フォン・ノイマン代数

数学において、フォン・ノイマン代数またはW*-代数は、弱作用素位相で閉じており、恒等作用素を含むヒルベルト空間上の有界作用素の*-代数です。 これはC*-代数の特別な型です

フォン・ノイマン代数は、もともとジョン・フォン・ノイマンによって、単作用素、群表現、エルゴード理論、量子力学の研究を動機として導入されました。彼の二重可換定理は、解析的定義が対称性の代数としての 純粋に代数的な定義と同値であることを示しています。

フォン・ノイマン代数の 2 つの基本的な例は次のとおりです。

  • 実数直線上の本質的に有界な測定可能関数の環は可換なフォン・ノイマン代数であり、その要素は平方積分可能関数のヒルベルト空間上の点ごとの乗算による乗算演算子として機能します。L∞（R）{\displaystyle L^{\infty}(\mathbb{R})}L2（R）{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
  • ヒルベルト空間上のすべての有界演算子の代数はフォン・ノイマン代数であり、ヒルベルト空間の次元が少なくとも であれば非可換です。B（H）{\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}H{\displaystyle {\mathcal {H}}}2{\displaystyle 2}

フォン ノイマン代数は、1929 年にフォン ノイマン (1930)によって初めて研究されました。フォン ノイマンとフランシス マレーは、1930 年代と 1940 年代に書かれた一連の論文 (FJ Murray & J. von Neumann  1936、1937、1943 ; J. von Neumann  1938、1940、1943、1949 ) の中で、元々は作用素環という名前で基本理論を展開し、フォン ノイマン (1961)の全集に再録されました。

フォン・ノイマン代数の入門的な説明は、Jones (2003)とWassermann (1991)のオンラインノート、およびDixmier (1981)、Schwartz (1967)、Blackadar (2005)、Sakai (1971)の書籍で提供されています。Takesaki (1979)の3巻本は、この理論を百科事典的に解説しています。Connes (1994)の書籍は、より高度なトピックを扱っています。

定義

フォン・ノイマン代数を定義する一般的な方法は3つあります

最初かつ最も一般的な方法は、それらを（ヒルベルト空間上の）有界作用素の弱閉*-代数として定義し、その有界作用素は恒等作用素を含むというものです。この定義において、弱（作用素）位相は、強、超強、超弱作用素位相を含む、他の多くの一般的な位相に置き換えることができます。ノルム位相において閉じている有界作用素の*-代数はC*-代数であり、特に任意のフォン・ノイマン代数はC*-代数です。

2つ目の定義は、フォン・ノイマン代数は、反転（*演算）に関して閉じた有界作用素の部分代数であり、その二重可換項、あるいはそれと同値な、*に関して閉じた部分代数の可換項と等しいというものである。フォン・ノイマンの二重可換定理（von Neumann 1930）によれば、最初の2つの定義は同値である。

最初の2つの定義は、フォン・ノイマン代数を、ある与えられたヒルベルト空間に作用する作用素の集合として具体的に記述する。Sakai (1971)は、フォン・ノイマン代数は、前双対を持つC*-代数として抽象的に定義することもできることを示した。言い換えれば、バナッハ空間として考えた場合、フォン・ノイマン代数は、前双対と呼ばれる別のバナッハ空間の双対である。フォン・ノイマン代数の前双対は、同型性を除いては一意である。一部の著者は、ヒルベルト空間作用を伴う代数に対して「フォン・ノイマン代数」を使用し、抽象概念に対して「W*-代数」を使用する。したがって、フォン・ノイマン代数は、ヒルベルト空間と、ヒルベルト空間への適切な忠実な単位作用を伴うW*-代数である。フォン・ノイマン代数の具体的定義と抽象定義は、ヒルベルト空間上の演算子のノルム閉 *-代数として、または、 となるバナッハ *-代数として定義できる C*-代数の具体的定義と抽象定義に似ています 。 ||aa＊||＝||a|| ||a＊||{\displaystyle ||aa^{*}||=||a||\ ||a^{*}||}

