不完全な証明のリスト

信頼できる著者による技術的な議論は、検証が難しく、正しいことがわかっている議論と似ているため、詳細に検証されることはほとんどありません。

ウラジミール・ヴォエヴォツキー^{[ 1 ]}

このページでは、不完全または誤った数学的証明の注目すべき例を挙げています。これらのほとんどは、数年間は完全または正しいと認められていましたが、後に欠陥や誤りがあることが発見されました。後に完全な証明が発見された例もあれば、主張された結果が誤りであることが判明した例もあります。

結果は後に厳密に証明された

• ユークリッドの原論。ユークリッドの証明は本質的に正しいが、交点の存在など、暗黙の仮定を暗黙のうちに用いているため、厳密に言えば、時には欠陥がある。1899年、ダヴィト・ヒルベルトはユークリッド幾何学の（第二階）公理の完全なセット、いわゆるヒルベルトの公理を与え、1926年から1959年にかけて、タルスキはタルスキの公理と呼ばれる第一階公理の完全なセットをいくつか与えた。
• 等周不等式。三次元において、その表面積に対して最大の体積を囲む形状は球面であることを述べる。アルキメデスによって定式化されたが、厳密に証明されたのは19世紀になってヘルマン・シュワルツによってであった。
• 無限小。18世紀には微積分学において無限小が広く用いられていましたが、それらは明確に定義されていませんでした。19世紀には微積分学は確固たる基盤の上に築かれ、20世紀にはロビンソンが非標準解析の導入によって無限小を厳密な基盤の上に置きました。
• 代数学の基本定理（歴史参照）。18世紀には、ダランベール（1746年）、オイラー（1749年）、ド・フォンスネ（1759年）、ラグランジュ（1772年）、ラプラス（1795年）、ウッド（1798年）、ガウス（1799年）など、この定理を証明するための不完全あるいは誤った試みが数多く行われた。最初の厳密な証明は1806年にアルガンによって発表された。
• 等差数列に関するディリクレの定理。1808年、ルジャンドルはディリクレの定理の証明を試みたが、1859年にデュプレが指摘したように、ルジャンドルが用いた補題の一つは誤りであった。ディリクレは1837年に完全な証明を与えた。
• クロネッカー（1853）とウェーバー（1886）によるクロネッカー・ウェーバー定理の証明には、いずれも不完全な点があった。最初の完全な証明は1896年にヒルベルトによって与えられた。
• 1879年、アルフレッド・ケンプは四色定理の証明とされるものを発表した。この証明の妥当性は11年間認められていたが、パーシー・ヒーウッドによって反証された。ピーター・ガスリー・テイトは1880年に別の誤った証明を提示したが、これは1891年にジュリアス・ペーターセンによって誤りであることが示された。しかし、ケンプの証明は、より弱い五色定理を示すには十分であった。四色定理は最終的に1976年にケネス・アペルとヴォルフガング・ハーケンによって証明された。^{[ 2 ]}
• シュレーダー・ベルンシュタイン定理。1896年にシュレーダーは証明の概略を発表したが^{[ 3 ]} 、 1911年にアルヴィン・ラインホルト・コルセルトによって誤りであることが示された^{[ 4 ]}（シュレーダーによって確認された）。^{[ 5 ] [ 6 ]}
• フェルマーの最終定理。最初の証明は1993年6月にアンドリュー・ワイルズによって発表されましたが、同年9月に誤りが含まれていることが判明しました。^{[ 7 ]}ワイルズは1995年に訂正された証明を発表しました。^{[ 8 ]}
• ジョルダン曲線定理。1887年にジョルダンが行ったこの定理の最初の証明に欠陥があるかどうかについては、議論が続いてきた。 1905年にオズワルド・ヴェブレンはジョルダンの証明は不完全だと主張したが、2007年にヘイルズは 欠陥は軽微であり、ジョルダンの証明は本質的に完全であると述べた。
