代数幾何学
このトリアッティ面は5次の代数曲面です。図はその実軌跡の一部を表しています。

代数幾何学は、主に可換代数に由来する抽象代数的手法を用いて幾何学的問題を解く数学の一分野です。古典的には、多変数多項式の零点を研究対象としますが、現代的なアプローチでは、いくつかの異なる側面においてこれを一般化しています。

代数幾何学における基本的な研究対象は代数多様体であり、これは多項式方程式系の解の幾何学的表現である。最も研究されている代数多様体のクラスの例としては、直線、円、放物線、楕円、双曲線、楕円曲線のような3 次曲線、レムニスケート曲線やカッシーニの楕円のような4次曲線がある。これらは平面代数曲線である。平面上の点は、その座標が与えられた多項式方程式を満たす場合、代数曲線上にある。基本的な問題には、特異点、変曲点、無限遠点などの特に興味深い点の研究が含まれる。より高度な問題には、曲線の位相と、異なる方程式によって定義された曲線間の関係が 含まれる。

代数幾何学は現代数学において中心的な位置を占めており、複素解析、位相幾何学、数論といった多様な分野と多様な概念的つながりを持っています。多変数多項式方程式系の研究として、代数幾何学は方程式を解くことによって特定の解を求めることから始まり、次いで方程式系の解全体の本質的な性質を理解していきます。この理解には、概念理論と計算技術の両方が必要です。

20 世紀には、代数幾何学はいくつかのサブ領域に分割されました。

20世紀における代数幾何学の主流の発展の多くは、抽象代数の枠組みの中で起こり、代数多様体の「本質的」性質、すなわち、環境座標空間への多様体の埋め込み方法に依存しない性質がますます重視されるようになりました。これは、位相幾何学、微分幾何学、複素幾何学の発展と類似しています。この抽象代数幾何学の重要な成果の一つは、グロタンディークのスキーム理論です。この理論は、層理論を用いて代数多様体を研究することを可能にしており、これは微分多様体や解析多様体の研究における層理論の用法と非常によく似ています。これは点の概念を拡張することによって得られます。古典代数幾何学では、アフィン多様体の点は、ヒルベルトの零点定理（Nullstellensatz）を通して、座標環の極大イデアルと同一視することができ、対応するアフィンスキームの点はすべてこの環の素イデアルです。これは、このようなスキームの点が通常の点または部分多様体のいずれかである可能性があることを意味します。このアプローチは、主に複素点を扱う古典代数幾何学と代数的整数論の言語とツールの統合も可能にします。ワイルズによるフェルマーの最終定理と呼ばれる長年の予想の証明は、このアプローチの威力を示す一例です。

基本的な概念

同時多項式の零点

球と傾斜した円

古典代数幾何学において、主な関心対象は多項式集合の消失集合、すなわち1つ以上の多項式方程式を同時に満たすすべての点の集合で ある。例えば、3次元ユークリッド空間R 3における半径1の2次元球面は、（×、y、z）{\displaystyle (x,y,z)}

×2+y2+z2−1＝0。{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.\,}

R 3における「傾斜した」円は、 2つの多項式方程式を満たす すべての点の集合として定義できる。（×、y、z）{\displaystyle (x,y,z)}

×2+y2+z2−1＝0、{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0,\,}
×+y+z＝0。{\displaystyle x+y+z=0.\,}

アフィン多様体

まず、体kから始めます。古典的な代数幾何学では、この体は常に複素数Cでしたが、 kが代数的に閉じていると仮定するだけで、多くの同じ結果が成り立ちます。ここでは、k上のn次元のアフィン空間をA n ( k ) （文脈からkが明らかな場合は、より単純にA n）と表記します。座標系を固定する場合、A n ( k ) をk nと同一視することができます。 k nを扱わないのは、k nが持つベクトル空間構造を「忘れる」ことを強調するためです。

関数f  : A n → A 1が多項式（または正則）であるとは、多項式として表せる場合、すなわち、k [ x 1 ,..., x n ]に多項式pが存在し、 A n 内の座標( t 1 ,..., t n ) を持つすべての点Mに対してf ( M ) = p ( t 1 ,..., t n )が成り立つ場合を指します。関数が多項式（または正則）であるかどうかは、 A n内の座標系の選択には依存しません。

座標系が選択されると、アフィンn空間上の正則関数はk上のn変数多項式関数の環と同一視される。したがって、 A n上の正則関数の集合は環であり、k [ A n ] と表記される。

