一様6次元多面体

3つの正則かつ関連する一様多面体のグラフ

6単体				切断された6単体				整流6単信
カンテレーション6シンプレックス						ランシネーテッド6シンプレックス
立体構造6単体						ペンテレート6単体
6-オルソプレックス				切断型6-オルソプレックス				整流6-オルトプレックス
カンテラ6-オルソプレックス				ランシネート6-オルソプレックス				立体的6-オルトプレックス
6角形キューブ						ランシネーテッド6キューブ
ステリケートされた6キューブ						6面体
6キューブ				切り詰められた6立方体				整流6キューブ
6デミキューブ				切り詰められた6デミキューブ				カンテラ型6デミキューブ
ランシネート6デミキューブ						ステリケート6デミキューブ
2 21						1 22
切り捨て 2 21						切り捨て 1 22

六次元幾何学において、一様六次元多面体は六次元一様多面体である。一様多面体は頂点推移的であり、すべての面は一様五次元多面体である。

凸一様6次元多面体の完全な集合は未だ決定されていないが、そのほとんどは少数の対称群からウィトフ構成によって作ることができる。これらの構成操作は、コクセター・ディンキン図の環の順列で表される。図中の連結されたノード群上の少なくとも1つの環の組み合わせは、一様6次元多面体を生成する。

最も単純な均一多面体は、正多面体です：6 単体{3,3,3,3,3}、6 立方体（ヘキサラクト）{4,3,3,3,3}、および6 直交複体（ヘキサクロス）{3,3,3,3,4}。

発見の歴史

• 正多面体：（凸面）
  • 1852 :ルートヴィヒ・シュレーフリは、彼の原稿「理論理論」の中で、5次元以上の正多面体がちょうど 3 つ存在することを証明しました。
• 凸半正多面体: (コクセターの均一カテゴリ以前の様々な定義)
  • 1900年：ソロルド・ゴセットは著書『n次元空間における正則図形と半正則図形について』の中で、正則な面を持つ非柱状半正則凸多面体（凸正多面体）のリストを列挙した。^{[ 1 ]}
• 凸均一多面体:
  • 1940 年: HSM Coxeterが著書『Regular and Semi-Regular Polytopes』でこの研究を体系的に拡張しました。
• 非正規均一星型多面体：（非凸均一多面体に類似）
  • 進行中：ジョナサン・バウアーズらは、他の非凸一様6次元多面体の探索を行っており、現在、無限族（凸・非凸）外の一様6次元多面体は41,348個知られている（一様5次元多面体のプリズムは除く）。このリストは完全であることが証明されていない。^{[ 2 ] [ 3 ]}

基本コクセター群による一様6次元多面体

反射対称性を持つ均一な 6 次元多面体は、コクセター・ディンキン図の環の順列で表されるこれら 4 つのコクセター群によって生成できます。

153 個の一意の均一な 6 次元多面体を生成する 4 つの基本的な反射対称群があります。

#	コクセターグループ		コクセター・ディンキン図
1	A6​	[3,3,3,3,3]
2	B6​	[3,3,3,3,4]
3	D6​	[3,3,3,3 ^1,1 ]
4	E 6	[3 ^2,2,1 ]
		[3,3 ^2,2 ]

コクセター・ディンキン図における族間の対応関係と、図内の高次対称性。各行の同じ色のノードは同一のミラーを表す。黒色のノードは対応関係においてアクティブではない。

均一なプリズマティックファミリー

均一プリズム

一様 5 次元多面体に基づくカテゴリカル一様プリズムは 6 つあります。

#	コクセターグループ			注記
1	A 5 A 1	[3,3,3,3,2]		5単体に基づくプリズムファミリー
2	B 5 A 1	[4,3,3,3,2]		5キューブに基づくプリズムファミリー
3a	D 5 A 1	[3 ^2,1,1,2 ]		5デミキューブに基づくプリズムファミリー

#	コクセターグループ			注記
4	A 3 I 2 (p)A 1	[3,3,2,p,2]		四面体-p-角形デュオプリズムに基づくプリズムファミリー
5	B 3 I 2 (p)A 1	[4,3,2,p,2]		立方-p角形デュオプリズムに基づくプリズムファミリー
6	H 3 I 2 (p)A 1	[5,3,2,p,2]		正十二面体-p角形デュオプリズムに基づくプリズムファミリー

均一デュオプリズム

低次元一様多面体の直積に基づく多面体のカテゴリカル一様双直角錐族は11種存在する。そのうち5種は一様4次元多面体と正多角形との積として形成され、6種は2つの一様多面体との積として形成される。

#	コクセターグループ			注記
1	A 4 I 2 (p)	[3,3,3,2,p]		5 セルの-p ゴナル デュオプリズム に基づくファミリー。
2	B 4 I 2 (p)	[4,3,3,2,p]		四次元方位-p 角形デュオプリズム に基づくファミリー。
3	F 4 I 2 (p)	[3,4,3,2,p]		24 セルの-p ゴナル デュオプリズム に基づくファミリー。
4	H 4 I 2 (p)	[5,3,3,2,p]		120 セルの-p ゴナル デュオプリズム に基づくファミリー。
5	D 4 I 2 (p)	[3 ^1,1,1 ,2,p]		半円錐形-p 角形デュオプリズム に基づくファミリー。

#	コクセターグループ			注記
6	A 3 ^2	[3,3,2,3,3]		四面体デュオプリズムに基づくファミリー。
7	A 3 B 3	[3,3,2,4,3]		四面体-立方体デュオプリズムに基づくファミリー。
8	A 3 H 3	[3,3,2,5,3]		四面体-十二面体デュオプリズムに基づくファミリー。
9	B 3 ^2	[4,3,2,4,3]		立方体デュオプリズムに基づくファミリー。
10	B 3 H 3	[4,3,2,5,3]		立方体-十二面体デュオプリズムに基づくファミリー。
11	H 3 ^2	[5,3,2,5,3]		正十二面体デュオプリズムに基づくファミリー。