用語

フォン・ノイマン代数理論における用語の中には混乱を招くものがあり、その用語は主題外では異なる意味を持つことがよくあります

  • 因子は、自明な中心、つまりスカラー演算子のみで構成される中心を持つフォン ノイマン代数です。
  • 有限フォン・ノイマン代数とは、有限因数の直積分である（つまり、フォン・ノイマン代数は忠実な正規軌跡状態[ 1 ]を持つ）。同様に、真に無限なフォン・ノイマン代数は、真に無限因数の直積分である。τ：M→C{\displaystyle \tau :M\rightarrow \mathbb {C} }
  • 可分ヒルベルト空間に作用するフォン・ノイマン代数は可分と呼ばれます。このような代数はノルム位相において可分となることは稀であることに注意してください。
  • ヒルベルト空間上の有界演算子の集合によって生成されるフォン ノイマン代数は、それらの演算子をすべて含む最小のフォン ノイマン代数です。
  • 2 つのヒルベルト空間に作用する 2 つのフォン ノイマン代数のテンソル積は、ヒルベルト空間のヒルベルト空間テンソル積上の演算子として考えられた、それらの代数テンソル積によって生成されるフォン ノイマン代数として定義されます。

フォン・ノイマン代数の位相を無視すれば、それを（単位） *-代数、あるいは単なる環とみなすことができる。フォン・ノイマン代数は半遺伝的である。すなわち、射影加群の有限生成部分加群はすべて、それ自体が射影的である。フォン・ノイマン代数の基礎となる環を公理化する試みは、バエル*-環やAW*-代数など、いくつか行われてきた。有限フォン・ノイマン代数の関連作用素の*-代数は、フォン・ノイマン正則環である。（フォン・ノイマン代数自体は、一般にフォン・ノイマン正則ではない。）

可換フォン・ノイマン代数

可換フォン・ノイマン代数と測度空間の関係は、可換C*-代数と局所コンパクト・ハウスドルフ空間の関係に類似している。任意の可換フォン・ノイマン代数は、ある測度空間 ( X , μ) に対してL ∞ ( X ) と同型であり、逆に任意の σ-有限測度空間Xに対して、*-代数L ∞ ( X ) はフォン・ノイマン代数である。

この類推により、フォン・ノイマン代数の理論は非可換測度論と呼ばれ、C*-代数の理論は非可換位相幾何学と呼ばれることもあります( Connes 1994 )。

予測

E = EE = E*となるフォン・ノイマン代数における作用素Eは射影と呼ばれる。これは、 Hをある閉部分空間に直交射影する作用素である。ヒルベルト空間Hの部分空間がフォン・ノイマン代数Mに属するとは、それがMのある射影の像であることを意味する。これは、 Mの射影とMに属する部分空間との間に 1:1 の対応関係を確立する。非公式には、これらはMの元を用いて記述できる、あるいはM が「知っている」閉部分空間である。

Mの任意の作用素の像の閉包とMの任意の作用素の核はMに属することが示される。また、 Mに属する任意の部分空間のMの作用素による像の閉包もMに属する。（これらの結果は極分解の結果である。）

投影の比較理論

射影の基本理論は、マレーとフォン・ノイマン（1936）によって解明された。Mに属する2つの部分空間は、一方の部分空間を他方の部分空間に同型に写す部分等長写像が存在し、それがフォン・ノイマン代数の元である場合（非公式には、 M が部分空間が同型であることを「知っている」場合）、（マレー–フォン・ノイマン）同値であると呼ばれる。これにより、対応する部分空間が同値である場合、または言い換えれば、Eの像をFの像に等長写像し、フォン・ノイマン代数の元となるHの部分等長写像が存在する場合、 EをFと同値と定義することにより、射影に関する自然な同値関係が導かれる。別の言い方をすれば、 Mのある部分等長写像uに対してE=uu*かつF=u*uである場合、 E はFと同値である。