多項式がある点でゼロになるとき、その点で多項式が消滅するという。Sをk [ A n ]の多項式の集合とする。Sの消失集合（あるいは消失軌跡、零点集合）とは、 Sのあらゆる多項式がゼロになるようなA nのすべての点の集合V ( S )である。記号的に言えば、

V（S）＝{（t1、…、tn）∣p（t1、…、tn）＝0 すべての人のために p∈S}。{\displaystyle V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\mid p(t_{1},\dots ,t_{n})=0{\text{ for all }}p\in S\}.\,}

A nの部分集合V ( S )は、あるSに対して、代数的集合と呼ばれる。V は多様体（以下で定義される代数的集合の特定の種類） を表す。

A nの部分集合Uが与えられたとき、それを生成する多項式の集合を復元することはできますか？UがA nの任意の部分集合である場合、I ( U ) を、その消失集合にUが含まれるすべての多項式の集合と定義します。I はイデアルを表します。つまり、2つの多項式fとg がどちらもU上で消失する場合、f + gはU上で消失します。また、 h が任意の多項式である場合、hf はU上で消失します。したがって、I ( U ) は常に多項式環k [ A n ] のイデアルとなります。

当然、次のような 2 つの疑問が浮かびます。

  • A nのサブセットUが与えられたとき、U = V ( I ( U )) となるのはいつですか?
  • 多項式の集合Sが与えられたとき、S = I ( V ( S ))となるのはいつですか?

最初の質問の答えは、ザリスキー位相を導入することによって与えられます。ザリスキー位相とは、 A n上の位相で、その閉集合は代数集合であり、k [ A n ] の代数構造を直接反映します。すると、U が代数集合、または同値なザリスキー閉集合である場合に限り、U = V ( I ( U ))が成り立ちます。2 番目の質問の答えは、ヒルベルトの零点定理によって与えられます。その形式の 1 つでは、I ( V ( S )) はSによって生成されるイデアルの根基であるとされています。より抽象的な言語では、ガロア接続があり、2 つの閉包演算子が生じます。これらは同一視でき、当然理論の基本的な役割を果たします。この例は、ガロア接続で詳しく説明されています。

様々な理由から、代数集合Uに対応するイデアル全体を常に扱う必要はないかもしれません。ヒルベルトの基底定理は、k [ A n ]のイデアルは常に有限生成であることを意味します。

代数集合は、2つのより小さな代数集合の和集合として表すことができないとき、既約であると呼ばれます。任意の代数集合は、既約代数集合の有限和集合であり、この分解は一意です。したがって、その元は代数集合の既約成分と呼ばれます。既約代数集合は多様体とも呼ばれます。代数集合が多様体であるための必要十分条件は、それが多項式環の素イデアルの消失集合として定義できることです。

著者によっては、代数集合と代数多様体を明確に区別せず、必要に応じて既約多様体を使用して区別しています。

通常の関数

連続関数が位相空間上の自然な写像であり、滑らかな関数が微分可能多様体上の自然な写像であるのと同様に、代数集合上の関数の自然なクラスが存在し、これは正則関数または多項式関数と呼ばれます。A nに含まれる代数集合V上の正則関数は、 A n上の正則関数のVへの制限です。複素数体上に定義された代数集合の場合、正則関数は滑らかで解析的でもあります。

正則関数が常に周囲空間まで拡張することを要求するのは不自然に制限的であるように思えるかもしれませんが、これは通常の位相空間での状況と非常によく似ており、Tietze 拡張定理により、閉部分集合上の連続関数は常に周囲の位相空間まで拡張されることが保証されます。

アフィン空間上の正則関数と同様に、V上の正則関数は環を形成し、これをk [ V ] と表記する。この環はV の座標環と呼ばれる。

V 上の正則関数はAn上の正則関数から生じるため、座標環間には関係がある。具体的には、V上の正則関数がk [ An ]における二つの関数fとgの制限である場合、 f  −  gはV上で零となる多項式関数であり、したがってI ( V )に属する。したがって、k [ V ]はk [ An ]/ I ( V )と同一視できる。

アフィン多様体の射影

アフィン多様体からA 1への正則写像を用いることで、あるアフィン多様体から別のアフィン多様体への正則写像を定義できる。まず、多様体からアフィン空間への正則写像を定義する。VをA nに含まれる多様体とする。V 上の m 個の正則写像を選び、それらをf 1 , ..., f m と呼ぶ。VからA mへの正則写像fを、f = ( f 1 , ..., f m )とすることで定義する。言い換えれば、各f i はfの値域の1つの座標を決定する。

