勾配

d = 水平距離Δh = 上昇幅l = 斜面の長さα = 傾斜角

地形、地形、または人工線の勾配（米国）または勾配（英国）（傾斜、インクライン、メインフォール、ピッチ、ライズとも呼ばれる）は、その表面の水平面またはその接線に対する仰角です。これは勾配の特殊なケースであり、ゼロは水平を示します。数値が大きいほど、「傾斜」の度合いが大きい、または急であることを示します。勾配は、多くの場合、「ライズ」と「ラン」の比率、または分数（「ライズ/ラン」）として計算されます。ランは水平距離（斜面に沿った距離ではない）、ライズは垂直距離です。

峡谷や丘陵、小川や河岸、河床といった既存の地形の傾斜は、しばしばグレード（勾配）として表現されますが、一般的に「グレード」という言葉は、道路、景観の整地、屋根の勾配、鉄道、水道橋、歩行者や自転車道といった人工の表面に用いられます。グレードは、縦断勾配または垂直な横断勾配を指す場合があります。

命名法

勾配（パーセント）、角度（度）、比率の図解
ポーランド、グダニスク
ポーランド、グダニスクの路面電車と勾配標識。50 ‰の勾配（50  m/km、5%）を示しています

傾斜を表現する方法はいくつかあります。

  1. 水平に対する傾斜角として。（これは、垂直の上昇と水平方向の走行が直角である三角形の「上昇」側と反対側の角度αです。）
  2. はパーセンテージで表され、公式は で、これは傾斜角の正接に100を掛けたものに等しい。傾斜角が45度の場合、水平距離は垂直距離と等しくなる。この角度の勾配をパーセンテージで表すと100パーセントである。傾斜が90度（垂直）に近づくにつれて、パーセンテージ勾配は無限大に近づく。[ 1 ]ヨーロッパやアメリカでは、パーセンテージ勾配は勾配を表す際に最も一般的に使用される数値である。100×上昇走る{\displaystyle 1000\times {\frac {\text{上昇}}{\text{下降}}}}
  3. は‰（記号‰ ）で表される。公式は であり、これは傾斜角の正接×1000としても表される。これはヨーロッパで鉄道の勾配を表すのによく用いられる。 ‰記号の代わりに、mm/mやm/kmと表記されることもある。 [ 2 ] [ 3 ]1000×上昇走る斜辺
  4. 勾配1に対して勾配が何分の何であるかを表す比率。例えば、勾配1,000フィート（約304メートル）ごとに勾配が5フィート（約1.5メートル）の斜面の場合、勾配比は1:200となります。（通常、数学的な比率表記である1:200ではなく、inという語が用いられます。）これは、オーストラリアとイギリスの鉄道の勾配を記述する際に一般的に用いられる方法です。香港の道路ではこの方法が用いられており、イギリスでも1970年代まで道路で用いられていました。
  5. 勾配の多くの部分と上昇部分の1部分の比率で、前の表現の逆数です（国や業界の基準によって異なります）。例えば、このシステムで勾配が4:1と表現される場合、一定の垂直距離に対して水平方向の移動距離が4倍になることを意味します。[ 4 ]

いずれも使用できます。「グレード」という用語が使用される場合、傾斜は通常パーセンテージで表されます。チャート上のグレードを示す赤い数字を見ると、傾斜を表すのにグレードを使用するという奇妙な方法が分かります。数字は、平坦の場合は0、45度の場合は100%、垂直の場合は無限大です。