均一な三角柱

3つの正多角形の直積として構成される、一様三角柱状多面体族の無限 族が1つ存在する。連結された群の少なくとも1つの環の組み合わせは、一様六角柱状多面体を生成する。

#	コクセターグループ			注記
1	I 2 (p)I 2 (q)I 2 (r)	[p,2,q,2,r]		p,q,r-角形三角柱に基づくファミリー

凸一様6次元多面体の列挙

• シンプレックスファミリー: A ₆ [3 ⁴ ] -
  • 群図の環の順列として、正則な多面体 1 つを含む 35 個の均一な 6 次元多面体:
    1. {3 ⁴ } - 6単体-
• ハイパーキューブ/オルソプレックスファミリー: B ₆ [4,3 ⁴ ] -
  • 群図の環の順列として63個の均一な6次元多面体があり、その中には2つの正規形が含まれる:
    1. {4,3 ³ } — 6キューブ（ヘクセラクト） -
    2. {3 ³ ,4} — 6-オルソプレックス、（ヘキサクロス） -
• 半超立方体D ₆族: [3 ^3,1,1 ] -
  • 群図の環の順列として、47 個の均一な 6 次元多面体 (16 個は一意) があり、これには以下が含まれます。
    1. {3,3 ^2,1 }, 1 ₂₁ 6-デミキューブ（デミヘキセラクト） -^{; h{4,3 3} }とも呼ばれる。
    2. {3,3,3 ^1,1 }, 2 ₁₁ 6-オルソプレックス-の半対称形。
• E ₆ファミリー: [3 ^3,1,1 ] -
  • 群図の環の順列として、次の 39 個の均一 6 次元多面体があります。
    1. {3,3,3 ^2,1 }, 2 ₂₁ -
    2. {3,3 ^2,2 }, 1 ₂₂ -

これらの基本ファミリーは、153 個の非プリズム凸均一多面体を生成します。

さらに、均一 5 次元多面体のプリズムに基づく均一 6 次元多面体の構成は 57 種類あります: [3,3,3,3,2]、[4,3,3,3,2]、[3 ^2,1,1 ,2]。ただし、ヘキセラクト複製のペンタラクト プリズムは除きます。

さらに、次に基づく均一な 6 次元多面体は無限に存在します。

1. デュオプリズムプリズムファミリー: [3,3,2,p,2]、[4,3,2,p,2]、[5,3,2,p,2]。
2. デュオプリズムファミリー: [3,3,3,2,p], [4,3,3,2,p], [5,3,3,2,p]。
3. 三角プリズムファミリー: [p,2,q,2,r]。

A6ファミリー_​

コクセター・ディンキン図の1つ以上のノードに印を付けることで、32+4−1=35通りの形式が導かれます。35通りすべてを以下に列挙します。これらは、ノーマン・ジョンソンによって、正則6元単体（ヘプタペトン）上のワイトフ構成法から命名されました。相互参照のため、括弧内にはバウアーズ式の頭字語が示されています。

A ₆ファミリーは 5040 次 (7 の階乗) の対称性を持っています。

6 次元単体対称性を持つ均一な 6 次元多面体の座標は、すべて法線ベクトル(1,1,1,1,1,1,1) を持つ超平面内の 7 次元空間の単純な整数の順列として生成できます。