V ′ がA mに含まれる多様体である場合、 fの値域がV ′に含まれるとき、 f はVからV ′への正則写像であるといいます。

正則写像の定義は代数集合にも適用されます。正則写像は射とも呼ばれ、すべてのアフィン代数集合の集合を圏 （対象はアフィン代数集合、射は正則写像）にまとめるものです。アフィン多様体は代数集合の圏のサブカテゴリです。

VからV ′への正則写像gとk [ V ′]の正則関数fが与えられている場合、 f ∘ g ∈ k [ V ]である。写像f → f ∘ gはk [ V ′]からk [ V ] への環準同型である。逆に、k [ V ′]からk [ V ] へのすべての環準同型は、 VからV ′への正則写像を定義する。これは、代数集合のカテゴリと有限生成の被縮約k代数の反対のカテゴリとの間のカテゴリの同値性を定義する。この同値性は、スキーム理論の出発点の1つである。

有理関数と双有理同値性

これまでの節とは対照的に、本節では代数集合ではなく多様体のみを扱う。一方、アフィン多様体とその射影完備化は同じ写像体を持つため、定義は射影多様体（次節）にも自然に拡張される。

Vがアフィン多様体である場合、その座標環は整域であり、したがってk ( V )と表記される分数体を持ち、これはV上の有理関数体、あるいは単にVの関数体と呼ばれる。その元は、 Vを含むアフィン空間上の有理関数のVへの制限である。有理関数fの定義域はVではなく、 fの分母がゼロとなる部分多様体（超曲面）の補集合である。

正則写像と同様に、多様体Vから多様体V ' への有理写像を定義できる。正則写像と同様に、 VからV 'への有理写像は、k ( V ')からk ( V ) への体準同型写像と同一視できる。

二つのアフィン多様体は、両者が定義されている領域において、両者の間に互いに逆関数となる二つの有理関数が存在するとき、双有理的に同値である。同様に、それらの関数体が同型である場合も、双有理的に同値である。

アフィン多様体は、アフィン空間と双有理的に同値であるとき、有理多様体である。これは、多様体が有理パラメータ化、すなわち有理関数によるパラメータ化を許容することを意味する。例えば、方程式の円は、媒介変数方程式を持つため、有理曲線である。×2+y2−1＝0{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}

×＝2t1+t2{\displaystyle x={\frac {2\,t}{1+t^{2}}}}
y＝1−t21+t2、{\displaystyle y={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,,}

これは直線から円への有理数写像として見ることもできます。

特異点解決の問題とは、任意の代数多様体が、その射影完備化が非特異である多様体（平滑完備化も参照）と双有理的に同値であるかどうかを知ることである。この問題は1964年に広中平輔によって標数0において肯定的に解決されたが、有限標数においては未だ解決されていない。

射影多様体

射影空間における放物線（y = x 2、赤）と3次曲線（y = x 3 、青）

2次、3次、4次多項式の根の公式が、実数を複素数のより代数的に完全な設定へと拡張することを示唆するのと同様に、代数多様体の多くの性質は、アフィン空間をより幾何学的に完全な射影空間へと拡張することを示唆する。複素数は多項式x 2 + 1の根である数iを加えることで得られるのに対し、射影空間は適切な「無限遠」の点、つまり平行線が交わる可能性のある点を加えることで得られる。

これがどのように起こるかを見るために、多様体V ( y − x 2 )を考えてみましょう。これを描くと放物線になります。xが正の無限大に向かうにつれて、原点から点 ( x ,  x 2 )までの直線の傾きも正の無限大へと向かいます。xが負の無限大に向かうにつれて、同じ直線の傾きも負の無限大へと向かいます。

これを多様体V ( y  −  x 3 ) と比較してみましょう。これは3次曲線です。x が正の無限大に向かうにつれて、原点から点 ( x ,  x 3 ) までの直線の傾きは、前述と同様に正の無限大へと向かいます。しかし前述とは異なり、x が負の無限大に向かうにつれて、同じ直線の傾きも正の無限大へと向かいます。これは放物線とは正反対です。つまり、V ( y  −  x 3 ) の「無限大における」挙動は、 V ( y  −  x 2 )の「無限大における」挙動とは異なります。

2つの曲線の射影完備性、すなわち射影平面における「無限遠点」への延長を考慮することで、この違いを定量化することができます。放物線の無限遠点は正則点であり、その接線は無限遠直線です。一方、3次曲線の無限遠点は尖点です。また、どちらの曲線もxでパラメータ化されるため有理曲線であり、リーマン・ロッホの定理によれば、3次曲線は必ず特異点を持ち、その特異点は無限遠点にあります。これは、アフィン空間における3次曲線のすべての点が正則であるためです。