このように定義された同値関係 ~ は、次の意味で加法的である: E 1 ~ F 1 かつ E 2 ~ F 2 と仮定する。E 1 ⊥ E 2 かつ F 1 ⊥ F 2ならば、 E 1 + E 2 ~ F 1 + F 2となる。 ~の定義においてユニタリ同値性 を要求する場合、すなわち、あるユニタリuに対してu *Eu = F であるとき E は F と同値であるとする場合、加法的性質は一般には成立しない。作用素環に対するシュレーダー・ベルンシュタインの定理は、マレー・フォン・ノイマン同値性の十分条件を与える。

Mに属する部分空間は包含関係によって半順序付けされており、これにより射影の半順序 ≤ が導かれる。また、射影の同値類の集合にも、射影の半順序 ≤ によって導かれる自然な半順序が存在する。M が因子である場合、 ≤ は射影の同値類の全順序付けであり、これは以下のトレースの節で説明する。

射影（またはMに属する部分空間）Eは、 Eと等価な射影F < E（つまりF ≤ E かつF ≠ E ）が存在しないとき、有限射影であるという。例えば、すべての有限次元射影（または部分空間）は有限である（ヒルベルト空間間の等長写像では次元が固定されるため）が、無限次元ヒルベルト空間上の恒等作用素は、それ自身の真部分集合と等長的に同型であるため、その空間上のすべての有界作用素のフォン・ノイマン代数において有限ではない。しかし、無限次元部分空間が有限である可能性はある。

直交射影は、L ∞ ( R ) における指示関数の非可換な類似物である。L ∞ ( R ) は、指示関数によって生成される部分空間の||·|| ∞ -閉包である。同様に、フォン・ノイマン代数はその射影によって生成される。これは、自己随伴作用素のスペクトル定理の帰結である。

有限要素の投影は連続した幾何学を形成します。

要因

フォン・ノイマン代数Nの中心が恒等作用素の倍数のみからなる場合、それは因子と呼ばれる。フォン・ノイマン (1949)が示したように、可分ヒルベルト空間上のすべてのフォン・ノイマン代数は因子の直積分に同型である。この分解は本質的に一意である。したがって、可分ヒルベルト空間上のフォン・ノイマン代数の同型類を分類する問題は、因子の同型類を分類する問題に帰着できる。

マレーとフォン・ノイマン (1936)は、すべての因子が以下の3つの型のいずれかを持つことを示した。この型分類は因子ではないフォン・ノイマン代数にも拡張でき、フォン・ノイマン代数がX型因子の直積分として分解できる場合、そのフォン・ノイマン代数はX型である。例えば、すべての可換フォン・ノイマン代数はI型である1。すべてのフォン・ノイマン代数は、I型、II型、III型のフォン・ノイマン代数の和として一意に表すことができる。

因子をクラスに分割する方法としては、他にも次のようなものが時々使用されます。

  • 因子は、タイプ I の場合離散的(または、場合によってはtame ) と呼ばれ、タイプ II または III の場合連続的(または、場合によってはwild ) と呼ばれます。
  • 因数はタイプ I または II の場合半有限と呼ばれ、タイプ III の場合純粋無限と呼ばれます。
  • 因子は、射影1が有限である場合に有限因子と呼ばれ、そうでない場合は真に無限因子と呼ばれます。タイプIとタイプIIの因子は有限または真に無限のいずれかですが、タイプIIIの因子は常に真に無限です。

I型因子

因子がI型であるとは、最小の射影E ≠ 0 、すなわち、 0 < F < Eを満たす他の射影Fが存在しないような射影Eが存在する場合です。I型の任意の因子は、あるヒルベルト空間上のすべての有界作用素のフォン・ノイマン代数と同型です。すべての基数に対して1つのヒルベルト空間が存在するため、I型の因子の同型類は基数と正確に対応します。多くの著者は可分ヒルベルト空間上のフォン・ノイマン代数のみを考察しているため、有限次元 n のヒルベルト空間上の有界作用素をI n型の因子、可分無限次元ヒルベルト空間上の有界作用素をI ∞型の因子と呼ぶのが慣例です

