,3,3,3}、5面体、切頂半五面体（薄い） 42 280 640 560 160 t{3,3,3}h 2 {4,3,3}- - r{3,3,3}
[53] ＝h 3 {4,3,3,3}、ルンシック5キューブ、小さな菱形半五面体（シルヒン） 42 360 880 720 160 rr{3,3,3}h 3 {4,3,3}- - r{3,3,3}
[54] ＝h 4 {4,3,3,3}、立体5立方体小型柱状半五翅目（シフィン） 82 480 720 400 80 t 0,3 {3,3,3}h{4,3,3}h{4,3}×{}- {3,3,3}
[55] ＝h 2,3 {4,3,3,3}、ルンシカント5立方体大菱形半五面体（ギルヒン） 42 360 1040 1200 480 2t{3,3,3}h 2,3 {4,3,3}- - tr{3,3,3}
[56] ＝h 2,4 {4,3,3,3}、立体5立方体プリズマトトランケーテッドヘミペンテラクト（ピチン） 82 720 1840 1680 480 t 0,1,3 {3,3,3}h 2 {4,3,3}h 2 {4,3}×{}- rr{3,3,3}
[57] ＝h 3,4 {4,3,3,3}、ステリルンシック5立方体プリズマトルホムバテッドヘミペンテラクト（ピルヒン） 82 560 1280 1120 320 t 0,1,3 {3,3,3}h 3 {4,3,3}h{4,3}×{}- t{3,3,3}
[58] ＝h 2,3,4 {4,3,3,3}、ステリルンシカンティック5キューブ大プリズマテッドヘミペンテラクト（ギフィン） 82 720 2080 2400 960 t 0,1,2,3 {3,3,3}h 2,3 {4,3,3}h 2 {4,3}×{}- tr{3,3,3}
非均一 ＝ht 0,1,2,3 {3,3,3,4}、交互にランシカンティトランケート5-オルソプレックス スナブヘミペンテラクト（スナヒン） 1122 6240 10880 6720 960 高さ0,1,2,3 {3,3,3}sr{3,3,4}sr{2,3,4}sr{3,2,4}高さ0,1,2,3 {3,3,3}（960）イール。{3,3,3}

均一な柱状形状

非プリズマティックな一様4次元多面体に基づく、有限なカテゴリカルな一様プリズマティック多面体族は5つあります。簡略化のため、ほとんどの交代は示されていません。

A4 × A1​

このプリズマティックファミリーには9 つの形式があります。

A 1 x A 4ファミリーは、順序 240 (2*5!) の対称性を持ちます。

# コクセター図とシュレーフリ記号名前 要素数
ファセット細胞顔エッジ頂点
59 = {3,3,3}×{ } 5セルプリズム（ペンプ） 720302510
60 = r{3,3,3}×{ } 5セルプリズム（rappip） 1250907020
61 = t{3,3,3}×{ }切頂5セルプリズム（tippip） 125010010040
62 = rr{3,3,3}×{ } 5セルプリズム（srippip） 2212025021060
63 = t 0,3 {3,3,3}×{ }ランシネーテッド5セルプリズム（スピディップ） 3213020014040
64 = 2t{3,3,3}×{ }ビットトランケーテッド5セルプリズム（デキャップ） 126014015060
65 = tr{3,3,3}×{ }片切形5セルプリズム（グリッピップ） 22120280300120
66 = t 0,1,3 {3,3,3}×{ }ランシ切頂5セルプリズム（プリップピップ） 32180390360120
67 = t 0,1,2,3 {3,3,3}×{ } 5セルプリズム（ギッピディップ） 32210540600240