水平距離が不明な場合でも、勾配は表すことができます。つまり、高さを斜辺(斜面の長さ) で割ることができます。これは、勾配を指定する通常の方法ではありません。この非標準の式は、正接関数ではなく正弦関数に従うため、45 度の勾配を 100 パーセント勾配ではなく 71 パーセント勾配と呼びます。ただし、実際には、勾配を計算する通常の方法は、勾配に沿った距離と垂直高さを測定し、そこから水平距離を計算して、勾配 (100% × 高さ/斜面) または標準勾配 (高さ/斜面) を計算することです。傾斜角が小さい場合、水平変位ではなく斜面の長さを使用する (つまり、角度の正弦ではなく正弦を使用する) と、わずかな違いが生じるだけなので、近似値として使用できます。鉄道の勾配は、実用的な尺度として、線路に沿った距離に対する高さで表されることがよくあります。正弦と正接の違いが重要な場合は、正接が使用されます。いずれの場合も、90度までのすべての傾斜に対して次の恒等式が成り立ちます 。あるいは、もっと簡単に言えば、ピタゴラスの定理を用いて水平距離を計算し、その後（標準的な数学的）傾斜または勾配（パーセンテージ）を計算することもできます。 tan⁡α＝sin⁡α1−sin2⁡α{\displaystyle \tan {\alpha }={\frac {\sin {\alpha }}{\sqrt {1-\sin ^{2}{\alpha }}}}}

ヨーロッパでは道路の勾配は標識でパーセンテージで表されます。[ 5 ]