タイプII因子

因子は、最小の射影は存在しないが、非ゼロの有限射影が存在する場合、タイプ IIであると言われます。これは、すべての射影E が、マレー–フォン ノイマン等価でE = F + Gを満たす2 つの射影FとGが存在するという意味で、「半分に分割」できることを意味します。タイプ II 因子の恒等演算子が有限である場合、因子はタイプ II 1であると言われ、そうでない場合はタイプ II ∞であると言われます。タイプ II の最もよく理解されている因子は、マレーとフォン ノイマン (1936)によって発見された超有限タイプ II 1因子と超有限タイプ II ∞因子です。これらは、タイプ II 1とタイプ II ∞の唯一の超有限因子です。これらのタイプには、集中的な研究の対象となっている無数の他の因子があります。マレーとフォン・ノイマン（1937）は、 II 1型の因子には唯一の有限のトレース状態があり、射影のトレースの集合は[0,1]であるという基本的な結果を証明した。

II型∞因子は、再スケーリングを除いて一意な半有限トレースを持ち、射影のトレースの集合は[0,∞]である。トレースをλの因子で再スケーリングする自己同型が存在するような実数λの集合は、II型∞因子の基本群と呼ばれる。

タイプ II 1の因子とタイプ I の無限因子とのテンソル積はタイプ II ∞を持ち、逆にタイプ II ∞の任意の因子は、このように構成できます。タイプ II 1因子の基本群 は、タイプ I の無限 (分離可能) 因子とのテンソル積の基本群として定義されます。 長年、基本群が正の実数の群ではないタイプ II 因子を見つけることは未解決の問題でしたが、その後Connesは、SL(3, Z ) などの、 Kazhdan の性質 (T) (自明な表現が双対空間で孤立している)を持つ可算離散群のフォン ノイマン群代数は可算基本群を持つことを示しました。 その後、Sorin Popa は、 Z 2と SL( 2, Z )の半直積を含む特定の群に対して基本群が自明であることを示しました。

タイプII 1因子の一例として、すべての非自明な共役類が無限となるような可算無限離散群のフォン・ノイマン群代数が挙げられます。 マクダフ (1969)は、非同型フォン・ノイマン群代数を持つこのような群の無数族を発見し、これにより無数に異なる可分なタイプII 1因子の存在を示しました。

タイプIII因子

最後に、タイプIII因子は、非ゼロの有限射影を全く含まない因子です。Murrayとvon Neumann（1936）は最初の論文で、それらが存在するかどうかを判断できませんでした。最初の例は後にvon Neumann（1940）によって発見されました。これらの因子では恒等演算子は常に無限であるため、過去にはタイプIII∞と呼ばれることもありましたが、最近ではその表記はIIIλ（λは区間[0,1]の実数）に置き換えられました。より正確には、（そのモジュラー群の）コンヌスペクトルが1の場合、因子はタイプIII 0であり、コンヌスペクトルが0 < λ < 1ですべてλの整数乗である場合、タイプはIII λであり、コンヌスペクトルがすべて正の実数である場合、タイプはIII 1です（コンヌスペクトルは正実数の閉部分群であるため、これらが唯一の可能性である。）タイプIII因子上の唯一の痕跡は、すべての非零正元上で∞の値を取り、任意の2つの非零射影は同値である。かつてタイプIII因子は扱いにくい対象と考えられていたが、富田・竹崎理論は優れた構造理論をもたらした。特に、任意のタイプIII因子は、タイプII∞因子と実数との交差積 として標準的な方法で記述することができる。