このように、双有理同値性やあらゆる位相的性質を含む代数多様体の多くの性質は「無限遠における」振る舞いに依存するため、射影空間において多様体を研究するのは自然な流れです。さらに、射影技法の導入により、代数幾何学における多くの定理がより単純かつ明確になりました。例えば、 2つの多様体間の交点の数に関するベズーの定理は、射影空間においてのみ最も明確な形で述べることができます。これらの理由から、射影空間は代数幾何学において基本的な役割を果たしています。

現在、n次元の射影空間P nは、通常、 n + 1次元のアフィン空間内の、原点と考えられる点を通過する直線の集合として定義されます。または、 n + 1 次元のベクトル空間内のベクトル直線の集合と同等です。 n + 1次元の空間で座標系が選択されると、直線上のすべての点は、kの元による乗算まで同じ座標集合を持ちます。これにより、 P nの点の同次座標は、 kの非ゼロ元による乗算まで定義される、基本体kのn + 1個の元のシーケンスとして定義されます(シーケンス全体で同じ)。

n + 1変数の多項式は、原点を通る直線のすべての点でゼロになるためには、それが同次である必要があります。この場合、多項式はP nの対応する点でゼロになると言えます。これにより、 P nの射影代数集合を集合V ( f 1 , ..., f k )として定義できます。ここで、同次多項式の有限集合{ f 1 , ..., f k }はゼロになります。アフィン代数集合の場合と同様に、射影代数集合と、それらを定義する被約同次イデアルの間には一対一の関係があります。射影多様体は、定義イデアルが素数である射影代数集合です。言い換えれば、射影多様体とは、その同次座標環が整域である射影代数集合であり、射影座標環は、 n + 1変数の次数環または多項式を、その多様体を定義する同次（被約）イデアルで割った商として定義される。すべての射影代数集合は、射影多様体の有限和に一意に分解できる。

射影多様体上で適切に定義できる正則関数は定数関数のみである。したがって、この概念は射影的な状況では用いられない。一方、有理関数体、すなわち関数体という概念は有用であり、アフィン関数の場合と同様に、同次座標環における同次な2つの同次元の商の集合として定義される。

実代数幾何学

実代数幾何学は実代数多様体の研究です。

実数体が順序体であるという事実は、このような研究において無視できない。例えば、方程式 の曲線はの場合には円であるが、 の場合には実点を持たない。実代数幾何学は、より広義には、多項式不等式系の解である半代数集合についても研究する。例えば、方程式 の双曲線のどちらの枝も実代数多様体ではない。しかし、第一象限の枝はおよびによって定義される半代数集合である。 ×2+y2−1つの＝0{\displaystyle x^{2}+y^{2}-a=0}1つの>0{\displaystyle a>0}1つの<0{\displaystyle a<0}×y−1＝0{\displaystyle xy-1=0}×y−1＝0{\displaystyle xy-1=0}×>0{\displaystyle x>0}

実代数幾何学における未解決の問題の 1 つは、ヒルベルトの第 16 問題の次の部分です。8 次非特異平面曲線の楕円について、それぞれの位置がどのような可能性があるかを決定します。

計算代数幾何学

計算代数幾何学の起源は、 1979年6月にフランスのマルセイユで開催されたEUROSAM'79（記号および代数的操作に関する国際シンポジウム）会議に遡ると考えられる。この会議では、

それ以来、この分野におけるほとんどの結果は、これらのアルゴリズムの 1 つを使用または改善するか、複雑さが変数の数に対して単一指数であるアルゴリズムを見つけることによって、これらの項目の 1 つまたは複数に関連付けられています。

過去数十年にわたり、記号的手法を補完する数学理論の体系である数値代数幾何学が発展してきました。主要な計算手法はホモトピー接続です。これは、例えば代数幾何学の問題を解くための浮動小数点計算モデルを支えています。