• 1905年、ルベーグはベール関数によって暗黙的に定義された関数はベール関数であるという（正しい）結果を証明しようと試みたが、彼の証明ではボレル集合の射影がボレル集合であると誤って仮定していた。ススリンはこの誤りを指摘し、そこから着想を得て、解析集合をボレル集合の連続像として定義した。
• デーンの補題。デーンは1910年に証明の試みを発表したが、 1929年にクネザーが欠陥を発見した。最終的に1956年にクリストス・パパキリアコプロスによって証明された。
• 平面多項式ベクトル場の極限サイクル数の有限性に関するヒルベルトの第16問題。アンリ・デュラックは1923年にこの問題の部分的な解を発表したが、1980年頃にエカルとイリヤシェンコが独立して重大な欠陥を発見し、1991年頃にそれを修正した。^{[ 9 ]}
• 1929年、ラザール・リュステルニクとレフ・シュニレルマンは三測地線定理の証明を発表しましたが、後に欠陥があることが判明しました。この証明は約50年後にヴェルナー・バルマンによって完成されました。
• リトルウッド＝リチャードソン則。ロビンソンは1938年に不完全な証明を発表したが、その欠陥は長年気づかれなかった。最初の完全な証明は、 1977年にマルセル＝パウル・シュッツェンベルガー、1974年にトーマスによって与えられた。
• 虚二次体の類数。1952年、ヒーグナーはこの問題の解法を発表しました。彼の論文は欠落を含んでいたため完全な証明とは認められず、最初の完全な証明は1967年頃にベイカーとスタークによって与えられました。1969年、スタークはヒーグナーの論文の欠落を埋める方法を示しました。
• 1954年、イゴール・シャファレヴィッチは、すべての有限可解群は有理数上のガロア群であるという証明を発表しました。しかし、シュミットは素数2における議論の欠陥を指摘し、シャファレヴィッチは1989年にこれを修正しました。
• ニールセン実現問題。クラベッツは1959年にタイヒミュラー空間が負に曲がっていることを初めて示し、この問題を解決したと主張したが、1974年にマズアはそれが負に曲がっていないことを示した。ニールセン実現問題は最終的に1980年にケルクホフによって解決された。
• 山部問題。山部は1960年に解を主張したが、トゥルーディンガーは1968年に欠陥を発見し、完全な証明は1984年まで示されなかった。
• 関数体上のモーデル予想。マニンは1963年に証明を発表したが、コールマン（1990）は証明の欠陥を発見し修正した。
• 1973年、ブリトンはバーンサイドの問題の282ページに及ぶ解法を公表した。ブリトンは証明において、いくつかの不等式を満たすパラメータの集合の存在を仮定したが、アディアンはこれらの不等式が矛盾していることを指摘した。ノビコフとアディアンは既に1968年頃に正しい解を発見していた。
• 有限単純群の分類。1983年、ゴレンスタインは分類の証明が完了したと発表したが、準単純群の分類の証明の状況については誤った情報を受け取っていた。準単純群の分類の証明には重大な欠陥があった。このケースの完全な証明は、2004年にアッシュバッハーとスミスによって発表された。
• 1986年、スペンサー・ブロックは「代数的サイクルと高次K理論」という論文を発表し、モティヴィック・コホモロジーの前身となる高次チャウ群を導入した。この論文では誤った移動補題が用いられていたが、後にこの補題は30ページにも及ぶ複雑な議論に置き換えられ、「正しいと認められるまでに何年もかかった」^{[ 1 ] 。}
• ケプラー予想。1993年にシアンはこの不完全な証明を発表した。1998年にヘイルズは長時間のコンピュータ計算に基づく証明を発表した。