#	コクセター・ディンキン	ジョンソン命名システムバウワーズ名と（頭字語）	基点	要素数
				5	4	3	2	1	0
1		6単体ヘプタペトン（ホップ）	(0,0,0,0,0,0,1)	7	21	35	35	21	7
2		整流6単体整流ヘプタペトン（ril）	(0,0,0,0,0,1,1)	14	63	140	175	105	21
3		切断された6単体切断されたヘプタペトン（til）	(0,0,0,0,0,1,2)	14	63	140	175	126	42
4		二重整流 6 シンプレックス双整流ヘプタペトン (bril)	(0,0,0,0,1,1,1)	14	84	245	350	210	35
5		6単体の小さな菱形ヘプタペトン（スリル）	(0,0,0,0,1,1,2)	35	210	560	805	525	105
6		二頭6単体二頭ヘプタペトン（バタル）	(0,0,0,0,1,2,2)	14	84	245	385	315	105
7		6単体の斜切形大菱形ヘプタペトン（グリル）	(0,0,0,0,1,2,3)	35	210	560	805	630	210
8		ランシネートされた6単体の小さな柱状ヘプタペトン（スピル）	(0,0,0,1,1,1,2)	70	455	1330	1610	840	140
9		二眼六単子小型二菱形七葉虫（サブリル）	(0,0,0,1,1,2,2)	70	455	1295	1610	840	140
10		ランシトランケート6単体角柱トランケートヘプタペトン（パタル）	(0,0,0,1,1,2,3)	70	560	1820	2800	1890	420
11		三切断6単体テトラデカペトン（fe）	(0,0,0,1,2,2,2)	14	84	280	490	420	140
12		ルンシカンテラ化6単体柱状角柱状ヘプタペトン（プリル）	(0,0,0,1,2,2,3)	70	455	1295	1960	1470	420
13		二面截頭6単体大二面角質ヘプタペトン（ガブリル）	(0,0,0,1,2,3,3)	49	329	980	1540	1260	420
14		ルンシカンティ切頂6単体大柱状ヘプタペトン（ガピル）	(0,0,0,1,2,3,4)	70	560	1820	3010	2520	840
15		立体的に配列した6単分子小胞ヘプタペトン（scal）	(0,0,1,1,1,1,2)	105	700	1470	1400	630	105
16		二頭頂6単体小型二角柱テトラデカペトン（sibpof）	(0,0,1,1,1,2,2)	84	714	2100	2520	1260	210
17		ステリトランケート6シンプレックスセルリトランケートヘプタペトン（カタル）	(0,0,1,1,1,2,3)	105	945	2940	3780	2100	420
18		立体格子状の6単細胞性細胞菱形ヘプタペトン（クラール）	(0,0,1,1,2,2,3)	105	1050	3465	5040	3150	630
19		二頭頂6単体双角錐台形七面体（バプリル）	(0,0,1,1,2,3,3)	84	714	2310	3570	2520	630
20		立体的に切断された6-単体のセルリグレーターホムベーテッドヘプタペトン（カグラル）	(0,0,1,1,2,3,4)	105	1155	4410	7140	5040	1260
21		不稔性6単鎖セルリプリズムヘプタペトン（コパル）	(0,0,1,2,2,2,3)	105	700	1995	2660	1680	420
22		ステリルンシトランケート6単体セルリプリズマトトランケートヘプタペトン（頭頂部）	(0,0,1,2,2,3,4)	105	945	3360	5670	4410	1260
23		ステリルンシカンテラテッド6シンプレックスセルリプリズムトンホムベーテッドヘプタペトン（コプリル）	(0,0,1,2,3,3,4)	105	1050	3675	5880	4410	1260
24		二頭円錐台形6単体大双角錐-四十角錐（ギブポフ）	(0,0,1,2,3,4,4)	84	714	2520	4410	3780	1260
25		ステリルンシカンティトランケイテッド6シンプレックス大胞体ヘプタペトン（ガカル）	(0,0,1,2,3,4,5)	105	1155	4620	8610	7560	2520
26		6単葉の小さな1/4ペラ（杖）	(0,1,1,1,1,1,2)	126	434	630	490	210	42
27		五角形6単体四細胞ヘプタペトン（トカル）	(0,1,1,1,1,2,3)	126	826	1785	1820	945	210
28		五角錐状の6単体三角錐ヘプタペトン（トパル）	(0,1,1,1,2,2,3)	126	1246	3570	4340	2310	420
29		ペンティカティトランケーテッド6シンプレックステリグレーターホバテッドヘプタペトン（トグラル）	(0,1,1,1,2,3,4)	126	1351	4095	5390	3360	840
30		ペンティルンシトランケート6単体三角錐ヘプタペトン（トクラール）	(0,1,1,2,2,3,4)	126	1491	5565	8610	5670	1260
31		ペンティルンシカンテル型6単角錐テリプリズムホンビテトラデカペトン（タポルフ）	(0,1,1,2,3,3,4)	126	1596	5250	7560	5040	1260
32		五円錐台形6単体三角錐台形ヘプタペトン（タゴパル）	(0,1,1,2,3,4,5)	126	1701	6825	11550	8820	2520
33		ペンティステリトランケート 6 シンプレックステリセリトランキ テトラデカペトン (tactaf)	(0,1,2,2,2,3,4)	126	1176	3780	5250	3360	840
34		ペンチステリック反切断型 6 シンプレックステリセリ大斜方ヘプタペトン (タコグラル)	(0,1,2,2,3,4,5)	126	1596	6510	11340	8820	2520
35		全頭6単体大第三テトラデカペトン（ゴタフ）	(0,1,2,3,4,5,6)	126	1806	8400	16800	15120	5040

B6ファミリー_​

1 つ以上の環を持つ Coxeter-Dynkin 図のすべての順列に基づく形式は 63 個あります。

B ₆ファミリーは、順序 46080 (6 の階乗x 2 ⁶ ) の対称性を持ちます。

これらは、正六面体と正六面体を用いたワイトフの作図法にちなんで、 ノーマン・ジョンソンによって命名されました。相互参照のために、バウワーズ名と頭字語名が示されています。