前双対

任意のフォン・ノイマン代数M は、 M上のすべての超弱連続線型関数のバナッハ空間である前双対M ∗ を持ちます。名前が示すように、Mは（バナッハ空間として）その前双対の双対です。前双対は、 Mを双対とする他の任意のバナッハ空間がM ∗と標準同型であるという意味で一意です。Sakai (1971) は、前双対の存在が C* 代数の中のフォン・ノイマン代数を特徴付けることを示しました

上で示したプレデュアルの定義は、 M が作用するヒルベルト空間の選択に依存しているように見える。なぜなら、この選択が超弱位相を決定するからである。しかし、プレデュアルは、 Mが作用するヒルベルト空間を用いずに、 M上のすべての正の正規線型汎関数によって生成される空間として定義することもできる。（ここで「正規」とは、自己随伴作用素の増加ネットに適用した場合に、あるいはそれと同値な増加列の射影に適用した場合に、上限が保存されることを意味する。）

前双対M ∗は双対M* ( M上のすべてのノルム連続線型汎関数から構成される) の閉部分空間であるが、一般に小さくなる。 M ∗が (通常) M*と同じではないことの証明は非構成的であり、選択公理を本質的に使用している。つまり、 M ∗に含まれないM*の要素を明示的に示すことは非常に困難である。例えば、フォン・ノイマン代数l ∞ ( Z ) 上の特殊な正線型形式は自由超フィルタによって与えられ、それらはCへの特殊な *-準同型に対応し、 Zのストーン・チェフ・コンパクト化を記述する。

例：

  1. R上の本質的に有界な関数のフォン・ノイマン代数L∞(R)の双対は、可積分関数のバナッハ空間L1 ( R )です。L∞ ( R )の双対は、L1 ( R )よりも厳密に大きくなります。例えば、有界連続関数C0b ( R )の閉部分空間上にディラック測度δ0を拡張するL∞(R)上の関数は、L1 ( R )の関数として表すことはできません
  2. ヒルベルト空間H上の有界作用素のフォン・ノイマン代数B ( H ) の双対は、トレースノルム || A ||= Tr(| A |) を満たすすべてのトレース類作用素のバナッハ空間である。トレース類作用素のバナッハ空間自体は、コンパクト作用素の C*-代数（フォン・ノイマン代数ではない）の双対である。

重み、状態、トレース

重みとその特殊なケースの状態とトレースは（ Takesaki 1979 ）で詳細に説明されています。

  • フォン・ノイマン代数の重みωは、正の元（ a*aの形式）の集合から[0,∞] への線形写像です。
  • 正の線形関数はω(1)が有限である重み（または線形性によるωの全体代数への拡張）である。
  • 状態はω(1) = 1の重みです。
  • トレースは、すべてのaに対して ω( aa* ) = ω( a*a )となる重みです。
  • トレース状態はω(1) = 1となるトレースである。

任意の因子には、非零射影のトレースが非零であり、かつ射影のトレースが無限大となる場合と、射影が無限大となる場合とが同値となるようなトレースが存在する。このようなトレースは、再スケーリングを除いて一意である。分離可能または有限な因子の場合、2つの射影が同じトレースを持つ場合とが同値となる場合とが同値となる。因子の型は、このトレースが射影に対して取り得る値から、以下のように読み取ることができる。

  • 何らかの正のxに対してI n : 0、x、2 x、....、nxと入力します (通常は 1/ nまたは 1に正規化されます)。
  • タイプ I ∞ : 0、x、2x 、 ....、∞ (通常1に正規化されます)。
  • タイプ II 1 : [0, x ]、ある正のxの場合(通常は 1 に正規化されます)。
  • タイプII∞ : [0,∞]。
  • タイプIII：{0,∞}

フォン・ノイマン代数がノルム1のベクトルvを含むヒルベルト空間に作用する場合、関数a → ( av , v )は通常状態です。この構成を逆にすることで、通常状態からヒルベルト空間への作用を与えることができます。これが通常状態に対する GNS構成です