B 4 × A 1

このプリズマティックファミリーには16の形式があります。（3つは[3,4,3]×[ ]ファミリーと共有されます）

A 1 × B 4ファミリーは、順序 768 (2 5 4!) の対称性を持ちます。

最後の 3 つのスナブは、等しい長さのエッジで実現できますが、4 面の一部が均一な 4 次元多面体ではないため、結局は非均一になります。

# コクセター図とシュレーフリ記号名前 要素数
ファセット細胞顔エッジ頂点
[16]= {4,3,3}×{ }多面体プリズム（ペント） （ 5面体と同じ） 1040808032
68= r{4,3,3}×{ }平行四辺形プリズム（rittip） 2613627222464
69= t{4,3,3}×{ }切頂多面体プリズム（タティップ） 26136304320128
70= rr{4,3,3}×{ }斜め格子プリズム（スリッチップ） 58360784672192
71= t 0,3 {4,3,3}×{ }ランシネーテッド・テッセラティック・プリズム（シドピチップ） 82368608448128
72= 2t{4,3,3}×{ }ビットトランケーテッドテッセラティックプリズム（tahp） 26168432480192
73= tr{4,3,3}×{ }切頂多面体プリズム（グリットチップ） 58360880960384
74= t 0,1,3 {4,3,3}×{ }ランシ切頂多面体プリズム（prohp） 8252812161152384
75= t 0,1,2,3 {4,3,3}×{ }全切形テッセラティックプリズム（ギドピチップ） 8262416961920768
76= {3,3,4}×{ } 16セルプリズム（ヘキシップ） 1864885616
77= r{3,3,4}×{ }整流16セルプリズム（icope） （ 24セルプリズムと同じ） 2614428821648
78= t{3,3,4}×{ }切頂16セルプリズム（thexip） 2614431228896
79= rr{3,3,4}×{ } 16セルプリズム（リコープ） （ 24セルプリズムと同じ） 50336768672192
80= tr{3,3,4}×{ }切頂16セルプリズム（ティコープ） （切頂24セルプリズムと同じ） 50336864960384
81= t 0,1,3 {3,3,4}×{ }ランシ切頂16セルプリズム（プリティップ） 8252812161152384
82= sr{3,3,4}×{ }スナブ24セルプリズム（サディップ） 1467681392960192
非均一修正されたテッセラティック・オルタープリズム（リタ） 5028846428864
非均一切断された16細胞交叉筋（thexa） 2616838433696
非均一二分円錐台形テッセラティック・オルタープリズム（タハ） 50288624576192

F 4 × A 1

このプリズマティックファミリーには10 のフォームがあります。

A 1 x F 4族は、2304 (2*1152) の対称性を持ちます。3つの多面体 85、86、89 (緑の背景) は、二重対称性 [[3,4,3],2] を持ち、その順位は 4608 です。最後の多面体である 24 セル プリズム (青の背景) は、[3 + ,4,3,2] の対称性を持ち、その順位は 1152 です。

# コクセター図とシュレーフリ記号名前 要素数
ファセット細胞顔エッジ頂点
[77]= {3,4,3}×{ } 24セルプリズム（イコープ） 2614428821648
[79]= r{3,4,3}×{ } 24セル直角錐（リコープ） 50336768672192
[80]= t{3,4,3}×{ }切頂24セルプリズム（ティコープ） 50336864960384
83= rr{3,4,3}×{ } 24セルの斜交角柱（シコペ） 146100823042016576
84= t 0,3 {3,4,3}×{ }ランシネーテッド24セルプリズム（スピカップ） 242115219201296288
85= 2t{3,4,3}×{ } ビットトランケーテッド24セルプリズム（contip） 5043212481440576
86= tr{3,4,3}×{ } 24セル角柱（グリコープ） 1461008259228801152
87= t 0,1,3 {3,4,3}×{ }ランシ切頂24セルプリズム（プリコープ） 2421584364834561152
88= t 0,1,2,3 {3,4,3}×{ } 24セルのオムニトランケーテッドプリズム（ギッピックカップ） 2421872508857602304
[82]= s{3,4,3}×{ }スナブ24セルプリズム（サディップ） 1467681392960192