#	コクセター・ディンキン図	シュレーフリ記号	名前	要素数
				5	4	3	2	1	0
36		t 0 {3,3,3,3,4}	6-オルソプレックスヘキサコンタテトラペトン（gee）	64	192	240	160	60	12
37		t 1 {3,3,3,3,4}	整流された6-オルトプレックス整流されたヘキサコンタテトラペトン（ラグ）	76	576	1200	1120	480	60
38		t 2 {3,3,3,3,4}	二直鎖6-オルソプレックス二直鎖ヘキサコンタテトラペトン（ブラグ）	76	636	2160	2880	1440	160
39		t 2 {4,3,3,3,3}	バイレクティファイド 6-cubeバイレクティファイド ヘキサラクト (ブロックス)	76	636	2080	3200	1920	240
40		t 1 {4,3,3,3,3}	整流された6キューブ整流されたヘキセラクト（rax）	76	444	1120	1520	960	192
41		t 0 {4,3,3,3,3}	6キューブヘキセラクト（斧）	12	60	160	240	192	64
42		t 0,1 {3,3,3,3,4}	切断型6-オルソプレックス切断型ヘキサコンタテトラペトン（タグ）	76	576	1200	1120	540	120
43		t 0,2 {3,3,3,3,4}	6-オルソプレックスの小菱形六角形テトラペトン（スロッグ）	136	1656	5040	6400	3360	480
44		t 1,2 {3,3,3,3,4}	二切断6-オルソプレックス二切断ヘキサコンタテトラペトン（ボタグ）					1920	480
45		t 0,3 {3,3,3,3,4}	ランシネート6-オルソプレックス小柱状ヘキサコンタテトラペトン（スポグ）					7200	960
46		t 1,3 {3,3,3,3,4}	二面体6正複合体の小型二面体ヘキサコンタテトラペトン（シボルグ）					8640	1440
47		t 2,3 {4,3,3,3,3}	三角錐台形6立方体ヘキサラクティヘキサコンタイトトラペトン (xog)					3360	960
48		t 0,4 {3,3,3,3,4}	立体的に配列した6-オルソプレックス小胞体ヘキサコンタテトラペトン（スカグ）					5760	960
49		t 1,4 {4,3,3,3,3}	双角錐台6立方体小型双角錐ヘキサコンタイトトラペトン（ソブポキソグ）					11520	1920
50		t 1,3 {4,3,3,3,3}	双眼6立方体小型二菱形ヘキセラクト（サボルクス）					9600	1920
51		t 1,2 {4,3,3,3,3}	ビットトランケーテッド 6 キューブ ビットトランケーテッド ヘキサラクト (ボトックス)					2880	960
52		t 0,5 {4,3,3,3,3}	6面体ペンテレーション小型テリヘキセラクティヘキサコンタイトトラペトン（ストクソグ）					1920	384
53		t 0,4 {4,3,3,3,3}	ステリケート6キューブ小胞ヘキセラクト（スコックス）					5760	960
54		t 0,3 {4,3,3,3,3}	ランシネーテッド6キューブ小型プリズマテッドヘキセラクト（スポックス）					7680	1280
55		t 0,2 {4,3,3,3,3}	6角形の小さな菱形ヘキセラクト（srox）					4800	960
56		t 0,1 {4,3,3,3,3}	切り詰められた6キューブ切り詰められたヘキセラクト（トックス）	76	444	1120	1520	1152	384
57		t 0,1,2 {3,3,3,3,4}	6-オルソプレックス大菱形六角形テトラペトン（グロッグ）					3840	960
58		t 0,1,3 {3,3,3,3,4}	ランシトランケート6-オルソプレックスプリズマトトランケートヘキサコンタテトラペトン（ポタグ）					15840	2880
59		t 0,2,3 {3,3,3,3,4}	ルンシカンテラ化6-オルソプレックスプリズマトールホムベーテッドヘキサコンタテトラペトン（プログ）					11520	2880
60		t 1,2,3 {3,3,3,3,4}	双円錐台6正複合体大双円錐台六角形テトラペトン（ガボルグ）					10080	2880
61		t 0,1,4 {3,3,3,3,4}	ステリトランケート6-オルソプレックス、セリトランケートヘキサコンタテトラペトン（カトグ）					19200	3840
62		t 0,2,4 {3,3,3,3,4}	立体的6-正複合体のセルリロンバテッドヘキサコンタテトラペトン（岩）					28800	5760
63		t 1,2,4 {3,3,3,3,4}	二角錐切断型6-オルソプレックス二角錐切断型ヘキサコンタテトラペトン（ボプラックス）					23040	5760
64		t 0,3,4 {3,3,3,3,4}	滅菌6-オルソプレックスセルリプリズム化ヘキサコンタテトラペトン（コポグ）					15360	3840
65		t 1,2,4 {4,3,3,3,3}	双角錐台6立方体双角錐台ヘキサラクト（ボプラグ）					23040	5760
66		t 1,2,3 {4,3,3,3,3}	双面切形6立方体大二菱形ヘキセラクト（ガボルクス）					11520	3840
67		t 0,1,5 {3,3,3,3,4}	五切断型6-オルソプレックス三切断型ヘキサコンタテトラペトン（タコックス）					8640	1920
68		t 0,2,5 {3,3,3,3,4}	ペンティカンテル化6-オルソプレックス三価クロム酸塩ヘキサコンタテトラペトン（タポックス）					21120	3840
69		t 0,3,4 {4,3,3,3,3}	滅菌済み6キューブセルリプリズムヘキセラクト（コポックス）					15360	3840
70		t 0,2,5 {4,3,3,3,3}	ペンティカンテル型6立方体三角錐ヘキセラクト（トパグ）					21120	3840
71		t 0,2,4 {4,3,3,3,3}	立体角柱状の6立方体セルリロンバテッドヘキセラクト（クラックス）					28800	5760
72		t 0,2,3 {4,3,3,3,3}	ルンシカンテラテッド 6 キューブプリズマトールホムバテッド ヘキサラクト (近似)					13440	3840
73		t 0,1,5 {4,3,3,3,3}	五角形6立方体四角形ヘキセラクト（タコグ）					8640	1920
74		t 0,1,4 {4,3,3,3,3}	ステリトランケーテッド 6 キューブセルリトランケーテッド ヘキセラクト (カタックス)					19200	3840
75		t 0,1,3 {4,3,3,3,3}	ランシトランケーテッド 6 キューブプリズマトトランケーテッド ヘキセラクト (ポタックス)					17280	3840
76		t 0,1,2 {4,3,3,3,3}	6立方体大菱形ヘキセラクト（グロックス）					5760	1920
77		t 0,1,2,3 {3,3,3,3,4}	ルンシカンティトランケーテッド6オルソプレックス大柱状ヘキサコンタテトラペトン（ゴポグ）					20160	5760
78		t 0,1,2,4 {3,3,3,3,4}	立体的切断6-オルソプレックスセリグレアトールホムベートヘキサコンタテトラペトン（カゴーグ）					46080	11520
79		t 0,1,3,4 {3,3,3,3,4}	ステリルンシトランケート6-オルソプレックスセリプリズマトトランケートヘキサコンタテトラペトン（カプトグ）					40320	11520
80		t 0,2,3,4 {3,3,3,3,4}	ステリルンシカンテラート6-オルソプレックスセリプリズムトンホバテッドヘキサコンタテトラペトン（コプラグ）					40320	11520
81		t 1,2,3,4 {4,3,3,3,3}	二角錐台形6立方体大双角錐台ヘキサコンタイトトラペトン（ゴブポキソグ）					34560	11520
82		t 0,1,2,5 {3,3,3,3,4}	ペンティカチトランケート6-オルソプレックステリグレアトールホバテッドヘキサコンタテトラペトン（トグリグ）					30720	7680
83		t 0,1,3,5 {3,3,3,3,4}	ペンティルンシトランケート6-オルソプレックス、テリプリズマトトランケートヘキサコンタテトラペトン（トクラックス）					51840	11520
84		t 0,2,3,5 {4,3,3,3,3}	ペンティルンシカンテラテッド 6 キューブ テリプリズムトロンビヘキセラクティヘキサコンタイトトラペトン (ティプリクソグ)					46080	11520
85		t 0,2,3,4 {4,3,3,3,3}	ステリルンチカンテラテッド 6 キューブセルリプリズム ホムベーテッド ヘキサラクト (コプリックス)					40320	11520
86		t 0,1,4,5 {4,3,3,3,3}	ペンティステリトランケート 6 立方体テリセリ ヘキサラクティヘキサコンタイトトラペトン (tactaxog)					30720	7680
87		t 0,1,3,5 {4,3,3,3,3}	ペンティルンシ切頭6立方体テリプリズマト切頭ヘキセラクト（トクラグ）					51840	11520
88		t 0,1,3,4 {4,3,3,3,3}	ステリルンシトランケート 6 キューブセルリプリズマトトランケート ヘキセラクト (キャプティックス)					40320	11520
89		t 0,1,2,5 {4,3,3,3,3}	ペンティカティトランケーテッド 6 キューブ テリグレーターホムベーテッド ヘキセラクト (トグリックス)					30720	7680
90		t 0,1,2,4 {4,3,3,3,3}	立体的に切断された6立方体セルリグレーター角形ヘキセラクト（カゴルクス）					46080	11520
91		t 0,1,2,3 {4,3,3,3,3}	ルンシカンティ切頂6立方体大プリズマテッドヘキセラクト（ギポックス）					23040	7680
92		t 0,1,2,3,4 {3,3,3,3,4}	ステリルンシカンティトランケート6-オルソプレックス大胞子性ヘキサコンタテトラペトン（ゴコグ）					69120	23040
93		t 0,1,2,3,5 {3,3,3,3,4}	ペンティルンシカンティトランケート6-オルソプレックステリグレアト角柱ヘキサコンタテトラペトン（タグポグ）					80640	23040
94		t 0,1,2,4,5 {3,3,3,3,4}	ペンティステリカンアンチトランケート6-オルソプレックステリセリグレアトールホバテッドヘキサコンタテトラペトン（テカゴルグ）					80640	23040
95		t 0,1,2,4,5 {4,3,3,3,3}	ペンティステリカンティトランケーテッド 6 キューブ テリセリグレアトールホムベーテッド ヘキセラクト (トカグラクス)					80640	23040
96		t 0,1,2,3,5 {4,3,3,3,3}	ペンティルンシカンティトランケーテッド 6 キューブテリグレアトプリズム ヘキセラクト (タグポックス)					80640	23040
97		t 0,1,2,3,4 {4,3,3,3,3}	ステリルンシカンティトランケーテッド6キューブグレートセルレイテッドヘキセラクト（ゴカックス）					69120	23040
98		t 0,1,2,3,4,5 {4,3,3,3,3}	全頭6立方体グレート・テリヘキセラクティヘキサコンティテトラペトン（ゴタクソグ）					138240	46080