誤った結果

• 1759年にオイラーは3列のチェス盤には閉じたナイトツアーは存在しないと主張したが、1917年にアーネスト・ベルゴルトは3×10と3×12の盤でツアーを発見した。 ^{[ 10 ]}
• グレコ・ラテン方陣に関するオイラーの予想。1780年代、オイラーはn ≡ 2 (mod 4)の奇偶数に対して、そのような方陣は存在しないと予想した。1959年、RCボーズとSSシュリカンデは22次の反例を構築した。その後、 E.T.パーカーは1時間のコンピュータ検索によって10次の反例を発見した。最終的にパーカー、ボーズ、シュリカンデは、 n ≥ 10のすべてにおいてこの予想が誤りであることを証明した。
• 1798年にAMルジャンドルは6は2つの有理数立方数の和ではないと主張したが^{[ 11 ]} 、これはラメが1865年に指摘したように、6 = (37/21) ³  + (17/21) ³であるため誤りである。
• 1803年、ジャン・フランチェスコ・マルファッティは、 3つの円の特定の配置が直角三角形の内部の最大の面積を覆うことを証明したと主張しました。しかし、彼はそのために、円の配置についていくつかの根拠のない仮定を立てました。1930年には、異なる配置の円はより大きな面積を覆うことができることが示され、1967年にはマルファッティの配置は決して最適ではないことが示されました。マルファッティ円を参照してください。
• 1806年、アンドレ＝マリー・アンペールは、連続関数はほとんどの点で微分可能であることを証明したと主張しました（ただし、関数の正確な定義を与えなかったため、彼の主張は完全には明らかではありません）。しかし、1872年にワイエルシュトラスは、どこでも微分不可能な連続関数の例を示しました。ワイエルシュトラス関数です。
• 交差理論。1848年、シュタイナーは、与えられた円錐曲線に対して5に接する円錐曲線の数は7776 = 6 ⁵であると主張したが、後にこれが誤りであることが判明した。正しい数である3264は、1865年にベルナーによって、1859年頃にエルネスト・ド・ジョンキエールによって、そして1864年にシャスルによって、特性理論を用いて発見された。しかし、これらの結果は、古典的な交差理論における他の多くの結果と同様に、1978年頃のフルトンとマクファーソンの研究まで完全な証明が与えられていなかったようである。
• ディリクレの原理。これは1851年にリーマンによって用いられたが、ワイエルシュトラスは1870年にこの原理のあるバージョンに対する反例を発見し、ヒルベルトは1900年に正しいバージョンを提唱し証明した。
• ケイリー ( 1878 ) は、位数6の異なる群が3 つ存在すると誤って主張しました。この間違いは奇妙です。なぜなら、彼はそれ以前の 1854 年の論文で、そのような群は 2 つだけであると正しく述べていたからです。
• 1885年、エヴグラフ・フェドロフは合同な菱形面を持つ凸多面体を分類したが、例外を見逃していた。スタンコ・ビリンスキーは1960年にビリンスキー十二面体（1752年の発表以来忘れ去られていた）を再発見し、この形状を追加することで分類が完全であることを証明した。^{[ 12 ]}
• ロンスキアン。1887年、マンションは教科書の中で、ある関数のロンスキアンがあらゆる点でゼロになるならば、その関数は線型従属であると主張した。1889年、ペアノは反例x ²とx | x |を指摘した。この結果は、関数が解析的であれば正しい。
• ヴァーレン （1891年）は、3次元射影空間における代数曲線の例を公表したが、これは3つの多項式の零点として定義できなかった。しかし、1941年にペロンはヴァーレンの曲線を定義する3つの方程式を発見した。1961年、クネザーは3次元射影空間における任意の代数曲線は3つの多項式の零点として与えられることを示した。^{[ 13 ]}
• 1898年にミラーはマシュー群M24_が存在しないことを証明したと誤って主張する論文を発表したが、1900年に彼はその証明が間違っていたことを指摘した。
• リトルは1900年に、縮約された結び目図のねじれは不変量であると主張しました。しかし、1974年にパーコは「パーコペア」と呼ばれる反例を発見しました。これは、長年にわたり表では異なるものとして記載されていたものの、実際には同じ結び目のペアです。
• ヒルベルトの21番目の問題。1908年にプレメリは任意のモノドロミー群を持つフックス微分方程式の存在を示したと主張したが、1989年にボリブルックが反例を発見した。