因子上のモジュール

抽象的な分離因子が与えられた場合、その因子が作用する可分ヒルベルト空間、すなわちその因子の分類を求めることができる。その答えは次のように与えられる。そのような因子Hはすべて、 M次元 dim M ( H ) （複素ベクトル空間としての次元ではない）を持つことができ、その因子が同型となるのは、それらの因子が同じM次元を持つ場合のみである。M次元は加法的であり、ある因子が別の因子の部分空間と同型となるのは、その因子のM次元がそれより小さいか等しい場合のみである。

加群は巡回分離ベクトルを持つ場合、標準加群と呼ばれます。各因子には標準表現があり、同型性を除いて一意です。標準表現は反線型反転Jを持ち、 JMJ = M ′となります。有限因子の場合、標準加群は唯一の正規軌跡状態に適用されたGNS構成によって与えられ、 M次元は標準加群のM次元が1になるように正規化されます。一方、無限因子の場合、標準加群はM次元が∞である加群です。

モジュールの 可能なM次元は次のように与えられます。

  • タイプI n（n有限）: M次元は0/ n、1/ n、2/ n、3/ n 、…、∞のいずれかです。標準モジュールのM次元は1（複素数次元はn 2）です。
  • タイプI ∞ M次元は0, 1, 2, 3, ..., ∞のいずれかである。B ( H )の標準的な表現はH ⊗ Hであり、そのM次元は∞である。
  • タイプII 1 : M次元は [0, ∞] の範囲内の任意の値を取ることができます。標準モジュールのM次元が 1になるように正規化されます。M次元はモジュールHの結合定数とも呼ばれます。
  • タイプII ∞ : M次元は [0, ∞] の範囲内の任意の値を取ることができます。一般に、これを正規化する標準的な方法は存在しません。因子は、M次元に定数を乗じる外部自己同型を持つ場合があります。標準的な表現は、 M次元が ∞であるものです。
  • タイプIII: M次元は0または∞です。任意の2つの非ゼロ加群は同型であり、すべての非ゼロ加群は標準です。

従順なフォン・ノイマン代数

Connes (1976)らは、可分ヒルベルト空間H上のフォンノイマン代数Mに関する以下の条件がすべて同値であることを証明した。

  • Mは超有限、AFD、または近似有限次元、または近似有限です。つまり、代数は稠密和を持つ有限次元部分代数の昇順列を含むことを意味します。(注意: 一部の著者は「超有限」を「AFDかつ有限」の意味で使用しています。)
  • Mは従順である：これは、通常の双対バナッハ双加群の値を持つMの微分がすべて内部的であることを意味する。[ 2 ]
  • Mにはシュワルツの性質 Pがあります。つまり、 H上の任意の有界演算子Tに対して、要素uTu*の弱演算子閉凸包には、 Mと可換な要素が含まれます。
  • Mは半離散的です。つまり、MからMへの恒等写像は、有限ランクの完全正写像の弱点ごとの極限です。
  • M は特性 EまたはHakeda–Tomiyama 拡張特性を持ちます。これは、 H上の有界演算子からM 'へのノルム 1 の射影があることを意味します。
  • Mは単射である: 任意の単位 C*-代数Aの 1 つを含む任意の自己随伴閉部分空間からMへの任意の完全正の線形写像は、AからMへの完全正の写像に拡張できる。

上記の代数のクラスを表す一般に受け入れられている用語はありません。Connes は、amenable が標準的な用語であるべきだと示唆しました。

従属因子は分類されており、0 < λ ≤ 1 に対して、タイプ I n、 I ∞、 II 1、 II ∞、 III λのそれぞれに固有の因子があり、タイプ III 0の因子は特定のエルゴードフローに対応します。 (タイプ III 0の場合、これを分類と呼ぶのは少し誤解を招きます。対応するエルゴードフローを分類する簡単な方法がないことがわかっているためです。) タイプ I と II 1の因子はMurray & von Neumann (1943)によって分類され、残りはConnes (1976)によって分類されました。ただし、タイプ III 1のケースは Haagerup によって完成されました。