高さ4 × 幅1

このプリズマティックファミリーには15 の形式があります。

A 1 x H 4ファミリーは、 28800 (2*14400) の順序の対称性を持ちます。

# コクセター図とシュレーフリ記号名前 要素数
ファセット細胞顔エッジ頂点
89= {5,3,3}×{ } 120セルプリズム（ヒップ） 122960264030001200
90= r{5,3,3}×{ } 120セル直角錐（ラヒップ） 7224560984084002400
91= t{5,3,3}×{ }切頂120セルプリズム（thipe） 722456011040120004800
92= rr{5,3,3}×{ } 120セルの斜めプリズム（srahip） 19221296029040252007200
93= t 0,3 {5,3,3}×{ }ランシネーテッド120セルプリズム（sidpixhip） 26421272022080168004800
94= 2t{5,3,3}×{ }ビットトランケーテッド120セルプリズム（xhip） 722576015840180007200
95= tr{5,3,3}×{ } 120セルの切頂角柱（グラフ） 192212960326403600014400
96= t 0,1,3 {5,3,3}×{ }ランシ切頂120セルプリズム（プリクシップ） 264218720448804320014400
97= t 0,1,2,3 {5,3,3}×{ } 120セルオムニトランケーテッドプリズム（gidpixhip） 264222320628807200028800
98= {3,3,5}×{ } 600セルプリズム（例） 602240031201560240
99= r{3,3,5}×{ }整流600セルプリズム（ロキシップ） 72250401080079201440
100= t{3,3,5}×{ }切頂600セルプリズム（texip） 722504011520100802880
101= rr{3,3,5}×{ } 600セルの斜めプリズム（srixip） 14421152028080252007200
102= tr{3,3,5}×{ } 600セルの切頂角柱（グリクシップ） 144211520316803600014400
103= t 0,1,3 {3,3,5}×{ }ランシ切頂600セルプリズム（プラヒップ） 264218720448804320014400

デュオプリズムプリズム

均一なデュオプリズムプリズム { p }×{ q }×{ } は、すべての整数p、q >2に対して無限クラスを形成します。 {4}×{4}×{ } は、5 次元立方体の低対称形式になります。

{ p }×{ q }×{ } の拡張f ベクトルは、( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*(2, 1 ) = (2 pq ,5 pq ,4 pq +2 p +2 q ,3 pq +3 p +3 q , p + q +2, 1 ) として計算されます。

コクセター図名前 要素数
4面 細胞 顔 エッジ 頂点
{ p }×{ q }×{} [ 9 ]p + q +23 pq +3 p +3 q4 pq +2 p +2 q5ポイント2ポイント
{ p } 2 ×{ }2( p +1)3 p ( p +1)4 p ( p +1)5ページ2ページ2ページ2ページ
{3} 2 ×{ }836484518
{4} 2 ×{ } = 5立方体1040808032

グランドアンチプリズムプリズム

大反プリズムプリズムは、唯一知られている凸非ウィソフ一様5次元多面体である。頂点数200、辺数1100、面数1940（五角形40、正方形500、三角形1400）、セル数1360（四面体600 、五角形反プリズム40 、三角プリズム700 、五角形プリズム20 ）、ハイパーセル数322（大反プリズム2 、五角形反プリズム20、四面体プリズム300 ）を持つ。

# 名前 要素数
ファセット細胞顔エッジ頂点
104グランドアンチプリズムプリズム（ギャッププリズム）[ 10 ]322136019401100200

一様5次元多面体に対するWythoff構成に関する注釈

鏡映5次元一様多面体の構築は、ウィトフ構成法によって行われ、コクセター図で表現されます。コクセター図では、各ノードはミラーを表します。ノードはリング状に配置され、どのミラーがアクティブであるかを示します。生成される一様多面体の完全な集合は、リング状ノードの一意の順列に基づいています。一様5次元多面体は、各族に属する正多面体との関連で命名されます。一部の族には正多面体の構成子が2つあり、命名方法が2通りある場合があります。