D ₆ファミリー

D ₆ファミリーは、順序 23040 (6 の階乗x 2 ⁵ ) の対称性を持ちます。

この族には、D ₆コクセター・ディンキン図の1つ以上のノードをマークすることで生成される、3×16−1=47 個のウィソフ一様多面体があります。このうち、31 (2×16−1) 個はB ₆族から重複し、16個はこの族に固有のものです。16個の固有の形式は以下に列挙します。相互参照のために、Bowers 式の頭字語名が示されています。

#	コクセター図	名前	基点（交互符号）	要素数						サーカムラッド
				5	4	3	2	1	0
99	＝	6-デミキューブヘミヘキセラクト (ハックス)	(1、1、1、1、1、1)	44	252	640	640	240	32	0.8660254
100	＝	カンティック6キューブ切頂ヘミヘキセラクト（タックス）	（1、1、3、3、3、3）	76	636	2080	3200	2160	480	2.1794493
101	＝	ランシック 6 キューブ小型菱形ヘミヘキセラクト (シルハックス)	（1、1、1、3、3、3）					3840	640	1.9364916
102	＝	立体6キューブ小型柱状ヘミヘキセラクト（ソファックス）	（1、1、1、1、3、3）					3360	480	1.6583123
103	＝	ペンティック6キューブ小胞体デミヘキセラクト（ソチャックス）	（1、1、1、1、1、3）					1440	192	1.3228756
104	＝	ルンシカンティック 6 キューブグレート ロンバテッド ヘミヘキセラクト (ギルハクス)	（1、1、3、5、5、5）					5760	1920	3.2787192
105	＝	立体的な6立方体プリズマトトランケーテッドヘミヘキセラクト（ピサックス）	（1、1、3、3、5、5）					12960	2880	2.95804
106	＝	ステリルンシック 6 キューブプリズマトールホムベーテッド ヘミヘキセラクト (プロハックス)	（1、1、1、3、5、5）					7680	1920	2.7838821
107	＝	ペンティカンティック 6 キューブセルリトランケーテッド ヘミヘキセラクト (カティクス)	（1、1、3、3、3、5）					9600	1920	2.5980761
108	＝	ペンティルンシック 6 キューブセルリロンバテッド ヘミヘキセラクト (クロハックス)	（1、1、1、3、3、5）					10560	1920	2.3979158
109	＝	ペンティステリック 6 キューブ セルリプリズム ヘミヘキセラクト (コフィックス)	（1、1、1、1、3、5）					5280	960	2.1794496
110	＝	ステリルンシカンティック 6 キューブ グレートプリズマテッド ヘミヘキセラクト (ゴファクス)	（1、1、3、5、7、7）					17280	5760	4.0926762
111	＝	ペンティルンシカンティック 6 キューブセリグレーターホムバテッド ヘミヘキセラクト (カグロハックス)	（1、1、3、5、5、7）					20160	5760	3.7080991
112	＝	ペンティステリカンティック 6 キューブセルリプリズマトトランケーテッド ヘミヘキセラクト (カプティクス)	（1、1、3、3、5、7）					23040	5760	3.4278274
113	＝	ペンティステリルンシック 6 キューブセルリプリズムトーラスホバテッド ヘミヘキセラクト (カプロハックス)	（1、1、1、3、5、7）					15360	3840	3.2787192
114	＝	ペンティステリルンシカンティック 6 立方体大胞子付きヘミヘキセラクト (ゴチャックス)	（1、1、3、5、7、9）					34560	11520	4.5552168