すべての従順な因子は、単一のエルゴード変換に対するマレーとフォン ノイマンの群測度空間構成を使用して構築できます。実際、それらはまさに、アーベル フォン ノイマン代数L ∞ ( X ) へのZまたはZ/nZの自由エルゴード作用による交差積として生じる因子です。タイプ I 因子は、測度空間Xが原子であり、作用が推移的な場合に発生します。Xが拡散または非原子 の場合、測度空間として [0,1] と同等です。タイプ II 因子は、X が、 Zの作用に対して不変な同等の有限 (II 1 ) または無限 (II ∞ ) 測度を許容する場合に発生します。タイプ III 因子は、不変測度はなく、不変測度クラスのみがある残りの場合に発生します。これらの因子は、クリーガー因子と呼ばれます。

フォン・ノイマン代数のテンソル積

二つのヒルベルト空間のヒルベルト空間テンソル積は、それらの代数的テンソル積の完備化である。フォン・ノイマン代数のテンソル積（環としてみなされる代数の代数的テンソル積の完備化）を定義し、これもまたフォン・ノイマン代数であり、対応するヒルベルト空間のテンソル積に作用することができる。二つの有限代数のテンソル積は有限であり、無限代数と非零代数のテンソル積は無限である。二つのフォン・ノイマン代数（I、II、またはIII）のテンソル積の型は、それらの型の最大値である。テンソル積の交換定理は、

（M⊗N）′＝M′⊗N′,{\displaystyle (M\otimes N)^{\prime }=M^{\prime }\otimes N^{\prime },}

ここで、M ′ はMの可換項を表す。

無限個のフォン・ノイマン代数のテンソル積は、単純に計算すると、通常、途方もなく大きな非可分代数となる。フォン・ノイマン (1938)は、それぞれのフォン・ノイマン代数上の状態を選択し、それを用いて代数的テンソル積上の状態を定義することで、ヒルベルト空間と（適度に小さい）フォン・ノイマン代数を生成することができることを示した。Araki & Woods (1968) は、すべての因子が有限行列代数である場合を研究した。これらの因子は、Araki–Woods因子またはITPFI 因子と呼ばれる（ITPFI は「有限型 I 因子の無限テンソル積」の略）。無限テンソル積の型は、状態の変化に応じて劇的に変化する可能性がある。例えば、無限個の I 2型因子の無限テンソル積は、状態の選択に応じて任意の型を取ることができる。特に、Powers (1967) は、タイプ I 2因子の無限テンソル積をとることで、 Powers 因子と呼ばれる、0 < λ < 1 に対する非同型超有限タイプ III λ因子の無数族を発見しました。各因子の状態は次のように表されます。

×↦Tr（1λ＋100λλ＋1）×。{\displaystyle x\mapsto {\rm {Tr}}{\begin{pmatrix}{1 \over \lambda +1}&0\\0&{\lambda \over \lambda +1}\\\end{pmatrix}}x.}

タイプ III 0ではないすべての超有限フォン ノイマン代数は、荒木–ウッズ因子と同型ですが、タイプ III 0で同型でない ものは無数に存在します。

双加群と部分因子

双加群（または対応）は、2つの可換なフォン・ノイマン代数の加群作用を持つヒルベルト空間Hです。双加群は加群よりもはるかに豊かな構造を持っています。2つの因子上の任意の双加群は、常に部分因子を与えます。なぜなら、一方の因子は常にもう一方の因子の可換項に含まれるからです。また、双加群には、コンヌによる微妙な相対テンソル積演算もあります。ヴォーン・ジョーンズによって提唱された部分因子の理論は、一見異なるこれら2つの視点を調和させます

双加群は、離散群 Γ のフォン・ノイマン群代数Mにとっても重要である。実際、 V がΓ の任意のユニタリ表現である場合、 Γ を Γ × Γ の対角部分群と見なすと、l 2 (Γ, V )上の対応する誘導表現は、自然にMの2つの可換なコピーに対する双加群となる。 Γ の重要な表現論的性質は、双加群を用いて完全に定式化できるため、フォン・ノイマン代数自体にも意味を成す。例えば、コンネスとジョーンズは、フォン・ノイマン代数に対するカズダンの性質 (T)の類似物をこのように 定義した。