方程式

成績は、上の図の記号を使った次の方程式で表されます

比としての接線

tan⁡α＝Δhd{\displaystyle \tan {\alpha }={\frac {\Delta h}{d}}}

パーセンテージで表される傾斜は、同様に角度の正接から決定できます。

%傾き＝100tan⁡α{\displaystyle \%\,{\text{傾き}}=100\tan {\alpha}}

接線勾配からの角度

α＝逆正接⁡Δhd{\displaystyle \alpha =\arctan {\frac {\Delta h}{d}}}

接線をパーセンテージで表すと、角度は次のように決定できます。

α＝逆正接⁡%傾き100{\displaystyle \alpha =\arctan {\frac {\%\,{\text{slope}}}{100}}}

角度を比（1/n）で表すと次のようになります。

α＝逆正接⁡1n{\displaystyle \alpha =\arctan {\frac {1}{n}}}

表記を比較した例の傾き

度、パーセンテージ（％）、パーミル（‰）表記の場合、数値が大きいほど傾斜が急になります。比率の場合、nの 1/ nが大きいほど傾斜が緩やかになります。

例では、1 つ以上の表記法による丸められた数値と、文書化され、かなりよく知られているいくつかのインスタンスを示します。

さまざまな表記法における傾きの例
度パーセンテージ（％）百分率（‰）比率備考
60°173%1732‰0.58インチ
47.7°110%1100‰0.91インチシュトースバーン（ケーブルカー）
45°100%1000‰1 in 1
35°70%700‰1.428分の1
30.1°58%580‰1.724分の1リントン・アンド・リンマス・クリフ鉄道（ケーブルカー）
30°58%577‰1.73分の1
25.5°47%476‰2.1分の1ピラトゥス鉄道（最も急勾配のラック式鉄道）
20.3°37%370‰2.70分の1マウント・ワシントン鉄道（最大勾配）
20°36%363‰2.75分の1
18.4°33%333‰3分の1
16.9°30%300‰3.3分の1非常に急な坂道
30%警報（フランス）
30%警報（フランス）
14.0°25%250‰4人に1人非常に急な坂道。マウント・ワシントン鉄道（平均勾配）
25%警報（ウェールズ）
25%警報（ウェールズ）
11.3度20%200‰5人に1人急勾配
20%警報（ノースヨークシャー）
20%警報（ノースヨークシャー）
8.13°14.2%142‰7人に1人
7.12°12.5%125‰8分の1クロムフォード・アンド・ハイ・ピーク鉄道のケーブル傾斜
5.71°10%100‰10分の1急勾配
10%警報（オランダ）
10%警報（オランダ）
4.0°7%70‰14.3分の1
3.37°5.9%59‰17分の1レスター・アンド・スワニントン鉄道のスワニントン・インクライン
2.86°5%50‰20分の1マセランヒル鉄道。ケネディ宇宙センターのクローラーウェイから発射台までの勾配。 [ 6 ] [ 7 ]
2.29°4%40‰25分の1ケルン・フランクフルト高速鉄道
2.0°3.5%35‰28.57分の1LGV南東、LGV東、LGV地中海
1.97°3.4%34‰29分の1レスター・アンド・スワニントン鉄道のバグワース勾配
1.89°3.3%33‰30.3分の1トゥールーズ・バイヨンヌ鉄道のランプ・ド・カプヴェルヌ
1.52°2.65%26.5‰37.7分の1リッキー・インクライン
1.43°2.5%25‰40分の1LGVアトランティック、LGVノール。シーフェ・ エベネ
1.146°2%20‰50分の1ジーロヴェー・ウ・プラヒ近くの鉄道。デヴォンシャートンネル
チェコ共和国 20‰
チェコ共和国 20‰
0.819°1.43%14.3‰70分の1ウェイバリールート
0.716°1.25%12.5‰80分の1二次幹線の支配勾配。ウェリントン・バンク、サマセット
0.637°1.11%11.11‰90分の1ダブ・ホールズ・トンネル
0.573°1%10‰100分の1セトル＆カーライル線の長い抗力
0.458°0.8%8‰125分の1ギレルヴァル斜面
0.2865°0.5%5‰200分の1パリ・ボルドー鉄道（ギレルヴァルランプを除く）
0.1719°0.3%3‰333分の1
0.1146°0.2%2‰500分の1
0.0868°0.1515%1.515‰660分の1ブルネルのビリヤード台 -ディドコットからスウィンドン
0.0434°0.07575%0.7575‰1320分の1ブルネルのビリヤード台 –パディントンからディドコット
0°0%0‰∞（無限大）で1平坦

道路

車両工学では、様々な陸上車両（自動車、SUV、トラック、列車など）の登坂能力が評価されます。列車は通常、自動車よりもはるかに低い評価です。車両が特定の速度を維持しながら登坂できる最高勾配は、その車両の「登坂能力」（または、あまり一般的ではありませんが「勾配能力」）と呼ばれることがあります。高速道路の形状の横方向の勾配は、これらの技術を使用して作成された場合、 盛土または切土と呼ばれることがあります

アメリカ合衆国では、連邦政府が資金提供する高速道路の最大勾配は、地形と設計速度に基づいた設計表で指定されており、[ 8 ]山岳地帯や丘陵地帯の都市部では一般的に最大6%の勾配が許可されていますが、制限速度が時速60マイル（95km/h）未満の山岳道路では最大7%の勾配が例外的に許可されています。

ギネス世界記録によると、世界で最も急な坂道はニュージーランドのダニーデンにあるボールドウィン・ストリート、ウェールズのハーレフにあるフォード・ペン・レフ[ 9 ]、ペンシルバニア州ピッツバーグにあるカントン・アベニュー[ 10 ] である。[ 11 ]一時的にフォード・ペン・レフにタイトルを与えた判決に対する控訴が認められ[ 11 ]、ギネス世界記録は再びボールドウィン・ストリートを勾配34.8% (2.87分の1) の世界で最も急な坂道として認定した。

ギネスブックに掲載されているよりも急勾配の道路は、サンフランシスコ市内に数多く存在します。7x7誌は、米国国立標高データセットに基づき、サンフランシスコ市内で車両通行可能な公道のうち、勾配が30%を超える10ブロックを特定しました。最も急勾配なのは、バーナルハイツ地区のトンプキンスアベニュー上にあるブラッドフォードストリートのブロックで、41%となっています。[ 12 ]サンフランシスコ市営鉄道は、市内の丘陵地帯でバスサービスを運行しています。バス運行における最も急勾配なのは、アラバマストリート沿いのリプリーストリートとエスメラルダストリートの間のバーナルハイツ67番地で、23.1%です。 [ 13 ]