グレブナー基底

グレブナー基底は、多項式イデアルの生成元のシステムであり、その計算により、イデアルによって定義されるアフィン代数多様体の多くの特性を演繹することができます。

代数集合Vを定義するイデアルIが与えられると、

  • Vが空である（基底体の代数的に閉じた拡大上）のは、任意の単項式順序のグレブナー基底が {1} に簡約される場合に限ります。
  • ヒルベルト級数を用いると、総次数を精緻化する単項式順序付けに対するIの任意のグレブナー基底からVの次元と次数を計算することができる。
  • Vの次元が 0 の場合、 Iの任意のグレブナー基底からVの点（数が有限）を計算できます（多項式方程式のシステムを参照）。
  • グレブナー基底計算により、与えられた超曲面に含まれるすべての既約成分をVから除去することができます。
  • グレブナー基底計算により、 k番目の座標への投影によるVの像のザリスキー閉包と、投影が適切でない像のサブセットを計算できます。
  • より一般的には、グレブナー基底計算により、像のザリスキ閉包と、Vの有理関数の別のアフィン多様体への臨界点を計算することができます。

グレブナー基底計算では、 Iの主分解やVの既約成分を定義する素イデアルを直接計算することはできませんが、これらの計算を行うアルゴリズムのほとんどはグレブナー基底計算を含んでいます。グレブナー基底に基づかないアルゴリズムは、正規連鎖を用いますが、例外的な状況ではグレブナー基底が必要となる場合があります。

グレブナー基底は計算が困難であると考えられています。実際、グレブナー基底には、最悪の場合、変数の数に対して二重指数的な次数を持つ多項式と、同様に二重指数的な多項式が複数含まれることがあります。しかし、これはあくまでも最悪の場合の計算量に過ぎず、1979年のラザードのアルゴリズムの計算量上限が頻繁に適用される可能性があります。フォジェールF5アルゴリズムは、この計算量を実現しており、ラザードの1979年のアルゴリズムの改良版と見なすことができます。したがって、最良の実装では、100次を超える代数集合をほぼ日常的に計算できます。これは、現在、グレブナー基底の計算の難しさは、問題の本質的な難しさと強く関連していることを意味します。

円筒代数分解（CAD）

CAD は、実数上の 量指定子除去に関するTarski-Seidenberg 定理を許容できる複雑さで実装するために 1973 年に G. Collins によって導入されたアルゴリズムです。

この定理は、実係数多項式間の多項式等式または不等式を原子式とする一階述語論理の論理式に関するものである。したがって、これらの論理式は、論理演算子and (∧)、or (∨)、not (¬)、すべての (∀) に対して、そして(∃)が存在する、といったものによって原子式から構成できる論理式である。タルスキの定理は、このような論理式から、量指定子 (∃, ∃) を用いずに同等の論理式を計算できることを主張する。

CADの複雑さは変数の数に対して二重指数関数的に増大します。つまり、CADは理論的には、そのような式で表現できる実代数幾何学のあらゆる問題、つまり明示的に与えられた多様体や半代数集合に関するほぼすべての問題を解くことを可能にします。

グレブナー基底の計算が二重指数関数的な計算量を持つことは稀ですが、CADではほぼ常にこの高い計算量となります。これは、入力に現れる多項式のほとんどが線形でない限り、4変数を超える問題を解くことができない可能性があることを意味します。

1973 年以来、このテーマに関する研究のほとんどは、CAD の改善、または一般的な関心のある特殊なケースにおける代替アルゴリズムの発見に費やされてきました。

最先端の例として、半代数集合の連結成分それぞれに少なくとも1つの点を見つけ、それによって半代数集合が空かどうかを判定する効率的なアルゴリズムが存在します。一方、CADは、連結成分の数を数えるための実用的なアルゴリズムとしては、まだ最良のものです。

漸近的複雑さと実用的な効率性

計算幾何学の基本的な一般アルゴリズムは、最悪のケースでは二重指数関数的な複雑度を持つ。より正確には、入力多項式の最大次数をd 、変数の数をnとすると、ある定数cに対して複雑度は最大でd 2 cnとなり、ある入力に対しては、別の定数c ′ に対して複雑度は最小でd 2 c′nとなる。

20世紀最後の20年間、より複雑な特定の部分問題を解くための様々なアルゴリズムが導入されました。これらのアルゴリズムのほとんどは複雑度が です。[ 1 ]dお（n2）{\displaystyle d^{O(n^{2})}}

グレブナー基底が解く問題の部分問題を解くアルゴリズムとしては、アフィン多様体が空であるかどうかを判定するアルゴリズムや、有限個の解を持つ非同次多項式系を解くアルゴリズムが挙げられる。このようなアルゴリズムはほとんど実装されていない。なぜなら、ほとんどの要素において、フォージェールのF4アルゴリズムとF5アルゴリズムの方が実用上の効率が高く、おそらく同等かそれ以上の計算量を持つからである（おそらく、特定の要素クラスにおけるグレブナー基底アルゴリズムの計算量を評価することは困難な作業であり、これまではごく限られた特殊なケースでしか行われていないためであろう） 。