• 1925年、アッカーマンは弱いシステムを用いて解析の整合性を証明できるという証明を発表したが、フォン・ノイマンは数年後にその明確な誤りを発見した。ゲーデルの不完全性定理は、より弱いシステムを用いて解析の整合性を証明することは不可能であることを示した。
• 順序 64 の群。1930 年にミラーは順序 64 の群が 294 個あると主張する論文を発表しました。ホールとシニアは 1964 年に正しい数は 267 個であることを示しました。
• クルト・ゲーデルは1933年に、文献では[∃ ^* ∀ ² ∃ ^* ,  all , (0)]として知られる一階算術の文の特定のクラスの真偽は決定可能であることを証明した。つまり、その形式の任意の文が真であるかどうかを正しく決定する方法が存在するということである。その論文の最後の文で、彼は同じ証明がより大きなクラス[∃ ^* ک ² ∃ ^* ,  all , (0)] ₌の決定可能性にも有効であると主張した。このクラスには等式述語を含む式も含まれる。しかし、1960年代半ばに、スタル・アンデラーはゲーデルの証明はより大きなクラスには通用しないことを示し、1982年にウォーレン・ゴールドファーブはより大きなクラスの式の妥当性は実際には決定不可能であることを示した。^{[ 14 ] [ 15 ]}
• グルンワルド・ワン定理。ヴィルヘルム・グルンワルドは1933年に誤った定理の誤った証明を発表し、その後ジョージ・ワップルズも別の誤った証明を発表した。シャンハオ・ワンは1948年に反例を発見し、1950年に定理の修正版を発表した。
• 1934 年にセヴェリは代数曲面上のサイクルの有理同値類の空間は有限次元であると主張したが、マンフォード (1968)はこれが正の幾何学的種数の曲面では誤りであることを示した。
• 20世紀前半の代数幾何学の多くの例の1つ：セヴェリ（1946）は、3次元射影空間のn次の曲面は最大で（^{n +2} ₃)−4 ノードについて、B. Segre はこれが間違いであると指摘しました。たとえば、次数 6 の場合、ノードの最大数は 65 で、これはBarth の六次方程式で達成されますが、これは Severi が主張する最大値 52 を超えています。
• ロクリン不変量。ロクリンは1951年に球面ホモトピー群の3番目の安定幹は12の位数であると誤って主張した。 1952年に彼はその誤りを発見し、実際には24の位数で巡回していた。この違いは、3次元および4次元多様体の理論における基本的なツールであるロクリン不変量の存在につながるため、重要である。
• 1961年、ヤン＝エリック・ルースは、ある一般的な条件下での逆極限関手の最初の導来関手が消滅するという誤った定理を発表しました。 ^{[ 16 ]}しかし、2002年にアムノン・ニーマンは反例を構築しました。^{[ 17 ]}ルースは2006年に、カテゴリが生成元の集合を持つという仮定を加えると定理が成り立つことを示し、その定理は、カテゴリが生成元の集合を持つという仮定を加えると、定理が成り立つことを示しました。^{[ 18 ]}
• マシュー群 M ₂₂のシュアー乗数は、複数回誤って計算されたため特に悪名高い: Burgoyne & Fong (1966) は、最初はその位数が 3 であると主張し、次に 1968 年の訂正で位数が 6 であると主張した。その位数は実際には (現在では信じられているように) 12 である。これにより、Jankoの論文「 J4上の部分群としてM _{24と M 22}の完全被覆群を持つ、位数 86,775,570,046,077,562,880 の新しい有限単純群」のタイトルに誤りが生じました。完全被覆群は当時考えられていたよりも大きいため、部分群として完全被覆群を持っていません。
• 1968 年にトンプソンがN 群の分類について最初に述べたとき、誤ってティッツ群が省略されていましたが、彼はすぐにこれを修正しました。
• 1975 年に、ライツェル、マダン、クイーンは、種数 > 0 かつ類数 1 である有限体上の関数体は 7 つしかないと誤って主張しましたが、2013 年にスティルペは別の説を発見し、実際にはちょうど 8 つあることを明らかにしました。
• Busemann-Petty問題。Zhangは1994年と1999年にAnnals of Mathematicsに2つの論文を発表し、最初の論文ではR4におけるBusemann-Petty問題に負の解があることを、2番目の論文では正の解があることを証明した^。
• 代数的スタック。代数的スタックに関する著書Laumon & Moret-Bailly (2000)は、代数的スタックの射がlisse-étale topoiの射を誘導すると誤って主張していた。これに依存した結果はOlsson (2007)によって修正された。