同様に、ピッツバーグ建設局はカントン・アベニューの勾配を37%（20°）と記録した。[ 14 ]この通りは1983年から自転車レースの対象となっている。[ 15 ]

環境デザイン

勾配、傾斜、そして傾斜は、ランドスケープデザイン、ガーデンデザイン、ランドスケープアーキテクチャ、そして建築において、工学的および美的デザイン要素として重要な要素です。排水、斜面の安定性、人や車両の通行、建築基準への適合、そしてデザインの統合はすべて、環境デザインにおける斜面の考慮事項です。

鉄道

南アフリカ、西ケープ州ベルビル近郊の勾配表示器。1:150と1:88の勾配を示しています

機関車が牽引できる荷重は、機関車自体の重量を含め、規定の勾配によって制限されます。重い荷物を積んだ列車を時速20kmで牽引する場合、1%の勾配を登るには、平坦な線路を登る場合の10倍の力が必要になることがあります。

イギリスの初期の鉄道は、非常に緩やかな勾配で敷設されていました。例えば、グレート・ウェスタン本線は、初期の機関車（とそのブレーキ）が貧弱だったため、「ブルネルのビリヤード台」というあだ名が付けられ、0.07575%（1320分の1）や0.1515%（660分の1）といった勾配でした。急勾配は、補助機関車やケーブル牽引が便利な短い区間に集中しており、ユーストンからカムデン・タウンまでの1.2キロメートル（0.75マイル）区間がその例です。

極めて急勾配では機械的な補助が必要となる。ケーブルシステムは、オーストラリアのカトゥーンバ・シーニック・ワールドにあるシーニック・レイルウェイのような場合に用いられる。同鉄道は最大勾配が122%（52°）に達し、世界で最も急勾配の旅客輸送用ケーブルカーとされている[ 16 ] 。やや緩やかな勾配では、ラック式鉄道が用いられる。例えば、スイスのピラトゥス鉄道は最大勾配が48%（26°）で、最も急勾配のラック式鉄道とされている[ 17 ] 。

グラデーションは、角度、フィート/マイル、フィート/チェーン、1 in n、x %、y /ミルなどで表現できます。デザイナーは端数を切り捨てた数字を好むため、表現方法によってグラデーションの表現方法が異なる場合があります。

チェコ共和国、20 ‰（2％）の勾配を持つ全長1371メートルの鉄道

ラック システムを使用しない 最も急勾配の鉄道路線には次のものがあります。

曲率補正

急曲線の勾配は、直線の同じ勾配よりも実質的に少し急です。これを補正し、全体の勾配を均一にするために、急曲線の勾配をわずかに緩める必要があります

連続ブレーキ

空気ブレーキであれ真空ブレーキであれ、連続ブレーキが装備される前の時代は、急勾配のため列車が安全に停止することは非常に困難でした。例えば当時、ある検査官はウェスト・サセックスのラドウィック駅の勾配変更を主張しました。彼は、プラットホームの勾配が1/80から1/130に緩和されるまで、駅の開業を許可しませんでした