CAD で解決できる問題を解く実代数幾何学の主なアルゴリズムは、半代数集合の位相と関連しています。連結成分の数を数える、2 点が同じ成分内にあるかどうかをテストする、実代数集合のホイットニー層化を計算するといったアルゴリズムが挙げられます。これらのアルゴリズムの計算量は ですが、 O表記に伴う定数が非常に大きいため、CAD で効果的に解決できる重要な問題をこれらを使って解くのは、たとえ世界中の既存の計算能力をすべて駆使したとしても不可能です。そのため、これらのアルゴリズムは実装されたことがなく、良好な漸近的計算量と良好な実用的効率を両立するアルゴリズムを探す活発な研究分野となっています。 dお（n2）{\displaystyle d^{O(n^{2})}}

抽象的な現代的な視点

代数幾何学への現代的なアプローチは、様々な一般性レベルにおいて基本オブジェクトの範囲を再定義し、スキーム、形式スキーム、インドスキーム、代数空間、代数スタックなどへと効果的に拡張します。この必要性は、多様体理論における有用なアイデアから既に生じています。例えば、ザリスキの形式関数は、構造環に冪零元を導入することで対応できます。ループと弧の空間を考慮し、群作用によって商を構成し、自然交差理論と変形理論の形式的根拠を展開することで、さらなる拡張が実現します。

最も注目すべきことに、1960 年代初頭に、代数多様体はアレクサンダー グロタンディークのスキームの概念に包含された。その局所対象はアフィン スキームまたは素スペクトルであり、これは局所環付き空間であり、可換単位環のカテゴリーに反同値なカテゴリーを形成し、体k上のアフィン代数多様体のカテゴリーと有限生成被縮約k -代数のカテゴリーとの間の双対性を拡張する。この接着はザリスキー位相にそって行われる。局所環付き空間のカテゴリー内で接着できるだけでなく、米田埋め込みを使用して、アフィン スキームのカテゴリー上の集合の前層のより抽象的なカテゴリー内でも接着できる。集合論的な意味でのザリスキー位相は、グロタンディーク位相に置き換えられる。グロタンディークは、粗いザリスキー位相よりもエキゾチックだが幾何学的に細かく、より敏感な例、すなわちエタール位相と、2つの平坦グロタンディーク位相であるfppfとfpqcを念頭に置いてグロタンディーク位相を導入した。今日では、ニスネヴィッチ位相を含む他の例も有名になっている。層はさらに、グロタンディークの意味でのスタックに一般化することができ、通常はいくつかの追加の表現可能性条件がアルティンスタックや、さらに細かいドリーニュ・マンフォードスタックにつながる。これらは両方とも代数的スタックと呼ばれることが多い。

時には、他の代数的サイトがアフィンスキームのカテゴリに取って代わることがあります。例えば、ニコライ・デュロフは、一般化代数幾何学における局所オブジェクトの一般化として、可換代数モナドを導入しました。この設定では、トロピカル幾何学、一元体上の絶対幾何学、そしてアラケロフ幾何学の代数的類似体が実現されました。

もう一つの形式的な一般化は普遍代数幾何学への拡張が可能であり、この場合、あらゆる代数多様体はそれ自身の代数幾何学を持つ。「代数多様体」という用語は「代数多様体」と混同してはならない。

スキーム、スタック、一般化の言語は、幾何学的概念を扱う貴重な方法であることが証明されており、現代の代数幾何学の基礎となっています。

代数スタックはさらに一般化することができ、変形理論や交差理論などの多くの実際的な問題では、これが最も自然なアプローチとなることがよくあります。可換環を、微分次数付き可換代数の無限カテゴリ、または単体可換環や同様のカテゴリを適切なグロタンディーク位相の変形で置き換えることによって、アフィンスキームのグロタンディークサイトを導来アフィンスキームの高次カテゴリサイトに拡張できます。集合の前層を単体集合（または無限群）の前層に置き換えることもできます。次に、適切なホモトピック機構が存在する場合、層公理の特定の無限カテゴリバージョンを満たす（および代数的に、帰納的に表現可能性条件のシーケンスを満たす）導来アフィンスキームの無限カテゴリ上の前層として導来スタックの概念を展開できます。キレンモデル圏、シーガル圏、準圏はこれを形式化するために最もよく使われるツールであり、カルロス・シンプソンの学派（アンドレ・ヒルショヴィッツ、ベルトラン・トーエン、ガブリエル・ヴェッツォシ、ミシェル・ヴァキエら）によって導入され、ヤコブ・ルリー、ベルトラン・トーエン、ガブリエル・ヴェッツォシらによってさらに発展させられた導来代数幾何学を生み出す。A無限大圏を用いる導来代数幾何学の別の（非可換な）バージョンは、1990年代初頭からマキシム・コンツェビッチとその追随者によって開発されてきた。