矛盾が証明された理論

• 1879 年に出版されたフレーゲの著書『数学の基礎』に記された数学の基礎は、1901 年に発見されたラッセルのパラドックスによって矛盾していることが判明した。
• チャーチが 1932 年に発表した、形式的なシステムを定義しようという最初の試みは矛盾しており、1933 年の訂正も同様でした。彼のシステムの矛盾のない部分が後にラムダ計算となりました。
• クワインは1940年に数理論理学の体系に関する最初の記述を発表したが、1942年にロッサーはそれが矛盾していることを示した。ワンは1950年に訂正を加えたが、この改訂版の体系の整合性は依然として不明である。
• 1967 年にラインハルトはラインハルト基数を提案したが、 1971 年にクネンはこれが ZFC と矛盾することを示したが、 ZFと矛盾することは知られていない。
• 1971 年にペル・マルティン＝レーフが提案した直観主義型理論のオリジナル版は、1972 年にジャン＝イヴ・ジラールによって矛盾していることが示され、修正版に置き換えられました。

ステータス不明

• 一様収束。 1821年のCours d'Analyseで、コーシーは連続関数の和が点収束する場合、その極限も連続であることを「証明」した。しかし、 1826年にアーベルはそうではないと指摘した。この結論が成り立つためには、「点収束」を「一様収束」に置き換える必要がある。コーシーの当初の結果が間違っていたかどうかは完全には明らかではない。なぜなら、彼の点収束の定義はやや曖昧で、現在使用されている定義よりも強力だった可能性があり、彼の結果を正しく解釈する方法もあるからである。^{[ 19 ]} 点収束の標準的な定義を用いた反例は数多くある。例えば、すべて連続な正弦関数と余弦関数のフーリエ級数は、階段関数のような不連続関数に点収束することがある。
• カーマイケルのトーティエント関数予想は、ロバート・ダニエル・カーマイケルによって1907年に定理として提唱されましたが、1922年に彼は証明が不完全であると指摘しました。2016年現在、この問題は未解決のままです。
• イタリア代数幾何学学派。証明における欠陥の多くは、微妙な技術的見落とし、あるいは20世紀以前は正確な定義の欠如によって引き起こされました。大きな例外は20世紀前半のイタリア代数幾何学学派で、この学派では徐々に厳密さの基準を低くすることが許容されるようになりました。その結果、この分野には証明が不完全な論文や定理が正確に述べられていない論文が数多く存在します。このリストには、証明が不完全なだけでなく、決定的に間違っている代表的な例がいくつか含まれています。
• 1933年、ジョージ・デイヴィッド・バーコフとヴァルデマール・ジョセフ・トリツィンスキーは、線型回帰を満たす数列の漸近性に関する非常に一般的な定理^{[ 20 ]}を発表しました。この定理は1985年にジェット・ウィンプとドロン・ツァイルバーガーによって広く知られるようになりました^{[ 21 ]。}しかし、結果はおそらく正しいものの、現在（2021年）現在、バーコフとトリツィンスキーの証明は専門家に広く受け入れられておらず、この定理は特殊な場合にのみ（受け入れられて）証明されています^{[ 22 ] 。}
• ヤコビアン予想。ケラーは1939年にこの問題を提起し、その後数年間でB.セグレによる3つの証明を含むいくつかの不完全な証明が発表されたが、 ヴィトゥシュキンはそれらの多くに欠陥を発見した。ヤコビアン予想は（2016年現在）未解決問題であり、不完全な証明が定期的に発表されている。ハイマン・バス、エドウィン・H・コネル、デイヴィッド・ライト（1982年）は、これらの不完全な証明のいくつかの誤りについて議論している。
• ヒルベルトの第16問題（与えられた次数nの平面多項式ベクトル場の極限サイクルの数に一様有限上限が存在するかどうかを問う問題）の強化版。1950年代にエフゲニー・ランディスとイヴァン・ペトロフスキーが解とされるものを発表したが、1960年代初頭に誤りであることが示された。^{[ 9 ]}
• 1954年、 ザランキエヴィチは、完全二部グラフの交差数に関するトゥランのレンガ工場問題を解決したと主張したが、カイネンとリンゲルは後に彼の証明に欠陥があることに気づいた。
• 6次元球面上の複素構造。1969年、アルフレッド・アドラーはAmerican Journal of Mathematics誌に論文を発表し、6次元球面には複素構造が存在しないと主張した。彼の議論は不完全であり、これは（2016年現在）依然として大きな未解決問題となっている。
• 閉測地線。1978年、ヴィルヘルム・クリンゲンベルクは、境界を持たない滑らかなコンパクト多様体には無限個の閉測地線が存在するという証明を発表しました。彼の証明は議論を巻き起こし、現在（2016年現在）、彼の証明が完全であるかどうかについてはコンセンサスが得られていません。
• 1991年、カプラノフとヴォエヴォツキーはホモトピー仮説の一種を証明すると主張する論文を発表しました。後にシンプソンは、この論文の結果が真実ではないことを証明しましたが、その結果の別のバリエーションが真実である可能性があると推測しました。このバリエーションは現在、シンプソン予想として知られています。
• 望遠鏡予想。レイヴェネルは1992年にこの予想の反証を発表したが、後に撤回し、この予想は未だ未解決である。
• マトロイド束。2003年にダニエル・ビスは数学年報にマトロイド束が実ベクトル束と同値であることを示す論文を発表したが、2009年にその証明に重大な欠陥があることを指摘する訂正を発表した。^{[ 23 ]}彼の訂正は2007年のムネヴの論文に基づいていた。^{[ 24 ]}
• 2012年、日本の数学者望月新一は、ABC予想を証明したと主張する一連の論文をオンラインで発表した。後に査読付き学術誌に掲載されたにもかかわらず、彼の証明は主流の数学界では正しいとは認められていない。^{[ 25 ] [ 26 ]}