E ₆ファミリー

コクセター・ディンキン図式のすべての順列に基づく、1つ以上の環を持つ39の形式が存在する。相互参照のために、バウアーズ式の頭字語名が与えられている。E ₆族は、 51,840次の対称性を持つ。

#	コクセター図	名前	要素数
			5面	4面	細胞	顔	エッジ	頂点
115		2 21イコシヘプタヘプタコンチジペトン (jak)	99	648	1080	720	216	27
116		修正済み 2 21修正済み icosiheptaheptacontidipeton (rojak)	126	1350	4320	5040	2160	216
117		切断された 2 21切断されたイコシヘプタヘプタコンティディペトン（トジャク）	126	1350	4320	5040	2376	432
118		2 21小さな菱形のイコシヘプタヘプタコンティディペトン（シルジャク）	342	3942	15120	24480	15120	2160
119		Runcinated 2 21小型のデミプリズム型イコシヘプタヘプタコンティジペトン (shopjak)	342	4662	16200	19440	8640	1080
120		半語形イコシヘプタヘプタコンティディペトン（ヘジャク）	342	2430	7200	7920	3240	432
121		Bitruncated 2 21 Bitruncated icosiheptaheptacontidipeton (botajik)						2160
122		非特異化イコシヘプタヘプタコンティジペトン (harjak)						1080
123		カンティトランケーテッド 2 21大菱形イコシヘプタヘプタコンティディペトン（ギルジャク）						4320
124		Runcitruncated 2 21 Demiprismatotruncated icosiheptaheptacontidipeton (hopitjak)						4320
125		ステリトランケート 2 21セルリトランケート イコシヘプタヘプタコンティジペトン (カジャック)						2160
126		半切断イコシヘプタヘプタコンティディペトン（ホジャック）						2160
127		Runcicantellated 2 21 Demiprismatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (haprojak)						6480
128		小型のデミロンベート型イコシヘプタヘプタコンティジペトン (ショルジャク)						4320
129		小型の柱状イコシヘプタヘプタコンティディペトン（スポヤク）						4320
130		三切断型イコシヘプタヘプタコンティジペトン (titajak)						4320
131		ルンシカンティトランケーテッド 2 21大きな半円筒形のイコシヘプタヘプタコンティディペトン（ゴプジャク）						12960
132		Stericantitruncated 2 21 Celligreatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (cograjik)						12960
133		オオデミロンベーテッド イコシヘプタヘプタコンティジペトン (ゴルジャク)						8640
134		プリズマトトランケーテッド イコシヘプタヘプタコンティディペトン（ポジャック）						12960
135		デミセリトランケーテッド イコシヘプタヘプタコンティディペトン（ヒクティジク）						8640
136		Prismatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (projak)						12960
137		大柱状イコシヘプタヘプタコンティディペトン（ガプジャク）						25920
138		Demicelligreatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (hocgarjik)						25920

#	コクセター図	名前	要素数
			5面	4面	細胞	顔	エッジ	頂点
139	＝	1 22ペンタコンタテトラペトン（mo）	54	702	2160	2160	720	72
140	＝	整流 1 22整流ペンタコンタテトラペトン（ラム）	126	1566	6480	10800	6480	720
141	＝	双整列1 22双整列ペンタコンタテトラペトン（バーム）	126	2286	10800	19440	12960	2160
142	＝	三連整流化 1 22三連整流化ペンタコンタテトラペトン（トリム）	558	4608	8640	6480	2160	270
143	＝	切断された 1 22切断されたペンタコンタテトラペトン (tim)					13680	1440
144	＝	ビットトランケーテッド 1 22ビットトランケーテッド ペンタコンタテトラペトン (ビテム)						6480
145	＝	三切断型 1 22三切断型ペンタコンタテトラペトン（チタン）						8640
146	＝	1 22小さな菱形五連四連棍（SRAM）						6480
147	＝	1 22大きな菱形五角形テトラペトン（グラム）						12960
148	＝	ランシネーテッド 1 22小さな柱状のペンタコンタテトラペトン（スパム）						2160
149	＝	双眼球状 1 22小型の双眼球状五眼球状四眼球（サブリム）						6480
150	＝	双面截頭 1 22大双面截頭五面体テトラペトン（ガブリム）						12960
151	＝	ランシトランケート 1 22プリズマトトランケート ペンタコンタテトラペトン (パトム)						12960
152	＝	ルンチカンテラテッド 1 22プリズマトールホバテッド ペンタコンタテトラペトン (プロム)						25920
153	＝	全頭型 1 22大柱状五角形テトラペトン（ゴパム）						51840

三角プリズム

一様な三角柱{ p }×{ q }×{ r } は、すべての整数p、q、r >2に対して無限クラスを形成します。{4}×{4}×{4} は、 6 次元立方体の対称性の低い形式になります。

拡張されたfベクトルは、( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*( r , r , 1 )=( pqr ,3 pqr ,3 pqr + pq + pr + qr ,3 p ( p +1),3 p , 1 )です。