ここでは、均一な 5 次元多面体を構築し、名前を付けるために使用できる主な演算子を示します。

最後の操作であるスナブ、そしてより一般的にはオルタネーションは、非反射形状を作成できる操作です。これらの操作は、ノードに「中空のリング」として描画されます。

プリズマティック形式と分岐グラフでは同じ切り捨てインデックス表記を使用できますが、わかりやすくするためにノードに明示的な番号付けシステムが必要です。

手術 拡張シュレーフリ記号コクセター図説明
親 t 0 {p,q,r,s} {p,q,r,s} 任意の正5次元多面体
修正済みt 1 {p,q,r,s}r{p,q,r,s} 辺は完全に切り詰められ、単一の点になりました。5次元多面体は、親多面体と双対多面体の面を組み合わせたものになりました。
二次元化t 2 {p,q,r,s}2r{p,q,r,s} 双対化により、面は点に、セルは双対に縮小されます。
三重整流化t 3 {p,q,r,s}3r{p,q,r,s} 三重整流化はセルを点に縮小します。（二重整流化）
四角形化t 4 {p,q,r,s}4r{p,q,r,s} 四面体変換は4面を点に変換します。(双対)
切り捨てt 0,1 {p,q,r,s}t{p,q,r,s} 元の頂点はそれぞれ切り取られ、その隙間を新しい面が埋めます。切り取りには自由度があり、その解は一様な切り取られた5次元多面体を作成することです。5次元多面体は、元の面の2倍の辺を持ち、双対の面を含みます。
カンテラテッドt 0,2 {p,q,r,s}rr{p,q,r,s} 頂点の切り捨てに加えて、元の各エッジが斜面化され、その場所に新しい長方形の面が現れます。
ランシネートt 0,3 {p,q,r,s} ランシネーションはセルを削減し、頂点とエッジに新しいセルを作成します。
ステリケートt 0,4 {p,q,r,s}2r2r{p,q,r,s} 立体化はファセットを削減し、ギャップ内の頂点と辺に新しいファセット（ハイパーセル）を作成します。（5次元多面体の 拡張操作と同じです。）
全切断t 0,1,2,3,4 {p,q,r,s} 切り捨て、カンテレーション、ランシネーション、およびステリケーションの 4 つの演算子がすべて適用されます。
半分 h{2p,3,q,r} 交替、同じ
カンティック h 2 {2p,3,q,r} 同じ
ルンチッチ h 3 {2p,3,q,r} 同じ
ルンシカンティック h 2,3 {2p,3,q,r} 同じ
立体的 h 4 {2p,3,q,r} 同じ
ステリルンシック h 3,4 {2p,3,q,r} 同じ
立体的 h 2,4 {2p,3,q,r} 同じ
ステリルンシカンティック h 2,3,4 {2p,3,q,r} 同じ
冷遇 s{p,2q,r,s} 交互切り捨て
冷遇は是正された sr{p,q,2r,s} 交互切断整流
ht 0,1,2,3 {p,q,r,s} 交互ランシカンティトランケーション
完全な無視 ht 0,1,2,3,4 {p,q,r,s} 交互全切断

規則的で均一なハニカム

コクセター図は、ファミリー間の対応関係と、図内の高次対称性を表します。各行の同じ色のノードは、同一のミラーを表します。黒いノードは、この対応関係ではアクティブではありません。

ユークリッド4次元空間に規則的かつ一様なモザイクを生成する5つの基本的なアフィンコクセター群と13のプリズマティック群が存在する。 [ 11 ] [ 12 ]

基本群
# コクセターグループコクセター図フォーム
1あ〜4{\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}[3 [5] ][(3,3,3,3,3)]7
2C〜4{\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}[4,3,3,4]19
3B〜4{\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}[4,3,3 1,1 ][4,3,3,4,1 + ]＝23 (新規 8 件)
4D〜4{\displaystyle {\チルダ {D}}_{4}}[3 1,1,1,1 ][1 + ,4,3,3,4,1 + ]＝9 (新規 0)
5F〜4{\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}[3,4,3,3]31 (新規 21)

ユークリッド 4 次元空間には 3 つの正則ハニカムがあります。

均一なハニカムを生成する他のファミリ:

これらの反射形式からの伸長 (層の挿入) と回転 (層の回転) によって、4 次元空間における 非ウィソフ均一タイル分割も存在します。

プリズマティックグループ
# コクセターグループコクセター図
1C〜3{\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}×私〜1{\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}[4,3,4,2,∞]
2B〜3{\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}×私〜1{\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}[4,3 1,1 ,2,∞]
3あ〜3{\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}×私〜1{\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}[3 [4] ,2,∞]
4C〜2{\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}× ×私〜1{\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}私〜1{\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}[4,4,2,∞,2,∞]
5H〜2{\displaystyle {\tilde {H}}_{2}}× ×私〜1{\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}私〜1{\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}[6,3,2,∞,2,∞]
6あ〜2{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}× ×私〜1{\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}私〜1{\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}[3 [3] ,2,∞,2,∞]
7私〜1{\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}× × ×私〜1{\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}私〜1{\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}私〜1{\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}[∞,2,∞,2,∞,2,∞]
8あ〜2{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}×あ〜2{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}[3 [3] ,2,3 [3] ]
9あ〜2{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}×B〜2{\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}[3 [3]、2、4、4]
10あ〜2{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}×G〜2{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}[3 [3] ,2,6,3]
11B〜2{\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}×B〜2{\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}[4,4,2,4,4]
12B〜2{\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}×G〜2{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}[4,4,2,6,3]
13G〜2{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}×G〜2{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}[6,3,2,6,3]