関連項目

参考文献

  1. ^ 「傾斜の理解 - ArcGIS Pro | ドキュメント」
  2. ^マイケル・W・セイヤーズ;トーマス・D・ガレスピー;ウィリアム・DO・パターソン（1986年1月）。「ルートとアパレルの管理に関する指令」(PDF) (フランス語)。世界銀行。 p. 2. IRI は、ルートの標準化、外観の測定、タイプ対応の検査を行います。推奨単位: メートル/キロメートル (m/km) = ミリメートル/メートル (mm/m) = ペンテ x 1000。
  3. ^ ZEMBA、Baowendzooda Joël (2015 年 7 月)。「ETUDE D'AVANT-PROJET DETAILLE DE L'AMENAGEMENT D'UN PERIMETRE IRRIGUE DE 100 HA À BAGRE EN RIVE DROITE DU NAKANBE（ブルキナファソ）」（フランス語）。 p. 37. 2023 年 11 月 19 日のオリジナルからアーカイブ。ペンテ経度 i (m/km ou ‰): 0.4
  4. ^ Strom, Steven; Nathan, Kurt; Woland, Jake (2013). 「傾斜の比率と度数による表現」. Site Engineering for Landscape Architects (第6版). Wiley Publishing. p. 71. ISBN 978-1118090862。
  5. ^ 「交通標識」 gov.uk道路交通法 – ガイダンス。2016年3月26日閲覧
  6. ^ 「Crawler-Transporter」 NASA、2003年4月21日。2020年6月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年6月18日閲覧。
  7. ^ 「カウントダウン！NASAの打ち上げ車両と施設」（PDF） NASA、1991年10月、pp.  16– 17。PMS 018-B、セクション3。2005年1月27日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2013年8月21日閲覧。
  8. ^高速道路および街路の幾何学的設計に関する方針（PDF）（第4版）。ワシントンD.C.：アメリカ州間高速道路交通局協会。2001年。507ページ（設計速度）、510ページ（図8–1：地方および都市の高速道路の最大勾配）。ISBN 1-56051-156-72014年4月11日閲覧
  9. ^ 「ウェールズの町が世界一急な坂道の記録を樹立」ギネス世界記録2019年7月16日。
  10. ^ 「キウイが世界一急な坂道を登る：蹄鉄を踏んで登る」CNN.com。
  11. ^ 「ニュージーランドのボールドウィン通りが世界一急勾配の道路として復活」ギネス世界記録2020年4月8日。
  12. ^ 「サンフランシスコで最も急な坂道の本当のトップ10リスト」7x7。
  13. ^ a b「一般情報」サンフランシスコ都市圏交通局。2016年12月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2016年9月20日閲覧。
  14. ^「カントンアベニュー、ビーチビュー、ペンシルバニア州」ポストガゼット。
  15. ^ 「地球上で最も急な道は容赦ない」 Wired誌、Autopia、2010年12月。
  16. ^ 「トップ5のケーブルカー」シドニー・モーニング・ヘラルド。
  17. ^ 「素晴らしい鉄道」。ザ・レジスター紙。オーストラリア、アデレード。1920年3月2日。5ページ。 2013年2月13日閲覧。オーストラリア国立図書館より。
  18. ^ 「The New Pöstlingberg Railway」（PDF） . Linz Linien GmbH. 2009年. 2011年7月22日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2011年1月6日閲覧。
  19. ^ 「Pantele din Iaşi しゃれ問題 ofertanţilor」 (ルーマニア語)。 2019年3月5日。
  20. ^ 「（近代的な）路面電車の復活 ― ポートランドが先頭に立つ」 （プレスリリース）。路面電車と都市交通。ライトレール交通協会。2001年10月。 2013年9月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年12月15日閲覧。
  21. ^マサチューセッツ湾交通局（2017年3月6日） MBTAグリーンライン路線図pp.14–15  .
  22. ^ 「RFI のピアノ技術」(PDF)。コレッジョ・インジェネリ・フェロヴィアーリ・イタリアーニ。 2018 年 10 月 15 日。2019 年5 月 23 日に取得。
  23. ^ "Madisonview" . oldmadison.com . 2017年4月7日閲覧。
  24. ^ 「丘の下へ」 BBC 2014年9月24日。
  25. ^ 「マセラン軽便鉄道（インド山岳鉄道の延伸）」。ユネスコ世界遺産条約。
  26. ^ Martin, Bruno (2005年9月). 「ダーバン-ピーターマリッツバーグ幹線地図と縦断」(PDF) .南アフリカ交通局. 2017年4月7日閲覧。
  27. ^バレーハイツ駅
  28. ^ 「南東高速道路の改善：概念計画」（PDF） . bostonmpo.org . 2021年2月24日閲覧。
  29. ^ 「ネットワーク声明2023」（PDF）アイルランド鉄道。
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