参照

• 長い数学的証明のリスト
• 反証された数学的アイデアのリスト
• 科学における時代遅れの理論

注記

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23. 「幾何学 - このダニエル・ビスの論文を実際に見たことがある人はいますか？」。
24. Mnev, N. (2007). 「DK Bissの論文『マトロイド・グラスマン多様体のホモトピー型』と『有向マトロイド、複素多様体、そしてBUの組み合わせモデル』について」". arXiv : 0709.1291 [ math.CO ].
25. Bordg, Anthony (2021年12月). 「数学における再現危機？」 . The Mathematical Intelligencer . 43 (4): 48– 52. doi : 10.1007/s00283-020-10037-7 . ISSN 0343-6993 . PMC 8700325. PMID 34966193 .   
26. ジェームズ・ダグラス・ボイド『宇宙間タイヒミュラー理論：論争の内幕』

参考文献

• バス、ハイマン、コネル、エドウィン・H.、ライト、デイヴィッド（1982）「ヤコビアン予想：次数の減少と逆行列の形式的展開」アメリカ数学会報、新シリーズ、7（2）：287-330、doi：10.1090/S0273-0979-1982-15032-7、ISBN 978-1-982150-32-7、MR  0663785
• Burgoyne, N.; Fong, Paul (1966)、「マシュー群のシュアー乗数」名古屋数学ジャーナル、27 (2): 733– 745、doi : 10.1017/S0027763000026519、ISSN  0027-7630、MR  0197542
• ケイリー, A. (1878)、「要望と提案：第1回 群論」、Am. J. Math.、1 (1): 50– 52、doi : 10.2307/2369433、JSTOR  2369433
• コールマン、ロバート F. (1990)、「関数体上のモーデル予想のマニンの証明」、L'Enseignement Mathématique、第2版シリーズ、36 (3): 393– 427、ISSN  0013-8584、MR  1096426
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• マンフォード、デイヴィッド（1968）、「曲面上の0サイクルの有理同値性」、京都大学数学誌、9（2）：195–204、doi：10.1215/kjm/1250523940、ISSN  0023-608X、MR  0249428
• Olsson, Martin (2007)、「Sheaves on Artin stacks」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、2007 (603): 55–112、doi : 10.1515/CRELLE.2007.012、ISSN  0075-4102、MR  2312554、S2CID  15445962
• Rokhlin, VA (1951)、「(n+3)次元球面のn次元球面への写像の分類」、Doklady Akademii Nauk SSSR、New Series、81 : 19– 22、MR  0046043
• Severi, Francesco (1946)、「Sul Massimo numero di nodi di una superficie di dato ordine dello spazio ordinario o di una forma di un operspazio」、Annali di Matematica Pura ed Applicata、シリーズ 4、25 : 1–41 、 doi : 10.1007 /bf02418077、ISSN  0003-4622、S2CID  122620694
• Vahlen、KT (1891)、「Bemerkung zur vollställndigen Darstellung algebraischer Raumkurven」、J. Reine Angew。数学。、108 : 346–347​

さらに読む

• Lecat、Maurice (1935)、Erreurs de mathématiciens des Origines à nos jours、ブリュッセル - ルーヴァン: Librairie Castaigne - Ém。デスバラックス— 数学者によって公表された 100 ページを超える (ほとんどが些細な) エラーをリストします。

外部リンク

• セヴェリ率いるイタリア代数幾何学学派の誤りに関するデイヴィッド・マンフォードの電子メール
• [1]の最初の9ページではホモトピー理論における誤った結果の例がいくつか挙げられています。

MathOverflowの質問

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• ケビン・バザード、イタリアの代数幾何学者は実際にどんな間違いを犯したのでしょうか?
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StackExchangeの質問

• スティーブン・オーウェンさん、数学の歴史において、間違いはあったのでしょうか?