歴史

16世紀以前

代数幾何学の起源の一部は、紀元前 5 世紀のヘレニズム時代ギリシャ人の研究に遡ります。たとえばデロス問題は、辺aとbが与えられたときに、辺xの立方体が長方形a 2 bと同じ体積を持つように長さxを作図するというものでした。メナイクモス(紀元前 350 年頃) は、一対の平面円錐曲線ay  =  x 2とxy  =  abを交差させることにより、この問題を幾何学的に考察しました。[ 2 ]紀元前 3 世紀には、アルキメデスとアポロニウスが座標を用いて円錐曲線に関する追加の問題を体系的に研究しました。[ 2 ] [ 3 ]アポロニウスは『円錐曲線論』でさらに解析幾何学によく似た手法を展開し、その研究はデカルトの研究を1800 年ほど先取りしていたと考えられることもあります。 [ 4 ]彼の基準線、直径、接線の応用は、本質的には現代の座標系の使用と変わりなく、接点から直径に沿って測った距離が横座標、接線に平行で軸と曲線の間で切られた線分が縦座標です。彼はさらに、放物線や曲線などの幾何学的手法を使用して、横座標と対応する座標の関係を発展させました。[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]中世の数学者、例えばオマール・ハイヤーム、レオナルド・ディ・ピサ、ゲルソニデス、ニコラ・オレームなどは[ 8 ]、特定の3次方程式と2次方程式を純粋に代数的な手段で解き、その結果を幾何学的に解釈しました。ペルシャの数学者オマル・ハイヤーム（1048年生まれ）は、算術、代数、幾何学の間には関係があると信じていました。[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]これに対してジェフリー・オークスは、方程式を用いた曲線の研究は17世紀のデカルトに始まったと主張して批判した。[ 12 ]

ルネッサンス

代数問題に幾何学的構成を適用するこのような手法は、ジェロラモ・カルダーノやニッコロ・フォンタナ・タルタリアといったルネサンス期の数学者によっても三次方程式の研究に用いられた。代数的アプローチではなく幾何学的アプローチは、16世紀と17世紀のほとんどの数学者に好まれ、特にブレーズ・パスカルは幾何学における代数的・解析的手法の使用に反対した。[ 13 ]フランスの数学者フランシスクス・ヴィエタ、そして後にルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーは、座標幾何学の導入を通じて、構成問題に関する従来の考え方に革命をもたらした。彼らは主に代数曲線の特性に興味を持っていました。例えば、ディオファントス方程式によって定義されるもの(フェルマーの場合) や、円錐曲線と三次曲線に関する古典ギリシャの著作の代数的再定式化 (デカルトの場合) などです。

同じ時期に、ブレーズ・パスカルとジェラール・デザルグは異なる観点から幾何学にアプローチし、射影幾何学の総合的な概念を発展させた。パスカルとデザルグも曲線を研究したが、それは純粋に幾何学的な観点から、つまりギリシャの定規とコンパスの作図に類似したものであった。最終的には、デカルトとフェルマーの解析幾何学が勝利した。なぜなら、それは 18 世紀の数学者に、ニュートンとライプニッツの新しい微積分学を用いて物理的問題を研究するのに必要な、具体的で定量的なツールを提供したからである。しかし、18 世紀末までには、座標幾何学の代数的特徴のほとんどが、ラグランジュとオイラーの微小積分学に吸収されてしまった。

19世紀から20世紀初頭

古い代数の考え方を幾何学の枠組みに取り戻すには、19 世紀に非ユークリッド幾何学とアーベル積分が同時に発展する必要がありました。これらの新しい発展の最初のものは、射影空間の一般化された計量特性を解明しようとしたエドモン・ラゲールとアーサー・ケイリーによって取り上げられました。ケイリーは射影空間上の同次多項式形式、より具体的には二次形式という概念を導入しました。その後、フェリックス・クラインが、空間上の幾何学はその空間上の特定のクラスの変換で符号化されるという観点から、射影幾何学を (他の種類の幾何学とともに) 研究しました。19 世紀末までに、射影幾何学者は射影空間内の図形に対するより一般的な種類の変換を研究していました。射影空間上の基本的なクライン幾何学を与えると通常考えられていた射影線型変換ではなく、彼らは、より高次の双有理変換も研究しました。このより弱い合同の概念は、後に20世紀イタリア代数幾何学学派のメンバーが代数面を双有理同型性まで分類するきっかけとなった。