コクセター図	名前	要素数
		5面	4面	細胞	顔	エッジ	頂点
	{ p }×{ q }×{ r } [ 4 ]	p + q + r	pq + pr + qr + p + q + r	pqr +2( pq + pr + qr )	3 pqr + pq + pr + qr	3ポイント	pqr
	{ p }×{ p }×{ p }	3ページ	3 p ( p +1)	p ^2 ( p +6)	3 p ^2 ( p +1)	3ページ^3ページ	^3ページ
	{3}×{3}×{3}（トリチップ）	9	36	81	99	81	27
	{4}×{4}×{4} = 6立方体	12	60	160	240	192	64

非ウィソフ6次元多面体

6次元以上では、ウィソフ型凸一様多面体は無限に存在する。例えば、4次元の大反プリズムの直積と2次元の任意の正多角形などである。さらに存在するかどうかはまだ証明されていない。

規則的で均一なハニカム

コクセター・ディンキン図における族間の対応関係と、図内の高次対称性。各行の同じ色のノードは同一のミラーを表す。黒色のノードは対応関係においてアクティブではない。

5次元空間で規則的かつ均一なモザイクを生成する 基本的なアフィンコクセター群が4 つと、プリズマティック群が 27 個あります。

#	コクセターグループ		コクセター図	フォーム
1	${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}}$	[3 ^[6] ]		12
2	${\displaystyle {\tilde {C}}_{5}}$	[4,3 ^3,4 ]		35
3	${\displaystyle {\tilde {B}}_{5}}$	[4,3,3 ^1,1 ] [4,3 ^3 ,4,1 ^+ ]		47（新規16）
4	${\displaystyle {\チルダ {D}}_{5}}$	[3 ^1,1 ,3,3 ^1,1 ] [1 ^+ ,4,3 ^3 ,4,1 ^+ ]		20（新規3）

規則的で均一なハニカムには次のものがあります。

• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}}$ 次のような 12 種類のユニークな均一なハニカムがあります。
  • 5単体ハニカム
  • 切断された5単体ハニカム
  • 全切頂5単体ハニカム
• ${\displaystyle {\tilde {C}}_{5}}$ 均一なハニカムは 35 個あり、その中には次のものがあります。
  • ユークリッド5次元空間の正多面体ハニカム、 5次元ハニカム、記号{4,3 ³ ,4}、＝
• ${\displaystyle {\tilde {B}}_{5}}$ 均一なハニカムが 47 個あり、そのうち 16 個が新しいものです。
  • 均一交互超立方体ハニカム、5-デミキュービックハニカム、記号h{4,3 ³ ,4}、＝＝
• ${\displaystyle {\チルダ {D}}_{5}}$ , [3 ^1,1 ,3,3 ^1,1 ]: 20個の固有の環状順列と3つの新しい順列が存在する。コクセターは最初の順列を1/4 5立方ハニカムと呼び、記号はq{4,3 ³ ,4}である。＝残りの2つの新しいものは＝、＝。

プリズマティックグループ

#	コクセターグループ		コクセター・ディンキン図
1	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$ ×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[3 ^[5] ,2,∞]
2	${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$ ×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[4,3,3 ^1,1,2 ,∞]
3	${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$ ×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[4,3,3,4,2,∞]
4	${\displaystyle {\チルダ {D}}_{4}}$ ×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[3 ^1,1,1,1 ,2,∞]
5	${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ ×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[3,4,3,3,2,∞]
6	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$ × ×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[4,3,4,2,∞,2,∞]
7	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ × ×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[4,3 ^1,1 ,2,∞,2,∞]
8	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$ × ×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[3 ^[4] ,2,∞,2,∞]
9	${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$ × × ×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[4,4,2,∞,2,∞,2,∞]
10	${\displaystyle {\tilde {H}}_{2}}$ × × ×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[6,3,2,∞,2,∞,2,∞]
11	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ × × ×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[3 ^[3] ,2,∞,2,∞,2,∞]
12	${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$ × × × ×${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[∞,2,∞,2,∞,2,∞,2,∞]
13	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ × ×${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[3 ^[3] ,2,3 ^[3] ,2,∞]
14	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ × ×${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[3 ^[3] ,2,4,4,2,∞]
15	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ × ×${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[3 ^[3] ,2,6,3,2,∞]
16	${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$ × ×${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[4,4,2,4,4,2,∞]
17	${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$ × ×${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[4,4,2,6,3,2,∞]
18	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ × ×${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}}$	[6,3,2,6,3,2,∞]
19	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$ ×${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$	[3 ^[4] ,2,3 ^[3] ]
20	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ ×${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$	[4,3 ^1,1 ,2,3 ^[3] ]
21	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$ ×${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$	[4,3,4,2,3 ^[3] ]
22	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$ ×${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$	[3 ^[4]、2、4、4]
23	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ ×${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$	[4,3 ^1,1 ,2,4,4]
24	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$ ×${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$	[4,3,4,2,4,4]
25	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$ ×${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	[3 ^[4] ,2,6,3]
26	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ ×${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	[4,3 ^1,1 ,2,6,3]
27	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$ ×${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	[4,3,4,2,6,3]

規則的で均一な双曲面ハニカム

階数6のコンパクト双曲型コクセター群、すなわち有限面と有限頂点図を持つハニカムを生成できる群は存在しない。しかし、階数6のパラコンパクト双曲型コクセター群は12個存在し、それぞれがコクセター図の環の順列として5次元空間に一様ハニカムを生成する。

双曲型パラコンパクト群

${\displaystyle {\bar {P}}_{5}}$ = [3,3 ^[5] ]:${\displaystyle {\ワイドハット {AU}}_{5}}$ = [(3,3,3,3,3,4)]: ${\displaystyle {\widehat {AR}}_{5}}$ = [(3,3,4,3,3,4)]:

${\displaystyle {\bar {S}}_{5}}$ = [4,3,3 ^2,1 ]:${\displaystyle {\bar {O}}_{5}}$ = [3,4,3 ^1,1 ]:${\displaystyle {\bar {N}}_{5}}$ = [3,(3,4) ^1,1 ]:

${\displaystyle {\bar {U}}_{5}}$ = [3,3,3,4,3]:${\displaystyle {\bar {X}}_{5}}$ = [3,3,4,3,3]:${\displaystyle {\bar {R}}_{5}}$ = [3,4,3,3,4]:

${\displaystyle {\bar {Q}}_{5}}$ = [3 ^2,1,1,1 ]: ${\displaystyle {\bar {M}}_{5}}$ = [4,3,3 ^1,1,1 ]:${\displaystyle {\bar {L}}_{5}}$ = [3 ^1,1,1,1,1 ]:

一様6次元多面体に対するWythoff構成に関する注釈

鏡映6次元一様多面体の構築は、ウィトフ構成法によって行われ、コクセター・ディンキン図で表現されます。各ノードは鏡を表します。ノードはリング状に配置され、どのミラーがアクティブであるかを示します。生成される一様多面体の完全な集合は、リング状ノードの一意の順列に基づいています。一様6次元多面体は、各族に属する正多面体との関連で命名されます。一部の族には正多面体の構成子が2つあり、命名方法が2通りある場合があります。

均一な 6 次元多面体を構築し、名前を付けるために使用できる主な演算子を次に示します。

プリズマティック形式と分岐グラフでは同じ切り捨てインデックス表記を使用できますが、わかりやすくするためにノードに明示的な番号付けシステムが必要です。

手術	拡張シュレーフリ記号	コクセター・ディンキン図	説明
親	t 0 {p,q,r,s,t}		任意の正6次元多面体
修正済み	t 1 {p,q,r,s,t}		辺は完全に切り詰められ、単一の点になりました。6次元多面体は、親多面体と双対多面体の面を組み合わせたものになりました。
二次元化	t 2 {p,q,r,s,t}		双整流化により、セルが双対に縮小されます。
切り捨て	t 0,1 {p,q,r,s,t}		元の頂点はそれぞれ切り取られ、その隙間を新しい面が埋めます。切り取りには自由度があり、その解は一様な切り取られた6次元多面体を作成することです。6次元多面体は、元の面の2倍の辺を持ち、双対の面を含みます。
ビット切り捨て	t 1,2 {p,q,r,s,t}		ビットランクションは、セルを二重トランケーションに変換します。
三分円	t 2,3 {p,q,r,s,t}		三面切り捨ては、4 面を二重切り捨てに変換します。
カンテラテッド	t 0,2 {p,q,r,s,t}		頂点の切り詰めに加え、元の辺はそれぞれ面取りされ、その場所に新たな長方形の面が出現します。均一なカンテレーションは、親フォームと双対フォームの中間にあります。
双眼	t 1,3 {p,q,r,s,t}		頂点の切り詰めに加え、元の辺はそれぞれ面取りされ、その場所に新たな長方形の面が出現します。均一なカンテレーションは、親フォームと双対フォームの中間にあります。
ランシネート	t 0,3 {p,q,r,s,t}		ランシネーションはセルを削減し、頂点とエッジに新しいセルを作成します。
二分音符	t 1,4 {p,q,r,s,t}		ランシネーションはセルを削減し、頂点とエッジに新しいセルを作成します。
ステリケート	t 0,4 {p,q,r,s,t}		立体化により 4 面が削減され、ギャップ内の頂点、エッジ、面に新しい 4 面が作成されます。
ペネトレーション	t 0,5 {p,q,r,s,t}		ペンテレーションは 5 面を削減し、ギャップ内の頂点、エッジ、面、セルに新しい 5 面を作成します。(ポリペタの拡張操作)
全切断	t 0,1,2,3,4,5 {p,q,r,s,t}		切り捨て、カンテレーション、ランシネーション、ステリア化、およびペンテレーションの 5 つの演算子がすべて適用されます。

参照

• 正多面体の一覧 § 高次元

注記

1. T. ゴセット「 n次元空間における正則図形と半正則図形について」メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900年
2. ユニフォーム・ポリペタ、ジョナサン・バウアーズ
3. 一様多面体
4. 「N、m、k-チップ」。

参考文献

• T. ゴセット：n次元空間における正則図形と半正則図形について、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900年
• A. ブール・ストット(1910)。「正多面体と空間充填からの半正則の幾何学的演繹」(PDF)。アムステルダムのVerhandelingen der Koninklijke Academy van Wetenschappen。Ⅹ（１）．アムステルダム：ヨハネス・ミュラー。 2025 年 4 月 29 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
• HSMコクセター：
  • HSM Coxeter、MS Longuet-Higgins、JCP Miller: Uniform Polyhedra、Philosophical Transactions of the Royal Society of London、ロンドン、1954年
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 第3版, Dover New York, 1973
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6
  • （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • （論文23）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966年
• Klitzing, Richard. 「6D 均一多面体 (ポリペタ)」。
• Klitzing, Richard. 「均一多面体の切断演算子」

外部リンク

• 多面体の名前
• さまざまな次元の多面体、ジョナサン・バウアーズ
• 多次元用語集
• ハイパースペースの用語集、ジョージ・オルシェフスキー著。

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\チルダ {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ / /${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ ${\displaystyle {\チルダ {E}}_{n-1}}$
E ^2	均一なタイリング	0 [3]	δ 3	hδ 3	qδ 3	六角
E ^3	均一な凸型ハニカム	0 [4]	δ 4	hδ 4	qδ 4
E4^​	均一な4ハニカム	0 [5]	δ 5	hδ 5	qδ 5	24セルハニカム
E ^5	均一な5ハニカム	0 [6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
E ^6	均一な6ハニカム	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E ^7	均一な7ハニカム	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E8^​	均一な8ハニカム	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E9^​	均一な9ハニカム	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
E ^10	均一な10ハニカム	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
E ^n −1	均一な（n −1）ハニカム	0 [ n ]	δ n	hδ n	qδ n	1 k 2 • 2 k 1 • k 21