非順応的要因

I型のフォン・ノイマン代数は常に従順であるが、他の型には無数の異なる従順でない因子が存在し、それらを分類するのは非常に困難であり、さらには互いに区別することさえ困難であるように思われる。しかしながら、ヴォイクレスクは、群測度空間構成から生じる従順でない因子のクラスが、自由群のフォン・ノイマン代数から生じるクラスとは互いに素であることを示した。その後、小澤成隆は、双曲群のフォン・ノイマン代数が素なII 1型因子、すなわちII 1型因子のテンソル積として因数分解できない因子を生成することを証明した。この結果は、ヴォイクレスクの自由エントロピーを用いて、リーミング・ゲによって自由群因子に対して初めて証明された。ポパの従順でない因子の基本群に関する研究は、もう一つの重要な進歩を表している。「超有限を超える」因子理論は現在急速に発展しており、多くの新しく驚くべき結果が得られている。それは、幾何学的群論やエルゴード理論における剛性現象と密接な関係があります。

例

  • σ有限測度空間上の本質的に有界な関数は、L2関数に作用する可換（I 1 型）フォン・ノイマン代数を形成します。通常は異常とみなされる、特定の非σ有限測度空間では、L∞ ( X )はフォン・ノイマン代数ではありません。例えば、可測集合のσ代数は、非可算集合上の可算-余可算代数である可能性があります。基本的な近似定理は、カプランスキー密度定理によって表すことができます
  • 任意のヒルベルト空間上の有界演算子は、I 型のフォン ノイマン代数、つまり因子を形成します。
  • 群Gのヒルベルト空間H上の任意のユニタリ表現を持つとき、Gと可換な有界作用素はフォン・ノイマン代数G ′を形成し、その射影はGに関して不変なHの閉部分空間に正確に対応する。同値な部分表現はG ′における同値な射影に対応する。Gの二重可換なG ′ ′もフォン・ノイマン代数である。
  • 離散群Gのフォン・ノイマン群代数は、 H = l 2 ( G )上のすべての有界作用素の代数であり、GのHへの作用素と右乗法によって可換である。これは、左からg ∈ Gの元との乗法に対応する作用素によって生成されるフォン・ノイマン代数であることが示される。Gのすべての非自明な共役類が無限である場合（例えば、非可換自由群）、これは（II 1型の）因数であり、さらにG が有限部分群の和集合である場合（例えば、有限個以外のすべての元を固定した整数のすべての順列の群）、これはII 1型の超有限因数である。
  • 2 つのフォン ノイマン代数のテンソル積、または状態を持つ可算数のテンソル積は、上のセクションで説明したフォン ノイマン代数です。
  • フォン・ノイマン代数と離散群（あるいはより一般的には局所コンパクト群）との交差積は定義可能であり、フォン・ノイマン代数である。特殊な例としては、マレー因子とフォン・ノイマン因子およびクリーガー因子の群測度空間構成が挙げられる。
  • 可測同値関係と可測群体のフォン・ノイマン代数を定義できる。これらの例は、フォン・ノイマン群代数と群測度空間の構成を一般化する。

応用

フォン・ノイマン代数は、結び目理論、統計力学、量子場の理論、局所量子物理学、自由確率、非可換幾何学、表現論、微分幾何学、力学系など、 数学のさまざまな分野に応用されています

例えば、C*-代数は確率論に代わる公理化を提供します。この場合、この方法はゲルファント・ナイマーク・シーガル構成と呼ばれます。これは測度と積分への2つのアプローチに類似しており、まず集合の測度を構築し、後で積分を定義するか、先に積分を構築し、集合の測度を特性関数の積分として定義するかを選択できます。

参照

参考文献

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