19 世紀初頭の 2 番目の発展であるアーベル積分は、ベルンハルト リーマンをリーマン面の開発へと導きました。

同じ時期に、可換代数による代数幾何学の代数化が始まった。この方向における顕著な成果としては、代数幾何学と可換代数の関連の基礎となるヒルベルトの基底定理とヒルベルトの零点定理、そして消去理論の基礎となるマコーレーの多変数終結式が挙げられる。多変数終結式に伴う計算量の膨大さから、消去理論は20世紀半ばには忘れ去られていたが、特異点理論と計算代数幾何学によって刷新された。[ a ]

20世紀

BL ファン・デル・ヴェルデン、オスカー・ザリスキ、アンドレ・ヴェイユは、付値論とイデアル理論を含む当時の可換代数学に基づいて代数幾何学の基礎を築いた。その目標の一つは、イタリア代数幾何学学派の成果を証明するための厳密な枠組みを与えることであった。特に、この学派は、1930年代にこれらの著者によって初めて与えられた、厳密な定義のない一般点の概念を体系的に用いた。

1950年代と1960年代には、ジャン＝ピエール・セールとアレクサンダー・グロタンディークが層論を用いて基礎理論を再構築しました。その後、1960年頃から、主にグロタンディークの主導の下、非常に洗練されたホモロジー的手法と組み合わせたスキームの概念が確立されました。10年間の急速な発展の後、この分野は1970年代に安定し、数論だけでなく、代数多様体、特異点、モジュライ、形式モジュライといったより古典的な幾何学的問題にも新たな応用が行われました。

定義方程式から直接理解することは容易ではない重要な多様体のクラスに、アーベル多様体があります。アーベル多様体は、点がアーベル群を形成する射影多様体です。その典型的な例は楕円曲線で、豊富な理論を有しています。フェルマーの最終定理の証明に役立ち、楕円曲線暗号にも用いられています。

代数幾何学の抽象的な潮流と並行して、多様体に関する一般的な記述を扱うと同時に、具体的に与えられた多様体を用いた効率的な計算手法も開発され、計算代数幾何学という新たな分野が生まれました。この分野の基礎となる手法の一つは、1965年にブルーノ・ブッフベルガーによって導入されたグレブナー基底理論です。実代数幾何学に特化したもう一つの基礎となる手法は、 1973年にジョージ・E・コリンズによって導入された円筒代数分解です。

派生代数幾何学も参照してください。

解析幾何学

実数体または複素数体上の解析多様体は、解析関数を含む複数の方程式の共通解の集合として局所的に定義されます。解析多様体は、通常の関数ではなく解析関数の構造層を持つという点で、代数多様体の概念に類似しています。任意の複素多様体は複素解析多様体です。解析多様体は特異点を持つことがあるため、すべての複素解析多様体が多様体であるとは限りません。非アルキメデス体上では、解析幾何学は剛体解析空間を介して研究されます。

複素数体上の現代解析幾何学は、ジャン＝ピエール・セールの論文GAGA [ 14 ]で示されているように、複素代数幾何学と密接に関連している。GAGAの名称は、フランス語で「代数幾何学」と「解析幾何学」を意味する。複素数体上のGAGAの結果は、非アルキメデス体上の剛体解析空間にも拡張できる。[ 15 ]

アプリケーション

代数幾何学は現在、統計学、[ 16 ]制御理論、[ 17 ] [ 18 ]ロボット工学、[ 19 ]誤り訂正符号、[ 20 ]系統発生学[ 21 ]幾何学モデリング[ 22 ]などに応用されています。また、弦理論、[ 23 ]ゲーム理論、[ 24 ]グラフマッチング、[ 25 ]ソリトン[ 26 ]整数計画法[ 27 ]にも関連しています。

参照

注記

  1. ^この忘却の証拠として、ファン・デル・ヴェルデンが彼の論文『現代代数学』 （ドイツ語）の第 3 版（およびそれ以降のすべての版）から消去法の章を削除したあります。

参考文献

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出典

  • クライン, M. (1972). 『古代から現代までの数学思想』第1巻. オックスフォード大学出版局. ISBN 0195061357。

さらに読む

制度化以前の古典的な教科書
スキームの言語を使わない現代の教科書
計算代数幾何学の教科書
スキームに関する教科書と参考文献
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