規則的で均一な双曲面ハニカム

双曲コンパクト群

ランク 5 の 5 つのコンパクトな双曲型 Coxeter 群があり、それぞれ Coxeter 図の環の順列として双曲型 4 次元空間に均一なハニカムを生成します。

あF^4{\displaystyle {\ワイドハット {AF}}_{4}}= [(3,3,3,3,4)]:

DH¯4{\displaystyle {\bar {DH}}_{4}}= [5,3,3 1,1 ]:

H¯4{\displaystyle {\bar {H}}_{4}}= [3,3,3,5]:

BH¯4{\displaystyle {\bar {BH}}_{4}}= [4,3,3,5]:K¯4{\displaystyle {\bar {K}}_{4}}= [5,3,3,5]:

H4空間には5つ​​の正則コンパクト凸双曲型ハニカムが存在する: [ 13 ]

コンパクトな正凸双曲面ハニカム
ハニカム名 シュレーフリ記号{p,q,r,s} コクセター図ファセットタイプ{p,q,r} セルタイプ{p,q} 顔のタイプ{p} 顔の図{s} エッジ図形{r,s} 頂点図形{q,r,s} デュアル
5次5細胞（ペンテ）{3,3,3,5}{3,3,3}{3,3}{3}{5}{3,5}{3,3,5}{5,3,3,3}
3次120セル（ヒッテ）{5,3,3,3}{5,3,3}{5,3}{5}{3}{3,3}{3,3,3}{3,3,3,5}
5次テッセラティック（ピテスト）{4,3,3,5}{4,3,3}{4,3}{4}{5}{3,5}{3,3,5}{5,3,3,4}
オーダー4 120セル（シッテ）{5,3,3,4}{5,3,3}{5,3}{5}{4}{3,4}{3,3,4}{4,3,3,5}
オーダー5 120セル（フィッテ）{5,3,3,5}{5,3,3}{5,3}{5}{5}{3,5}{3,3,5}自己双対

H 4空間には 4 つの規則的なコンパクトな双曲型スターハニカムも存在します。

コンパクトで規則的な双曲型星型ハニカム
ハニカム名 シュレーフリ記号{p,q,r,s} コクセター図ファセットタイプ{p,q,r} セルタイプ{p,q} 顔のタイプ{p} 顔の図{s} エッジ図形{r,s} 頂点図形{q,r,s} デュアル
3次小星状120細胞{5/2,5,3,3}{5/2,5,3}{5/2,5}{5}{5}{3,3}{5,3,3}{3,3,5,5/2}
オーダー5/2 600セル{3,3,5,5/2}{3,3,5}{3,3}{3}{5/2}{5.5/2}{3,5,5/2}{5/2,5,3,3}
5面体120セル{3,5,5/2,5}{3,5,5/2}{3,5}{3}{5}{5/2,5}{5.5/2.5}{5,5/2,5,3}
オーダー3の120セル{5,5/2,5,3}{5.5/2.5}{5.5/2}{5}{3}{5,3}{5/2,5,3}{3,5,5/2,5}
双曲型パラコンパクト群

階数5のパラコンパクト双曲型コクセター群は9個存在し、それぞれがコクセター図の環の順列として4次元空間に一様ハニカムを生成する。パラコンパクト群は、無限の面または頂点図形を持つハニカムを生成する。

P¯4{\displaystyle {\bar {P}}_{4}}= [3,3 [4] ]:

BP¯4{\displaystyle {\bar {BP}}_{4}}= [4,3 [4] ]:FR¯4{\displaystyle {\bar {FR}}_{4}}= [(3,3,4,3,4)]:DP¯4{\displaystyle {\bar {DP}}_{4}}= [3 [3]×[] ]:

北¯4{\displaystyle {\bar {N}}_{4}}= [4,/3\,3,4]:お¯4{\displaystyle {\bar {O}}_{4}}= [3,4,3 1,1 ]:S¯4{\displaystyle {\bar {S}}_{4}}= [4,3 2,1 ]:M¯4{\displaystyle {\bar {M}}_{4}}= [4,3 1,1,1 ]:

R¯4{\displaystyle {\bar {R}}_{4}}= [3,4,3,4]:

注記

  1. ^ T. ゴセット「 n次元空間における正則図形と半正則図形について」メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900年
  2. ^多次元用語集、ジョージ・オルシェフ
  3. ^ Bowers, Jonathan (2000). 「Uniform Polychora」（PDF） . Reza Sarhagi編著. Bridges 2000. Bridges Conference. pp.  239– 246.
  4. ^ユニフォーム・ポリテラ、ジョナサン・バウワーズ
  5. ^一様多面体
  6. ^ ACW (2012年5月24日)、「Convex uniform 5-polytopes」、Open Problem Garden、2016年10月5日時点のオリジナルよりアーカイブ、2016年10月4日閲覧。
  7. ^正則多面体と半正則多面体 III、p.315 5次元の3つの有限群
  8. ^ Coxeter ,正多面体, §12.6 反射の数、式12.61
  9. ^ 「N,k-ディップピップ」。
  10. ^ 「ガッピップ」。
  11. ^正多面体、p.297。表IV、反射によって生成される既約群の基本領域。
  12. ^正多面体と半正多面体 II、pp.298-302 四次元ハニカム
  13. ^コクセター『幾何学の美：12のエッセイ』第10章：双曲空間における正則ハニカム、要約表IV p213

参考文献

  • T. ゴセット：n 次元空間における正則図形と半正則図形について、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900 年（正則 4 次元多面体 3 つと半正則 4 次元多面体 1 つ）
  • A. ブール・ストット(1910)。「正多面体と空間充填からの半正則の幾何学的演繹」(PDF)。アムステルダムのVerhandelingen der Koninklijke Academy van Wetenschappen。Ⅹ（１）．アムステルダム：ヨハネス・ミュラー。 2025 年 4 月 29 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
  • HSMコクセター：
    • HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973 (p. 297 Fundamental areas for irreductionible groups generated by reflections, Spherical and Euclidean)
    • HSM Coxeter著『幾何学の美：12のエッセイ』（第10章：双曲空間における正則ハニカム、要約表IV、p213）
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1] 2016年7月11日にWayback Machineにアーカイブ
    • （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • （論文23）HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]（p. 287 5D Euclidean groups, p. 298 Four-dimensionsal honeycombs）
    • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966年
  • ジェームズ・E・ハンフリーズ「反射群とコクセター群」ケンブリッジ高等数学研究、29（1990）（141ページ、6.9双曲型コクセター群の一覧、図2）[2]
2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族アン​B nI 2 ( p ) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
正多角形三角形四角p角形六角形五角形
均一な多面体四面体八面体•立方体デミキューブ十二面体•二十面体
均一ポリクロロンペンタコロン16セル• Tesseractデミテッセラクト24セル120セル• 600セル
一様5次元多面体5単体5-オルソプレックス• 5-キューブ5デミキューブ
一様6次元多面体6単体6-オルソプレックス• 6-キューブ6デミキューブ1 22 • 2 21
一様7次元多面体7単体7-オルソプレックス• 7-キューブ7デミキューブ1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体8単体8-オルソプレックス• 8-キューブ8デミキューブ1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体9単体9-オルソプレックス• 9-キューブ9デミキューブ
一様10次元多面体10単体10-オルソプレックス• 10-キューブ10デミキューブ
一様n多面体n -単体n -オルソプレックス• n -キューブn -デミキューブ1 k2 • 2 k1 • k 21n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算
2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間 家族あ〜n−1{\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}C〜n−1{\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}B〜n−1{\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}D〜n−1{\displaystyle {\チルダ {D}}_{n-1}}G〜2{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}/ /F〜4{\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}E〜n−1{\displaystyle {\チルダ {E}}_{n-1}}
E 2均一なタイリング0 [3]δ 3hδ 3qδ 3六角
E 3均一な凸型ハニカム0 [4]δ 4hδ 4qδ 4
E4​均一な4ハニカム0 [5]δ 5hδ 5qδ 524セルハニカム
E 5均一な5ハニカム0 [6]δ 6hδ 6qδ 6
E 6均一な6ハニカム0 [7]δ 7hδ 7qδ 72 22
E 7均一な7ハニカム0 [8]δ 8hδ 8qδ 81 33 • 3 31
E8​均一な8ハニカム0 [9]δ 9hδ 9qδ 91 52 • 2 51 • 5 21
E9​均一な9ハニカム0 [10]δ 10hδ 10qδ 10
E 10均一な10ハニカム 0 [11]δ 11hδ 11qδ 11
E n −1均一な（n −1）ハニカム0 [ n ]δ nhδ nqδ n1 k 2 • 2 k 1 • k 21
「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Uniform_5-polytope&oldid=1334528878#Reflection_families」から取得